必修二1.3 空間幾何體的表面積與體積

1、學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解柱體了解柱體、錐體錐體、臺(tái)體的表面積的計(jì)算公臺(tái)體的表面積的計(jì)算公式式.提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣興趣.2.掌握簡(jiǎn)單幾何體的表面積的求法掌握簡(jiǎn)單幾何體的表面積的求法,提高學(xué)生提高學(xué)生的運(yùn)算能力的運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的化歸以及類比的能力能力.重點(diǎn)重點(diǎn)了解柱體錐體的表面積計(jì)算公式了解柱體錐體的表面積計(jì)算公式.柱體錐體臺(tái)體的表面積計(jì)算公式的應(yīng)用柱體錐體臺(tái)體的表面積計(jì)算公式的應(yīng)用.難點(diǎn)難點(diǎn)在初中在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方

2、體的我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積表面積,以及它們的展開(kāi)圖以及它們的展開(kāi)圖,你知道上述幾何你知道上述幾何體的展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系嗎體的展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系嗎?思考思考正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體,它它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和們的表面積就是各個(gè)面的面積的和,也就是展開(kāi)圖的也就是展開(kāi)圖的面積面積.探究探究 棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開(kāi)圖是什么？如圍成的幾何體，它們的展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？何計(jì)算它們的表面積？棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是由平行四邊

3、形組成的平面圖形是由平行四邊形組成的平面圖形.棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由三角形組成的平面圖形是由三角形組成的平面圖形.棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由梯形組成的平面圖形。是由梯形組成的平面圖形。這樣，這樣， 我們可以把多面體展成平面圖形，利用我們可以把多面體展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求多面體的表面積。平面圖形求面積的方法，求多面體的表面積。.),(,1求它的表面積如下圖面體四各面均為等邊三角形的、已知棱長(zhǎng)為例ABCSaSBACSBACD解解: 先求先求SBC的面積的面積,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)S 作作SDBC,aaaBDSBSD2322222223434aaS因此因此,四面體四面

4、體S-ABC的表面積的表面積243232121aaaSDBCSSBC所以所以交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D.因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a , 按照計(jì)算多面體表面積的方法，你能按照計(jì)算多面體表面積的方法，你能找出圓柱、圓錐找出圓柱、圓錐 、 圓臺(tái)的表面積的圓臺(tái)的表面積的求法嗎？求法嗎？圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形矩形：如果圓柱的底面半徑為如果圓柱的底面半徑為 ，母線為，母線為 ，那么圓柱，那么圓柱的底面積為的底面積為 ，側(cè)面積為，側(cè)面積為 。因此圓柱的。因此圓柱的表面積為表面積為rl2rrl2)(2222lrrrlrSOO側(cè)底表面SSSr2rl圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形扇形：)

5、(2lrrrlrSO Sr2 如果圓柱的底面半徑為如果圓柱的底面半徑為 ，母線為，母線為 ，那么，那么它的表面積為它的表面積為rll扇底表面SSS圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)扇環(huán)，它的表面積等于，它的表面積等于上、下兩個(gè)底面和加上側(cè)面的面積，即上、下兩個(gè)底面和加上側(cè)面的面積，即)(22 rllrrrSOOr2r2rr扇環(huán)下底上底表面SSSS15cm10cm7.5cm例例2 如下圖如下圖,一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm,盆盆底直徑為底直徑為15cm,底部滲水圓孔直徑為底部滲水圓孔直徑為1.5cm,盆壁盆壁長(zhǎng)長(zhǎng)15cm.為了美化花盆的外觀為了美化花盆的

6、外觀,需要涂油漆需要涂油漆.已知每已知每平方米用平方米用100毫升油漆毫升油漆,涂涂100個(gè)這樣的花盆需要多個(gè)這樣的花盆需要多少油漆少油漆( 取取3.14,結(jié)果精確到結(jié)果精確到1毫升毫升)解解:如圖如圖,由圓臺(tái)的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的由圓臺(tái)的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積表面積2225 . 11522015215215s221 .01000mcm涂涂100個(gè)花盆需油漆個(gè)花盆需油漆:10001001001 . 0(毫升)答答:涂涂100個(gè)這樣的花盆約需要個(gè)這樣的花盆約需要1000毫升油漆毫升油漆.15cm10cm7.5cm1 . 若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是

7、一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是（ ）A . B . C . D . 441 21241A221A.3cmD.6cmB.4cmC.5cm2 . 已知圓臺(tái)的上下底面的半徑分別為已知圓臺(tái)的上下底面的半徑分別為2cm和和4cm,它的表面積為它的表面積為 ,則它的母線長(zhǎng)則它的母線長(zhǎng)為為( )382cmA3 . 若一個(gè)棱臺(tái)的上若一個(gè)棱臺(tái)的上、下底分別是邊長(zhǎng)為下底分別是邊長(zhǎng)為1cm和和3cm的正方形的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為2cm,則棱臺(tái)的則棱臺(tái)的側(cè)面積為側(cè)面積為( )A.B.C.D.264cm268cm234 cm238cmD4 . 一個(gè)直角三角形的直角邊分別

8、為一個(gè)直角三角形的直角邊分別為12與與5,以較長(zhǎng)的直角邊為軸以較長(zhǎng)的直角邊為軸,旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為面積為( )A.60B.78C.65D.156C8 . 已知圓錐表面積為已知圓錐表面積為 ,且側(cè)面展開(kāi)圖形為且側(cè)面展開(kāi)圖形為扇形扇形,扇形的圓心角為扇形的圓心角為 ,則圓錐底面半徑為則圓錐底面半徑為_(kāi).59016 . 已知圓錐的表面積為已知圓錐的表面積為 ,且它的側(cè)面展開(kāi)且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓圖是一個(gè)半圓,求這個(gè)圓錐的底面半徑求這個(gè)圓錐的底面半徑_.2am5 .五棱臺(tái)的上、下底面均是正五邊形五棱臺(tái)的上、下底面均是正五邊形,邊長(zhǎng)分邊長(zhǎng)分別是別是8cm和和18cm,側(cè)面是全

9、等的等腰梯形側(cè)面是全等的等腰梯形,側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)是棱長(zhǎng)是13cm,求它的側(cè)面面積求它的側(cè)面面積_.7 . 已知圓錐的全面積是底面積的已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么倍，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積展開(kāi)圖這個(gè)圓錐的側(cè)面積展開(kāi)圖-扇形的圓心角為扇形的圓心角為_(kāi)度度180780a332小結(jié)小結(jié)本節(jié)課主要介紹了求幾何體的表面積的方法：本節(jié)課主要介紹了求幾何體的表面積的方法：將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，利用平面將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，利用平面圖形求面積的方法求立體圖形的表面積圖形求面積的方法求立體圖形的表面積.球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲

10、面。球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。它包括它包括球面球面和和球面所包圍的空間球面所包圍的空間。半徑是半徑是R R的球的體積：的球的體積：推導(dǎo)方法推導(dǎo)方法：334RV 分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：設(shè)設(shè)“小錐體小錐體”的體積為：的體積為：iViVnVVVVV.321iSO O2 2、球的表面積、球的表面積O O第二步：求近似和第二

11、步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2 2

12、倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的倍。倍。(2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍。倍。(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是。(4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是。練習(xí)一：練習(xí)一：2422:134:1例例1.1.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各個(gè)它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問(wèn)球的球面上，問(wèn)球O O的表面積。的表面積

13、。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長(zhǎng)找正方體的棱長(zhǎng)a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系