材料力學_壓桿穩(wěn)定土木

1、會計學1材料力學材料力學_壓桿穩(wěn)定土木壓桿穩(wěn)定土木(a)(b) 拉壓桿的強度條件為拉壓桿的強度條件為： = FNA(a): 木桿的橫截面為矩形（12cm), 高為3cm，當荷載重量為6kN 時桿還不致破壞。(b): 木木桿的橫截面與桿的橫截面與(a)相同，高為相同，高為1.4m(細長細長壓桿）壓桿），當壓力為當壓力為0.1KN時桿被壓彎，時桿被壓彎，導致破壞。導致破壞。(a)和和(b)竟相差竟相差60倍，為什么？倍，為什么？ 細長壓桿的破壞形式：突然產生顯著的彎曲變形而使結構喪失工件能力，并非因強度不夠，而是由于壓桿不能保持原有直線平衡狀態(tài)所致。這種現(xiàn)象稱為失穩(wěn)。 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡

2、穩(wěn)定平衡 微小擾動就使小球遠離原來的微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置平衡位置 微小擾動使小球離開原來的平衡微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球回復到平衡位置，但擾動撤銷后小球回復到平衡位置位置9.1 9.1 壓桿穩(wěn)定的壓桿穩(wěn)定的概念概念隨遇平衡（臨界狀態(tài)）穩(wěn)穩(wěn) 定定 平平 衡衡壓桿壓桿 能能 恢復到原恢復到原(直線直線)狀態(tài)的平衡狀態(tài)的平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡壓桿壓桿不能不能恢復到原恢復到原(直線直線)狀態(tài)的平衡狀態(tài)的平衡壓桿的穩(wěn)定性試驗壓桿的穩(wěn)定性試驗失失 穩(wěn)穩(wěn)注意：注意： 臨界壓力是壓桿所具有的維持穩(wěn)定平臨界壓力是壓桿所具有的維持穩(wěn)定平衡能力的一個衡能力的一個力學指標力學指

3、標。壓桿喪失其穩(wěn)定平衡狀態(tài)而過壓桿喪失其穩(wěn)定平衡狀態(tài)而過渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的現(xiàn)象渡到不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的現(xiàn)象壓桿由壓桿由( (直線直線) )穩(wěn)定平衡過渡到微穩(wěn)定平衡過渡到微彎不穩(wěn)定平衡的彎不穩(wěn)定平衡的壓力臨界值壓力臨界值臨界壓力是否是作用在桿上的力？臨界壓力是否是作用在桿上的力？屈屈 曲曲壓壓 桿桿 的的臨界壓力臨界壓力( (buckling) )（Fcr ） 懸懸索索橋橋的的索索塔塔 1. .1907年加拿大在圣勞倫斯河架年加拿大在圣勞倫斯河架奎伯克橋時，由于懸臂桁架中的奎伯克橋時，由于懸臂桁架中的一根壓一根壓桿失穩(wěn)桿失穩(wěn)，造成橋梁倒塌，造成橋梁倒塌，9000噸鋼材噸鋼材變成一堆廢墟。變成一堆廢

4、墟。壓桿失穩(wěn)的實例壓桿失穩(wěn)的實例倒塌后成為一片廢墟倒塌后成為一片廢墟2. .1922年冬天下大雪，美國華盛年冬天下大雪，美國華盛頓尼克爾卜克爾劇院由于屋頂結頓尼克爾卜克爾劇院由于屋頂結構中的構中的一根壓桿超載失穩(wěn)一根壓桿超載失穩(wěn)，造成，造成劇院倒塌，死劇院倒塌，死98人，傷人，傷100余人。余人。結構的其它失穩(wěn)形態(tài)結構的其它失穩(wěn)形態(tài)梁的側向失穩(wěn)梁的側向失穩(wěn)-側彎側彎+扭曲扭曲薄薄壁壁圓圓筒筒的的局局部部失失穩(wěn)穩(wěn)兩端鉸支桿受壓力兩端鉸支桿受壓力F作用作用考察考察微彎微彎平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)，x 處處截面截面的彎矩的彎矩wFMcr撓曲線撓曲線的近似微分方程的近似微分方程EIMxdwd22FABl/2

5、l y xw xFcrB y xwM(x)=Fcrw9.2 9.2 兩端鉸支兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力22d wFdwxEI 0 wEIFwEIFk 2引入記號引入記號02 wkw通解為通解為kxcosBkxsinAw其中，其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。為積分常數(shù)，由邊界條件確定。邊界條件為邊界條件為: :0 x時時，0wlx 時時，0w, 0 x將將代入通解代入通解0B, lx 將將代入通解代入通解0sinklA;w0;w0因因所以應有所以應有, 0A0sinkl), 2, 1, 0(,nnkl代入代入EIFk 2222lEInF因為臨界壓力是微彎平衡狀態(tài)下的因為

6、臨界壓力是微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力最小壓力，所以，應取所以，應取 n = 1 。22lEIFcr 歐拉公式歐拉公式這就是兩端鉸支細長壓桿的這就是兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力公式臨界壓力公式。當當取取 n = 1 時，由時，由,nkl lk撓曲線方程為撓曲線方程為lxsinAw其中，其中，A為桿中點的撓度。為桿中點的撓度。A的數(shù)值不確定。的數(shù)值不確定。歐拉公式與精確解曲線歐拉公式與精確解曲線精確解曲線精確解曲線理想受壓直桿理想受壓直桿非理想受壓直桿非理想受壓直桿l.30crF.F1521時，時，(0 x l) 半個正弦波半個正弦波適用條件：適用條件：理想壓桿（軸線為直線，壓力與理想壓桿（軸線為直線

7、，壓力與 軸線重合，材料均勻）軸線重合，材料均勻）線彈性，小變形線彈性，小變形兩端為鉸支座兩端為鉸支座y例：圖示細長圓截面連桿，長度，直徑,材料為Q235鋼，E200GPa.試計算連桿的臨界載荷 Fcr .解：1、細長壓桿的臨界載荷MPas2352、從強度分析ssAFmml800)(8 .73kN64422dlE6210235402. 022crFlEI648.002.0102002493)(2.24kNzymmd20crFBAllABAAll半個正弦波個正弦波41MA=MB=0MA=MA =0相當長為2l的兩端簡支桿2.一端固定，一端自由22)2( lEIPcr22lEIPcr9.3 9.3

8、 不同支座條件下不同支座條件下細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力1.兩端鉸支3.一端固定，一端鉸支4.兩端固定l0.7lPcrl0.5lPcr2)7 .0(2crlEIP2)5.0(2crlEIP 圖形比擬：失穩(wěn)時撓曲線上撓曲線上拐點處的彎矩為拐點處的彎矩為0，故可設想此處，故可設想此處有一鉸有一鉸，而將壓桿在撓曲線上兩個拐點間的一段看成為兩端鉸支的桿，利用兩端鉸支的臨界壓力公式，就可得到原支承條件下的臨界壓力公式。 兩拐點間的長度 l 稱為原壓桿的，即相當 l 這么長的兩端鉸支桿。兩端固定l0.5lPcr2)5.0(2crlEIP 不同約束情況下，細長桿的臨界壓力歐拉公式可統(tǒng)一寫成：22c

9、r)( lEIF歐拉公式普遍形式歐拉公式普遍形式兩端鉸支 = 1一端固定，一端自由 = 2一端固定，一端鉸支 = 0.7兩端固定 = 0.5 問題：問題：壓桿為空間實體，在軸向力作用下如果失穩(wěn)，它朝哪個方向彎？xz平面內彎xy平面內彎繞z軸轉動截面繞y軸轉動zxxyPcr 維持微彎平衡狀態(tài)最小的壓力。（1）各方向約束情況相同時：為常數(shù)，IImin 最小形心主慣性矩（2）各方向約束情況不同時：使Pcr最小的方向為實際彎曲方向，I為撓曲時橫截面對其中性軸的慣性矩。朝哪個方向彎APcrcril記22crE 歐拉公式2222222cr)()()(ilElEiAlEI對細長桿一一. 臨界應力與柔度臨界應

10、力與柔度9.4 9.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經驗公式經驗公式 柔度,長細比AIi 42 3dii圓形高矩形因為cr p歐拉公式成立的條件：PE22crPPE2即歐拉公式適用范圍 pQ235 鋼，E=206GPa p = 200MPa10010200102066922PPE二二. 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍歐拉公式歐拉公式PSbacrbasss(小柔度桿小柔度桿)(中柔度桿中柔度桿)(大柔度桿大柔度桿)s直線經驗公式直線經驗公式scr臨界應力總圖臨界應力總圖 越大， cr 越小，Pcr = cr A 越小，越容易失穩(wěn)。s(小柔度桿小柔度桿)sP(中柔度桿中柔度桿)il

11、柔度柔度AIi 的四種取值情況的四種取值情況(2 , 1 , 0.7 , 0.5)臨界柔度臨界柔度PPE2P比例極限比例極限basss屈服極限屈服極限臨界應力臨界應力P(大柔度桿大柔度桿)歐拉公式歐拉公式22Ecrbacr直線公式直線公式強度問題強度問題scr42 3dii圓形高矩形lilAFcrcrB【例題】【例題】 A3鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束情形如圖所鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束情形如圖所示，其中示，其中a為正視圖為正視圖,b為俯視圖。在為俯視圖。在A、B兩處用螺栓夾緊。已知兩處用螺栓夾緊。已知L=2.0m，b=40mm，E=210GPa，h=60mm，求此桿的臨界載荷求

12、此桿的臨界載荷。【解】壓桿【解】壓桿AB在正視圖在正視圖x-z平面內失穩(wěn)時平面內失穩(wěn)時,A、B兩處可以自由轉動，相兩處可以自由轉動，相當于鉸鏈約束。在俯視圖當于鉸鏈約束。在俯視圖x-y平面內失穩(wěn)時平面內失穩(wěn)時,A、B兩處不能自由轉動兩處不能自由轉動,可簡可簡化為固定端約束?；癁楣潭ǘ思s束。在在x-z平面內平面內:A3鋼的鋼的 p=102,y p ，屬于細長壓桿穩(wěn)定問題。屬于細長壓桿穩(wěn)定問題。347212bhIcmy721.7324 6yIicmAy21 21,1151.732 10yyyli 229822210 1072 103731 2cryEIPkNl ybzxyxbzyhhBAPP在在x

13、-y平面內平面內:A3鋼的鋼的s= 61.6， s p，屬于屬于中長壓桿穩(wěn)定問題。中長壓桿穩(wěn)定問題。故此桿的臨界載荷為故此桿的臨界載荷為 373 kN 。321.1554 6zIicmAz由表由表9-2查得查得: a = 304 MPa ， b = 1.12 MPacr = a b = 304 - 1.12 86.6 = 207 MPaPcr= cr A = 2074060 = 496.8 kN20.5 20.5,86.61.155 10zzzli 【例題】【例題】 A3鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束情形如圖所鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束情形如圖所示，其中示，其中a為正視圖為正視圖,

14、b為俯視圖。在為俯視圖。在A、B兩處用螺栓夾緊。已知兩處用螺栓夾緊。已知L=2.0m，b=40mm，E=210GPa，h=60mm，求此桿的臨界載荷求此桿的臨界載荷。bzxyxbzyhhBAPP343212hbIcmz*在最大柔度平面失穩(wěn)。在最大柔度平面失穩(wěn)。1 1、安全系數(shù)法、安全系數(shù)法: :一、穩(wěn)定條件一、穩(wěn)定條件.crstcrFnFF.crstcrnstn穩(wěn)定安全系數(shù)；穩(wěn)定安全系數(shù)；stF穩(wěn)定許用壓力。穩(wěn)定許用壓力。cr穩(wěn)定許用壓應力。穩(wěn)定許用壓應力。2 2、折減系數(shù)法、折減系數(shù)法: : .)(crAF .)(cr許用應力；許用應力；1)(折減系數(shù)，與壓桿的柔度和折減系數(shù)，與壓桿的柔度和

15、材料有關。材料有關。9.5 9.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核Q235鋼折減系數(shù)表0102030405060700.8421.0000.9950.9810.9580.9270.8880.78980900.7311600.2720.6691700.2431000.6041800.2181100.5361900.1971200.4662000.1801300.4011401500.3490.306插值公式111111nnnnnnnn二、穩(wěn)定計算二、穩(wěn)定計算1 1、校核穩(wěn)定性；、校核穩(wěn)定性；2 2、設計截面尺寸；、設計截面尺寸；3 3、確定外荷載。、確定外荷載。三、注意：強度的許用應力和穩(wěn)定的許用

16、應力的區(qū)別三、注意：強度的許用應力和穩(wěn)定的許用應力的區(qū)別 強度的許用應力只與材料有關；穩(wěn)定的許用應力不僅與材料有關，還與強度的許用應力只與材料有關；穩(wěn)定的許用應力不僅與材料有關，還與壓桿的支承、截面尺寸、截面形狀有關。壓桿的支承、截面尺寸、截面形狀有關。穩(wěn)定計算的一般步驟： 分別計算各個彎曲平面內的柔度y 、z ，從而得到max； 計算s 、p ，根據(jù)max確定計算壓桿臨界壓力的公式，小柔度桿cr= s，中柔度桿cr= ab，大柔度桿 計算Fcr= crA，利用穩(wěn)定條件22crEcrstFnF進行穩(wěn)定計算。解：解：CDCD梁梁0CM150030sin2000NFFstnkN6 .26NF得AB

17、AB桿桿il1m732. 130cos5 . 1lkN6 .26NFABAB桿桿il1m732. 130cos5 . 1lmm164644222244dDdDdDAIiP1081610732. 113得ABAB為大柔度桿為大柔度桿kN11822lEIFcrNcrFFn 342. 46 .26118stnABAB桿滿足穩(wěn)定性要求桿滿足穩(wěn)定性要求stn圖示結構，立柱CD為外徑D=100mm，內徑d=80mm的鋼管，其材料為Q235鋼，3mCFB3.5m2mADP=200MPa， s=240MPa，E=206GPa，穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=3。試求容許荷截F。解： 由桿ACB的平衡條件易求得外力F與C

18、D桿軸向壓力的關系為：52NFF 25NFFACFNFBxAyA3m2m 0AmF )(6444dDI124410)80100(6446109 . 2m2362222108 . 210)80100(4)(4mdDAmAIi032. 0108 . 2109 . 236224Ddi空心圓截面外徑D=100mm，內徑d=80mm的鋼管，兩端鉸支 =1109032. 05 . 31il1001020010200692p2pE p桿長 l=3.5m，慣性半徑 i=0.032m 可用歐拉公式 2296cr22200 102.9 10()3.5EIFlcrN3FnFcr46715633NFFkN262.45

19、NFFkNkNN467104673156NFkN由穩(wěn)定條件由平衡條件圖示千斤頂，已知絲桿長度l=0.375m，ldP直徑為d=0.04m，材料為Q235鋼，強度許用應力=160MPa，符合 鋼 結 構 設 計 規(guī) 范(GBJ1788) 中b類桿件要求，最大起重量為P=80kN，試校核該絲桿的穩(wěn)定性。解：首先計算該壓桿柔度，該絲桿可簡化為圖示下端固定，上端自由的壓桿。24dAIi20.375750.0444lldi查表，362801083.81083.81600.040.764FMPaMPaA故此千斤頂穩(wěn)定性足夠。Pl=0.375m70,0.789;80,0.731內插值得 = 0.761111

20、11nnnnnnnncrFA 解題思路解題思路li IiA判斷失穩(wěn)判斷失穩(wěn)求臨界力求臨界力穩(wěn)定計算穩(wěn)定計算max平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)p 2ppE/22crE ssab crabcrsb b或或sp scrcrFA Fcr FcrststFnnF F F A A 安全系數(shù)法安全系數(shù)法折減系數(shù)法折減系數(shù)法歐拉公式歐拉公式22)( lEIFcr越大越穩(wěn)定越大越穩(wěn)定crF減小壓桿長度減小壓桿長度 l減小長度系數(shù)減小長度系數(shù)（增強約束）（增強約束）增大截面慣性矩增大截面慣性矩 I（合理選擇截面形狀）（合理選擇截面形狀）增大彈性模量增大彈性模量 E（合理選擇材料）（合理選擇材料）9.6 9.6 提高提高壓桿的

21、穩(wěn)定性的措施壓桿的穩(wěn)定性的措施減小壓桿長度減小壓桿長度 l減小長度系數(shù)減小長度系數(shù)（增強約束）（增強約束）增大截面慣性矩增大截面慣性矩 I I（合理選擇截面形狀）（合理選擇截面形狀）合理截面是使壓桿的臨界壓力盡可能大的截面。il從橫截面的角度，要使小，只有i增大，即截面I大。AIi 盡可能使 I 增大； 盡可能使各方向值相等。增大彈性模量增大彈性模量 E E（合理選擇材料）（合理選擇材料）大柔度桿大柔度桿22)( lEIFcr中柔度桿中柔度桿bacr但是對于各種鋼材來講，彈性模量的數(shù)值相差不大。（1）大柔度桿采用不同鋼材對穩(wěn)定性差別不大；（2）中柔度桿臨界力與強度有關，采用不同材料 對穩(wěn)定性有

22、一定的影響；（3）小柔度桿屬于強度問題，采用不同材料有影響。小結小結1 1、了解壓桿穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和臨界、了解壓桿穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和臨界 載荷的概念載荷的概念2 2、掌握壓桿柔度的計算方法，以及判斷大、掌握壓桿柔度的計算方法，以及判斷大 柔度、中柔度、小柔度壓桿的原則柔度、中柔度、小柔度壓桿的原則3 3、熟知壓桿臨界應力總圖，能根據(jù)壓桿的、熟知壓桿臨界應力總圖，能根據(jù)壓桿的 類別選用合適的公式計算臨界應力類別選用合適的公式計算臨界應力4 4、掌握簡單壓桿的穩(wěn)定計算方法、掌握簡單壓桿的穩(wěn)定計算方法5 5、了解提高壓桿穩(wěn)定性的主要措施、了解提高壓桿穩(wěn)定性的主要措施穩(wěn)穩(wěn) 定定 平平 衡衡壓桿壓桿 能能 恢復到原恢復到原(直線直線)狀態(tài)的平衡狀態(tài)的平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡壓桿壓桿不能不能恢復到原恢復到原(直線直線)狀態(tài)的平衡狀態(tài)的平衡 1. .1907年加拿大