《高等數(shù)學(xué)(一)》復(fù)習(xí)資料-姜作廉

1、課 程 名 稱高等數(shù)學(xué)（一）教材信息名稱高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）出版社天津大學(xué)出版社作者李君湘邱忠文主編版次2007年 8 月第 1 版注：如學(xué)員使用其他版本教材，請(qǐng)參考相關(guān)知識(shí)點(diǎn)一、客觀部分：（單項(xiàng)選擇、多項(xiàng)選擇、不定項(xiàng)選擇、判斷）（一）、單項(xiàng)選擇部分1函數(shù)xxxf)321()321()(為（）。（a）奇函數(shù)；（ b）周期函數(shù)；（ c）冪函數(shù)；（ d ）偶函數(shù)考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)的性質(zhì)，參見p4-7 附 1.1.1 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：函數(shù)的基本特性：有界性：設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?d， 如果有0m， 使得對(duì)dx， 都有mxf)(， 則稱 f ( x)在 d上有界 。如果對(duì)dx，使得m

2、xf)(，則稱 f (x) 在 d 上有上界 。單調(diào)性：設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?d ，如果對(duì)dxx21,，當(dāng)21xx時(shí)，恒有)()(21xfxf，就稱上在dxf)(為單調(diào)遞增函數(shù)。 同理，可以定義單調(diào)遞減函數(shù)。 我們統(tǒng)稱單調(diào)遞增和單調(diào)遞減函數(shù)為單調(diào)函數(shù)。奇偶性：設(shè) f ( x)的定義域?yàn)?d，對(duì)dx，如果(i)()(xfxf，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)；(ii)()(xfxf，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)周期性：設(shè)函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?d ，如果存在 t0，使得對(duì)dx，總有則稱 f (x) 為 d上的周期函數(shù)， t為 f (x) 的一個(gè)周期通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期習(xí)慣上，我們把最小的正周期叫

3、做該函數(shù)的周期計(jì)算過程如下：-11(- )()()=23232323=()()=(23)(23)(23)(23)11=()() =f(x)2323xxxxxxfx答案： （d）偶函數(shù)。2函數(shù)( )ln(1sin ) (0)f xxx為（）。（a）無窮小量；（ b）無窮大量；（ c）零函數(shù)；（ d ）常數(shù)函數(shù)考核知識(shí)點(diǎn) : 無窮小與無窮大，參見p25-27 附 1.1.2 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：當(dāng)0 xx時(shí)，如果函數(shù))(xf的絕對(duì)值大于任意預(yù)先給定的正數(shù)m ，則我們稱函數(shù))(xf為當(dāng)0 xx時(shí)的無窮大量，記為)(lim0 xfxx。若0)(lim0 xfxx，則稱函數(shù))(xf在該極限過程中為

4、無窮小量簡稱無窮小。答案： （a）無窮小量。3函數(shù)sin0 xyxx在點(diǎn)處（）。（a）可導(dǎo)；（ b）間斷；（ c）可微；（ d）連續(xù)考核知識(shí)點(diǎn) : 連續(xù)與可導(dǎo)性，參見p40-46 附 1.1.3 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案】）：函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件 . 若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案： （b）間斷。4若( )ln(2sin),(0)f xxf則（）。（a）-1；（b）0；（c）12；（d）1 考核知識(shí)點(diǎn) : 復(fù)合函數(shù)微分法 ，參見 p61-63 附 1.1.4 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：下述“基本的求導(dǎo)公式”是各種導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算的基礎(chǔ)，

5、要求熟練掌握。在這里作為復(fù)習(xí)我們?nèi)拷o出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用。基本的求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo) , 而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxdududydxdy本題計(jì)算用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：如果函數(shù)( )uu x及( )vv x都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v

6、 xu x v xu x v x ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x答案： （c）12。5若( ),(0)xf xxef則（）。（a）-2；（b）-1；（c ）1；（d）2 考核知識(shí)點(diǎn) : 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見p65-68 附 1.1.5 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：求高階導(dǎo)數(shù)的方法：求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)， 除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外（直接法），還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式 , 通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 , 變量代換等方法 , 間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)（間接法）. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo)

7、 , 而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxdududydxdy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) . 這一法則又稱為鏈?zhǔn)椒▌t . 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn). 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí) , 首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次， 然后從外向里 , 逐層推進(jìn)求導(dǎo)，不要遺漏 , 也不要重復(fù) . 在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量 ( 不管是自變量還是中間變量) 的導(dǎo)數(shù) . 在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量, 一步一步去做 . 熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼

8、里， 記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個(gè)過程一氣呵成. 答案： （d）2。6函數(shù)21( )lg1cosxf xx為（）。（a）奇函數(shù)；（ b）偶函數(shù)；（ c ）冪函數(shù)；（ d）周期函數(shù)考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)的性質(zhì)，參見p4-7 附 1.1.6 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：奇偶性：設(shè) f ( x)的定義域?yàn)?d，對(duì)dx，如果(i)()(xfxf，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)；(ii)()(xfxf，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)周期性：設(shè)函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?d ，如果存在 t0，使得對(duì)dx，總有則稱 f (x) 為 d上的周期函數(shù)， t為 f (x) 的一個(gè)周期通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期習(xí)慣上，我

9、們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期答案： （b）偶函數(shù)。7函數(shù)( )21 (0)xf xx為（）。（a）零函數(shù)；（ b）無窮大量；（ c）無窮小量；（ d）常數(shù)考核知識(shí)點(diǎn) : 無窮小與無窮大，參見p25-27 附 1.1.7 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：當(dāng)0 xx時(shí)，如果函數(shù))(xf的絕對(duì)值大于任意預(yù)先給定的正數(shù)m ，則我們稱函數(shù))(xf為當(dāng)0 xx時(shí)的無窮大量，記為)(lim0 xfxx。若0)(lim0 xfxx，則稱函數(shù))(xf在該極限過程中為無窮小量簡稱無窮小。答案： （c）無窮小量。8函數(shù)0yxx在點(diǎn)處（）。（a）間斷；（ b）可導(dǎo)；（ c）可微；（ d）連續(xù)考核知識(shí)點(diǎn) : 連續(xù)與可導(dǎo)性

10、，參見p40-46 附 1.1.8 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件 . 若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案： （d）連續(xù)。9若sin( ),(0)xf xef則（）。（a）-1；（b）0；（c）1；（d）2 考核知識(shí)點(diǎn) : 復(fù)合函數(shù)微分法 ，參見 p61-63 附 1.1.9 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：初等函數(shù)的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo) , 而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxd

11、ududydxdy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) . 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí) , 首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次， 然后從外向里 , 逐層推進(jìn)求導(dǎo)，不要遺漏 ,也不要重復(fù) . 在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量( 不管是自變量還是中間變量 ) 的導(dǎo)數(shù) . 在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量, 一步一步去做 . 熟練之后，中間變量可以省略不寫， 只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來. 答案： （c）0。10若2( ),(0)xf xef則（）。（a）-2；（b）-1；（c ）1；（d）2 考核知識(shí)點(diǎn)

12、 : 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見p65-68 附 1.1.10 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：求高階導(dǎo)數(shù)的方法：求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)， 除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外（直接法），還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式 , 通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 , 變量代換等方法 , 間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)（間接法）. 答案： （a）-2。11函數(shù)xxxf11lg)(為（）。（a）奇函數(shù)；（ b）偶函數(shù)；（ c ）指數(shù)函數(shù)；（ d ）周期函數(shù)考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)的性質(zhì)，參見p4-7 附 1.1.11 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：函數(shù)的奇偶性：設(shè) f ( x) 的定義域?yàn)?d，對(duì)dx，如果(i)()(xfxf，則稱該函數(shù)為奇函數(shù)；(i

13、i)()(xfxf，則稱該函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?d，如果存在 t0，使得對(duì)dx，總有則稱 f (x) 為 d上的周期函數(shù)， t為 f (x) 的一個(gè)周期通常周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期習(xí)慣上，我們把最小的正周期叫做該函數(shù)的周期答案： （a）奇函數(shù)。12函數(shù)1( )cos (0)f xxxx為（）。（a）零函數(shù)；（ b）無窮大量；（ c）無窮小量；（ d）常數(shù)考核知識(shí)點(diǎn) : 無窮小與無窮大，參見p25-27 附 1.1.12 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：當(dāng)0 xx時(shí)，如果函數(shù))(xf的絕對(duì)值大于任意預(yù)先給定的正數(shù)m ，則我們稱函數(shù))(xf為當(dāng)0 xx時(shí)的無窮大量，記為

14、)(lim0 xfxx。若0)(lim0 xfxx，則稱函數(shù))(xf在該極限過程中為無窮小量簡稱無窮小。答案： （c）無窮小量。13函數(shù)( )tan |f xx 在 x=0 處（）。（a）間斷；（ b）可導(dǎo)；（ c）可微；（ d）連續(xù)考核知識(shí)點(diǎn) : 連續(xù)與可導(dǎo)性，參見p40-46 附 1.1.13 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件 . 若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo). 答案： （d）連續(xù)。14若12( )ln,()12xfxfx則（）。（a）2；（b）-2 ；（c）4；（d）-4 考核知識(shí)點(diǎn) : 復(fù)合函數(shù)微分法 ，參見 p61

15、-63 附 1.1.14 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0(cc為常數(shù)）；1()(nnxnxnr但不為零）；()xxee；1(ln)xx；(sin)cosxx；(cos )sinxx；()lnxxaaa；1(log).lnaxxa若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo) , 而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxdududydxdy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) . 答案： （c）4。15若2( )ln(1),(0)fxxf則（）。（a）-2；（b）-1；（c

16、 ）1；（d）2 考核知識(shí)點(diǎn) : 二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見p65-68 附 1.1.15 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：求高階導(dǎo)數(shù)的方法：求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)， 除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外（直接法），還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式 , 通過導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 , 變量代換等方法 , 間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)（間接法）. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：如果函數(shù)( )uu x及( )vv x都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x

17、 ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x答案： （a）-2。二、主觀部分：（一）、填空部分1. 函數(shù)712arcsinxy的定義域是 _. 考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)的概念，參見p1-6 附 2.1.1 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：函數(shù)是最重要的數(shù)學(xué)概念之一。下面給出函數(shù)的概念：設(shè) d 是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合， 如果存在某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f，使得對(duì)dx， 都有唯一的實(shí)數(shù)y 與之對(duì)應(yīng)，就稱f確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為)(xfy，稱x為自變量， y 為函數(shù)（因變量），d 為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域函數(shù)表示的通常方式為

18、公式法， 自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來的方法稱為公式法計(jì)算過程如下：21117x答案： 3,4。2.30tanlimxxxx_. 考核知識(shí)點(diǎn) : 洛必達(dá)法則求極限 ，參見 p90-95 附 2.1.2 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：如果函數(shù))(xf和)(xg滿足以下三個(gè)條件 : (1)0)(lim0 xfxx,0)(lim0 xgxx; (2)(xf和)(xg在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo) , 且0)(xg; (3)()(lim0 xgxfxx存在( 或無窮大 ). 則極限)()(lim0 xgxfxx存在(或無窮大 ), 且這種求極限的方法稱為洛必達(dá)法則. 法則中的0 xx改

19、為x后法則仍成立 . 。答案：13。3. 設(shè)函數(shù)32( )arctanxf xxe ，則f (x)= _. 考核知識(shí)點(diǎn) : 復(fù)合函數(shù)微分法 ，參見 p61-63 附 2.1.3 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo) , 而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxdududydxdy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) . 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：如果函數(shù)( )uu x及( )vv x都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，

20、且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x答案：324231xxx ex。4. 設(shè)2(1)sin,yxxdy則_. 考核知識(shí)點(diǎn) : 微分計(jì)算，參見 p74-79 附 2.1.4 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：微分的定義：設(shè)函數(shù))(xfy在某區(qū)間內(nèi)有定義 ,0 x及xx0在這區(qū)間內(nèi) , 如果函數(shù)的增量)()(00 xfxxfy可表示為其中 a是與x無關(guān)的常數(shù) , 則稱函數(shù))(

21、xfy在點(diǎn)0 x可微, 并且稱xa為函數(shù))(xfy在點(diǎn)0 x處相應(yīng)于自變量改變量x的微分 , 記作dy, 即函數(shù)可微的條件：函數(shù))( xfy在點(diǎn)0 x可微的充分必要條件是函數(shù))( xfy在點(diǎn)0 x可導(dǎo)，且當(dāng))(xfy在點(diǎn)0 x可微時(shí)，其微分一定是：即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 因此，導(dǎo)數(shù)又稱為“微商”. 微分公式基本初等函數(shù)微分公式上述“基本的微分公式”是各種微分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里為了方便我們給出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用。答案：2(2 sin(1)xxxconx dx。5. 函數(shù)23( )(1)1fxx的極值點(diǎn)為 _. 考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)極值

22、的計(jì)算，參見p96-101 附 2.1.5 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1) 求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù))(xf(2) 求出)(xf的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(3) 利用第一充分條件 , 根據(jù))(xf的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況以便確定該點(diǎn)是否是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù) , 也可根據(jù)第二充分條件判定; (4) 求出函數(shù)的極值計(jì)算過程如下：22)1(6)(xxxf, 令 f ( x) 0 求得駐點(diǎn)1,0, 1321xxx又)15)(1(6)(22xxxf, 所以06)0(f因此)(xf在0 x處取得極小值極小值為0)0(f因?yàn)?) 1() 1(f

23、f所以用定理 3無法判別 而)(xf在1x處的左右鄰域內(nèi).0)(xf所以)(xf在1x處沒有極值同理)(xf在1x處也沒有極值答案：0 x。6. 函數(shù)xylg1lg的定義域是 _. 考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)的概念，參見p1-6 附 2.1.6 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：函數(shù)是最重要的數(shù)學(xué)概念之一。下面給出函數(shù)的概念：設(shè) d 是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合， 如果存在某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f，使得對(duì)dx， 都有唯一的實(shí)數(shù)y 與之對(duì)應(yīng)，就稱f確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為)(xfy，稱x為自變量， y 為函數(shù)（因變量），d 為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域答案：(0,10)。7.10lim(12 )xxx_. 考核知識(shí)點(diǎn) :

24、 求極限 ，參見上冊(cè) p33-37 附 2.1.7 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：兩個(gè)重要極限如下 : 0sin1lim1,lim 1xxxxexx。運(yùn)用第二個(gè)重要極限計(jì)算該題。答案：2e。8. 設(shè)函數(shù)21()xxxf eee，則 f (x)=_. 考核知識(shí)點(diǎn) : 復(fù)合函數(shù)微分法 ，參見 p61-63 附 2.1.8 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo) , 而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxdududydxdy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)

25、自變量的導(dǎo)數(shù) .基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0(cc為常數(shù)）；1()(nnxnxnr但不為零）；()xxee；1(ln )xx；(sin)cosxx；(cos )sinxx；()lnxxaaa；1(log).lnaxxa答案：2xe。9. 設(shè)2ln(1),yxdy則_. 考核知識(shí)點(diǎn) : 微分計(jì)算，參見 p74-79 附 2.1.9 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：函數(shù))( xfy在點(diǎn)0 x可微的充分必要條件是函數(shù))( xfy在點(diǎn)0 x可導(dǎo)，且當(dāng))( xfy在點(diǎn)0 x可微時(shí)，其微分一定是：即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商. 答案：221xdxx。10. 曲線21xyxe的斜漸近線為 _. 考核知

26、識(shí)點(diǎn) : 求漸近線，參見 p109-111 附 2.1.10 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：( )yf x的斜漸近線的計(jì)算：如果( )limxf xkx，lim( )xf xkxb ，則斜漸近線就是直線ykxb。答案：3yx。11. 函數(shù)xxxy11lg1的定義域是 _ 。考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)的概念，參見p1-6 附 2.1.11 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：設(shè) d 是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集合， 如果存在某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f，使得對(duì)dx， 都有唯一的實(shí)數(shù)y 與之對(duì)應(yīng)，就稱f確定了一個(gè)一元函數(shù)，通常記為)(xfy，稱x為自變量， y 為函數(shù)（因變量），d為定義域，函數(shù)值的集合稱為值域函數(shù)表示的通常方式

27、為公式法， 自變量與因變量的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來的方法稱為公式法計(jì)算過程如下：0 x且101xx，1x答案：( 1,0)(0,1)。12.30tansinlimsinxxxx_. 考核知識(shí)點(diǎn) : 洛必達(dá)法則求極限 ，參見 p90-95 附 2.1.12 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：如果函數(shù))(xf和)(xg滿足以下三個(gè)條件 : (1)0)(lim0 xfxx,0)(lim0 xgxx; (2)(xf和)(xg在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo) , 且0)(xg; (3)()(lim0 xgxfxx存在( 或無窮大 ). 則極限)()(lim0 xgxfxx存在(或無窮大 ), 且這種求極限的方法稱為

28、洛必達(dá)法則. 法則中的0 xx改為x后法則仍成立 . 答案：12。13. 設(shè)23(3)yxdy，則_. 考核知識(shí)點(diǎn) : 微分計(jì)算，參見 p74-79 附 2.1.13 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：函數(shù))( xfy在點(diǎn)0 x可微的充分必要條件是函數(shù))( xfy在點(diǎn)0 x可導(dǎo)，且當(dāng))(xfy在點(diǎn)0 x可微時(shí)，其微分一定是：即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.答案：226 (3)x xdx。14. 設(shè)223yxax在點(diǎn) x=1取得極小值，則a_. 考核知識(shí)點(diǎn) : 極值的確定，參見下冊(cè)p98-101 附 2.1.14 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案）：確定極值點(diǎn)(1) 求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù))(xf(

29、2) 求出)(xf的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(3) 令( )0fx。如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù) , 可根據(jù)第二充分條件判定。答案：4。15. 曲線3234yxxx的拐點(diǎn)坐標(biāo)為 _. 考核知識(shí)點(diǎn) : 求拐點(diǎn)，參見 p108-109 附 2.1.15 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：如果( )f x的二階導(dǎo)數(shù)( )fx在0 x的左右兩側(cè)變號(hào)，則00(,()xf x就是拐點(diǎn)。計(jì)算過程如下：答案：(1,2)。（二）、計(jì)算題1. 求1cosxye的導(dǎo)數(shù) .考核知識(shí)點(diǎn) : 導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見 p56-63 附 2.2.1 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 : 若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo) ,

30、而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxdududydxdy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn). 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí) , 首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次， 然后從外向里 , 逐層推進(jìn)求導(dǎo)，不要遺漏 , 也不要重復(fù) . 在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個(gè)函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量 ( 不管是自變量還是中間變量) 的導(dǎo)數(shù) . 在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量, 一步一步去做 . 熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里， 記在心上，直接把表示中間變量的

31、部分寫出來，整個(gè)過程一氣呵成. 初等函數(shù)的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則?；镜那髮?dǎo)公式基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式上述“基本的求導(dǎo)公式” 是各種導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算的基礎(chǔ)，要求熟練掌握。在這里為了方便我們?cè)俅谓o出，提供多處習(xí)題計(jì)算時(shí)使用，可以反復(fù)查找使用。參考答案：2. 求由方程0 xyxyee確定的隱函數(shù)( )yy x的導(dǎo)數(shù)?？己酥R(shí)點(diǎn) : 隱函數(shù)求導(dǎo)，參見p69-71 附 2.2.2 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：假設(shè)由方程0),(yxf所確定的函數(shù)為)(xyy，則把它代回方程0),(yxf中，得到恒等式利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)

32、數(shù)dxdy，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法 . 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：如果函數(shù)( )uu x及( )vv x都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)，且（1）( )( )( )( )u xv xu xv x ；（2）( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x ；（3）2( )( ) ( )( )( )( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x參考答案：對(duì)原方程 , 兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo), 其中 y=y(x), 有xyeyyex。3. 求(ln)xyx的導(dǎo)數(shù) .考核知識(shí)點(diǎn) : 導(dǎo)數(shù)計(jì)算，參見 p56

33、-63 附 2.2.3 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：形如)()(xvxuy的函數(shù)稱為冪指函數(shù) . 直接使用前面介紹的求導(dǎo)法則不能求出冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù). 我們把這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0(cc為常數(shù)）；1()(nnxnxnr但不為零）；()xxee；1(ln)xx；(sin)cosxx；(cos )sinxx；()lnxxaaa；1(log).lnaxxa參考答案：4. 求由方程yxxy確定的隱函數(shù)( )yy x的導(dǎo)數(shù)?？己酥R(shí)點(diǎn) : 隱函數(shù)求導(dǎo)，參見p69-71

34、 附 2.2.4 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：假設(shè)由方程0),(yxf所確定的函數(shù)為)(xyy，則把它代回方程0),(yxf中，得到恒等式利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)dxdy，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法 . 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：形如)()(xvxuy的函數(shù)稱為冪指函數(shù) . 直接使用前面介紹的求導(dǎo)法則不能求出冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，然后在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù). 我們把這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. 參考答案：原方程化為lnlnyxxyee, 兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 其中 y=y(x), 有5. 求cosa

35、rctan(sin2)xyxe的導(dǎo)數(shù)。考核知識(shí)點(diǎn) : 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) ，參見 p56-63 附 2.2.5 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若函數(shù))(xgu在點(diǎn) x 處可導(dǎo) , 而)(ufy在點(diǎn))(xgu處可導(dǎo) , 則復(fù)合函數(shù))(xgfy在點(diǎn) x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或dxdududydxdy復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) .參考答案：6. 求由方程xyxye確定的隱函數(shù)( )yy x的導(dǎo)數(shù)?？己酥R(shí)點(diǎn) : 隱函數(shù)求導(dǎo)，參見p69-71 附 2.2.6 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：隱函數(shù)的導(dǎo)

36、數(shù)：假設(shè)由方程0),(yxf所確定的函數(shù)為)(xyy，則把它代回方程0),(yxf中，得到恒等式利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， 在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)dxdy，這就是隱函數(shù)求導(dǎo)法 . 參考答案：7. 求32)2)(12()(xxxf的極值?？己酥R(shí)點(diǎn) : 求極值 ，參見 p96-101 附 2.2.7 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1) 求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù))(xf(2) 求出)(xf的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(3) 利用第一充分條件 , 根據(jù))(xf的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況以便確定該點(diǎn)是否是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)如函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù) ,

37、也可根據(jù)第二充分條件判定; (4) 求出函數(shù)的極值參考答案：由023)1(10)(3xxxf得到1x為駐點(diǎn)；又34)2(52910)(xxxf，所以031013910)1(f所以)(xf在1x處取得極大值，且極大值為3)1(f。又)(xf在2x處不可導(dǎo)，在2x的充分小鄰域內(nèi) , 當(dāng)2x時(shí)，0)(xf；當(dāng)2x時(shí)，0)(xf，由極值的第一充分條件知)(xf在2x處取得極小值，且極小值為f （2）=0，所以 f（x）在 x=1 處取得極大值 3，在 x=2處取得極小值 0。不存在極大值極小值8. 設(shè)函數(shù)2( )1f xxax，其中 a0，求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間 。考核知識(shí)點(diǎn) : 函數(shù)單調(diào)性判定 ，

38、參見 p96-98 附 2.2.8 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：函數(shù)單調(diào)性判定定理設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)，則（1） 如果在),(ba內(nèi)0)(xf，則)(xf在,ba上單調(diào)增加 . （2） 如果在),(ba內(nèi)0)(xf，則)(xf在,ba上單調(diào)減少 . 若將定理的條件換成開區(qū)間或無窮區(qū)間, 判定定理的結(jié)論仍然成立 . 若函數(shù))(xf在區(qū)間 i 上可導(dǎo)，且使0)(xf的點(diǎn) x 僅有有限個(gè)，則)(xf在區(qū)間 i 上為嚴(yán)格遞增（減）函數(shù)的充要條件為：對(duì)一切ix有.0)()(xf利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)

39、，將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間， 然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性； 如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些. 參考答案： 當(dāng) a1 時(shí)，有211xax，此時(shí) f/(x)0 ，函數(shù) f(x) 在區(qū)間),(上是單調(diào)遞減函數(shù)。 當(dāng) 0a1時(shí)，解不等式 f/(x)0 得21axa，f(x) 在區(qū)間2,)1aa上是單調(diào)遞增函數(shù)。. 9. 求函數(shù),(03)x223f(x)=(x -2x)的最大值和最小值?？己酥R(shí)點(diǎn) : 求函數(shù)的 最大最小值 ，參見 p102-105 附 2.2.9 （考核知識(shí)點(diǎn)解釋及答案【解答過程】）：求函數(shù)()axbf(x)的最大最小值的步驟：（1）求函數(shù)的所有駐點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）比較f(a),f(b)和駐點(diǎn)的函數(shù)值以及不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值，取其中的 最大值和最小值即可 . 參考答案：10. 求