備考2022數(shù)學專題28銳角三角函數(shù)（解析版）

1、專題28 銳角三角函數(shù)知識點一：銳角三角函數(shù)1三角函數(shù)定義在rtabc中，若c=90° 2.同角三角函數(shù)的關(guān)系（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系： （3）倒數(shù)關(guān)系：3.互為余角的三角函數(shù)關(guān)系， ，或者：若a+b=90°，則sina=cosb，cosa=sinb，tana=cotb，cota=tanb4. 特殊角的三角函數(shù)值sincostancot0°010不存在30°45°1160°90°10不存在05.銳角三角函數(shù)的增減性(0°-90°)（1）銳角的正弦值（或正切值）隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小而減

2、小。（2）銳角的余弦值（或余切值）隨著角度的增大而減小，隨著角度的減小而增大。6.銳角三角函數(shù)的取值范圍0sin1，0cos1，tan0，cot0.知識點二：解直角三角形1.直角三角形中邊角關(guān)系在直角三角形abc中，如果c=90°，a，b，c所對的邊分別為a，b，c，那么（1）三邊之間的關(guān)系為（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系為a+b=90°（3）30°角所對直角邊等于斜邊的一半。（4）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（5）邊角之間的關(guān)系為：（三角函數(shù)定義）2.其他有關(guān)公式（1）=（2）rt面積公式：（3）直角三角形外接圓的半徑，內(nèi)切圓半徑結(jié)論：直角三角形斜邊

3、上的高3.實際問題中術(shù)語的含義(1)仰角與俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角。(2)坡度：如圖，我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.（3）坡角：坡面與水平面的夾角；（4）坡度與坡角（用表示）的關(guān)系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。（5）方位角：指南或指北的方向線與目標方向線所成的小于90°角的為方位角 每年中考的考查熱點，主要要求能夠正確地應用sina、cosa、tga、cota表示直角三角形兩邊的比，并且要熟記0°、30°、45°、60°、90

4、°角的各個三角函數(shù)值理解直角三角形中的邊、角之間的關(guān)系，會用勾股定理及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用相關(guān)的知識解決一些簡單的實際問題，尤其是在計算距離、高度和角度等方面一、解直角三角形問題的依據(jù)與類型（1）解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.（2）解直角三角形的依據(jù)：角的關(guān)系：兩個銳角互余；邊的關(guān)系：勾股定理；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)；（3）解直角三角形的常見類型及一般解法rtabc中的已知條件一般解法兩邊兩直角邊a，b(1)；(2)由求出a；(3)b=90°a.一直角邊a，斜邊c(1)；(2)由求出a；(3)b=90°a.一邊

5、一銳角一直角邊a，銳角a(1)b=90°a；(2)；(3).斜邊c，銳角a(1)b=90°a；(2)a=c·sin a；(3)b=c·cos a.二、解直角三角形需要注意的問題1.正確理解銳三角函數(shù)的概念，能準確表達各三角函數(shù)，并能說出常用特殊角的三角函數(shù)值。2.在完成銳角三角函數(shù)的填空、選擇題時，要能根據(jù)題意畫出相關(guān)圖形，結(jié)合圖形解題更具直觀性。3.能將實際問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等解決生活問題。4.注重基礎，不斷創(chuàng)新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現(xiàn)代

6、生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。5.解決實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型，要善于把實際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應根據(jù)題目要求的精確度定答案【例題1】（2020南充）如圖，點a，b，c在正方形網(wǎng)格的格點上，則sinbac（）a26b2626c2613d1313【答案】b【分析】作bdac于d，根據(jù)勾股定理求出ab、ac，利用三角形的面積求出bd，最后在直角abd中根據(jù)三角函數(shù)的意義求解【解析】如圖，作bdac于d，由勾股定理得，ab=32+22=13，ac=32+32=32，sabc=12acbd=12×32bd=12&#

7、215;1×3，bd=22，sinbac=bdab=2213=2626【例題2】如圖，在菱形abcd中，deab，be=2，則tandbe的值是（ ）a b2 c d【答案】b【解析】將a和dbe分別置身于rtaed和rtedb中deab，aed=deb= 90°在rtaed中，cosa=設ae=3k，則ad=5k，由勾股定理，得de=4k四邊形abcd為菱形，ab=ad，即3k+2=5k解得k=1，de=4在rtedb中，tandbe=2即選b【點撥】在將銳角三角函數(shù)表示成“比”的形式時，常借助參數(shù)法，即把“比”的每一份用一個字母來表示，從而建立方程，實現(xiàn)所求【例題3】（

8、2020重慶）如圖，垂直于水平面的5g信號塔ab建在垂直于水平面的懸崖邊b點處，某測量員從山腳c點出發(fā)沿水平方向前行78米到d點（點a，b，c在同一直線上），再沿斜坡de方向前行78米到e點（點a，b，c，d，e在同一平面內(nèi)），在點e處測得5g信號塔頂端a的仰角為43°，懸崖bc的高為144.5米，斜坡de的坡度（或坡比）i1：2.4，則信號塔ab的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°0.68，cos43°0.73，tan43°0.93）a23米b24米c24.5米d25米【答案】d【分析】過點e作efdc交dc的延長線于點f，過點e作emac于點m，根

9、據(jù)斜坡de的坡度（或坡比）i1：2.4可設efx，則df2.4x，利用勾股定理求出x的值，進而可得出ef與df的長，故可得出cf的長由矩形的判定定理得出四邊形efcm是矩形，故可得出emfc，cmef，再由銳角三角函數(shù)的定義求出am的長，進而可得出答案【解析】過點e作efdc交dc的延長線于點f，過點e作emac于點m，斜坡de的坡度（或坡比）i1：2.4，decd78米，設efx，則df2.4x在rtdef中，ef2+df2de2，即x2+（2.4x）2782，解得x30，ef30米，df72米，cfdf+dc72+78150米emac，accd，efcd，四邊形efcm是矩形，emcf15

10、0米，cmef30米在rtaem中，aem43°，amemtan43°150×0.93139.5米，acam+cm139.5+30169.5米abacbc169.5144.525米銳角三角函數(shù)單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）1（2020杭州）如圖，在abc中，c90°，設a，b，c所對的邊分別為a，b，c，則（）acbsinbbbcsinbcabtanbdbctanb【答案】b【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進行判斷，就可以解決問題rtabc中，c90°，a、b、c所對的邊分別為a、b、c，si

11、nb=bc，即bcsinb，故a選項不成立，b選項成立；tanb=ba，即batanb，故c選項不成立，d選項不成立2（2020濟寧）一條船從海島a出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后到達海島b處燈塔c在海島a的北偏西42°方向上，在海島b的北偏西84°方向上則海島b到燈塔c的距離是（）a15海里b20海里c30海里d60海里【答案】c【解析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出ccab42°，根據(jù)等角對等邊得出bcab，求出ab即可如圖根據(jù)題意得：cbd84°，cab42°，ccbdcab42°cab，bcab，ab1

12、5×230，bc30，即海島b到燈塔c的距離是30海里3（2020深圳）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的p、q兩點分別測定對岸一棵樹t的位置，t在p的正北方向，且t在q的北偏西70°方向，則河寬（pt的長）可以表示為（）a200tan70°米b200tan70°米c200sin 70°米d200sin70°米【答案】b【解析】在直角三角形pqt中，利用pq的長，以及pqt的度數(shù)，進而得到ptq的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可求得pt的長在rtpqt中，qpt90°，pqt90°70°2

13、0°，ptq70°，tan70°=pqpt，pt=pqtan70°=200tan70°，即河寬200tan70°米4（2020黔西南州）如圖，某停車場入口的欄桿ab，從水平位置繞點o旋轉(zhuǎn)到ab的位置，已知ao的長為4米若欄桿的旋轉(zhuǎn)角aoa，則欄桿a端升高的高度為（）a4sin米b4sin米c4cos米d4cos米【答案】b【解析】過點a作acab于點c，由題意可知：aoao4，sin=a'ca'o，ac4sin5.（2020樂山）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖自動扶梯ab的傾斜角為30°，在自動扶梯下方地

14、面c處測得扶梯頂端b的仰角為60°，a、c之間的距離為4m則自動扶梯的垂直高度bd（ ）m（結(jié)果保留根號）a.3 b.2 c.23 d.2+3【答案】c【解析】據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到bcac4，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論bcdbac+abc，bac30°，bcd60°，abcbcdbac30°，bacabc，bcac4，在rtbdc中，sinbcd=bdbc，sin60°=bd4=32，bd23（m），自動扶梯的垂直高度bd23m6.已知abc中，三邊之比a：b：c=1：2，則sina+tana的值為（ ）a./2 b.

15、+2 c.2 d.【答案】d【解析】根據(jù)題意，設a=k，b=k，c=2k（k0），a2+b2=c2，c=90°sina=，tana=，sina+tana=【點撥】在沒有明確三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明確三角形是直角三角形的條件下，再使用銳角三角函數(shù)定義進行解證，否則，通過分割或補形法轉(zhuǎn)換成直角三角形7.如圖，在等腰rtabc中，c=90o，ac=6，d是ac上一點，若tandba=，則ad的長為（ ） a.2 b. c. d.1 【答案】a 【解析】dba沒有在直角三角形中 ，無法使用正切定義轉(zhuǎn)換成邊的比現(xiàn)設法將其置身在一個直角三角形中過點d作de

16、ab，垂足為e在rtbde中，tandba=tandba=，=設de= k ，則be=5k，在rtade中，a=45°，ae=de= k，ab=6 k在等腰rtabc中， c=90o，ac=6，ab=6 ，解得k= ，即de=在 rtade 中， a=45° ，ad=de =2 【點撥】構(gòu)造直角三角形，將所考察的角置身在這個直角三角形中8.如圖，cd是rtabc斜邊上的高，ac=4，bc=3則cosbcd的值是（ ）a b c d【答案】d【解析】求cosbcd的值，用定義法不能直接求出根據(jù)同角或等角的三角函數(shù)值相等，考慮先用等角替換，再用定義去求 ab=5acb=90&#

17、176;，b+a=90°，cdab，bcd+b=90°，a=bcdcosbcd=cosa=【點撥】依據(jù)同角或等角的三角函數(shù)值相等的性質(zhì)，將一個的三角函數(shù)值用另一個等角的三角函數(shù)值替換9.（2019湖南長沙）如圖所示，一艘輪船從位于燈塔c的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島a出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔c的南偏東45°方向上的b處，這時輪船b與小島a的距離是（）a30nmileb60nmilec120nmiled（30+30）nmile【答案】d 【解析】此題主要考查了解直角三角形的應用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以

18、轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線過點c作cdab，則在rtacd中易得ad的長，再在直角bcd中求出bd，相加可得ab的長過c作cdab于d點，acd30°，bcd45°，ac60在rtacd中，cosacd，cdaccosacd60×30在rtdcb中，bcdb45°，cdbd30，abad+bd30+30答：此時輪船所在的b處與燈塔p的距離是（30+30）nmile10（2020蘇州）如圖，小明想要測量學校操場上旗桿ab的高度，他作了如下操作：（1）在點c處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋莂ce；（2）量得測角儀的高度cda；（3）量得測角

19、儀到旗桿的水平距離dbb利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（）aa+btanba+bsinca+btanda+bsin【答案】a【解析】過c作cfab于f，則四邊形bfcd是矩形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論過c作cfab于f，則四邊形bfcd是矩形，bfcda，cfbdb，acf，tan=afcf=afb，afbtan，abaf+bfa+btan，二、填空題（每空3分，共30分）11.（2019湖北省鄂州市）如圖，已知線段ab4，o是ab的中點，直線l經(jīng)過點o，160°，p點是直線l上一點，當apb為直角三角形時，則bp 【答案】2或2或2【解析】本題考查勾股

20、定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2c2分apb90°、pab90°、pba90°三種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可aoob2，當bp2時，apb90°，當pab90°時，aop60°，apoatanaop2，bp2，當pba90°時，aop60°，bpobtan12，故答案為：2或2或212. （2019貴州省畢節(jié)市）三角板是我們學習數(shù)學的好幫手將一對直角三角板如圖放置，點c在fd的延長線上，點b在ed上，abcf，facb90°，e45°，

21、a60°，ac10，則cd的長度是【答案】155【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理過點b作bmfd于點m，在acb中，acb90°，a60°，ac10，abc30°，bc10×tan60°10 ，abcf，bmbc×sin30°10×5，cmbc×cos30°15，在efd中，f90°，e45°，edf45°，mdbm5 ，cdcmmd155 故答案是：15513. (2019海南)如圖,將rtabc的斜邊ab繞點a順時針旋轉(zhuǎn)(0°&l

22、t;<90°)得到ae,直角邊ac繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到af,連接ef,若ab3,ac2,且+b,則ef_.【答案】【解析】+b,eafbac+b90°,aef是直角三角形,且aeab3,afac2,ef14.（2019山東東營）已知等腰三角形的底角是30°，腰長為2，則它的周長是_【答案】【解析】如圖，過a作adbc于d，則adbadc90°，abac2，b30°，adab，由勾股定理得：bd3，同理cd3，bc6，abc的周長為bc+ab+ac6+2+26+415.（2019海南?。┤鐖D

23、，將rtabc的斜邊ab繞點a順時針旋轉(zhuǎn)（0°90°）得到ae，直角邊ac繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)（0°90°）得到af，連結(jié)ef若ab3，ac2，且+b，則ef【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得aeab3，acaf2，由勾股定理可求ef的長由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得aeab3，acaf2，b+bac90°，且+b，bac+90°eaf90°ef16（2019山東臨沂）如圖，在abc中，acb120°，bc4，d為ab的中點，dcbc，則abc的面積是 【答案】8【解析】根據(jù)垂直的定義得到bcd90°，得到長cd到h使dhc

24、d，由線段中點的定義得到adbd，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ahbc4，hbcd90°，求得cd2，于是得到結(jié)論dcbc，bcd90°，acb120°，acd30°，延長cd到h使dhcd，d為ab的中點，adbd，在adh與bcd中，adhbcd（sas），ahbc4，hbcd90°，ach30°，chah4，cd2，abc的面積2sbcd2××4×28，故答案為：817（2020自貢）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形abcd，dcabbc長6米，坡角為45°，ad的坡角為30°

25、;，則ad長為 米（結(jié)果保留根號）【答案】62【分析】過點d作deab于e，過點c作cfab于f首先證明decf，解直角三角形求出cf，再根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題【解析】過點d作deab于e，過點c作cfab于fcdab，deab，cfab，decf，在rtcfb中，cfbcsin45°32（米），decf32（米），在rtade中，a30°，aed90°，ad2de62（米）18（2020濟寧）如圖，小明在距離地面30米的p處測得a處的俯角為15°，b處的俯角為60°若斜面坡度為1：3，則斜坡ab的長是 米【答案】203【分析

26、】如圖所示：過點a作afbc于點f，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到abf30°，根據(jù)已知條件得到hpb30°，apb45°，求得hbp60°，解直角三角形即可得到結(jié)論【解析】如圖所示：過點a作afbc于點f，斜面坡度為1：3，tanabf=afbf=13=33，abf30°，在p處進行觀測，測得山坡上a處的俯角為15°，山腳b處的俯角為60°，hpb30°，apb45°，hbp60°，pba90°，bap45°，pbab，ph30m，sin60°=phpb=30pb=32，

27、解得：pb203，故ab203（m），答：斜坡ab的長是203m19（2020金華）如圖是小明畫的卡通圖形，每個正六邊形的邊長都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點a，b，c均為正六邊形的頂點，ab與地面bc所成的銳角為則tan的值是 【答案】19315【分析】如圖，作atbc，過點b作bhat于h，設正六邊形的邊長為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32a求出bh，ah即可解決問題【解析】如圖，作atbc，過點b作bhat于h，設正六邊形的邊長為a，則正六邊形的半徑為a，邊心距=32a觀察圖象可知：bh=192a，ah=532a，atbc，bah，tan=bhah=192a532a=193152

28、0（2020黔東南州）cos60° 【答案】12【解析】根據(jù)記憶的內(nèi)容，cos60°=12即可得出答案cos60°=12三、解答題（8個小題，共60分）21.（5分）（2020貴州黔西南）計算：(2)2|2cos45°(2020)0；【答案】5【解析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案。原式42×1415【點撥】此題主要考查了實數(shù)運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵22（5分）（2020鹽城）如圖，在abc中，c90°，tana=33，abc的平分線bd交ac于點d，cd=3，求ab的長？【答案

29、】見解析?！痉治觥扛鶕?jù)c90°，tana=33，可求出a30°，abc60°，再根據(jù)bd是abc的平分線，求出cbdabd30°，在不同的直角三角形中，根據(jù)邊角關(guān)系求解即可【解析】在rtabc中，c90°，tana=33，a30°，abc60°，bd是abc的平分線，cbdabd30°，又cd=3，bc=cdtan30°=3，在rtabc中，c90°，a30°，ab=bcsin30°=6答：ab的長為623（8分）（2020株洲）某高速公路管理部門工作人員在對某段高速公路進行

30、安全巡檢過程中，發(fā)現(xiàn)該高速公路旁的一斜坡存在落石隱患該斜坡橫斷面示意圖如圖所示，水平線l1l2，點a、b分別在l1、l2上，斜坡ab的長為18米，過點b作bcl1于點c，且線段ac的長為26米（1）求該斜坡的坡高bc；（結(jié)果用最簡根式表示）（2）為降低落石風險，該管理部門計劃對該斜坡進行改造，改造后的斜坡坡角為60°，過點m作mnl1于點n，求改造后的斜坡長度比改造前的斜坡長度增加了多少米？【答案】見解析。【分析】（1）運用勾股定理解題即可；（2）根據(jù)勾股定理列出方程，求出am，問題得解【解析】（1）在rtabc中，bc=ab2-ac2=324-24=103；（2）60°，

31、amn30°，am2mn，在rtabc中，an2+mn2am2，an2+3004an2,an10，am20，amab20182綜上所述，長度增加了2米24（8分）（2020陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測算所住樓對面商業(yè)大廈的高mn他倆在小明家的窗臺b處，測得商業(yè)大廈頂部n的仰角1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在b處測得商業(yè)大廈底部m的俯角的度數(shù)于是，他倆上樓來到小華家，在窗臺c處測得大廈底部m的俯角2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)1與2恰好相等已知a，b，c三點共線，caam，nmam，ab31m，bc18m，試求商業(yè)大廈的高mn【答案】見解析?！痉治觥窟^點c作c

32、emn于點e，過點b作bfmn于點f，可得四邊形amec和四邊形amfb均為矩形，可以證明bfncem，得nfem49，進而可得商業(yè)大廈的高mn【解析】如圖，過點c作cemn于點e，過點b作bfmn于點f，cefbfe90°，caam，nmam，四邊形amec和四邊形amfb均為矩形，cebf，meac，12，bfncem（asa），nfem31+1849，由矩形性質(zhì)可知：efcb18，mnnf+emef49+491880（m）答：商業(yè)大廈的高mn為80m25（8分）（2020內(nèi)江）為了維護我國海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領海實行了常態(tài)化巡航管理如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時60

33、海里的速度向正東方向航行，在a處測得燈塔p在北偏東60°方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達b處，此時測得燈塔p在北偏東30°方向上（1）求b處到燈塔p的距離；（2）已知燈塔p的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【答案】見解析?！痉治觥浚?）在abp中，求出pab、pba的度數(shù)即可解決問題，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作phab于h求出ph的值即可判定【解析】（1）pab30°，abp120°，apb180°pababp30°，pbab60海里；（2）作phab于hbapbpa30°，ba

34、bp60，在rtpbh中，phpbsin60°60×32=303，30350，海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的26（8分）（2020鄂州）鄂州市某校數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度cd如圖所示，一架水平飛行的無人機在a處測得正前方河流的左岸c處的俯角為，無人機沿水平線af方向繼續(xù)飛行50米至b處，測得正前方河流右岸d處的俯角為30°線段am的長為無人機距地面的鉛直高度，點m、c、d在同一條直線上其中tan2，mc503米（1）求無人機的飛行高度am；（結(jié)果保留根號）（2）求河流的寬度cd（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：21.41，31.73）【答案】見解析?！痉治觥浚?）在rtacm中，由tan2，mc503，可求出am即可；（2）在rtbnd中，bdm30°，bn1003，可求出dn，進而求出dm和cd即可【解析】過點b作bnmd，垂足為n，由題意可知，acm，bdm30