北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊習(xí)題《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解

1、平行四邊形全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理 .2 .掌握三角形的中位線定理.3 .了解多邊形的定義以及內(nèi)角、外角、對角線等概念.掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式4 .積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展推理能力 .【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD己作“ 口ABC讀作“平行四邊形 ABCD .要點詮釋：平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心要點二、平行四邊形的性質(zhì)定理平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角線互相平分；要點詮釋：(1)平行四邊形的性

2、質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的 性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.(2)由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇(3)利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形 三邊的不等關(guān)系來解決.要點三、平行四邊形的判定定理1 .兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2 . 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3 .兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4 .兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5 .對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋：(1) 這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握

3、，當(dāng)幾種方法都能判定同一個 行四邊形時，應(yīng)選擇較簡單的方法 .(2)這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).要點四、平行線間的距離1 .兩條平行線間的距離：(1)定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行 線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值 .2 .平行線性質(zhì)定理及其推論夾在兩條平行線間的平行線段相等 .平行線性質(zhì)定理的推論：夾在兩條平行線間的垂線段相等 .要點五、三角形的中位線三角形的中位線1 .連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線2 .定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半要點詮釋：(1)三角

4、形有三條中位線， 每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個1小三角形的周長為原三角形周長的-,每個小三角形的面積為原三角形2一，1面積的-.4(3)三角形的中位線不同于三角形的中線.要點六、多邊形內(nèi)角和、外角和n邊形的內(nèi)角和為(n 2) 180° ( n >3).要點詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于 (n 2) 180 ;n多邊形的外角和為 360° . n邊形的外角和恒等于 360° ,它與邊數(shù)

5、的多少無關(guān).【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)與判定1、(2015TW江區(qū)二模)如圖 1,在 ABC 中，AB=AC Z ABC=x , D 是 BC邊上一點，以 AD為邊作 ADE 使 AE=AD / DAE廿 BAC=180 .(1)直接寫出/ ADE的度數(shù)(用含 “的式子表示)；(2)以AB, AE為邊作平行四邊形 ABFE如圖2,若點F恰好落在 DE上，求證：BD=CD如圖3,若點F恰好落在BC上，求證：BD=CF國1國士圖3【思路點撥】（1）由在 ABC中，AB=AC/ABC引，可求得/ BAC=180 -2”， 又由AE=AD /DAE廿BAC=180 ,可求得/ DAE=2z

6、,繼而求得/ ADE 的度數(shù)；（2）由四邊形 ABFE是平行四邊形，易得/ EDCWABC形，則可得/ADCW ADE廿EDC=90 , 證彳導(dǎo)ADLBC 又由AB=AC根據(jù)三線合一的性質(zhì)， 即可證得結(jié)論； 由在 ABC中，AB=ACABC形,可得/ B=Z C=a ,四邊形ABF比平行四邊形，可得AE/ BF, AE=BF即可證得：/ EACW C=a ,又由（1）可證得 AD=CD又由AD=AE=BF證得結(jié)論.【答案與解析】解：（1） .在4ABC中，AB=AC /ABC形， ./ BAC=180 - 2a , / DAE廿 BAC=180 , / DAE=2z , .AE=AD / AD

7、E=90 - a ;（2）證明：二四邊形 ABFE平行四邊形， .AB/ EF. ./ EDCW ABC書,由（1）知，/ ADE=90 a , / ADCW ADEM EDC=90 , ADL BC .AB=AC.BD=CD證明：AB=AC /ABC形， / C=/ B=a . 四邊形ABF弱平行四邊形， .AE/ BF, AE=BF / EAC= C=a , 由（1）知，/ DAE=2x , / DAC通, / DAC= C.AD=CD .AD=AE=R F .BF=CD .BD=CF.【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)與判定.注意（2）中證得ADLBC是關(guān)鍵

8、，（2）中證得 AD=CM關(guān)鍵.舉一反三：【變式】分別以 口 ABCD（/ CDAW 90° ）的三邊 AB, CD, DA為斜邊作等腰直角三角形， ABE, CDG ADF.(1)如圖1,當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF, EF.請判斷GF與EF的關(guān)系并證明)；(2)如圖2,當(dāng)三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF, EF, (1)中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.【答案】解：(1) GF± EF, GF= EF成立；四邊形ABC比平行四邊形，AB= CD / DAB+ /ADC= 180° ,. ABE, A

9、CDG ADF都是等腰直角三角形，DG= CG= AE= BE, DF= AF, / CDG= / ADF= Z BAE= 45° ,，/GDF= / GDCF / CD" / ADF= 90° +Z CDA/EAF= 360° - Z BAE- Z DAF- /BAD- 270° - ( 180° -乙 CDA =90° +Z CDA ./ FDG= / EAF,在 EAFA GDF中,DF AFFDG FAE ,DG AE .EAF AGDI3 (SAS ,EF= FG / EFA= / DFG 即 / GF* / GF

10、A= / EFA+ / GFA，/GFE= 90° ,GF± EF;(2) GF± EF, GF= EF 成立；理由：.四邊形 ABC皿平行四邊形，AB= CD / DA拼 Z ADC= 180° , ABE CDG ADF都是等腰直角三角形， G= CG= AE= BE, DF= AF, / CDG= / ADF= Z BAE= 45° , BA曰 / FAA / EAF+ / ADF+ / FDC= 180° , ./ EAF+ / CDF= 45° , / CD斗 / FDG= 45° , / FDG= /

11、EAF, 在 £人5和4 GDF中，DF AFFDG FAE ,DG AE EA陣 GDF(SAS), .EF= FG / EFA= / DFG 即 / GFDF / GFA= / EFA+ / GFA ./ GFE= 90° ,GF± EF.、如圖，點D是 ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD BF為鄰邊作平行四邊形 BDEF又A網(wǎng)BE （點P、E在直線AB的一一 ，/1_ 同側(cè)），如果 BD= _AB,那么 PBC的面積與 ABC面積之比為（4解：過點P作PH/ BC交AB于H,連接CH PF, .AP_BE, 四邊形

12、APEB是平行四邊形，PE/ AB, PE= AB, 四邊形BDEF是平行四邊形， .EF/ BD EF=BD,即 EF/ AB,. .P, E, F 共線，設(shè) BD= a ,BD= IaB,PE= AB= 4a,4貝U PF= PE EF= 3 a , PH/ BC-SAHBCSA PBC，1. PF/ AB,四邊形BFPH平行四邊形，.BH= PF= 3 a , Sahbc : S；Aabc=BH AB= 3a： 4a =3: 4,SAPBC : S*AABC =3： 4-此題難度較【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)與三角形面積比的求解方法.大，注意準(zhǔn)確作出輔助線，注意等高三角形

13、面積的比等于其對應(yīng)底的比.舉一反三：【變式】已知 ABC中，AB= 3, AC= 4, BC= 5,分別以 AB AG BC為一邊在 BC邊同側(cè)作正ABD正4ACE和正 BCF求以A、E F、D四點為頂點圍成的四邊形的面積.【答案】證明：AB=3, AG= 4, BG= 5, BAC= 90°.ABD ACEDABCF為正三角形， AB= BD= AD, AC= AE= CE, BG= BF= FC ,Z 1 + Z FBA= / 2+/ FBA= 60° 1 = / 2 易證 BA% BDF （SAS）, DF= AC= AE= 4, Z BDF= 90° 同理

14、可證4 BA黃 FEC AB= AD= EF= 3四邊形AEFD平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形） DF/ AE, DF± BD延長EA交BD于H點，AHI± BD則H為BD中點3，平行四邊形 AEFD的面積=DFX DH= 4X - = 6.23、在平行四邊形 ABCM,點A1, A2, A3, A4和C, G, G, C4分別AB和CD的五等分 點，點B, B和D, D分別是BC和DA的三等分點，已知四邊形 A4B2GD的面積為1,則平行 四邊形ABCD1積為（）A. 2 B. 3C. 5D. 1553口 GQ G ? cH Af A2 A3 A4 B【

15、思路點撥】可以設(shè)平行四邊形 ABC而面積是S,根據(jù)等分點的定義利用平行四邊形ABCD的面積減去四個角上的三角形的面積，就可表示出四邊形A4B2GD2的面積，從而得到兩個四邊形面積的關(guān)系，即可求解.【答案】C；【解析】解：設(shè)平行四邊形 ABC而面積是S,設(shè)AB= 5a, BC= 3b. AB邊上的高是 3x, BC邊上的高是 5y.S 則 S=5a?3x=3b?5 y.即 ax=by =.1514 一 AAD與B2CC全等，RC= -BC= b , BC邊上的圖是 ?5y =4y.352S則AAQ和AB 2CC的面積是2b y =.15S同理!) 2C4D與4A 4BB的面積是 .1526 2s

16、sS 9s9s則四邊形A4B2c4D2的面積是S-±S-±S- - = 9S,即出=1,15 15 15 15 1515.一 5解得S= 5 .3【總結(jié)升華】 考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積計算，正確利用等分點的定義， 得到兩個四邊形的面積的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.4類型二、三角形的中位線 、如圖， ABC的周長為26,點D, E都在邊BC上，/ ABC的平分線垂直于 AE,垂足為Q / ACB的平分線垂直于 AD,垂足為P,若BC= 10,則PQ的長為（）As D £ CA. 3B. 5 C.3D.422【答案】C;【解析】解：易證 AB*4EBQ, AB=BE

17、, Q為 AE中點， AC國DCP, AC= CD P 為 AD中點，八1 .PQ/ DE,PQ= - DE,2 . AB+ AC+ BC= 26, BC= 10, .AB+ AC= BE+ CD= 16= BD+ DE+ DE+ EC= BC+ DE,.DE= 6, PQ= 1DE= 3.2【總結(jié)升華】本題考查了三角形的中位線定理及等腰三角形的判定，注意培養(yǎng)自己的敏感性，一般出現(xiàn)高、角平分線重合的情況，都需要找到等腰三角形.類型三、多邊形內(nèi)角和與外角和5、若一個多邊形的每個外角都等于60° ,則它的內(nèi)角和等于（）A . 180° B . 720°C , 1080

18、° D , 540°【思路點撥】由一個多邊形的每個外角都等于60° ,根據(jù)n邊形的外角和為3600計算出多邊形的邊數(shù)n,然后根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理計算即可.【答案】B;【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為 n ,多邊形的每個外角都等于 60° ,n = 360 +60° = 6,，這個多邊形的內(nèi)角和=（ 6 2） X180° =720° .【總結(jié)升華】 本題考查了 n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和=（n -2） ?180° ；也考查了 n邊形的外角和為360° .舉一反三：【變式】（2015春?宜陽縣期末）一個

19、多邊形，除了一個內(nèi)角之外， 其余內(nèi)角之和為 2680。， 求這個內(nèi)角的大小.【答案】 解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為 x,由題意有（x - 2） ?180> 2680,解得x>1心，因而多邊形的邊數(shù)是 17,則這一內(nèi)角為（17-2） X 180° - 2680° =20° .66、甲、乙兩人想在正五邊形 ABCD西部找一點P,使得四邊形ABP曰平行四邊形，其作法如下：（甲）連接BD CE兩線段相交于 P點，則P即為所求（乙） 先取CD的中點M,再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AM于P點，則P即為所求.對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確