專題六平面向量

1、專題六平面向量平面向量是工具性的知識，向量的坐標化使得向量具有代數(shù)和幾何兩種形式，它把“數(shù)”和“形”很好地結(jié)合在一起，體現(xiàn)了重要的數(shù)學思想方法.在高考中，除了對向量本身的概念與運算的知識進行考查外，向量還與平面幾何、 三角幾何、解析幾何、立體幾何等知識綜合在一起考查. 本章應該掌握向量的基本概念、向量的運算方法與公式以及向量的應用.§61向量的概念與運算【知識要點】1 .向量的有關概念與表示(1 )向量：既有方向又有大小的量，記作向量AB , a, b, c.自由向量：數(shù)學中所研究的向量是可以平移的，與位置無關，只要是長度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量.(2) 向量的模：向量

2、的長度，記作：|AB|,|a |.向量的夾角：兩個非零向量a，b，作OA二a,OB二b，則/ AOB稱為向量a，b的夾角，記作：<a，b>零向量：模為0，方向任意的向量，記作：0.單位向量：模為1，方向任意的向量，與 a共線的單位向量是：(a飛0).I a |相等向量：長度相等，且方向相同的向量叫相等向量. 相反向量：長度相等，方向相反的向量.向量共線：方向相同或相反的非零向量是共線向量，零向量與任意向量共線；共線向量也稱為平行向量，記作 a/ b.向量垂直：<a， b> = 90°時，向量a與b垂直，規(guī)定：0與任意向量垂直.2向量的幾何運算(注意：運算法則、

3、運算律)(1) 加法：平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法4貝U.(2) 減法：三角形法則.數(shù)乘：記作：a 它的長度是：|刨=川 |a|.它的方向：當40時，掃與a同向.(2) 當入v 0時，掃與a反向.(3) 當入=0時，掃=0.(4) 數(shù)量積： 定義：a b= |a|b|cos<a， b>其物理背景是力在位移方向所做的功. 運算律：(交換律)a b= b a.(實數(shù)的結(jié)合律)心 b)=(掃) b=a (?b).(分配律)(a+ b) c= a c+ b c. 性質(zhì)：設a，b是非零向量，則：a b= 0 = a丄 b.a 與 b 同向時，a b= |a| |b|.a 與 b 反向

4、時，a b=- |a| |b|. 特殊地：a a =|a |2或|a|=a a .夾角：cos：a,b = ab|a|b|a b|w |a|b|.3.向量的坐標運算若在平面直角坐標系下，a =(Xi, yi), b=(X2, y2).(1) 加法：a + b= (xi + X2, yi + yi).減法：a b= (xi x2, yi-y2).數(shù)乘：掃=(入x入y.(4)數(shù)量積：a b= X1X2 + yiy2.22若 a = (x, y),則 |a|= ： x y .若 a = (xi, yi), b= (X2,2),貝V cos ： a,ba b為 x2 + yi y2Ia II b|x：

5、y；. x；y；若 A(xi, yi), B(x2, y2)，則 |AB|(Xi -X2)2 (%-y2)2 .a b xx + y y2(8)a在b方向上的正射影的數(shù)量為|a | cos ： a,b1 22力j .1 b 1v x2 + y24重要定理：(1) 平行向量基本定理：若a = b 則a/ b,反之：若a/ b,且b*0,則存在唯一的實數(shù) 入使得a= ?b.(2) 平面向量基本定理：如果ei和e2是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一的一對頭數(shù) ai, a?使 a= ai ei + a? e2.(3) 向量共線和垂直的充要條件：右在平面直角坐標系下，a =

6、(xi , yi) , b= (X2 , y2),貝U a / b：= xiy2 x2yi = 0, a丄 bu xiX2 + yiy2= 0.Xi =X2若 a = (xi, yi), b= (X2, y2)，貝U a= bu “y=y2【復習要求】i準確理解相關概念及表示，并進行簡單應用；2掌握向量的加法、減法、數(shù)乘運算的方法、幾何意義和坐標運算，了解向量的線性 運算的法則、性質(zhì)；會選擇合適的方法解決平面向量共線等相關問題；3.熟練掌握向量的數(shù)量積的運算、性質(zhì)與運算律，會利用向量的數(shù)量積解決有關長度、角度、垂直、平行等問題.【例題分析】例1判斷下列命題的真假：向量a、b平行，則a與b的方向

7、相同或相反；非零向量ABCD是共線向量，則 A、B、C、D四點共線;(3) 平行四邊形ABCD中，AB =CD ;(4) 若 a / b, b/ c,則 a/ c.【分析】(1)假命題.非零的平行向量的方向可以相同或相反，但零向量與任意向量平行，而且規(guī)定零向量的方向任意；假命題.我們研究的向量是自由向量，可以在平面(空間)內(nèi)平移，只要向量能夠平移到一條直線上就是平行向量，與平面幾何中的平行定義不同；假命題.正確的應該為 AB = -CD = DC ;假命題.若b= 0,則向量的平行性就不能傳遞.解答：都是假命題.例2向量a、b、c是非零的不共線向量，下列命題是真命題的個數(shù)有()個(1) ( b

8、 c)a (c a) b 與 c 垂直；(2) 若 a c= b - c，貝U a= b；(3) (a b)c= a(b c)；a b< |a| |b|A . 0B. 1C. 2D. 3【分析】真命題.注意：向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，因此(b c)a(c a) b c= (b c)( a©(c a)(b c) = 0，所以 c(b c)a (c a)b 與 c 垂直；假命題.a c= b c= a = b;即向量的數(shù)量積不能兩邊同時消掉相同的向量，比如：向量a與向量b都是與向量c垂直且模長不等的向量，可以使得左邊的式子成立，但是a、b這兩個向量不相等；假命題.(a b)ca(b

9、c)，實際上(a b)c是與向量c方向相同或相反的一個向量，a(b c)是與a方向相同或相反的一個向量，向量a、c的方向可以不同，左右兩邊的向量就不等；真命題.a b= |a| |b|cos<a，b>，且 cos<a， b>< 1，所以 a b< |a| |b|.解答：選C.零向量等，注意積累自己這樣的容易錯誤的判斷并糾正自己的認識;(2) 向量的加減運算與數(shù)乘運算的結(jié)果仍然是一個向量，而向量的數(shù)量積運算結(jié)果是個實數(shù)，要熟練掌握向量的運算法則和性質(zhì)ka»例 3 化簡：(1) AD -CM - ND NM ;(2)已知 a= (2, 1), b= (

10、 3, 4),求 a b, 3a + 4b,已知 A( 2, 4), B( 3, 4), BM =3BA，求 M 的坐標.【分析】利用向量的相反向量以及加法的交換律與結(jié)合律進行化簡;利用向量的坐標運算公式以及向量的線性運算公式化簡；利用兩點坐標求向量坐標的方法，以及待定系數(shù)法求定比分點的坐標解：原式=AD DN NM MC =AC ;(2) - a = (2, 1), b= ( 3, 4), a b= (2 + 3, 1 4) = (5, 3);3a + 4b= (6, 3)+ ( 12, 16) = ( 6, 19):(3) - A( 2, 4), B( 3, 4)，設 M(x , y) B

11、M = (x+ 3 , y+ 4), BA = ( 2+ 3 , 4+ 4) = (1, 8),/ BM =3BA (x+ 3 , y+4) = 3(1, 8),x +3 = 3y + 4 = 24x = 0甘20,即 M(0 , 20).【評析】(1)向量加法滿足交換律：a + b= b+ a ,結(jié)合律：a+ (b+ c)= (a + b) + c;(2) 向量的數(shù)乘滿足實數(shù)結(jié)合律：X £)=(入)!a ,(入 此R),(實數(shù))分配律：掃+ 0= ( X-F ”a ,(向量)分配律：Xa + b) = X +也(3) 會利用兩點的坐標求向量的坐標，會適時地設未知點的坐標，利用相等向

12、量求待定系數(shù)的值，這是我們會經(jīng)常遇到的問題和方法；(4) 向量的加減法是向量的最基本的運算，應該做到形算迅速，數(shù)算準確；在向量的加法形算中，把一個向量分解成首尾相接的向量的和，以及共起點的兩個向量的差的方法在今后的做題中很常見.即MN二MA AN = PN _ PM ;熟練準確進行向量的坐標運算例 4 已知向量 a= (1 ,2),b= (2, - 3).若向量 c滿足(c+ a) / b,c丄(a + b)，則 c= ()7 77 77 7A . （c,JB. （ J C）C.（0c）9 33 93 977D. （-$一。）93【分析】知道向量的具體坐標，可以進行向量的坐標運算；向量的平行與

13、垂直的關系也可以用坐標體現(xiàn)，因此用待定系數(shù)法通過坐標運算求解解：不妨設 c= (m, n)，貝U a + c= (1 + m, 2+ n), a+ b= (3, - 1)，對于(c+ a) / b,則 有一3(1 + m)= 2(2 + n);又 c丄(a+ b)，則有 3m n= 0,則有 m= 一 7 , n = - 7，故選 D .93【評析】平面向量的坐標運算，通過平面向量的平行和垂直關系的考查，很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標運算在解決具體問題中的應用此外，待定系數(shù)法是在解決向量的坐標運算中常用的方法.例 5 (1)已知向量 OA = (k, 12), OB = (4, 5), OC =

14、( k, 10)，且 A、B、C 三點共 線，求實數(shù)k的值.(2)已知向量a= (1, 1), b= (2, 3)，若ka 2b與a垂直，求實數(shù) k的值.【解析】(1)向量a與b(b老)共線= 存在實數(shù)m使a = mb.當已知向量的坐標時， a/ b：二X1y2 X2y1= 0.利用向量的數(shù)量積能夠巧妙迅速地解決有關垂直的相關問題a b= 0：二 a丄 b：= X1X2+ yy2= 0解：(1) OA=(k,12) , OB =(4,5), OC = ( k, 10),AB = (4 k, 7), CB = (4 + k, 5),A、B、C三點共線， 2 AB/CB，即(4 k)( 5) (4

15、 + k)( 7) = 0，解得：k 二3(2)由(ka 2b)丄a，得(ka 2b) a= ka2 2b a = 2k 2 (2 3) = 0,所以 k= 1.【評析】 向量a與b(b0共線的充要條件是存在實數(shù)m使a = mb;當已知向量的坐標時，a / b= X1y2 X2y1 = 0.若判斷(或證明)兩個向量是否共線，只要判斷(或證明)兩個向關系成立利用向量的共線定理來解決有關求參數(shù)、證明點共線或線段平行,以及利用向量的數(shù)量積解決垂直問題等是常見的題型，注意在解題過程中適當選擇方法、正確使用公式，并注意數(shù)形結(jié)合例 6已知向量 a= (sin 0, cos 0 2sin B), b= (1

16、, 2).(1)若a / b,求tan啲值；若|a|= |b|, 0< 0< n求0的值.解：因為 a / b,所以 2sin 0= cos 0 2sin 0,1于是 4sin 0= cos 0,故 tan v4由 |a|= |b|知，sin20+ (cos 0 2sin 0)2= 5，所以21 2sin2 0+ 4sin 0= 5.從而2sin2 0+ 2(1 cos2 0)= 4，即 sin2 0+ cos2 0= 1,nsin (2)4.2_ " 2 ,又由Ov 0< n 知，因此n一，或二2已知|a|= 2,S- 2d - n44_ 3n-4 |b|= 5,

17、 <a,9 nn 5 n -.所以2 -廠4,或b>= 60° 求:例7a b;(2a + b) b;|2a+ b|;2a + b與b的夾角B的余弦值.【分析】利用并選擇合適的公式來求數(shù)量積、模、夾角等a b= |a| |b| cos<a, b> = X1X2+ yy2 ；a a= |a|2= |a|= a a ,若 a= (x, y),則 | a |= . x2y2 ；._ a bX1X2 + % 討2cos a,b2222 Ia II b| <x-i +y-i 'x2 +y2解：I |a|= 2, |b|= 5, <a, b> =

18、 60° a a b= |a| |b| cos<a , b> = 5; (2a+ b) b= 2a b+ b b= 10+ 25= 35; 12ab(2ab)2=.4a24abb21620 25 二 61 ； cos 2a b,b =(2a b) b|2a b | b |(2a b) b =35_ 7.61、(2a b)2 I b |61 561【評析】利用向量的數(shù)量積可以解決求長度、角度、距離等相關問題，同時用向量的 數(shù)量積解決垂直相關問題也是常見的題型，注意使用正確的公式向量的知識往往結(jié)合三角函數(shù)和解三角形的知識來綜合解決問題練習6- 1一、選擇題1 平面向量a, b

19、共線的充要條件是()A a, b方向相同B a, b兩向量中至少有一個為零向量C -I 入 R, b=掃D 存在不全為零的實數(shù)兀 4 Aa+ ?eb= 02. 設平面向量 a = (3, 5), b= (-2, 1)，貝U a 2b=()A (7, 3)B (7, 7)C (1, 7)D (1 , 3)3. 已知平面向量 a= (1 , 3), b= (4, 2),掃+ b與a垂直，則入是 ()A 1B 1C. 2D 24. 已知四邊形 ABCD的三個頂點 A(0, 2), B( 1 , 2), C(3, 1),且BC = 2AD，則頂點D的坐標為()1 A .2,-B.2,C. (3, 2)

20、D. (1 , 3)< 2丿< 2丿二、填空題5. 設 a = (2k + 2, 4), b= (8, k+ 1)，若 a與 b 共線，則 k值為6. 已知向量 0A = ( 1, 2), 0B = (3,m)，若 0A 丄 AB,貝 U m =.一1 一-7已知 M(3,- 2), N(-5,- 1), M-MN，則 P 點坐標為&已知 a2= 1, b2= 2, (a b) a= 0,貝V a 和 b 的夾角是 .三、解答題9已知向量a= (x+ 3, x2 3x 4)與AB相等，其中A(1, 2), B(3, 2)，求實數(shù)x的值.10. 已知向量 a與b同向，b= (

21、1, 2), a b= 10 .(1)求向量a的坐標；若 c= (2, 1)，求(b c)a.11. 若向量a與b的夾角為60 ° |b|=4, (a + 2b) (a 3b) = 72,求向量a的模.參考答案專題六平面向量練習6 1一、選擇題1. D 2. A 3. A 4. A提示：1. C中，沒有考慮a = 0的情況；23.用性質(zhì)(?a+ b) a = a ?d- a - b= 10 H 10= 0比較快，也可以利用坐標展開運算.二、填空題f35. k = 3 或一56. 47.1, I 8. 45°I 2丿提示：5. 由 a, b共線，則(2k+ 2)(k+ 1)

22、4x 8 = 0,得到 k= 3 或 k=- 5,6. 由已知 AB = (4, m 2). OA AB = 4+ 2(m 2)= 0.得 m= 4.1 37設 P(x, y),則(x 3, y+ 2) = - ( 8, 1)，解得 x= 1, y.2 2&由 a2= |a|2= 1 得 |a|= 1,同理 |b|= , 2 (a b) a = a2 b - a= |a|2 a b= 1 a b= 0，得 a b= 1,所以COST =a blOiibi乎，由 ec 0 ° 180 °，得 A 45 °三、解答題9.由已知 a= AB = (2, 0),x

23、 + 3 = 2 所以丿2x 一 3x - 4 = 0得 x= 1.10. (1)由已知設 a=(入 2 為且 0, a b=入 + 4入=10, k= 2，所以 a = (2, 4);(2)( b c)a = (2 2)a= 0.11. 6.提示：由(a + 2b)(a 3b) = a2 a b 6b2= |a|2 |a| 4 cos60° 6 42=|a|2 2|a| 96= 72，解得 |a|= 6.§ 6 2 向量的應用【知識要點】1. 向量的基本概念和運算與平面幾何的聯(lián)系解決有關三角形的形狀、解三角形的知識；2. 以向量為載體考查三角函數(shù)的知識；3. 在解析幾何中

24、用向量的語言來表達平行、共線、垂直、中點以及定比分點等信息， 實際上還是考查向量的運算方法與公式.【復習要求】會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.【例題分析】例1若AB BC = BC CA =CA AB，求證三角形 ABC是正三角形.【分析】給出的是一個連等的等式，考慮移項進行向量的運算，進而得到正三角形的某 些判定的結(jié)論證明 AB BC -BC CA 二 BC (AB -CA)二 BC (AB AC) = 0，即 BC 與 BC 邊上的中線垂直，所以 AB = AC,同理BC=

25、BA，可以得到該三角形是等邊三角形.例2 已知向量a= (2, 4), b= (1, 1).若向量b丄(a +血)，求實數(shù) 入的值.【分析】 已知向量的坐標和向量的垂直關系，利用向量垂直的坐標公式代入即可.解：T b丄(a+b (a+ 血)=0，即 b a + b2= 0,二 2 + 4+ 2 X= 0,二 L 3.另解 a= (2, 4), b= (1, 1), a + ?b= (2 + 人 4+ 為，：b丄(a+ 血)二 b (a+ ?b)= 0, 即 2 + + 4 + 入=0,.°.治一3.【評析】利用數(shù)量積解決向量的垂直問題時，可以用向量的幾何形式運算(如例1)，也可以利用

26、坐標形式進行運算(如例2)，注意選擇合適的方法.例3 已知a, b, c ABC的三個內(nèi)角 A, B, C的對邊，向量 m = (.3 , 1), n =(cosA, si nA).若 m± n，且 acosB + bcosA = csi nC,求角 A, B 的大小.【分析】在三角形中，借助垂直向量的條件可以得到A角的三角方程，從而求出三角形的內(nèi)角A,已知的等式左右兩邊是邊的齊次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等 知識求三角形的其余內(nèi)角.解：/ m丄 n,. m n = 3 cosA sinA= 0,即卩 tanA = . 3，.三角形內(nèi)角 A = n ；3/ acosB +

27、 bcosA = csi nC,. sinAcosB+ si nBcosA= si n2c,2nn即 sin(A+ B) = sine, sinC= 1, C ,. B=.2 6【評析】向量的知識經(jīng)常被用在三角形或者解析幾何等知識里，結(jié)合相關的知識點進行1 OA OB考查，常見的有中點的表達(比如AM二MB、AM ABOM等都說明 M是2 2AB中點)、定比分點的表達、平行(或共線)或垂直的表達等，要注意分析并積累.例4 已知 ABC的三個頂點的直角坐標分別為A(3, 4)、B(0, 0)、C(c, 0).(1) 若ABAC = 0，求c的值；(2) 若 c= 5，求 sin / A 的值.【

28、分析】(1)利用點的坐標求向量的坐標，利用向量數(shù)量積的坐標公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行運算求解即可.(2)向量的數(shù)量積有代數(shù)和幾何兩種運算公式，為我們溝通了更多的等 量關系，我們不僅可以數(shù)形結(jié)合，還可以利用解三角形的其他知識，如利用數(shù)量積AB AC求出cosA，進而求sinA；余弦定理正弦定理.解：(1) AB = ( 3, 4), AC = (c 3, 4),25由 AB AC =0可得3(c 3)+ 16= 0，解得 c =.3(2)解法一當c= 5時，可得AB= 5, AC = 2 5 , BC= 5, ABC為等腰三角形，過B作BD丄AC交AC于D，可求得BD = 2 5，故sin A =

29、昱=.AB 5解法二AB =( 3, 4), AC =(2, 4), | AB | AC |cosA 二 AB AC ,廠珀52J55 2,5cosA = 6+16, cos A, v a 0, n ,二 sin A =55【評析】向量的數(shù)量積有代數(shù)和幾何兩種運算公式，為我們溝通了更多的等量關系，使用時不僅可以數(shù)形結(jié)合，還可以和解三角形的其他知識余弦定理、正弦定理一起來解決是 sin C sin B = 3 sin2 A - £ ,所以sinC= -43,s inC4 11 .3(cosCsinC)2 2.34有關三角形的問題，求角A, B, C的大小.在厶ABC，已知 2AB AC

30、 =朋3 | AB | | AC |=3BC【分析】熟悉向量的數(shù)量積的形式，以及結(jié)合三角公式來解決問題解：設 BC = a, AC= b, AB= c,由 2Ab AC =U3|AB| | Ac | 得 2bccosA = < 3 bc,所以 cosA = f ,n又 A (0, n,因此 A=.6由3 | AB | | AC H3bC 得 be = 3a2,因此 2sinC cosC 2 3sin2C = 3 , sin2C - . 3cos2C = 0，既 tan2C =、3 ., n5 n由 A 知 0 ： C :-6n ,- 2C 或 2C =3故 A= n, B6，所以 0 :

31、 C :64 n,C32 nn十,C ，或3 65 n32 n，或 C =,3nn _，B ,C66例 6 設向量 a= (4cos :, sin：J,b= (sin 3, 4cos0, c= (cos 3, 4sin 3(1)若a與b 2c垂直，求tan(+ 3)的值;求|b+ c|的最大值；若 tan-Aan 3= 16,求證：a/ b.(3)是向量平行的逆用【解析】(1)(2)以向量的形式來考查三角函數(shù)、不等式的知識,解：(1)由 a 與 b 2c 垂直，a (b 2c) = a b 2a c= 0, 即 4sin(:+ B) 8cos(: + B = 0, tan(: + B)= 2;

32、(2) b+ c= (sin B+ cos B, 4cos B 4sin B,2 2 2 2 2|b+ c| = sin B+ 2sin Bcos B+ cos B+ 16cos B 32cos 滋in B+ 16sin B=17-30sin圉os# 17 15sin2 B,最大值為 32,所以|b+ c|的最大值為 4J2 .(3)由 tan : tan 16 得 sin: sin B= 16cos: cos B 即 4cos: 4cos B sin : sin B= 0,所以a/ b.3 3x xn例 7已知向量 a = (cosx,sinx) , b = (cos-,-sin )，其中

33、0, .2 2 2 2 2(1) 求 a b 及|a + b|;(2) 若f(x)= a b 2|a + b|,求函數(shù)的值域.繼而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與函數(shù)的【分析】只要借助向量的數(shù)量積以及模的坐標公式代入, 有關知識.3 x3x解：(1) a b = cos xcos sin xsin cos2x,2222|a b| = (a b)2 = -.2 2cos2x = 2cosx,x 0,n.或|a +b|=、:(cos+cos)2 +(sin _sin)2V 2222n=2 2cos2x =2cosx,x 0,.222(2)f(x)= a b 2|a+ b|= cos2x 4cosx = 2cos

34、x 4cosx 1 = 2(cosx 1) 3,n X 0, cosx 0 , 1,. f(x) 3, 12【評析】向量往往是一步工具性的知識應用，繼而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)、不等式、解三角形等知識，因此,熟練準確掌握向量的基本概念、基本運算法則、性質(zhì)，以及靈活選擇合適的公式非常必要,使用公式時要準確，為后續(xù)解題做好準備()(a+ b) c= a c+ b c(a b)c= a(b c)練習6 2一、選擇題1若a, b, c為任意向量，m R,則下列等式不一定成立的是A . (a+ b) + c= a+ (b+ c)B.C. m(a+ b) = ma+ mbD.3 1則的值是 （）2、設 a = (

35、,sin ： ) , b = (cos： ,)，且 a / b,23.n .A. ： =2kn ,(k Z)n _:=2kn ,(k Z), n , 一C.=kn ,(k 二 Z)4nD. ： = kn-,(k Z)4A .銳角三角形C .鈍角三角形A. PA PB =0B . PB PC 二 03.在 ABC 中，AB 二 a,BC 二 b，且 a b>0,則 ABC 的形狀為()B .直角三角形D .等腰直角三角形4. 已知：設P是厶ABC所在平面內(nèi)的一點， BC - BA = 2BP，貝U()第4題圖C. PC PA = 07.若 a = (1, 3),2b)丄(2a b),貝U

36、x=D. PA PB PC 二 0、填空題n t.5. 若向量a, b滿足a|= 1, |b|= 2且a與b的夾角為一，則la+ b|=6. 已知向量a= (cos 0, sin 0)，向量b = (丁3,-1)，則|2a b|的最大值是 (1)若 a丄 b, 求 0; 求：|a + b|的最大值.&已知向量 OA = (4,6), OB = (3,5)，且 OC 丄 OA, AC/OB，則向量 OC =.三、解答題9. 判斷以點0(0, 0)、A(2, 0)、B(1 , .3)為頂點的三角形的形狀.10. P在y軸上，Q在x軸的正半軸上，H( 3, 0), M在直線PQ上，HP PM

37、 0 ,一 3PMMQ .當點P在y軸移動時，求點 M的軌跡C的方程.練習6 2一、選擇題1. D 2. C 3. C4. C提示：1. 因為(a b)c與c共線，而a(b c)與a共線，a, c不一定共線.31n2. 由 a/ b 得 a= ?b(入 R)，所以 sin、£cos、£=，消入得 sin2工=1,貝U 2 -= 2kn+ ,232n23.注意a與b所成的角是/ B的補角;即=kn , (k Z).4. AB 二 PB - PA 二 PA PB PC= 2PA 二-PC P 在 AC 上三等分點處(離 A 近).二、填空題5. J24、6.47.-6 或98.

38、 (r提示:6.|2a b| = £(2cosv - 3)2 (2sinr 1)2=8 4(sin)- “ 3 cos 對=8 8sin(v - j，當 sin( 0扌)=1 時,取最大值4.7.22由(a+ 2b) (2a b) = 2a + 3a b 2b = 0.2因為 a2= 10, b2=寧 + 1 , a b=專 + 3 ,代入解得x= 9或6.21設 C(x, y), 4x+ 6y = 0, 3(y 6)= 5(x 4)，解得:x=:OA OB三、解答題9.略解：由 OA=(2,0),OB =(1, .3)得 |OA|=|OB|=2 , cos/ AOB =|OA|OB

39、|以/ AOB = 60°故厶ABC為等邊三角形.y23y 210.解答：設 M(x, y),v M 在直線 PQ 上, PMMQ , P(0,),Q(x,0), HP PM =0, HP =(3,-丄),PM =(x,y22232 3x - y = 0 ,即 y2= 4x.(除原點)2 211.解：(I )若 a丄 b,貝U sin B+ cos 0= 0，由此得tan 0=n r1 (2n- n-)，所以二二24(n )由 a= (sin 0, 1), b = (1, cos 0得-3 2、2sin(r j , n當 sin(0 +) =1 時,4|a+ b|取得最大值，即當時，

40、|a + b|最大值為 21 .4習題61.A.2.、選擇題已知平面向量 a= (1 ,(5, 10)給出下列五個命題：|a|2= a2;-2), b= ( 2, m),且 a/ b,貝U 2a + 3b= B.(4, 8) C.( )(3, 6) D . ( 2, 4)b2ab a(a b)2= a2 2a b+ b2;(a b)2= a2若a b= 0,則b2;a = 0 或 b= 0.其中正確命題的序號是()A .B .C.D .3. 平面向量 a與b的夾角為60°, a = (2 , 0), |b|= 1則|a+ 2b|=()A . 、3B. 2 3C. 4D. 124. 若

41、 a2= 1, b2 = 2, (a b) a= 0，則 a 與 b 的夾角為()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知在 ABC 中，OA OB =OB OC =OC OA，則 o ABC 的 ()A .內(nèi)心B .外心C.重心D .垂心二、填空題6. 已知p= (1 , 2), q= ( 1, 3),貝U p在q方向上的正射影長為 .7. 如圖，正六邊形 ABCDEF中，有下列四個命題： .AC AF =2BC ; .AD =2AB 2AF ; .AC AD = AD AB ; .(AD AF)EF 二 AD(AF EF).其中真命

42、題的代號是 (寫出所有真命題的代號).&如圖，平面內(nèi)有三個向量OAOBOC，其中OA與OB的夾角為120° , OA與OC的夾角為 30°,且 |OA|=|OB|=1,|OC |=2.3，若 OC = OAOB ( R)，貝V 入+ 的值為.9. 已知向量a= (2, 4), b= (1, 1)，若向量b丄(a+ ?b)，則實數(shù) 入的值;a a若c=a-()b，則向量a與c的夾角為a b10. 向量 a= (3, 1), b= (1, 3), c= (k, 2)，若(a c)丄 b,貝U k=.三、解答題11. 已知 a = (1, 3), b = (、3,-1).

43、(1) 證明：a丄b；(2) 若ka b與3a kb平行，求實數(shù) k；若ka b與ka + b垂直，求實數(shù) k.12. 設向量 a = (cos23 ； cos67 ), b= (cos68 ； cos22 ), u= a + tb(t R),(1)求 a b;求u的模的最小值.f-13. 在 ABC 中，角 A, B , C 的對邊分別為 a , b , c , tanC = 3、7 .(1)求 cosC;5若 CB CA ，且 a + b= 9,求 c.214. 已知函數(shù)f(x) = kx+ b的圖像與x, y軸相交于點A, B, AB = 2i 2 j (i, j分別是與x, y軸正半軸

44、同方向的單位向量)，函數(shù)g(x)= X2-x6.(1) 求k, b的值；g(x) +1(2) 當x滿足f(x)> g(x)時，求函數(shù)的最小值.f(x)15. 已知向量 a = (x2, x+ 1), b= (1 x, t)，若 f(x) = a b在區(qū)間(一1, 1)上是增函數(shù)，求 t的取值范圍.習題6一、選擇題1. B 2. B 3. B 4. B 5. D提示：3.由已知 |a|= 2, |a+ 2b|2= a2+ 4a b+ 4b2= 4+ 4X 2 x 1 x cos60° 4 = 12|a + 2b|= 2 3 .5. OA OB -OB OC =0B (OA-OC)

45、 = OB CA = 0, OB 丄 CA ,同理OA _ CB , O為垂心.、填空題提示：7.右左8. 69. X= 3 90°10. 0二 FEAF (2EF AD)二 0.,a a 2 a a9. (2)a c= a a () b = a (a b)= 0, < a, c= 90 .a ba b三、解答題11. (2)k=± 3 ； (3)k=± 1.42<212. 答案：(1) a b = 2 ； (2)| U |min2 .、2 22 時，| u |min -2提示：(2)| u |min=J( a+ tb)2 斗 +2t ¥+t2 =(t+¥)2+£13.解答:(1) v tanC = 3 7, '=3.7cosC 當 t2 2 1又 sin c+ cos C= 1 解得 cosC 二.8 cosC .85 abcosC =,ab = 20.2 a2+ b2 = 41./ tanC >0 , C 是銳角.(2) / CB CA,2又T a+ b= 9 a?+ 2ab+ b?= 81.2 2 2 c = a + b 2abcosC = 36.b14.解答:(1)由已知得A(- ,0), k c= 6.HHHB(0, b)，則 AB=( , b)