電磁學(xué)第四次課

1、小結(jié)：小結(jié)：2.電通量：電通量：ssdE 1.1.電力線（電場線）電力線（電場線）（1 1）線上每一點的切向就是該點的電場強(qiáng)度方向）線上每一點的切向就是該點的電場強(qiáng)度方向（2 2）該點處的電力線的密度）該點處的電力線的密度等于該處場強(qiáng)大小等于該處場強(qiáng)大小電場中穿過電場中穿過任意曲面任意曲面S S的電場線條數(shù)稱通過該面的電通量的電場線條數(shù)稱通過該面的電通量。（1）電力線起始于正電荷（或無窮遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電荷）電力線起始于正電荷（或無窮遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電荷（或伸向無窮遠(yuǎn)處），電力線不會在沒有電荷的地方中斷；（或伸向無窮遠(yuǎn)處），電力線不會在沒有電荷的地方中斷；電電力線的基本性質(zhì)：力線的基本性質(zhì)：（

2、2）電力線不能形成閉合曲線）電力線不能形成閉合曲線.（1）高斯定律中的）高斯定律中的 ，總電場，是高斯面內(nèi)、外全總電場，是高斯面內(nèi)、外全部電荷激發(fā)的部電荷激發(fā)的 ; 而而 q內(nèi)內(nèi)只是對高斯面內(nèi)的電荷求和。只是對高斯面內(nèi)的電荷求和。E （2 2） 由由 的值決定，與的值決定，與 分布無關(guān)；分布無關(guān)；內(nèi)內(nèi) q內(nèi)內(nèi)q3.高斯定理：高斯定理：0diqES 內(nèi)內(nèi)定理的表述：定理的表述：真空中的任何靜電場內(nèi)，通過任意封閉曲面真空中的任何靜電場內(nèi)，通過任意封閉曲面的電通量等于曲面內(nèi)所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以真空的電通量等于曲面內(nèi)所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以真空介電常數(shù)。介電常數(shù)。(1) 分析場強(qiáng)的對稱性（

3、方向、大?。?。分析場強(qiáng)的對稱性（方向、大?。?2) 選擇適當(dāng)?shù)母咚姑孢x擇適當(dāng)?shù)母咚姑? 高斯面應(yīng)該通過場點。高斯面應(yīng)該通過場點。 高斯面上待求的場強(qiáng)只有一個值高斯面上待求的場強(qiáng)只有一個值 （可以提出積分號）。（可以提出積分號）。 高斯面各部分或高斯面各部分或 ,或或 ,EE應(yīng)用高斯定理求應(yīng)用高斯定理求 的關(guān)鍵的關(guān)鍵:E球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ（均勻帶電球面、球體、球殼和多層同心球殼等）均勻帶電球面、球體、球殼和多層同心球殼等）面對稱面對稱（均勻帶電（均勻帶電“無限大無限大”平面、平板層、平行平板等）平面、平板層、平行平板等）柱對稱柱對稱（均勻帶電無限長直線、圓柱體和圓柱面等）（均勻帶電無限長直線、圓柱體

4、和圓柱面等） Ed sE d s 0EdsE d s 典型靜電場：典型靜電場：ERr 0 RrrQ 2o4 均勻帶電球面均勻帶電球面E RrRQr 3o4 RrrQ 2o4rE03 均勻帶電球體均勻帶電球體均勻帶電無限大平面均勻帶電無限大平面o2 EE2orRr22orrRR無限長均勻帶電柱體無限長均勻帶電柱體線，柱面線，柱面例例6 ：求電荷面密度分別為求電荷面密度分別為 1 、 2 兩個平行放置的兩個平行放置的無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)分布。無限大均勻帶電平面的場強(qiáng)分布。A B C ,2Eo11 o222 ExiEo21A2 iEo21B2 iEo21C2 111EEE+ + + + + +

5、+ + +1 oB E 當(dāng)當(dāng) 1 = - 2 = 0CA EE解：解：帶電平板電容帶電平板電容器間的場強(qiáng)器間的場強(qiáng)2 + + + + + + + + +222EEE板外電場為板外電場為 0 。O1O2例：均勻帶電體，體密度為例：均勻帶電體，體密度為 ，O1與與O2間距離為間距離為a, 求（求（1）空）空腔內(nèi)任一點的場？（腔內(nèi)任一點的場？（2）O1O2延長線上距延長線上距O1為為r的的P點處的場強(qiáng)。點處的場強(qiáng)。rE03 1013rE 2023rE 1r2r20102133rrEEE 2103OO 腔內(nèi)是均勻電場腔內(nèi)是均勻電場03Ea方向由方向由O1指向指向O2（2）O1O2延長線上距延長線上距O

6、1為為r的的P點處的場強(qiáng)。點處的場強(qiáng)。311122004QRErr沿沿r方向方向331212220()3()PRREEErraO1O21RP2Rr322222004()()QRErara沿沿r方向方向3312220()3()PRRrErrarRinq? 例：例： 求半徑為求半徑為R，電荷分布為，電荷分布為 的帶電球體的的帶電球體的電場分布。電場分布。01r()R解：電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場也是球?qū)ΨQ的。解：電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場也是球?qū)ΨQ的。選球面為高斯面選球面為高斯面將球體劃分為許多很薄的球殼，取一球殼：將球體劃分為許多很薄的球殼，取一球殼：24dqr dr 22000414rrinr

7、qr dr()r drR 24E dsE r 0inq / 34011434(rr)R 204inqEr 20034rr()/(rR)R 204inqEr Ordr320012ER /r(rR)例：例：(1) 點電荷點電荷Q位于立方體中心位于立方體中心,求通過面求通過面ABCD的電的電 通量為多少通量為多少?ACDBQ(2) 點電荷點電荷Q位于立方體的一個頂點處位于立方體的一個頂點處,求通過面求通過面ABCD 的電通量為多少？的電通量為多少？ i0seq1sdE 高斯定理高斯定理QACDB(1)016eQ (2)0124eQ 185.重力場中有一豎直向上的勻強(qiáng)電場，水平面上固定了一重力場中有一

8、豎直向上的勻強(qiáng)電場，水平面上固定了一質(zhì)量為質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的半圓形光滑絕緣槽；一質(zhì)量為的半圓形光滑絕緣槽；一質(zhì)量為m、帶電、帶電量為量為+q的小球從的小球從A處由靜止釋放，求：（處由靜止釋放，求：（1）畫出小球的受力）畫出小球的受力圖（忽略空氣阻力）；（圖（忽略空氣阻力）；（2）寫出小球的運動方程；（）寫出小球的運動方程；（3）求）求小球作簡諧振動的條件和振動角頻率。小球作簡諧振動的條件和振動角頻率。（2）切向加速度）切向加速度 22dtdRa0sin22mRqEmgdtd當(dāng)當(dāng) 時時5簡諧振動022mRqEmgdtd切向分力切向分力()sinFmgqE2220ddt E圖圖17-7m

9、gqEmR取取 增加的方向為正增加的方向為正 FmaqEamgRNAMyxxEPLLodx圖圖18-6（1）2004()LPdxELx 08LryPdxxLrLrrxx2()2004()LL rPdxErx0111()4Lrr0PE 2Lr 183. 一均勻帶電直線，長為一均勻帶電直線，長為L。電荷線密度為。電荷線密度為 ， 求：求：（1）P點的電場強(qiáng)度；（點的電場強(qiáng)度；（2）帶電直線上各點電場的方向的變化）帶電直線上各點電場的方向的變化情況。情況。)0(0PE 2Lr 0PE 2Lr 193. 真空中有一半徑為真空中有一半徑為R、總電量、總電量 的均勻帶電圓環(huán)。的均勻帶電圓環(huán)。一根不帶電、兩

10、端開口的玻璃管與環(huán)同軸放置，在管內(nèi)距離環(huán)心一根不帶電、兩端開口的玻璃管與環(huán)同軸放置，在管內(nèi)距離環(huán)心x處由靜止開始釋放一個質(zhì)量為處由靜止開始釋放一個質(zhì)量為m、電量為、電量為 q(q 0q0)的均勻帶電球面的電勢分布。的均勻帶電球面的電勢分布。（1）外）外: r R04qUr外【解】【解】任選一點任選一點P均勻帶電球面在外部空間的電勢分布與全部均勻帶電球面在外部空間的電勢分布與全部電荷集中在球心的點電荷的電勢分布一樣。電荷集中在球心的點電荷的電勢分布一樣。取無限遠(yuǎn)為電勢零點取無限遠(yuǎn)為電勢零點,0Rrq P dPUEl30()40 ()qrrRrErR20d4prqrr（2）內(nèi)）內(nèi): r r0 的點

11、，電勢為負(fù)的點，電勢為負(fù),r = r0 的點，電勢為零的點，電勢為零,r 0EPPP00rr 例例6:6:無限長圓柱面無限長圓柱面( (線電荷密度線電荷密度 ) ) 的電勢的電勢電勢分布：電勢分布： 選選 點為電勢零點點為電勢零點)(00rrp RrrE ,20 電場分布：電場分布：RrE , 0RrpRrpp0r0)ln(2dd)(:0000RrrRrErrrErURr )ln(2)(:000rrrrrErURr d d電勢零點不能選在無限遠(yuǎn)！電勢零點不能選在無限遠(yuǎn)！ RrrrRrRrrU),ln(2),ln(2)(0000 rr0R0rp0計算電勢的兩種方法：計算電勢的兩種方法：1.根據(jù)場

12、源電荷分布，利用電勢疊加原理求解：根據(jù)場源電荷分布，利用電勢疊加原理求解：04dQdUr014QdQUrdldQdsdV2.根據(jù)電場分布，利用電勢與場強(qiáng)的積分關(guān)系求解：根據(jù)電場分布，利用電勢與場強(qiáng)的積分關(guān)系求解：daaUEl四、四、場強(qiáng)和電勢的微分關(guān)系場強(qiáng)和電勢的微分關(guān)系1 1、等勢面、等勢面 電勢相等的空間各點所組成的曲面電勢相等的空間各點所組成的曲面 規(guī)定：相鄰兩等勢面間的電勢差為定值規(guī)定：相鄰兩等勢面間的電勢差為定值等勢面的性質(zhì)：等勢面的性質(zhì)：（2 2）等勢面與電力線處處正交。）等勢面與電力線處處正交。（3 3）等勢面密處場強(qiáng)大。）等勢面密處場強(qiáng)大。（1 1）等勢面的電勢沿電力線的方）等

13、勢面的電勢沿電力線的方 向逐漸減小。向逐漸減小。等勢面等勢面rQU0 04 40ddAq El00abdAqUU電力線電力線設(shè)試探電荷設(shè)試探電荷q0在某等勢面上的在某等勢面上的a點點沿沿等勢面等勢面做微小位移做微小位移dl到達(dá)到達(dá)b點，電場點，電場力所做的功為力所做的功為d0ElEdlabUEld2 2、電勢梯度、電勢梯度dU U2U1dU12UUEdlcos 12UUE dlP1與與P2兩點間電勢差兩點間電勢差電場沿某一方向的分量等于電勢沿該方向的空間變化率的負(fù)值電場沿某一方向的分量等于電勢沿該方向的空間變化率的負(fù)值ldUE cosEdl 電勢沿場強(qiáng)方向的變化率最大，電勢沿場強(qiáng)方向的變化率最

14、大，這個這個最大值最大值，就稱為該點的，就稱為該點的電勢梯度電勢梯度 U1U2EP2dl nP10ddAq El012dAqUUdUEdl 當(dāng)當(dāng)dl 沿電場方向時沿電場方向時01, cosdU / dl有最大值有最大值xUEx yUEy zUEz UUUdUdxdydzxyz 電勢梯度電勢梯度UE zkyjxi Egrad U 在直角坐標(biāo)系中，電場沿三個坐標(biāo)軸的分量：在直角坐標(biāo)系中，電場沿三個坐標(biāo)軸的分量：dUEdl xyzEE iE jE k dldx idy jdz k dUE dlxyzE dlE dxE dyE dz U UUUE(ijk )xyz 例題例題已知：總電量已知：總電量Q

15、；半徑半徑R 。 求：求： 均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢與場強(qiáng)。均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢與場強(qiáng)。解：解：QrdQU0 04 4 QdQr0 04 41 1 rQ04RQdrx0Px2 22 20 04 4xRQU rQU04 ddxUEx2 23 32 22 20 04 4RxxQ E2、根據(jù)電勢的定義、根據(jù)電勢的定義計算電勢的方法計算電勢的方法1、點電荷場的電勢及疊加、點電荷場的電勢及疊加原理原理QrQU04 diiirQU0 04 4 勢勢0rrEUd求解場和電勢的方法求解場和電勢的方法 計算場強(qiáng)的方法計算場強(qiáng)的方法1、點電荷場的場強(qiáng)及疊加、點電荷場的場強(qiáng)及疊加原理原理iiirrQE3 30 04 4 QrQrE304 d3、根據(jù)場強(qiáng)與電勢的關(guān)系、根據(jù)場強(qiáng)與電勢的關(guān)系UE（分立）（分立）（連續(xù)）（連續(xù)）（分立）（分立）（連續(xù)）（連續(xù)）EUxExU EU 2、高斯定理、高斯定理例：計算電偶極子電場中任一點的電勢和電場強(qiáng)度例：計算電偶極子電場中任一點的電勢和電場強(qiáng)度0 20 1,44qqqqUUrr 20210122010r4cosqlrr4rrq