專題40三角形（5）-備考2022年全國中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（第02期全國通用）（解析版）

1、專題40三角形（5）（全國一年）學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_一、解答題1（2020·江蘇南通?中考真題）（了解概念）有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對(duì)余線（理解運(yùn)用）（1）如圖，對(duì)余四邊形abcd中，ab5，bc6，cd4，連接ac若acab，求sincad的值；（2）如圖，凸四邊形abcd中，adbd，adbd，當(dāng)2cd2+cb2ca2時(shí)，判斷四邊形abcd是否為對(duì)余四邊形證明你的結(jié)論；（拓展提升）（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a（1，0），b（3，0），c（1，2），四邊形abcd是對(duì)余四邊形，點(diǎn)e在對(duì)余線bd上，且位于abc內(nèi)部，aec90

2、°+abc設(shè)u，點(diǎn)d的縱坐標(biāo)為t，請(qǐng)直接寫出u關(guān)于t的函數(shù)解析式【答案】（1）；（2）四邊形abcd是對(duì)余四邊形，證明見解析；（3）u（0t4）【解析】【分析】（1）先構(gòu)造直角三角形，然后利用對(duì)余四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出sincad的值（2）通過構(gòu)造手拉手模型，即構(gòu)造等腰直角三角形，通過證明三角形全等，利用勾股定理來證明四邊形abcd為對(duì)余四邊形（3）過點(diǎn)d作dhx軸于點(diǎn)h，先證明abedba，得出u與ad的關(guān)系，設(shè)d（x，t），再利用（2）中結(jié)論，求出ad與t的關(guān)系即可解決問題【詳解】解：（1）過點(diǎn)a作aebc于e，過點(diǎn)c作cfad于facab，bece3，在rtaeb

3、中，ae，cfad，d+fcd90°，b+d90°，bdcf，aebcfd90°，aebdfc，cf，sincad（2）如圖中，結(jié)論：四邊形abcd是對(duì)余四邊形理由：過點(diǎn)d作dmdc，使得dmdc，連接cm四邊形abcd中，adbd，adbd，dabdba45°，dcmdmc45°，cdmadb90°，adcbdm，addb，cddm，adcbdm（sas），acbm，2cd2+cb2ca2，cm2dm2+cd22cd2，cm2+cb2bm2，bcm90°，dcb45°，dab+dcb90°，四邊形abc

4、d是對(duì)余四邊形（3）如圖中，過點(diǎn)d作dhx軸于ha（1，0），b（3，0），c（1，2），oa1，ob3，ab4，acbc，ac2+bc2ab2，acb90°，cbacab45°，四邊形abcd是對(duì)余四邊形，adc+abc90°，adc45°，aec90°+abc135°，adc+aec180°，a，d，c，e四點(diǎn)共圓，aceade，cae+acecae+eab45°，eabace，eabadb，abedba，abedba，u，設(shè)d（x，t），由（2）可知，bd22cd2+ad2，（x3）2+t22（x1）2+（t

5、2）2+（x+1）2+t2，整理得（x+1）24tt2，在rtadh中，ad，u（0t4），即u（0t4）【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了對(duì)余四邊形的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題2（2020·江蘇南通?中考真題）矩形abcd中，ab8，ad12將矩形折疊，使點(diǎn)a落在點(diǎn)p處，折痕為de（1）如圖，若點(diǎn)p恰好在邊bc上，連接ap，求的值；（2）如圖，若e是ab的中點(diǎn)，ep的延長線交bc于點(diǎn)f，求bf的長【答案】（1）；（2）bf3【解析】【分析】（

6、1）如圖中，取de的中點(diǎn)m，連接pm證明pomdcp，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可（2）如圖中，過點(diǎn)p作ghbc交ab于g，交cd于h設(shè)eg=x，則bg=4-x證明egpphd，推出，推出pg=2eg=3x，dh=ag=4+x，在rtphd中，由ph2+dh2=pd2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再證明egpebf，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可【詳解】解：（1）如圖中，取de的中點(diǎn)m，連接pm四邊形abcd是矩形，badc90°，由翻折可知，aoop，apde，23，daedpe90°，在rtepd中，emmd，pmemdm，3mpd，13+mpd23，a

7、dp23，1adp，adbc，adpdpc，1dpc，mopc90°，pomdcp，（2）如圖中，過點(diǎn)p作ghbc交ab于g，交cd于h則四邊形aghd是矩形，設(shè)egx，則bg4xaepd90°，egpdhp90°，epg+dph90°，dph+pdh90°，epgpdh，egpphd，pg2eg3x，dhag4+x，在rtphd中，ph2+dh2pd2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x（負(fù)值已經(jīng)舍棄），bg4，在rtegp中，gp，ghbc，egpebf，bf3【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的

8、關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題3（2020·陜西中考真題）如圖，在四邊形abcd中，adbc，bce是邊bc上一點(diǎn)，且dedc求證：adbe【答案】詳見解析【解析】【分析】利用已知先證明abde，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論【詳解】證明：dedc，deccbc，bdec，abde，adbc，四邊形abed是平行四邊形adbe【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用4（2020·湖北荊門?中考真題）如圖，中，的平分線交于d，交的延長線于點(diǎn)e，

9、交于點(diǎn)f（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)垂直與外角的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)題意證明，再得到為等邊三角形，故可得到，可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出af【詳解】（1），平分， ， （2），又， ，為等邊三角形， ，在中，【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用5（2020·湖北黃岡?中考真題）已知：如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，求證：【答案】見解析【解析】【分析】通過證明即可得證【詳解】證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)， 在中

10、，在和中， 【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.6（2020·江蘇淮安?中考真題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)，且（1）求證：；（2）連接、，則四邊形 （填“是”或“不是”）平行四邊形【答案】（1）證明過程見解析；（2）是，理由見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得到內(nèi)錯(cuò)角相等，再根據(jù)已知條件可利用asa得到全等；（2）由（1）可得到af=ec，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形式平行四邊形即可得到答案；【詳解】（1）四邊形平行四邊形，adbc，根據(jù)題可知，在aof

11、和coe中， ，（2）如圖所示，由（1）得，可得：，又，四邊形aecf是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題中主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)用全等三角形的條件進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵7（2020·江蘇常州?中考真題）已知：如圖，點(diǎn)a、b、c、d在一條直線上，（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)【答案】（1）見解析；（2）60°【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件證明acebdf，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到d=ace=80°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果.【詳解】解：（1）aebf，a=dbf，ab=cd，ab+bc=cd+bc，即ac=bd，又ae=bf，a

12、cebdf（sas），e=f；（2）acebdf，d=ace=80°，a=40°，e=180°-a-ace=60°.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是找出三角形全等的條件.8（2020·江蘇鹽城?中考真題）如圖，點(diǎn)是正方形，的中心（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）作bc的垂直平分線即可求解；（2）根據(jù)題意證明即可求解【詳解】如圖所示，點(diǎn)即為所求連接由得：是正方形中心，在和中，【點(diǎn)睛】此題主要考查正

13、方形的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、垂直平分線的作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)9（2020·陜西中考真題）如圖，已知abc，acab，c45°請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在ac邊上求作一點(diǎn)p，使pbc45°（保留作圖痕跡不寫作法）【答案】詳見解析【解析】【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在ac邊上求作一點(diǎn)p，使pbc45°即可【詳解】解：如圖，點(diǎn)p即為所求作法：（1）以點(diǎn)c為圓心，以任意長為半徑畫弧交ac于d，交bc于e，（2）以點(diǎn)b為圓心，以cd長為半徑畫弧，交bc于f，（3）以點(diǎn)f為圓心，以de長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)m，（3）連接bm，并延

14、長bm與ac交于點(diǎn)p，則點(diǎn)p即為所求【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法10（2020·吉林中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作并截取，且點(diǎn)，在同側(cè)，連接求證：【答案】證明見詳解【解析】【分析】根據(jù)sas即可證得【詳解】證明：，a=edb，在abc和deb中，（sas）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵11（2020·吉林長春?中考真題）圖、圖、圖均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以為邊畫要求：（1）

15、在圖中畫一個(gè)鈍角三角形，在圖中畫一個(gè)直角三角形，在圖中畫一個(gè)銳角三角形；（2）三個(gè)圖中所畫的三角形的面積均不相等；（3）點(diǎn)在格點(diǎn)上【答案】見詳解（答案不唯一）【解析】【分析】因?yàn)辄c(diǎn)c在格點(diǎn)上，故可將直尺的一角與線段ab點(diǎn)a重合，直尺邊長所在直線經(jīng)過正方形網(wǎng)格左上角第一個(gè)格點(diǎn)，繼而以點(diǎn)a為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直尺，當(dāng)直尺邊長所在直線與正方形格點(diǎn)相交時(shí)，確定點(diǎn)c的可能位置，順次連接a、b、c三點(diǎn)，按照題目要求排除不符合條件的c點(diǎn)，作圖完畢后可根據(jù)三角形面積公式判斷其面積是否相等【詳解】經(jīng)計(jì)算可得下圖中：圖面積為；圖面積為1；圖面積為，面積不等符合題目要求（2），且符合題目要求（1）以及要求（3）故

16、本題答案如下：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類及其作圖，難度較低，按照題目要求作圖即可12（2020·甘肅金昌?中考真題）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）作的角平分線交于點(diǎn)；作線段的垂直平分線交于點(diǎn)（2）連接，直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系【答案】（1）作圖見解析，作圖見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法直接作圖即可；根據(jù)垂直平分線的作圖方法直接作圖即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與垂直平分線的定義證明是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得答案【詳解】解：（1）如圖，即為所求作的的角平分線，過的垂線是所求作的線段的垂直平分線（2）如圖

17、，連接，平分 由作圖可知： 是的中位線， 【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，同時(shí)考查了三角形的中位線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵13（2020·山東淄博?中考真題）已知：如圖，e是abcd的邊bc延長線上的一點(diǎn)，且cebc求證：abcdce【答案】見解析【解析】【分析】【詳解】證明：四邊形abcd是平行四邊形，abcd，abcd，bdce，在abc和dce中，abcdce（sas）由平行四邊形的性質(zhì)得出abcd，abcd，由平行線的性質(zhì)得出bdce，由sas即可得出結(jié)論本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和全

18、等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵14（2020·云南昆明?中考真題）如圖，ac是bae的平分線，點(diǎn)d是線段ac上的一點(diǎn)，ce，abad求證：bcde【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明bacdae，即可得到結(jié)果；【詳解】證明：ac是bae的平分線，bacdae，ce，abadbacdae（aas），bcde【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的全等判定，準(zhǔn)確利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15（2020·浙江臺(tái)州?中考真題）如圖，已知ab=ac，ad=ae，bd和ce相交于點(diǎn)o（1）求證：abdace；（2）判斷boc的形狀，并說明理由【答案】（1）見解析；（2）等腰三

19、角形，理由見解析【解析】【分析】（1）由“sas”可證abdace；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得abd=ace，由等腰三角形的性質(zhì)可得abc=acb，可求obc=ocb，可得bo=co，即可得結(jié)論【詳解】證明：（1）ab=ac，bad=cae，ad=ae，abdace（sas）；（2）boc是等腰三角形，理由如下：abdace，abd=ace，ab=ac，abc=acb，abcabd=acbace，obc=ocb，bo=co，boc是等腰三角形【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記相關(guān)定理是解題關(guān)鍵16（2020·湖北咸寧?中考真題）如圖，在中，點(diǎn)o在上，以

20、為半徑的半圓o交于點(diǎn)d，交于點(diǎn)e，過點(diǎn)d作半圓o的切線，交于點(diǎn)f（1）求證：；（2）若，求半圓o的半徑長【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接od，根據(jù)切線的性質(zhì)得到bdf+ado=90°，再結(jié)合ado=oad，推出bdf=b，即可；（2）過f作fgbd于g，先利用三角函數(shù)求出bg=dg，再過點(diǎn)o作ohad于h，在aoh中，求出ao即可.【詳解】解：（1）連接od，df和半圓相切，oddf，bdf+ado=90°，ado=oad，oad+bdf=90°，又c=90°，oad+b=90°，bdf=b，bf=df；（2）過f作fgb

21、d于g，則gf垂直平分bd，bf=df=2，c=90°，ab=，cosb=，解得：bg=dg，ad=ab-bd=，過點(diǎn)o作ohad于h，ah=dh=ad=，cosbac=，ao=，即半圓o的半徑長為.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型17（2020·河北中考真題）如圖，點(diǎn)為中點(diǎn)，分別延長到點(diǎn)，到點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，分別以，為半徑在上方作兩個(gè)半圓點(diǎn)為小半圓上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接并延長交大半圓于點(diǎn)，連接，（1）求證：；寫出1，2和三者間的數(shù)量關(guān)系，

22、并說明理由（2）若，當(dāng)最大時(shí)，直接指出與小半圓的位置關(guān)系，并求此時(shí)（答案保留）【答案】（1）見詳解；2=c+1；（2）與小半圓相切，【解析】【分析】（1）直接由已知即可得出ao=po，aoe=poc，oe=oc，即可證明；由（1）得aoepoc，可得1=opc，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得2=c+opc，即可得出答案；（2）當(dāng)最大時(shí)，可知此時(shí)與小半圓相切，可得cpop，然后根據(jù)，可得在rtpoc中，c=30°，poc=60°，可得出eod，即可求出s扇eod【詳解】（1）在aoe和poc中，aoepoc；2=c+1，理由如下：由（1）得aoepoc，1=opc，根據(jù)三角形外角的

23、性質(zhì)可得2=c+opc，2=c+1；（2）在p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，只有cp與小圓相切時(shí)c有最大值，當(dāng)最大時(shí)，可知此時(shí)與小半圓相切，由此可得cpop，又，可得在rtpoc中，c=30°，poc=60°，eod=180°-poc=120°，s扇eod=【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角，切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵18（2020·湖北孝感?中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，滿足連接，分別與，交于點(diǎn)，求證：【答案】證明見解析【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、

24、鄰補(bǔ)角的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證【詳解】四邊形為平行四邊形，在和中，【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵19（2020·江蘇淮安?中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、，測(cè)得，千米，求、兩點(diǎn)間的距離（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到1千米）【答案】、兩點(diǎn)間的距離約為11千米【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出cd、ad的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得bd的長，然后根據(jù)線段的和差即可得【詳解】如圖

25、，過點(diǎn)c作于點(diǎn)d在中，千米（千米），（千米）在中，是等腰直角三角形千米（千米）答：、兩點(diǎn)間的距離約為11千米【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵20（2020·江蘇淮安?中考真題）如圖，是圓的弦，是圓外一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，且（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求圖中陰影部分的面積【答案】（1）直線bc與圓o相切，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接ob，由等腰三角形的性質(zhì)分別證出a=oba，cpb=cbp，再利用直角三角形性質(zhì)和對(duì)頂角可證得obc=90º，即obbc,可判斷

26、直線bc與圓o相切；（2）易證得cpd為等邊三角形，則有ocb=60º,boc=30º,用含30º角的直角三角形求得oa、bc的長，然后用公式求得obc的面積和扇形obd的面積，相加即可解得陰影面積【詳解】（1）直線bc與圓o相切，理由為：連接ob，oa=ob，a=oba，cp=cb，cpb=cbp，又apo=cpbcbp=apo，oaoc，a+apo=90º，oba+cbp=90º即obc=90º，obbc，直線bc與圓o相切；（2）oaoc，a=30º，op=1oa=，apo=60º即cpb=60º，

27、cp=cb，pcb為等邊三角形，pcb=60º，obc=90º，bod=30º，bc=ob·tan30º=1，=，答:圖中陰影部分的面積為【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線的判定定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，結(jié)合圖形，找到各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算21（2020·上海中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)a、b(如圖)拋物線y=ax2+bx(a0)經(jīng)過點(diǎn)a（1）求線段ab的長；（2）如果拋物線y=ax2+bx經(jīng)過線

28、段ab上的另一點(diǎn)c，且bc=，求這條拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)d位于aob內(nèi)，求a的取值范圍【答案】（1）5；（2）y=x2+x；（3）a0【解析】【分析】（1）先求出a，b坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)點(diǎn)c（m，-m+5），則bc=|m，進(jìn)而求出點(diǎn)c（2，4），最后將點(diǎn)a，c代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論；（3）將點(diǎn)a坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b=-10a，代入拋物線解析式中得出頂點(diǎn)d坐標(biāo)為（5，-25a），即可得出結(jié)論【詳解】（1）針對(duì)于直線y=x+5，令x=0，y=5，b(0，5)，令y=0，則x+5=0，x=10，a(10，0)，ab=5；（2）設(shè)點(diǎn)c(m，

29、m+5)b(0，5)，bc=|m|bc=，|m|=，m=±2點(diǎn)c在線段ab上，m=2，c(2，4)，將點(diǎn)a(10，0)，c(2，4)代入拋物線y=ax2+bx(a0)中，得，拋物線y=x2+x；（3）點(diǎn)a(10，0)在拋物線y=ax2+bx中，得100a+10b=0，b=10a，拋物線的解析式為y=ax210ax=a(x5)225a，拋物線的頂點(diǎn)d坐標(biāo)為(5，25a)，將x=5代入y=x+5中，得y=×5+5=，頂點(diǎn)d位于aob內(nèi)，025a，a0【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，求出點(diǎn)d的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵22（2

30、020·黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，ab為o的直徑，c、d為o上的兩個(gè)點(diǎn)，連接ad，過點(diǎn)d作deac交ac的延長線于點(diǎn)e（1）求證：de是o的切線（2）若直徑ab6，求ad的長【答案】（1）見解析；（2）3【解析】【分析】（1）連接od，根據(jù)已知條件得到bod180°60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到adodab30°，得到eda60°，求得odde，于是得到結(jié)論；（2）連接bd，根據(jù)圓周角定理得到adb90°，解直角三角形即可得到結(jié)論【詳解】（1）證明：連接od，bod180°60°，eaddabbod30&#

31、176;，oaod，adodab30°，deac，e90°，ead+eda90°，eda60°，edoeda+ado90°，odde，de是o的切線；（2）解：連接bd，ab為o的直徑，adb90°，dab30°，ab6，bdab3，ad3【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明，及線段長度的計(jì)算，熟知圓的性質(zhì)及切線的證明方法，以及含30°角的直角三角形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵23（2020·湖北宜昌?中考真題）如圖，在四邊形中，過點(diǎn)b的與邊分別交于e，f兩點(diǎn)，垂足為g，連接 （1）若，試判斷的形狀，并說明理由；（2）若，

32、求證：與相切于點(diǎn)a【答案】（1）等腰直角三角形，理由見解析 （2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中已知信息，可知，有，所以，都是等腰直角三角形，得到，即可得出是等腰直角三角形；（2）通過，可以等到，有，又因?yàn)?，可以知道e與點(diǎn)a重合，再證明即可【詳解】解：（1）是等腰直角三角形理由如下：，都是等腰直角三角形是等腰直角三角形（2）證明：點(diǎn)e與點(diǎn)a重合以下有多種方法：方法一是的半徑與相切于點(diǎn)a方法二，又g，a，o三點(diǎn)共線與相切于點(diǎn)a方法三：如圖與之間距離：延長交的延長線交于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)又點(diǎn)與點(diǎn)重合與相切于點(diǎn)【點(diǎn)睛】（1）證明三角形形狀需要找到邊的關(guān)系以及角的大小，通過題目中的已知信息先判斷出

33、特殊三角形，再找到所求三角形與特殊三角形邊與角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；（2）本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及如何求切線，通過三角形全等得到角的大小，從而可以證明點(diǎn)e與點(diǎn)a重合，再證明即可得與相切于點(diǎn)，其中證明點(diǎn)e與點(diǎn)a重合是解題的關(guān)鍵24（2020·湖北隨州?中考真題）如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)，在點(diǎn)處測(cè)得天線頂端的仰角為，從點(diǎn)走到點(diǎn)，測(cè)得米，從點(diǎn)測(cè)得天線底端的仰角為，已知，在同一條垂直于地面的直線上，米（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米【解析

34、】【分析】（1）根據(jù)題意，bad=90°，bda=45°，故ad=ab，已知cd=5，不難算出a與c之間的距離（2）根據(jù)題意，在中，利用三角函數(shù)可算出ae的長，又已知ab，故eb即可求解【詳解】（1）依題意可得，在中， ，米， 米，米. 即之間的距離為30米（2）在中，米，（米），米，米由并精確到整數(shù)可得米即天線的高度約為27米 【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵25（2020·廣東中考真題）已知關(guān)于，的方程組與的解相同（1）求，的值；（2）

35、若一個(gè)三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關(guān)于的方程的解試判斷該三角形的形狀，并說明理由【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）關(guān)于x，y的方程組與的解相同實(shí)際就是方程組的解，可求出方程組的解，進(jìn)而確定a、b的值；（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2axb0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個(gè)解與為邊長，判斷三角形的形狀【詳解】解：由題意列方程組：解得將，分別代入和解得，（2）解得這個(gè)三角形是等腰直角三角形理由如下：該三角形是等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正確答案的關(guān)鍵

36、26（2020·廣東中考真題）如圖，在中，點(diǎn)，分別是、邊上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求證：是等腰三角形【答案】見解析【解析】【分析】先證明，得到，進(jìn)而得到，故可求解【詳解】證明：在和中又即是等腰三角形【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì)27（2020·四川內(nèi)江?中考真題）如圖，點(diǎn)c，e，f，b在同一直線上，點(diǎn)a，d在bc異側(cè)，abcd，aedf，ad（1）求證：ab=cd；（2）若abcf，b40°，求d的度數(shù)【答案】（1）abcd（2）70°【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出b=c，根據(jù)aas推出abecdf，根

37、據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等得出ab=cd，be=cf，b=c，求出cf=cd，推出d=cfe，即可求出答案【詳解】（1）證明：abcd，bc，在abe和cdf中，bc，ae=df ，adaebdfc abcd.（2）abcd，abcf，cdcf，bc=40°，d(180°40°)÷270°【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的判定求出abecdf是解此題的關(guān)鍵28（2020·四川內(nèi)江?中考真題）如圖，ab是o的直徑，c是o上一點(diǎn)，于點(diǎn)d，過點(diǎn)c作o 的切線，交

38、od的延長線于點(diǎn)e，連結(jié)be（1）求證：be是o的切線；（2）設(shè)oe交o于點(diǎn)f，若，求線段ef的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積【答案】（1）見解析；（2）ef=4；（3）【解析】【分析】（1）連接oc，如圖，根據(jù)垂徑定理由odbc得到cd=bd，則oe為bc的垂直平分線，所以eb=ec，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得ebc=ecb，加上obc=ocb，則obe=oce；再根據(jù)切線的性質(zhì)得oce=90°，所以obe=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得be與o相切；（2）設(shè)o的半徑為r，則od=r-df=r-2，ob=r，在rtobd，利用勾股定理解得r=4，再利用含30&

39、#186;角的直角三角形邊角關(guān)系可求得oe，利用ef=oe-of即可解答；（3）利用（2）中可求得boc=120º,然后利用代入數(shù)值即可求解【詳解】（1）證明：連接oc，如圖，odbc，cd=bd，oe為bc的垂直平分線，eb=ec，ebc=ecb，ob=oc，obc=ocb，obc+ebc=ocb+ecb，即obe=oce，ce為o的切線，occe，oce=90°，obe=90°，obbe，be與o相切（2）設(shè)o的半徑為r，則od=r-df=r-2，ob=r，在rtobd中，bd=bc=od2+bd2=ob2，解得r=4，od=2，ob=4，obd=30

40、6;，bod=60°，在rtobe中，beo=30º，oe=2ob=8，ef=oe-of=8-4=4，即ef=4；（3）由ocd=obd=30º和odbc知：cod=bod=60º，boc=120º，又bc=，oe=8，=, 【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理、扇形面積的計(jì)算、含30º角的直角三角形邊角關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵29（2020·江蘇常州?中考真題）如圖1，點(diǎn)b在線段上，rtrt， （1）點(diǎn)f到直線的距離是_；（2）固定，將繞點(diǎn)c按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，使得與重合，

41、并停止旋轉(zhuǎn)請(qǐng)你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法）該圖形的面積為_；如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與交于點(diǎn)o，當(dāng)時(shí)，求的長【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得acf=ecf=30°，即cf是acb的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)f到直線的距離即為ef的長，于是可得答案；（2）易知e點(diǎn)和f點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是分別以cf和ce為半徑、圓心角為30°的圓弧，據(jù)此即可畫出旋轉(zhuǎn)后的平面圖形；在圖3中，先解rtcef求出cf和ce的長，然后根據(jù)s陰影=（scef+s扇形a

42、cf）（sacg+s扇形ceg）即可求出陰影面積；作ehcf于點(diǎn)h，如圖4，先解rtefh求出fh和eh的長，進(jìn)而可得ch的長，設(shè)oh=x，則co和oe2都可以用含x的代數(shù)式表示，然后在rtboc中根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值，進(jìn)一步即可求出結(jié)果【詳解】解：（1），acb=60°，rtrt，ecf=bac=30°，ef=bc=1，acf=30°，acf=ecf=30°，cf是acb的平分線，點(diǎn)f到直線的距離=ef=1；故答案為：1；（2）線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形如圖3中的陰影所示：在rtcef中，ecf=30°，

43、ef=1，cf=2，ce=，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：cf=ca=2，ce=cg=，acg=ecf=30°，s陰影=（scef+s扇形acf）（sacg+s扇形ceg）=s扇形acfs扇形ceg=；故答案為：；作ehcf于點(diǎn)h，如圖4，在rtefh中，f=60°，ef=1，ch=，設(shè)oh=x，則，ob=oe，在rtboc中，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)作圖、全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、扇形面積公式、勾股定理和解直角三角形等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用整體思想和方程思想是解題的關(guān)鍵30（2020·湖南長沙?中考真題）人教版

44、初中數(shù)學(xué)教科書八年級(jí)上冊(cè)第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：已知：求作：的平分線做法：（1）以o為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交oa于點(diǎn)m，交ob于點(diǎn)n，（2）分別以點(diǎn)m，n為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)c（3）畫射線oc，射線oc即為所求請(qǐng)你根據(jù)提供的材料完成下面問題：（1）這種作已知角平分線的方法的依據(jù)是_(填序號(hào)) （2）請(qǐng)你證明oc為的平分線【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)作圖的過程知道：om=on，oc=oc，cm=cm，由“sss”可以證得eocdoc；（2）根據(jù)作圖的過程知道：om=on，oc=oc，cm=cm，由全等三角形的判定定

45、理sss可以證得eocdoc，從而得到oc為的平分線【詳解】（1）根據(jù)作圖的過程知道：om=on，oc=oc，cm=cm，所以由全等三角形的判定定理sss可以證得eocdoc，從而得到oc為的平分線；故答案為：；（2）如圖，連接mc、nc根據(jù)作圖的過程知，在moc與noc中，mocnoc（sss），aoc=boc，oc為的平分線【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖及全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：三角形全等的判定定理有sas，asa，aas，sss，hl31（2020·江蘇鹽城?中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，（1）求證：是的切線；（2）若，垂足為交與點(diǎn)；求證：是等腰三角形【答案

46、】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】(1)連接oc，由ab是圓o的直徑得到bca=90°，進(jìn)一步得到a+b=90°，再根據(jù)已知條件，且a=aco即可證明ocd=90°進(jìn)而求解；(2)證明，再由deab，得到a+afe=90°，進(jìn)而得到dca=afe=dfc，得到dc=df，進(jìn)而得到dfc為等腰三角形【詳解】解：(1)證明：連接，為圓的直徑，又又點(diǎn)在圓上，是的切線(2) 又是等腰三角形【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等，熟練掌握性質(zhì)或定理是解決此類題的關(guān)鍵32（2020·陜西中考真題）如圖，拋物線y

47、x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（3，12）和（2，3），與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為a，b，c，它的對(duì)稱軸為直線l（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）p是該拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)p作l的垂線，垂足為d，e是l上的點(diǎn)要使以p、d、e為頂點(diǎn)的三角形與aoc全等，求滿足條件的點(diǎn)p，點(diǎn)e的坐標(biāo)【答案】（1）yx2+2x3；（2）點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，5）或（4，5）；點(diǎn)e的坐標(biāo)為（1，2）或（1，8）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點(diǎn)（3，12）和（2，3）代入拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）在aoc中，oaoc3，由題意：以p、d、e為頂點(diǎn)的三角形與aoc全等可知pdde3，再分點(diǎn)p在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)、點(diǎn)p在拋物線對(duì)稱軸

48、的左側(cè)兩種情況，求解即可【詳解】解：（1）將點(diǎn)（3，12）和（2，3）代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為：yx2+2x3；（2）拋物線的對(duì)稱軸為x1，令y0，則x3或1，令x0，則y3，故點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為（3，0）、（1，0）；點(diǎn)c（0，3），故oaoc3，pdeaoc90°，當(dāng)pdde3時(shí)，以p、d、e為頂點(diǎn)的三角形與aoc全等，設(shè)點(diǎn)p（m，n），當(dāng)點(diǎn)p在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，m（1）3，解得：m2，故n22+2×255，故點(diǎn)p（2，5），故點(diǎn)e（1，2）或（1，8）；當(dāng)點(diǎn)p在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可得，點(diǎn)p（4，5），此時(shí)點(diǎn)e坐標(biāo)同上，綜上，

49、點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，5）或（4，5）；點(diǎn)e的坐標(biāo)為（1，2）或（1，8）【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何運(yùn)用，涉及到三角形全等，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答關(guān)鍵，其中（2）需要分類求解，避免遺漏33（2020·陜西中考真題）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測(cè)算所住樓對(duì)面商業(yè)大廈的高mn他倆在小明家的窗臺(tái)b處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部n的仰角1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在b處測(cè)得商業(yè)大廈底部m的俯角的度數(shù)于是，他倆上樓來到小華家，在窗臺(tái)c處測(cè)得大廈底部m的俯角2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)1與2恰好相等已知a，b，c三點(diǎn)共線，caam，nmam，ab31m，bc18m，試求商業(yè)大廈

50、的高mn【答案】80m【解析】【分析】過點(diǎn)c作cemn于點(diǎn)e，過點(diǎn)b作bfmn于點(diǎn)f，可得四邊形amec和四邊形amfb均為矩形，可以證明bfncem，得nfem49，進(jìn)而可得商業(yè)大廈的高mn【詳解】解：如圖，過點(diǎn)c作cemn于點(diǎn)e，過點(diǎn)b作bfmn于點(diǎn)f，cefbfe90°，caam，nmam，四邊形amec和四邊形amfb均為矩形，cebf，meac，12，bfncem（asa），nfem31+1849，由矩形性質(zhì)可知：efcb18，mnnf+emef49+491880（m）答：商業(yè)大廈的高mn為80m【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和矩形，得出nf=em=ac34（2020·山西中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)×年×月×日 星期日沒有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過上的一點(diǎn)，作出的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而