專題14隱圓—動點(diǎn)到定點(diǎn)之定長的軌跡類問題探究-備戰(zhàn)備考2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題研究

1、專題十四：隱圓動點(diǎn)到定點(diǎn)之定長的軌跡類問題探究專題導(dǎo)例如圖，在矩形abcd中，已知ab2cm，bc4cm，現(xiàn)有一根長為2cm的木棒ef緊貼著矩形的邊（即兩個端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），按逆時針方向滑動一周，則木棒ef的中點(diǎn)p在運(yùn)動過程中所圍成的圖形的面積為（）a（8）cm2b4cm2c（3+）cm2d8cm2方法剖析在一個平面內(nèi)，線段 ab 繞它固定的一個端點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn) b 所形成的圖形叫做圓，如圖所示，從依據(jù)此定義，我們來解決一類定點(diǎn)+定長的動態(tài)類問題應(yīng)用幾何性質(zhì)：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點(diǎn)間線段最短；連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，

2、垂線段最短；定圓中的所有弦中，直徑最長方法：見動點(diǎn)遇定點(diǎn)知定長轉(zhuǎn)到圓定圓心現(xiàn)“圓”形導(dǎo)例解析：連接bp，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得bpef，然后判斷出點(diǎn)p在運(yùn)動過程中所圍成的圖形的面積為長方形的面積減去四個扇形的面積，列式計算即可得解導(dǎo)例答案解：如圖，p是ef的中點(diǎn)，bpef×21（cm），ab2，點(diǎn)p在運(yùn)動過程中所圍成的圖形的面積為長方形的面積減去四個扇形的面積，：又四個扇形的面積正好等于一個相同半徑的圓的面積，4×2128（cm2）故選：a典例剖析類型一：隱圓之動點(diǎn)定長最短距離問題例1如圖，在rtabc中，c=6，bc=8，點(diǎn)f在邊ac上，并且cf=2

3、，點(diǎn)e為邊bc上的動點(diǎn)，將cef沿直線ef翻折，點(diǎn)c落在點(diǎn)p處，則點(diǎn)p到邊ab距離的最小值是 分析：cef沿直線ef翻折時，點(diǎn)f為定點(diǎn)，cf=pf，pf為定線，即動點(diǎn)p到定點(diǎn)f的距離始終不變，即點(diǎn)p在以f為圓心，pf長為半徑的圓上運(yùn)動如此一來本題就轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到直線的最短距離問題。類型二：隱圓之動點(diǎn)定長路徑軌跡問題例2如圖，o的半徑為2，ab，cd是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)p是o上任意一點(diǎn)（p與a，b，c，d不重合），過點(diǎn)p作pmab于點(diǎn)m，pncd于點(diǎn)n，點(diǎn)q是mn的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時，點(diǎn)q走過的路徑長為 【分析】根據(jù)op的長度不變，始終等于半徑，則根據(jù)矩形的性質(zhì)可得

4、oq1，再由走過的角度代入弧長公式即可專題突破1如圖，邊長為的正方形abcd的頂點(diǎn)a、b在一個半徑為的圓上，頂點(diǎn)c、d在圓內(nèi)，將正方形abcd沿圓的內(nèi)壁逆時針方向作無滑動的滾動當(dāng)點(diǎn)c第一次落在圓上時，點(diǎn)c運(yùn)動的路徑長為 2如圖，已知c的半徑為2，圓外一點(diǎn)o滿足oc3.5，點(diǎn)p為c上一動點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)o的直線l上有兩點(diǎn)a、b，且oaob，apb90°，l不經(jīng)過點(diǎn)c，則ab的最小值為（）a2b2.5c3d3.53如圖，矩形abcd中，ab4，ad6，點(diǎn)e在邊ad上，且ae：ed1：2動點(diǎn)p 從點(diǎn)a 出發(fā)，沿ab 運(yùn)動到點(diǎn)b 停止過點(diǎn)e作efpe交射線bc于點(diǎn)f設(shè)點(diǎn)m是線段ef的中點(diǎn)，則在點(diǎn)p

5、運(yùn)動的整個過程中，點(diǎn)m的運(yùn)動路徑長為 4如圖，在邊長為2的菱形abcd中，a60°，m是ad邊的中點(diǎn)，n是ab邊上的一動點(diǎn)，將amn沿mn所在直線翻折得到amn，連接ac，則ac長度的最小值是 5. （2019年十堰市）如圖，正方形abcd和rtaef，ab5，aeaf4，連接bf，de若aef繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，當(dāng)abf最大時，sade6如圖，在矩形abcd中，ab6，ad3，m是ad邊的中點(diǎn)，n是ab邊上的一動點(diǎn)，將amn沿mn所在直線翻折得到a'mn，連接a'c在mn上存在一動點(diǎn)p連接a'p、cp，則a'pc周長的最小值是 7如圖，是一塊含30°

6、;（即cab30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊ab與量角器所在圓的直徑mn恰好重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從n點(diǎn)開始（即n點(diǎn)的讀數(shù)為o），現(xiàn)有射線cp繞點(diǎn)c從ca的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到cb位置，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線cp與量角器的半圓弧交于e（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時，連接be，試說明：bece；（2）填空：當(dāng)射線cp經(jīng)過abc的外心時，點(diǎn)e處的讀數(shù)是當(dāng)射線cp經(jīng)過abc的內(nèi)心時，點(diǎn)e處的讀數(shù)是；設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后，e點(diǎn)出的讀數(shù)為y度，則y與x的函數(shù)式是y8.如圖，等邊abc中，ab6，點(diǎn)d在bc上，bd4，點(diǎn)e從點(diǎn)c出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿ca方向向

7、點(diǎn)a運(yùn)動，cde關(guān)于de的軸對稱圖形為fde（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)f在線段ac上（2）當(dāng)0t4時，求aef與bdf的數(shù)量關(guān)系；（3）當(dāng)點(diǎn)b、e、f三點(diǎn)共線時，求證：點(diǎn)f為線段be的中點(diǎn)9.問題情境：如圖1，p是o外的一點(diǎn)，直線po分別交o于點(diǎn)a、b，則pa是點(diǎn)p到o上的點(diǎn)的最短距離（1）探究：如圖2，在o上任取一點(diǎn)c（不為點(diǎn)a、b重合），連接pc、oc試證明：papc（2）直接運(yùn)用：如圖3，在rtabc中，acb90°，acbc2，以bc為直徑的半圓交ab于d，p是上的一個動點(diǎn)，連接ap，則ap的最小值是 （3）構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長為2的菱形abcd中，a60°，m是a

8、d邊的中點(diǎn)，n是ab邊上一動點(diǎn)，將amn沿mn所在的直線翻折得到amn，連接ac，請求出ab長度的最小值解：由折疊知amam，又m是ad的中點(diǎn)，可得mamamd，故點(diǎn)a在以ad為直徑的圓上（請繼續(xù)完成解題過程）（4）綜合應(yīng)用：（下面兩小題請選擇其中一道完成）如圖5，e，f是正方形abcd的邊ad上兩個動點(diǎn)，滿足aedf連接cf交bd于點(diǎn)g，連接be交ag于點(diǎn)h若正方形的邊長為2，則線段dh長度的最小值是 如圖6，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)a（2，3），b（3，4）為圓心，以1、2為半徑作a、b，m、n分別是a、b上的動點(diǎn)，p為x軸上的動點(diǎn)，則pm+pn的最小值等于 專題十四：隱圓動點(diǎn)到定點(diǎn)之定

9、長的軌跡類問題探究例1 如圖，延長fp交ab于m，當(dāng)fpab時，點(diǎn)p到ab的距離最小a=a,amf=c=90°，afmabc，afab=fmbccf=2，ac=6，bc=8，af=4，ab=10410=fm8fm=3.2pf=cf=2，pm=1.2點(diǎn)p到邊ab距離的最小值是1.2.例2解：pmab于點(diǎn)m，pncd于點(diǎn)n，四邊形onpm是矩形，又點(diǎn)q為mn的中點(diǎn)，點(diǎn)q為op的中點(diǎn)，又op2，則oq1，點(diǎn)q走過的路徑長故答案為：專題突破1.解：如圖所示：設(shè)圓心為o，連接ao，bo，ac，ae，ab，aobo，abaobo，aob是等邊三角形，aoboab60°同理：fao是等邊

10、三角形，fab2oab120°，eac120°90°30，gfefad120°90°30°，adab，ac2，當(dāng)點(diǎn)c第一次落在圓上時，點(diǎn)c運(yùn)動的路徑長為+；故答案為：2解：連接op，pc，oc，opocpc3.521.5，當(dāng)點(diǎn)o，p，c三點(diǎn)共線時，op最小，最小值為1.5，oaob，apb90°，ab2op，當(dāng)o，p，c三點(diǎn)共線時，ab有最小值為2op3，故選：c3解：如圖，當(dāng)p與a重合時，點(diǎn)f與k重合，此時點(diǎn)m在h處，當(dāng)點(diǎn)p與b重合時，點(diǎn)f與g重合，點(diǎn)m在n處，點(diǎn)m的運(yùn)動軌跡是線段hn在rtaeb中，ae2，ab4，be2

11、，aebebg，bg10，bkae2，kgbgbk8，hnkg4，點(diǎn)m的運(yùn)動路徑的長為 4故答案為 44解：如圖所示：ma是定值，ac長度取最小值時，即a在mc上時，過點(diǎn)m作mfdc于點(diǎn)f，在邊長為2的菱形abcd中，a60°，m為ad中點(diǎn)，2mdadcd2，fdm60°，fmd30°，fdmd，fmdm×cos30°，mc，acmcma1故答案為：15作dhae于h，如圖af4，當(dāng)aef繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)f在以a為圓心，4為半徑的圓上，當(dāng)bf為此圓的切線時，abf最大，即bfaf，在rtabf中，bf52-423，eaf90°，baf

12、+bah90°，dah+bah90°，dahbaf，在adh和abf中，ahd=afb，dah=baf，ad=ab，adhabf（aas），dhbf3，sade12aedh12×3×46故答案為66解：分兩步：連接ap，則apap，a'pc周長ap+pc+acap+pc+ac，ap+pcac，當(dāng)a、p、c三點(diǎn)共線時，ap+pc有最小值，是ac的長，所以ac與mn的交點(diǎn)就是點(diǎn)p，由勾股定理得：ac3，連接cm，accmam，當(dāng)m、a、c三點(diǎn)共線時，ac有最小值，此時，m是ad的中點(diǎn)，amdm1.5，mc，由折疊得：amam1.5，acmcam1.5

13、，a'pc周長的最小值是：+3，故答案為：+37、（1）證明：連接be，如圖所示：射線cp繞點(diǎn)c從ca的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時，ace7.5×2°abe15°又cab30°，cba60°，acb90°cbe75°，bce90°15°75°，即：cbebce75°bece（2）解：當(dāng)射線cp經(jīng)過abc的外心時，cp經(jīng)過ab的中心且此時有：coao；ocacab30°，aoe60°點(diǎn)e處的讀數(shù)是120°當(dāng)射線cp經(jīng)過a

14、bc的內(nèi)心時，即cp為acb的角平分線，圓周角bce°45°，圓心角為90°，點(diǎn)e處的讀數(shù)是90°設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后，e點(diǎn)出的度數(shù)為y°，由題意得：y與x的函數(shù)式是：y1804x（0x90）8. 解：（1）abc是等邊三角形abc60°cde關(guān)于de的軸對稱圖形為fde，dfdc，efec，且點(diǎn)f在ac上，c60°，dcf是等邊三角形，cdcfabbd2，ce1，t1s；（2）如圖1，當(dāng)0t1時，cde關(guān)于de的軸對稱圖形為fde，fc60°，fdecde，cedfed，c+cde+ced180°，c+f+cd

15、e+edf+ced+fed360°，cdf+180°+aef360°120°180°bdf+180°+aef240°，bdfaef120°；如圖2，當(dāng)1t4時，cde關(guān)于de的軸對稱圖形為fde，fc60°，fdecde，cedfed，fdc+c+f+cef360°，180°bdf+120°+180°aef360°，bdf+aef120°；（3）如圖3，過點(diǎn)d作dgef于點(diǎn)g，過點(diǎn)e作ehcd于點(diǎn)h，cde關(guān)于de的軸對稱圖形為fdedfdc2，

16、efdc60°，efec，gdef，efd60°fg1，dgfg，bd2bg2+dg2，163+（bf+1）2，bf1bg，ehbc，c60°ch，ehhcec，gbdebh，bgdbhe90°bgdbhe，ec1，ecefbf1，點(diǎn)f是線段be的中點(diǎn)9.（1）證明：如圖2，在o上任取一點(diǎn)c（不為點(diǎn)a、b），連接pc、ocpopc+oc，popa+oa，oaoc，papc，pa是點(diǎn)p到o上的點(diǎn)的最短距離；（2）解：連接ao與o相交于點(diǎn)p，如圖3，由已知定理可知，此時ap最短，acb90°，acbc2，bc為直徑，poco1，ao，ap1，故答案為：1；（3）解：如圖4，由折疊知amam，又m是ad的中點(diǎn)，可得mamamd，故點(diǎn)a在以ad為直徑的圓上，由模型可知，當(dāng)點(diǎn)a在bm上時，ab長度取得最小值，邊長為2的菱形abcd中，a60°，m是ad邊的中點(diǎn)，bm，故ab的最小值為：1；（4）解：如圖5：在正方形abcd中，abadcd，badcda，adgcdg，在abe和dcf中，abedcf（sas），12，在adg和cdg中，adgcdg（sas），23