學(xué)生排隊(duì)問題分析及系統(tǒng)優(yōu)化策略

1、    學(xué)生排隊(duì)問題分析及系統(tǒng)優(yōu)化策略    魏麗君金康彪【摘 要】排隊(duì)論是通過研究各種服務(wù)系統(tǒng)的排隊(duì)現(xiàn)象，解決服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)化控制的一門學(xué)科。本文基于排隊(duì)論的方法研究了多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，針對(duì)答疑老師數(shù)目的排隊(duì)問題建立了數(shù)學(xué)模型，根據(jù)老師成本和學(xué)生等待成本的總費(fèi)用最小思想，設(shè)定適當(dāng)老師數(shù)，降低系統(tǒng)服務(wù)總成本，提高系統(tǒng)的服務(wù)效率和服務(wù)水平，以適應(yīng)新經(jīng)濟(jì)時(shí)代的個(gè)性化服務(wù)趨勢(shì)，它可為答疑老師數(shù)目的設(shè)置提供決策支持?！娟P(guān)鍵詞】排隊(duì)問題；運(yùn)籌學(xué)理論；優(yōu)化問題；poisson 流g647 a2095-3089（2018）21-0048-01一、引言當(dāng)學(xué)生排隊(duì)向老

2、師詢問問題時(shí)，有時(shí)學(xué)生的人數(shù)超過老師的數(shù)量，也就是說，到達(dá)的學(xué)生不能立即得到解答，因而出現(xiàn)了排隊(duì)現(xiàn)象。由于學(xué)生的到達(dá)和服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)性，可以說排隊(duì)現(xiàn)象幾乎是不可避免的。如果增添老師人數(shù)，就要增加投資或發(fā)生空閑浪費(fèi)；如果老師人數(shù)太少，排隊(duì)現(xiàn)象就會(huì)嚴(yán)重，對(duì)學(xué)生的問題解答得不到幫助。因此，以下針對(duì)如何在這兩者之間取得平衡進(jìn)行了研究，以便隨時(shí)都能檢查老師人數(shù)的分配處理是否得當(dāng)，研究今后改進(jìn)對(duì)策，老師能及時(shí)解答學(xué)生提出的問題。二、模型闡述一般的排隊(duì)系統(tǒng)都由三個(gè)基本組成部分組成，他們是：學(xué)生、排隊(duì)隊(duì)列、老師三個(gè)因素。假設(shè)不同學(xué)生先后隨機(jī)到達(dá)老師辦公室，并且學(xué)生答疑時(shí)間的分布是平穩(wěn)的，即分布的期望值，方差等

3、參數(shù)都不受時(shí)間的影響。a.學(xué)生：假設(shè)學(xué)生輸入流為 poisson 流，學(xué)生一個(gè)一個(gè)到達(dá)且相互獨(dú)立。b.排隊(duì)規(guī)則：等待制。c.老師：一個(gè)學(xué)生接受一個(gè)老師獨(dú)立輔導(dǎo)。現(xiàn)以 c 表示老師數(shù)量，老師屬于平行排列的，老師的答疑時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，且每個(gè)老師的答疑時(shí)間相互獨(dú)立。以下是單排隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)流程圖：如果學(xué)生到達(dá)時(shí)，老師有空閑，那么學(xué)生可馬上接受答疑，如果老師正在為其他學(xué)生答疑，則到達(dá)的同學(xué)排隊(duì)等候，并接受答疑后馬上離開。該排隊(duì)系統(tǒng)是一個(gè)單排隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)，學(xué)生的輸入流是 poisson 流，老師的答疑時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布。老師解答水平視為相同的，不加以區(qū)別。假設(shè)每個(gè)學(xué)生每小時(shí)平均到達(dá)的

4、人數(shù)為，每個(gè)老師每小時(shí)平均答疑的學(xué)生人數(shù)為，整個(gè)答疑系統(tǒng)的平均服務(wù)率為c，系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度為= c，并且只有<11時(shí)才不會(huì)排成很長的隊(duì)列3。假設(shè)pn（c）為c個(gè)服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)中有n個(gè)學(xué)生的概率；當(dāng)服務(wù)率c達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，這時(shí)有：當(dāng)答疑系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，每位學(xué)生的等待時(shí)間的均值為：學(xué)生排隊(duì)的人數(shù)為：學(xué)生的平均等待時(shí)間和學(xué)生排隊(duì)時(shí)間由 little 公式求得：wq=lq， ws=ls在單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)4的情況下：ws=1-x，多隊(duì)服務(wù)臺(tái)可看作是由多個(gè)單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)。在單隊(duì)k個(gè)服務(wù)臺(tái)的情況下，有：三、系統(tǒng)最優(yōu)化分析答疑系統(tǒng)的設(shè)計(jì)常常要考慮老師數(shù)量和排隊(duì)等待的學(xué)生人數(shù)。在一般情形下，老師數(shù)量是服務(wù)水平的增

5、函數(shù)，學(xué)生等待時(shí)間是服務(wù)水平的減函數(shù)。提高老師的數(shù)量自然會(huì)降低學(xué)生的等待時(shí)間，但卻常常會(huì)增加老師的成本。因此，最優(yōu)化目標(biāo)就是要使兩者之和，即總和為最小，對(duì)應(yīng)的老師數(shù)即為最佳的老師數(shù)。對(duì)于 m/m/c/系統(tǒng)而言，在穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下，這時(shí)單位時(shí)間兩者之和的期望值為：z=cs×c+cw×l。其中c為每天任課老師數(shù)，是未知量。cw是第一個(gè)學(xué)生用的時(shí)間， cs為第二個(gè)學(xué)生等的時(shí)間，兩者為已知量。l是正在答疑和等待答疑的學(xué)生總數(shù)平均值ls或排隊(duì)等待答疑的學(xué)生數(shù)lq（它們都隨值的不同而不同）。排隊(duì)等待的學(xué)生人數(shù)為：正在答疑和等待答疑的學(xué)生總數(shù)平均值為：所以z是c的函數(shù)z（c），現(xiàn)在是求最優(yōu)解c*使z（c*）為最小。采用邊際分析法，根據(jù)z（c*）為最小的特點(diǎn)，有：z（c*）z（c*-1）且z（c*）z（c*）+1將z代入（1）式化簡，就可得最優(yōu)的答疑老師數(shù)目c*滿足：依次求出c=1，2，3時(shí)l值，并作兩相鄰的l值之差，因?yàn)閏s是已知數(shù)，根據(jù)這個(gè)數(shù)落在哪個(gè)不等式的區(qū)間里就可以定出c*，或可根據(jù)l滿足cs/cw值的范圍，得到最優(yōu)的c*值。參考文獻(xiàn)1黃龍生，吳志松.概率論下數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：高等教育出版社，2000.2william j.stevenson.生產(chǎn)與運(yùn)作管理m.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.3李平英.排除現(xiàn)象及其管理研究j.山東農(nóng)業(yè)犬學(xué)學(xué)報(bào)，200