數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)-打印

1、優(yōu)秀教案歡迎下載等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：1、若等差數(shù)列na的首項(xiàng)10a，公差0d，則前n項(xiàng)和ns有最大值。（）若已知通項(xiàng)na，則ns最大100nnaa；（）若已知2nspnqn，則當(dāng)n取最靠近2qp的非零自然數(shù)時(shí)ns最大；2、若等差數(shù)列na的首項(xiàng)10a，公差0d，則前n項(xiàng)和ns有最小值（）若已知通項(xiàng)na，則ns最小100nnaa；（）若已知2nspnqn，則當(dāng)n取最靠近2qp的非零自然數(shù)時(shí)ns最??；數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法 ：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知ns（即12( )naaaf n）求na， 用作差法 ：11,(1),(2)nnnsnassn。已知12( )na aaf n求

2、na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。已知條件中既有ns還有na，有時(shí)先求ns，再求na；有時(shí)也可直接求na。若1( )nnaaf n求na用累加法 ：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a (2)n。已知1( )nnaf na求na，用累乘法 ：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。已知遞推關(guān)系求na，用構(gòu)造法 （構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地 ， （1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列 后，再求na；形如1nnnakak的遞推數(shù)列都可以除以nk得到一個(gè)等差數(shù)列后

3、，再求na。（2）形如11nnnaakab的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。（3）形如1knnaa的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。（7） （理科） 數(shù)學(xué)歸納法 。（8）當(dāng)遇到qaadaannnn1111或時(shí)， 分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段優(yōu)秀教案歡迎下載一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1) 遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 為常數(shù)）例 1、已知 an 滿足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解an+1-an=2 為

4、常數(shù)an是首項(xiàng)為1，公差為2 的等差數(shù)列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 例 2、已知na滿足112nnaa，而12a，求na=？（2）遞推式為 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn令 n=1， 2， （n-1 ） ，代入得（ n-1 ）個(gè)等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+ +（an-an-1）2434)1211(211nnnaan說明只要和f （1）+f （2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （n）以 n=1，2，（n-1 ）代入，可

5、得n-1 個(gè)等式累加而求an。(3) 遞推式為 an+1=pan+q（p，q 為常數(shù)）例 4、na中，11a，對(duì)于 n1（n n）有132nnaa，求na. 解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數(shù)列 an+1-an是公比為3 的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=（3 1+2）-1=4 an+1-an=43n-1an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二： 上法得 an+1-an是公比為3 的等比數(shù)列， 于是有：a2-a1=4， a3-a2=4 3， a4-a3=4 32， ，a

6、n-an-1=4 3n-2，把 n-1 個(gè)等式累加得：an=23n-1-1 (4) 遞推式為 an+1=p an+q n （p，q 為常數(shù)）優(yōu)秀教案歡迎下載)(3211nnnnbbbb由上題的解法，得：nnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32 (5) 遞推式為21nnnapaqa思路：設(shè)21nnnapaqa, 可以變形為：211()nnnnaaaa，想于是 an+1- an是公比為 的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求na。(6) 遞推式為 sn與 an的關(guān)系式關(guān)系；（2）試用 n表示 an。優(yōu)秀教案歡迎下載)2121()(1211nnnnnnaass11121nnnnaaannn

7、aa21211上式兩邊同乘以2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 則2nan 是公差為 2 的等差數(shù)列。2nan= 2+ （n-1 ） 2=2n 2數(shù)列求和問題的方法（1） 、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來說是有益的。13 5 (2n-1)=n2【例 8】求數(shù)列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （ 13+15+17+19） ，前 n 項(xiàng)的和。解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n 項(xiàng)中，共有1+2+n=)1(21nn個(gè)奇數(shù)，最后一個(gè)奇數(shù)為：1+21n(n+1)-12=n2+n-1 因此所求數(shù)列的前n 項(xiàng)的和為（2）

8、 、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合, 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?9】求和 s=1 （n2-1 ）+ 2 （n2-22）+3 （n2-32） +n（n2-n2）解 s=n2（1+2+3+ +n）- （ 13+23+33+n3）優(yōu)秀教案歡迎下載（3） 、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnsccnc例 10、解0120363nnnnnnscccnc sn=3n2n-1 （4） 、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列

9、的公比，然后錯(cuò)位相減求和例 11、求數(shù)列 1，3x，5x2, ,(2n-1)xn-1前 n 項(xiàng)的和解設(shè) sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1(2)x=0時(shí)， sn=1(3) 當(dāng) x0 且 x1 時(shí)，在式兩邊同乘以x 得 xsn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5) 裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)( 式多項(xiàng) ) 差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn優(yōu)秀教案歡迎下載注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌

10、握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?13】等差數(shù)列 an的首項(xiàng) a10，前 n 項(xiàng)的和為sn，若 sl=sk（l k）問 n 為何值時(shí)sn最大？此函數(shù)以n 為自變量的二次函數(shù)。a10 sl=sk（l k）， d0 故此二次函數(shù)的圖像開口向下 f （l ） =f （k）2方程思想【例 14】設(shè)等比數(shù)列 an前 n 項(xiàng)和為 sn，若 s3+s6=2s9，求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。解依題意可知q1。如果 q=1，則 s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0 與等比數(shù)列不符。 q1 整理得 q3（2q6-q3-1 ） =0 q0 此題還可以作如下思考：s6=s3+q3s3=（1+q3）s3。s9=s3+q3s6=s3（1+q3+q6），由 s3+s6=2s9可得