第02講 旋轉(zhuǎn)問題專題-備考2022年中考數(shù)學(xué)《二輪沖刺核心重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)15講》(全國(guó)通用)解析版

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/熱點(diǎn)一、旋轉(zhuǎn)的理解1. 將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，如圖所示；2. 旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，即旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的大小與形；狀如aoba1ob1；3. 圖形的旋轉(zhuǎn)，本質(zhì)上是圖形上的點(diǎn)在同心圓上作同步運(yùn)動(dòng)；4. 以每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心為頂點(diǎn)的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰aoa1等腰bob'1；5. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為特殊角時(shí)，如60°、90°等，會(huì)出現(xiàn)特殊等腰三角形，如等邊三角形、等腰直角三角形等；6. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不大于90°時(shí)，對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，如ab與a1

2、b1所在直線的夾角等于aoa1；7. 當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不大于90時(shí)，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在直線（如aa1與bb1)的夾角等于aob。 圖1 圖2二、位似的理解1. 如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比，如圖2所示；2. 位似前后的兩個(gè)圖形相似，即位似不改變圖形的形狀，它可以將一個(gè)圖形進(jìn)行放大或縮??；3. 圖形的位似，本質(zhì)上是圖形上的點(diǎn)在共頂點(diǎn)的直線上的同步運(yùn)動(dòng)。旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<1>：共頂點(diǎn)模型的旋轉(zhuǎn)全等1. 如圖1-1，abc繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)到ab1c1，則有abb1acc1（sas）

3、；2. 如圖1-2，若abc與aed式等邊三角形，則abeacd（sas）；3. 如圖1-3，若abc與aed式等腰直角三角形，則abdace（sas）； 圖1-1 圖1-2 圖1-3旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<2>：角含半角旋轉(zhuǎn)模型1. 如圖2-1，在正方形 abcd中，若ebf=45°，將bae繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)至bcg，則有ef=ae+cf；be平分aef；bf平分教efc.2. 如圖2-2，在四邊形abcd中，若ba=bc， abc+d=180°，且ebf=abc， 圖2-1則有ef=ae+cf；be平分aef；bf平分教efc.3. 如圖2-3，在等腰rtabc中，若交dae=

4、45°，可將abd繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至acf，則有de2=bd2+ce2；4. 如圖2-4，在等腰rtabc中，若交dae=45°，可將abd繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至acf，仍有de2=bd2+ce2；5. 如圖2-5，在等腰rtabc中，若交dae=135°， 圖2-2可將abd繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)至acf，則有de2=bd2+ce2；圖2-3 圖2-4 圖2-5旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<3>：對(duì)角互補(bǔ)模型1. 如圖3-1，已知四邊形abcd中，bdc=bac=90°，且db=dc，則有ab+ac=ad；2. 如圖3-2，已知四邊形abcd中，bdc=bac=90°，且db=

5、dc，則有ab-ac=ad； 圖3-1 圖3-23. 如圖3-3，已知等邊abc，且bpc=120°，則有pa=pb+pc；4. 如圖3-4，已知等邊abc，且bpc=30°，則有pa2=pb2+pc2； 圖3-3 圖3-45. 如圖3-5，已知等腰abc，且bac=120°，且bpc=60°，則有pb+pc=pa；6. 如圖3-6，已知等腰abc，且bac=120°，且bpc=120°，則有pc-pb=pa； 圖3-5 圖3-6旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<4>：旋轉(zhuǎn)相似模型1. 如圖4-1，已知等腰abc，ab=ac，將abd旋轉(zhuǎn)至ace

6、，則有adeabc；2. 如圖4-2，若adeabc，則有adeabc； 圖4-1 圖4-2旋轉(zhuǎn)運(yùn)用<5>：費(fèi)馬旋轉(zhuǎn)模型1. 如圖5-1，在abc中找一點(diǎn)p，使得ap+bp+cp的值最小，將apc繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至aqe，則有ap+bp+cp=pq+bp+qebe，當(dāng)且僅當(dāng)b、p、q、e四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為be，且此時(shí)有apb=bpc=apc=120°. 圖5-1 2. 如圖5-2，等腰abc中，bac=120°，p是abc內(nèi)部一點(diǎn)，且ap=1，cp=，apc=120°，求bp的長(zhǎng)。（將apb繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至adc

7、，連接pd計(jì)算可得bp=）3. 如圖5-3，等腰rtabc中，bac=90°，p是abc內(nèi)部一點(diǎn)，且cp=1，ap=，bp=，求apc的度數(shù)。（將apb繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至adc，連接pd計(jì)算可得apc=135°） 圖5-2 圖5-3 【例題1】（1）如圖1，已知acbdce90°，acbc6，cdce，ae3，cae45°，求ad的長(zhǎng)（2）如圖2，已知acbdce90°，abccedcae30°，ac3，ae8，求ad的長(zhǎng)【解答】解：（1）如圖1，連接be，acbdce90°，acb+acedce+ace，即

8、bceacd，又acbc，dcec，在acd和bce中，acdbce，adbe，acbc6，ab6，baccae45°，bae90°，在rtbae中，ab6，ae3，be9，ad9；（2）如圖2，連接be，在rtacb中，abcced30°，tan30°，acbdce90°，bceacd，acdbce，bac60°，cae30°，bae90°，又ab6，ae8，be10，ad【例題2】（1）如圖1，已知等腰rtabc，bac=90°，且adb=45°，bd=4，cd=，求ad的長(zhǎng).（2） 如圖2

9、，已知等腰rtabc，bac=90°，且adb=75°，bd=6，ad=，求cd的長(zhǎng).（3） 如圖3，在四邊形abcd中，bc=cd，bcd=90°，若ab=4，ad=3，求對(duì)角線ac的最大值. 圖1 圖2 圖3 解：如圖（1）ad=；（2）cd=be=14；（3）ac最大值=【例題3】如圖，在abc中，bac=90°，ab=，ac=，將abc繞著點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)得到ade，連接db、ec，直線db、ec相交于點(diǎn)f，點(diǎn)p是ac中點(diǎn)，線段pf的最大值為_.解：旋轉(zhuǎn)相似，輔助圓，答案為【例題4】（1）如圖1，ac，bd是四邊形abcd的對(duì)角線，若acbacdabda

10、db60°，則線段bc，cd，ac三者之間有何等量關(guān)系？（2）如圖2，如果把“acbacdabdadb60°”改為“acbacdabdadb45°”，其它條件不變，那么線段bc，cd，ac三者之間有何等量關(guān)系？（3）如圖3，如果把“acbacdabdadb60°”改為“acbacdabdadb”，其它條件不變，那么線段bc，cd，ac三者之間有何等量關(guān)系？ 圖1 圖2 圖3【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)cb到e，使becd，連接ae，證得abeadc，從而容易證明ace是等邊三角形，故acce，所以acbc+cd（2）bc+cdac；理由：如圖1，延長(zhǎng)cd

11、至e，使debc，連接ae，易得，在abc和ade中，abcade（sas），acbaed45°，acae，ace是等腰直角三角形，ceac，cecd+decd+bc，bc+cdac；（3）bc+cd2accos理由：如圖2，延長(zhǎng)cd至e，使debc，abdadb，abad，bad180°abdadb180°2，acbacd，acb+acd2，bad+bcd180°，abc+adc180°，adc+ade180°，abcade，在abc和ade中，abcade（sas），acbaed，acae，aec，過點(diǎn)a作afce于f，ce2cf

12、，在rtacf中，acd，cfaccosacdaccos，ce2cf2accos，cecd+decd+bc，bc+cd2accos【例題5】【操作】bd是矩形abcd的對(duì)角線，ab4，bc3將bad繞著點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（0°360°）得到bef，點(diǎn)a、d的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為e、f若點(diǎn)e落在bd上，如圖，則de【探究】當(dāng)點(diǎn)e落在線段df上時(shí)，cd與be交于點(diǎn)g其它條件不變，如圖（1）求證：adbedb；（2）cg的長(zhǎng)為【拓展】連結(jié)cf，在bad的旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)cef的面積為s，直接寫出s的取值范圍【解答】【操作】解：四邊形abcd是矩形，a90°，adbc3，bd5，由旋

13、轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：beba4，debdbe541；故答案為：1；【探究】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：befbad，befa90°，beba，bed180°bef90°a，在rtadb和rtedb中，rtadbrtedb（hl）；（2）解：四邊形abcd是矩形，abcd，cdab4，bcd90°，abdcdb，由折疊的性質(zhì)得：abdebd，cdbebd，dgbg，設(shè)cgx，則dgbg4x，在rtbcg中，由勾股定理得：x2+32（4x）2，解得：x，即cg；故答案為：；【拓展】解：cef的邊長(zhǎng)efad3，點(diǎn)c到ef的距離最小時(shí)，cef的面積最?。稽c(diǎn)c到ef的距離

14、最大時(shí)，cef的面積最大；當(dāng)點(diǎn)e在bc的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)c到ef的距離最小，如圖所示：此時(shí)ceef，cebebc431，cef的面積s最小ef×ce×3×1；當(dāng)點(diǎn)e在cb的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)c到ef的距離最大，如圖所示：此時(shí)ceef，cebe+bc4+37，cef的面積s最大ef×ce×3×7；s的取值范圍為s【例題6】如圖，在abc中，abac2，bac120°，點(diǎn)d、e都在邊bc上，dae60°若bd2ce，則de的長(zhǎng)為【解答】解：（方法一）將abd繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到acf，連接ef，過點(diǎn)e作em

15、cf于點(diǎn)m，過點(diǎn)a作anbc于點(diǎn)n，如圖所示abac2，bac120°，bncn，bacb30°在rtban中，b30°，ab2，anab，bn3，bc6bac120°，dae60°，bad+cae60°，faefac+caebad+cae60°在ade和afe中，adeafe（sas），defebd2ce，bdcf，acfb30°，設(shè)ce2x，則cmx，emx，fm4xx3x，efed66x在rtefm中，fe66x，fm3x，emx，ef2fm2+em2，即（66x）2（3x）2+（x）2，解得：x1，x2（不

16、合題意，舍去），de66x33故答案為：33 【例題7】如圖，如四邊形abcd中，ad=cd，abc=75°，adc=60°，ab=2，bc=，求四邊形abcd的面積.1如圖，p為等邊三角形abc內(nèi)的一點(diǎn)，且p到三個(gè)頂點(diǎn)a，b，c的距離分別為3，4，5，則abc的面積為（）abcd【解答】解：abc為等邊三角形，babc，可將bpc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得bea，連ep，且延長(zhǎng)bp，作afbp于點(diǎn)f如圖，bebp4，aepc5，pbe60°，bpe為等邊三角形，pepb4，bpe60°，在aep中，ae5，ap3，pe4，ae2pe2+pa2，

17、ape為直角三角形，且ape90°，apb90°+60°150°apf30°，在直角apf中，afap，pfap在直角abf中，ab2bf2+af2（4+）2+（）225+12則abc的面積是ab2（25+12）故選：a2（2019巴中）如圖，等邊三角形abc內(nèi)有一點(diǎn)p，分別連結(jié)ap、bp、cp，若ap6，bp8，cp10則sabp+sbpc24+16【解答】解：如圖，將bpc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得ap'b，連接pp，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角pbpcab60°，bpbp，bpp為等邊三角形，bpbp8pp

18、9;；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，appc10，在bpp中，pp8，ap6，由勾股定理的逆定理得，app是直角三角形，sabp+sbpcs四邊形ap'bpsbp'b+sap'pbp2+×pp'×ap24+16故答案為：24+163（2019綿陽）如圖，abc、bde都是等腰直角三角形，babc，bdbe，ac4，de2將bde繞點(diǎn)b逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得bde，當(dāng)點(diǎn)e恰好落在線段ad上時(shí)，則ce【解答】解：如圖，連接ce，abc、bde都是等腰直角三角形，babc，bdbe，ac4，de2，abbc2，bdbe2，將bde繞點(diǎn)b逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得bde，d

19、bbebd2，dbe90°，dbdabe，abdcbe，abdcbe（sas），dceb45°，過b作bhce于h，在rtbhe中，bhehbe，在rtbch中，ch，ce+，故答案為：4（2019十堰）如圖，正方形abcd和rtaef，ab5，aeaf4，連接bf，de若aef繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，當(dāng)abf最大時(shí)，sade6【解答】解：作dhae于h，如圖，af4，當(dāng)aef繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)f在以a為圓心，4為半徑的圓上，當(dāng)bf為此圓的切線時(shí)，abf最大，即bfaf，在rtabf中，bf3，eaf90°，baf+bah90°，dah+bah90°，dah

20、baf，在adh和abf中，adhabf（aas），dhbf3，sadeaedh×3×46故答案為65（2019營(yíng)口）如圖，abc是等邊三角形，點(diǎn)d為bc邊上一點(diǎn)，bddc2，以點(diǎn)d為頂點(diǎn)作正方形defg，且debc，連接ae，ag若將正方形defg繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)ae取最小值時(shí)，ag的長(zhǎng)為8【解答】解：過點(diǎn)a作ambc于m，bddc2，dc4，bcbd+dc2+46，abc是等邊三角形，abacbc6，ambc，bmbc×63，dmbmbd321，在rtabm中，am3，當(dāng)點(diǎn)e在da延長(zhǎng)線上時(shí)，aedead此時(shí)ae取最小值，在rtadm中，ad2，在rtadg

21、中，ag8；故答案為：86如圖，rtabc中，acb90°，將abc繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ebd，連接dc并延長(zhǎng)交ae于點(diǎn)f，若cf1，cd2，則ae的長(zhǎng)為2【解答】解：延長(zhǎng)ac交de于h，連接bh、bf，bh與df交于n，如圖所示：acb90°，bch90°，abc繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ebd，abe90°，abbe，cbd90°，bde90°，bcbd，四邊形bchd是正方形，abe是等腰直角三角形，hcddbh45°，ahd90°，bhdf，bncndncd1，ahe90°，

22、fncf+cn1+12，bf，aheabe90°，a、b、h、e四點(diǎn)共圓，eahebh，efdeah+fcaebh+hcdebd，b、d、e、f四點(diǎn)共圓，bde90°，bfe90°，bfae，abe是等腰直角三角形，ae2bf2，（或者feb=fdb，故e、f、d、b四點(diǎn)共圓可得bfe=90°）故答案為：27如圖，點(diǎn)c在以ab為直徑的半圓上，ab8，cba30°，點(diǎn)d在線段ab上從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b，點(diǎn)e與點(diǎn)d關(guān)于ac對(duì)稱，dfde于點(diǎn)d，并交ec的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f（1）求證：cecf；（2）求線段ef的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)d從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，試求線段

23、ef掃過的面積（直接寫出結(jié)果）【解答】（1）證明：如圖1，設(shè)ac于點(diǎn)de交于點(diǎn)g，則egdg，且edac，dfde，egcedf90°，acdf，且g為ed中點(diǎn)，ecfc；（2）解：由（1）知，ef2cd，當(dāng)線段ef最小時(shí)，線段cd也最小，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)cdad時(shí)線段cd最小，ab是半圓o 的直徑，acb90°，ab8，cba30°，ac4，bc4，當(dāng)cdad時(shí)，cdbc2，此時(shí)ef2cd4，即ef的最小值為4；（3）解：當(dāng)點(diǎn)d從點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，如圖2，ef掃過的圖形就是圖中的陰影部分，線段ef掃過的面積是abc面積的2倍，由（2）知ac4，bc4，

24、sabcacbc×4×48，線段ef掃過的面積是168類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”（1）如圖1，在四邊形abcd中添加一個(gè)條件使得四邊形abcd是“等鄰邊四邊形”請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件（2）問題探究小紅提出了一個(gè)猜想：對(duì)角線互相平分且相等的“等鄰邊四邊形”是正方形她的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由（3）如圖2，“等鄰邊四邊形”abcd中，abad，bad+bcd90°，ac，bd為對(duì)角線，試探究線段bc，cd，bd之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【解答】解：（1）abbc，理由：四邊形abcd是凸四邊形，且abbc，四邊形ab

25、cd是“等鄰邊四邊形”（2）正確；理由為：四邊形的對(duì)角線互相平分且相等，四邊形abcd是矩形四邊形是“等鄰邊四邊形”，這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，四邊形abcd是菱形對(duì)角線互相平分且相等的等鄰邊四邊形是正方形，（3）bc2+cd22bd2證明：如圖，abad，將adc線繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)到abf，連接cf，則abfadc，abfadc，bafdac，afac，fbcd，badcaf，acfabd，bad+adc+bcd+abc360°，abc+adc360°（bad+bcd）360°90°270°abc+abf270°，cbf90°，

26、bc2+cd22bd29如圖1，已知abc為等邊三角形，點(diǎn)d，e分別在邊ab、ac上，adae，連接dc，點(diǎn)m，p，n分別為de，dc，bc的中點(diǎn)（1）觀察猜想在圖1中，線段pm與pn的數(shù)量關(guān)系是pmpn，mpn的度數(shù)是120°；（2）探究證明把a(bǔ)de繞點(diǎn)a逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，判斷pmn的形狀，并說明理由；求mpn的度數(shù)；（3）拓展延伸若abc為直角三角形，bac90°，abac12，點(diǎn)de分別在邊ab，ac上，adae4，連接dc，點(diǎn)m，p，n分別為de，dc，bc的中點(diǎn)把a(bǔ)de繞點(diǎn)a在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3pmn的是等腰三角形直接利用中的結(jié)論，求pmn面積的最大

27、值【解答】解：（1）結(jié)論：pmpn，120°理由：如圖1中，abc是等邊三角形，abac，adae，bdec，點(diǎn)m，p，n分別為de，dc，bc的中點(diǎn)，pmec，pnbd，pmac，pnab，pmpn，mpdacd，pncb60°mpnmpd+dpnacd+dcb+pnc120°故答案為pmpn，120°（2）如圖2中，連接bd、ecbacdae60°，badcae，baca，daea，badcae（sas），bdce，abdace，點(diǎn)m，p，n分別為de，dc，bc的中點(diǎn)，pnbd，pmec，pnbd，pmce，pnpm，pmn是等腰三角形p

28、nbd，pmecpncdbc，dpmaecd，mpnmpd+dpnecd+pnc+dcbecd+dcb+dbcace+acd+dcb+dbcabd+acb+dbcacb+abc120°（3）pmn是等腰直角三角形；pmpnbd，bd最大時(shí)，pm最大，pmn面積最大，點(diǎn)d在ba的延長(zhǎng)線上，bdab+ad16，pm8，spmn最大pm2×823210在abc中，abc60°（1）abac，pa5，pb3如圖1，若點(diǎn)p是abc內(nèi)一點(diǎn)，且pc4，求bpc的度數(shù)如圖2，若點(diǎn)p是abc外一點(diǎn)，且apb60°，求pc的長(zhǎng)（2）如圖3，abac，點(diǎn)p是abc內(nèi)一點(diǎn)，ab

29、6，bc8，則pa+pb+pc的最小值是2【解答】解：（1）在abc中，abc60°，abac，abc是等邊三角形，如圖1，將abp繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到cbp，連接pp，bpbp，pbpabc60°，bpp是等邊三角形；pppb，bpp60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，pcpa5，pp2+pc232+4225pc2，cpp是直角三角形，cpp90°，bpcbpp+cpp60°+90°150°；如圖2中，以ap為邊向上作等邊pae，作efbp交bp的延長(zhǎng)線于feapbac60°，eabpac，aeap，abac，eabpac（sas），bepc，apeapb60°，epf180°60°60°120°，pepa5，pfpecos6