初中數(shù)學(xué)中的幾何最值問(wèn)題的探究

1、    初中數(shù)學(xué)中的幾何最值問(wèn)題的探究    汪振方【摘 要】運(yùn)動(dòng)著的車、船、飛機(jī)，包括人們每天走路都要遇到幾何中的最值問(wèn)題.古今中外的任何旅行者總希望尋求最佳的旅行路線，盡量走近道，少走冤枉路.我們把這類求近道的問(wèn)題統(tǒng)稱最短線路問(wèn)題.從某種意義上說(shuō)，一筆畫問(wèn)題也屬這類問(wèn)題.看來(lái)最短線路問(wèn)題在生產(chǎn)、科研和日常生活中確實(shí)重要且應(yīng)用廣泛.【關(guān)鍵詞】最值問(wèn)題 解決方法 探究唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)古從軍行開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的a點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到b點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)

2、怎樣走才能使總的路程最短？在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問(wèn)題，如在一定的方案中，花費(fèi)最低、消耗最少、產(chǎn)值最高、獲利最大等；解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類的問(wèn)題，這就是我們要討論的最值問(wèn)題，同樣在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件下變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，也是我們要討論的最值問(wèn)題。解決問(wèn)題：如圖2所示，從a出發(fā)向河岸引垂線，垂足為d，在ad的延長(zhǎng)線取a關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)a，連結(jié)ab，與河岸線相交于c，則c點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從a出發(fā)，沿直線走到c，飲馬之后，再由c沿直線走到b，走的路程就是最短的.如

3、果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)c飲馬，所走的路程就是ac+cb，但是，ac'+c'b=a'c'+c'b>a'b=a'c+cb=ac+cb. 可見(jiàn)，在c點(diǎn)外任何一點(diǎn)c'飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些.這有幾點(diǎn)需要說(shuō)明的：（1）由作法可知，河流l相當(dāng)于線段aa'的中垂線，所以ad=ad。（2）由上一條知：將軍走的路程就是ac+bc，就等于ac+bc，而兩點(diǎn)確定一條直線，所以c點(diǎn)即為所求。變式題：（請(qǐng)同學(xué)們自己畫圖）若a、b兩點(diǎn)分別在河流l的兩側(cè)，在河流l上取一點(diǎn)p使|papb|的值最大。解決問(wèn)題：作點(diǎn)a關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)a，連結(jié)a

4、b并延長(zhǎng)交直線l于p，則pa=pa，因而|papb|=|papb|，則當(dāng)a，b、p在同一條直線上時(shí)，|papb|的值最大.如果在河邊的另外任取一點(diǎn)異于點(diǎn)p的點(diǎn)p，則pa=pa，因而|papb|=|papb| a'b=|papb|=|papb|，可見(jiàn)，在p點(diǎn)外任何一點(diǎn)p'，都有|papb|papb|，也就是|papb|的值最大。最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：（1）應(yīng)用幾何性質(zhì)：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點(diǎn)間線段最短；連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。（2）運(yùn)用代數(shù)證法：運(yùn)用配方法求二次函數(shù)或二次三項(xiàng)式

5、的最值；運(yùn)用一元二次方程根的判別式。例如：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形oacb的頂點(diǎn)o在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)a、b分別在x軸、y軸的正半軸上，oa=3，ob=4，d為邊ob的中點(diǎn).（1）若e為邊oa上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)cde的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)e的坐標(biāo)；（2）若e、f為邊oa上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ef=2，當(dāng)四邊形cdef的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)e、f的坐標(biāo).分析：（1）由于c、d是定點(diǎn)，則cd是定值，如果cde的周長(zhǎng)最小，即de+ce有最小值.為此，作點(diǎn)d關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)d'，當(dāng)點(diǎn)e在線段cd上時(shí)，cde的周長(zhǎng)最?。唬?）由于dc、ef的長(zhǎng)為定值，如果四邊形cdef的周長(zhǎng)最小，即de+fc有最小值.為此，作點(diǎn)d

6、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)d'，在cb邊上截取cg=2，當(dāng)點(diǎn)e在線段dg上時(shí)，四邊形cdef的周長(zhǎng)最小.解：（1）如圖1，作點(diǎn)d關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)d'，連結(jié)cd'與x軸交于點(diǎn)e，連結(jié)de.若在邊oa上任取點(diǎn)e'與點(diǎn)e不重合（如圖2），連結(jié)ce'、de'、d'e'.由de'+ce'=d'e'+ce'>cd'=d'e+ce=de+ce，可知cde的周長(zhǎng)最小.在矩形oacb中，oa=3，ob=4，d為ob的中點(diǎn)，bc=3，d'o=do=2，d'b=6，oebc，點(diǎn)e的坐標(biāo)為（1，0）；（2）如圖3，作點(diǎn)d關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)d'，在cb邊上截取cg=2，連結(jié)d'g與x軸交于點(diǎn)e，在ea上截取ef=2，gcef，gc=ef，四邊形gefc為平行四邊形，有g(shù)e=cf，又dc、ef的長(zhǎng)為定值，此時(shí)得到的點(diǎn)e、f使四邊形cdef的周長(zhǎng)最小.oebc，點(diǎn)評(píng)：此題是2010年天津市中考數(shù)學(xué)試卷第25題，主要考查軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將求折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題，其說(shuō)明最短的依據(jù)是三角形兩邊之