電磁場與電磁波(第4版之4)

1、2 2. .動態(tài)矢量位和標量位動態(tài)矢量位和標量位1 1. .波動方程波動方程4.4.時諧電磁場時諧電磁場3 3. .能量守恒定律能量守恒定律 第第 4 4 章章 時變電磁場時變電磁場兩邊取旋度4.1 4.1 波動方程波動方程 考慮均勻無耗媒質(zhì)的無源區(qū)域考慮均勻無耗媒質(zhì)的無源區(qū)域0,0J, ,麥氏方程為麥氏方程為00tt EHHEHEt EH2t EEH得得2220tEE電場電場E的波動方程的波動方程 ( (矢量方程矢量方程) )同理同理2220tHH磁場磁場H 的波動方程的波動方程 ( (矢量方程矢量方程) )得得2 EEE利用矢量恒等式式中式中2為拉普拉斯算符，在直角坐標系中為拉普拉斯算符，

2、在直角坐標系中2222222xyz 而而波動方程波動方程在直角坐標系中可分解為三個在直角坐標系中可分解為三個標量標量方程方程222222220 xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyzt 電磁波的電磁波的傳播問題傳播問題歸結為在給定歸結為在給定邊界條件邊界條件和和初始條件初始條件下求解波動方程。下求解波動方程。2220tEE、EH是空間沿一個特定方向傳播的電磁波。是空間沿一個特定方向傳播的電磁波。 波動方程的解波動方程的解由麥氏第三方程由麥氏第三方程 , ,可令可令 0B 由麥氏第二方程由麥氏第二方程t BEt A0t AE于是

3、于是t AE式中式中A 稱為稱為動態(tài)矢量位動態(tài)矢量位，簡稱矢量位（，簡稱矢量位（T.m) )，稱為稱為動態(tài)標量位動態(tài)標量位，簡稱標量位，簡稱標量位( (V) )。BA 4.2 4.2 動態(tài)矢量位和標量位動態(tài)矢量位和標量位 靜態(tài)場中為問題簡化引入了標量位和矢量位。靜態(tài)場中為問題簡化引入了標量位和矢量位。 時變場中也可引入相應的輔助位，使問題的分析簡單化。時變場中也可引入相應的輔助位，使問題的分析簡單化。1 1、矢量位和標量位、矢量位和標量位_由麥氏第一方程由麥氏第一方程tEHJ1 HA將將 BAt AE將矢量恒等式將矢量恒等式2 AAA即即AEt 已知矢量位已知矢量位A 和標量位和標量位 可求相

4、應的磁場和電場?？汕笙鄳拇艌龊碗妶?。由麥氏第四方程由麥氏第四方程E 2tt AA2 2、達朗貝爾方程達朗貝爾方程tttEAJ= J22 AJ靜態(tài)場靜態(tài)場222t AAJ所以所以 此方程表明矢量位此方程表明矢量位 的源是的源是 ，而標量位，而標量位 的源是的源是 。時變場中。時變場中 和和 是是相互聯(lián)系的。相互聯(lián)系的。 AJJ222t 同理同理得得222tt AAAJ即即222tt AAJA 由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。由亥姆霍茲定理：一矢量由其散度和旋度確定。 前面定義前面定義A 的旋度等于磁感應強度的旋度等于磁感應強度B,為確定矢量位為確定矢量位A 還需規(guī)定其散度。還需規(guī)定其

5、散度。t A 令令 （洛侖茲條件（洛侖茲條件) )達朗貝爾方程達朗貝爾方程采用洛倫茲條件將采用洛倫茲條件將A A和和 分離在兩個獨立的方程中，方便了求解。分離在兩個獨立的方程中，方便了求解。4.3 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 一、坡印廷一、坡印廷定理定理由麥氏第一、第二方程由麥氏第一、第二方程t DHJt BEtt BDHEEHHEJE得得其中其中ttBHHH21212tttt DEEEEEEEJ2E21212tt HHH221122emwwwEH()()() E HHEEH利用矢量恒等式()wptEH取體積分，并應用散度定理得取體積分，并應用散度定理得d() ddSWPtE H

6、S在時變場中總電磁能量密度為在時變場中總電磁能量密度為221122EHt HEEHEJ得得2221122EHEt EH單位體積損耗的的焦耳熱為單位體積損耗的的焦耳熱為2pE于是有于是有-坡印廷定理坡印廷定理單位時間穿過閉合單位時間穿過閉合面面S進入體積進入體積V 的的電磁場能量電磁場能量體積體積V 內(nèi)單位時間電內(nèi)單位時間電場能量和磁場能量的場能量和磁場能量的增加增加單位時間體積單位時間體積V 內(nèi)變內(nèi)變?yōu)榻苟鸁岬碾姶拍芰繛榻苟鸁岬碾姶拍芰浚偟膿p耗功率）（總的損耗功率）由能量守恒定律由能量守恒定律 表示表示單位時間單位時間內(nèi)流過內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直與電磁波傳播方向相垂直的的單位面積單位面

7、積上的電上的電磁能量，亦稱為能流密度磁能量，亦稱為能流密度 二二、坡印廷矢量坡印廷矢量 定義定義W/m2SE H (1 (1） 是矢量點函數(shù)，為時間是矢量點函數(shù)，為時間 的函數(shù)，表示的函數(shù)，表示瞬時瞬時功率流密度；功率流密度； tS （3 3） 的大?。簡挝粫r間內(nèi)通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的能量；的大小：單位時間內(nèi)通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的能量；S （4 4） 的方向：電磁波傳播方向。的方向：電磁波傳播方向。S說明：說明： （2 2）公式中，）公式中， 應為場量的實數(shù)表達式；應為場量的實數(shù)表達式；、EH三者互相垂直且滿足右手螺旋關系三者互相垂直且滿足右手螺旋關系、 、SEH()

8、dSE HS單位時間穿過閉合單位時間穿過閉合面面S進入體積進入體積V 的的電磁場能量電磁場能量4 4、4 4 唯一性定理唯一性定理( ,0) ,( ,0)E rH rE 并且在并且在 時，給定邊界面時，給定邊界面S S上電場強度的上電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量切向分量或磁場強度的切向分量 ， 在以閉合面在以閉合面S S為邊界的有界區(qū)域為邊界的有界區(qū)域V V內(nèi)，如果給定內(nèi)，如果給定 時刻的電場強度時刻的電場強度和磁場強度和磁場強度 的值，的值， 那么在那么在 時，區(qū)域時，區(qū)域V V內(nèi)的內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程組唯一地確定。電磁場由麥克斯韋方程組唯一地確定。0tttHE ,0tH0t,t

9、tSE H( , ),( , )VE r tH r t t0,麥氏方程組1 1、提供了具有唯一解的條件、提供了具有唯一解的條件2 2、為時變電磁場問題的求解提供了理論依據(jù)、為時變電磁場問題的求解提供了理論依據(jù)作業(yè)：作業(yè)：4.14.1、4.34.3、4.94.9、4.124.12、4.164.16已知已知 例例 .1 用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負載傳送能量的過程。設用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負載傳送能量的過程。設（1 1）電纜為理想導體；（）電纜為理想導體；（2 2）非理想導體。導體的內(nèi)外半徑分別為）非理想導體。導體的內(nèi)外半徑分別為a和和b。解解:(1):(1

10、) 理想導體內(nèi)部電磁場為零，電磁場分布如圖所示。理想導體內(nèi)部電磁場為零，電磁場分布如圖所示。電場強度電場強度()ln( / )Uabb aEe()2Iab He222ln( / )bAaUIPddUIb a SA 穿過任一橫截面的能量相等，穿過任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負載吸收電源提供的能量全部被負載吸收。 電磁能量是通過導體周圍的介質(zhì)傳播的，電磁能量是通過導體周圍的介質(zhì)傳播的，導線只起導向作用導線只起導向作用。表明表明：z2I)a/bln(UeHES單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導體間的橫截面單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導體間的橫截面A A的總能量為的總能量為磁場強度磁場強度坡印亭矢量坡印亭矢量圖

11、圖4.4.1 4.4.1 同軸電纜中的電磁能流同軸電纜中的電磁能流 常數(shù)常數(shù)0l2UddrUrE2 ezJIEaattEE外內(nèi)(2)(2)非理想導體非理想導體 電導率為電導率為 ，計算導線損耗的能量。，計算導線損耗的能量。導體內(nèi)電場強度導體內(nèi)電場強度根據(jù)邊界條件，內(nèi)導體表面上根據(jù)邊界條件，內(nèi)導體表面上有有圖圖4.4.2 4.4.2 導體有電阻時同軸電纜中的導體有電阻時同軸電纜中的E、H 與與S2外aIHea則內(nèi)導體表面外側則內(nèi)導體表面外側ln( / )aUb aEe外2zIa e內(nèi)導體表面外側的坡印廷矢量內(nèi)導體表面外側的坡印廷矢量()外外外aaSEH223222ln( / )zIUIaab a

12、ee進入每進入每單位長度單位長度內(nèi)導體的功率為內(nèi)導體的功率為()SaAPe dA 外22022lIIaadzaa222lII Ra表明，導體電阻所消耗的能量是由表明，導體電阻所消耗的能量是由外部外部傳遞的。傳遞的。HEStnHESnt電源提供的能量一部分用于導線損耗電源提供的能量一部分用于導線損耗 另一部分傳遞給負載另一部分傳遞給負載圖圖4.4.3 4.4.3 導體有電阻時同軸電纜中的導體有電阻時同軸電纜中的E、H 與與S()外外外aaSEH223222ln( / )zIUIaab aee4.5 4.5 時諧電磁場時諧電磁場一、時諧量的復數(shù)表示一、時諧量的復數(shù)表示電磁場隨時間作正弦變化時，電場

13、強度可用余弦函數(shù)表示電磁場隨時間作正弦變化時，電場強度可用余弦函數(shù)表示, , , ,cosxxmxEx y z tEx y zt, , , ,cosyymyEx y z tEx y zt, , , ,coszzmzEx y z tEx y zt用復數(shù)的實部表示用復數(shù)的實部表示jReexxxmtEEjjReeReeyttymyymEEEjjReeReezttzmzzmEEE式中式中jjeeyzymymzmzmEEEE稱為稱為時諧電場的復振幅時諧電場的復振幅2221(cossin )ReImjzajbjzrerabzrjzzjz 復數(shù)的表示復數(shù)的表示jexxmxmEEjReetxmE()( )co

14、s()mttE r,Er其三個分量表示其三個分量表示三要素三要素幅幅 值值角頻率角頻率相相 位位時諧電磁場不但易于激發(fā)時諧電磁場不但易于激發(fā), ,而且任意而且任意的周期函數(shù)都可展開為傅立葉級數(shù)的周期函數(shù)都可展開為傅立葉級數(shù), ,非周期函數(shù)可用傅立葉積分表示非周期函數(shù)可用傅立葉積分表示故故jjReeReexxyyzztxxmyymzzmtmEEEEEEEeeeeeeE式中式中mxxmyymzzmEEEEeee稱為稱為時諧電場的復矢量時諧電場的復矢量 時諧場對時間的導數(shù)時諧場對時間的導數(shù)jjjReeReeRe jetttmmmtttEEEE22j2j22ReeReettmmttEEE二、復數(shù)形式的

15、麥氏方程二、復數(shù)形式的麥氏方程由麥氏第一方程由麥氏第一方程tDHJjjjReeReeRe jetttmmmHJD設為時諧場設為時諧場任何場矢量任何場矢量mxxmyymzzmHHHHeeexxmyymzzmJJJmJeee222jtt將對空間坐標的微分運算和取實部運算順序交換將對空間坐標的微分運算和取實部運算順序交換jjjReeReejetttmmmHJDjjeejmmmttHJD約定不寫出時間因子約定不寫出時間因子 ，去掉場量的下標和點，即得麥氏方程的復數(shù)形式，去掉場量的下標和點，即得麥氏方程的復數(shù)形式jetjHJD同理其他三個麥氏方程同理其他三個麥氏方程j EB0BD三、復數(shù)形式的波動方程三

16、、復數(shù)形式的波動方程波動方程波動方程2220tEE設為時諧場設為時諧場222t得得220kEE同理同理220kHH亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程令令 波數(shù)波數(shù)22k 用復數(shù)形式研究時諧場稱為頻域問題。用復數(shù)形式研究時諧場稱為頻域問題。 復數(shù)公式與瞬時值公式有明顯的區(qū)別，復數(shù)表示不再加點。復數(shù)公式與瞬時值公式有明顯的區(qū)別，復數(shù)表示不再加點。jjjReeReeRe jetttmmmHJD場強復矢量的齊次波動方程場強復矢量的齊次波動方程1.1.復數(shù)式復數(shù)式只是數(shù)學表達式，不代表真實的場，沒有明確物理意義只是數(shù)學表達式，不代表真實的場，沒有明確物理意義, , 2.2.實數(shù)形式實數(shù)形式代表真實場，具有明確物理

17、意義；代表真實場，具有明確物理意義；3.3.在某些應用條件下，如能量密度、能流密度等含有場量的在某些應用條件下，如能量密度、能流密度等含有場量的平方平方關系的物理量關系的物理量采用復數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場問題得以簡化；采用復數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場問題得以簡化；說明說明: :SEH（稱為二次式（稱為二次式 ），只能用場量的），只能用場量的瞬時形式瞬時形式表示。表示。 損耗除與材料有關外，還與場隨時間變化的快慢有關。損耗除與材料有關外，還與場隨時間變化的快慢有關。在有損耗的情況下，電磁參量就不再是實常數(shù)，而是復數(shù)，在有損耗的情況下，電磁參量就不再是實常數(shù)，而是復數(shù)，且與頻率有關。且與頻

18、率有關。 非理想導體非理想導體 有限有限 歐姆損耗歐姆損耗 實際媒質(zhì)都是有損耗的實際媒質(zhì)都是有損耗的 極化損耗極化損耗磁化損耗磁化損耗四四. . 時諧場中媒質(zhì)的性質(zhì)時諧場中媒質(zhì)的性質(zhì)1 .1 .復介電常數(shù)復介電常數(shù)HEjE復電容率復電容率 （歐姆損耗）（歐姆損耗） c()cjEjjE 引入引入 后對于時諧場，導電媒質(zhì)的方程與理想介質(zhì)中的方程有完全相后對于時諧場，導電媒質(zhì)的方程與理想介質(zhì)中的方程有完全相同的形式，即把導電媒質(zhì)等效地看作一種介質(zhì)，把傳導電流和位移電流用同的形式，即把導電媒質(zhì)等效地看作一種介質(zhì)，把傳導電流和位移電流用一個等效的位移電流代替，一個等效的位移電流代替， 即為等效的介電常數(shù)

19、即為等效的介電常數(shù)cc 媒質(zhì)的電磁特性、傳導特性在描述時，其特性分別用媒質(zhì)的電磁特性、傳導特性在描述時，其特性分別用、表征表征 若媒質(zhì)還存在極化損耗若媒質(zhì)還存在極化損耗 jc 兩者同時存在：兩者同時存在： )( jc2.2.損耗角損耗角 tg表征電介質(zhì)的損耗特性表征電介質(zhì)的損耗特性/tg 0 工程上稱工程上稱 的介質(zhì)為低損耗介質(zhì)。的介質(zhì)為低損耗介質(zhì)。 愈小，介愈小，介質(zhì)的絕緣性能愈好。質(zhì)的絕緣性能愈好。 通過測量電氣設備的通過測量電氣設備的 值可以檢測值可以檢測設備的絕緣缺陷，如絕緣受潮、老化等。設備的絕緣缺陷，如絕緣受潮、老化等。1tgtgtg微波爐中，微波頻率為微波爐中，微波頻率為2.45

20、 GH2.45 GHZ,Z,面食的面食的 約為約為0.0730.073，菜和，菜和肉的肉的 較高，而包裝盒材料的較高，而包裝盒材料的 僅為僅為 ，所以，所以包裝盒中的食物得以加熱，而包裝盒幾乎不獲取熱量。包裝盒中的食物得以加熱，而包裝盒幾乎不獲取熱量。tgtgtg510應用應用: :（虛部與實部之比）（虛部與實部之比）/tg 11 ()100dII 弱導電媒質(zhì)（良絕緣體）弱導電媒質(zhì)（良絕緣體）1 (100)dII良導體良導體3.3.磁化損耗磁化損耗 tg傳導電流與位移電流振幅之比傳導電流與位移電流振幅之比復磁導率復磁導率1100100 有損耗媒質(zhì)有損耗媒質(zhì) 比值與頻率有關，比值與頻率有關，低頻

21、低頻時的良導體，時的良導體，高頻高頻時就可能為絕緣體了時就可能為絕緣體了cj0 表征磁介質(zhì)的磁化損耗表征磁介質(zhì)的磁化損耗導電媒質(zhì)：導電媒質(zhì)： 0例例.3五五. .時諧場的位函數(shù)時諧場的位函數(shù) 復數(shù)形式復數(shù)形式 ： 1 HA洛侖茲條件：洛侖茲條件： Ajt Aj 2()() AAEjAjjA而而 AEtjt EjA22 k21() HAAEjAk達朗貝爾方程：達朗貝爾方程： 22221 Ak AJk六六. . 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量坡印廷矢量坡印廷矢量SEH坡印廷矢量的坡印廷矢量的瞬時值瞬時值( (實數(shù)形式實數(shù)形式) )正弦電磁場，該量在一個周期內(nèi)的平均值正弦電磁場，該量在

22、一個周期內(nèi)的平均值平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量正弦變化矢量正弦變化矢量 tt、AB1(*)21(*)2ReReAA+ABB+B于是于是11() (*)(*)2211(*)()22ReReReReAB)A+AB+BA BA B2/012SSS avTdtdtT也可用復數(shù)形式求平均值也可用復數(shù)形式求平均值 2Re Re11()*()*2211ReRe*22j tj tj tj tj tj tjtttEeHeEeEeHeHeEHeEHS = EH 011d1Re*2TavTttdttttTTavSEHSEHEH其平均值其平均值平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量1Re2avSEH 與時間無關。與時間無關。avS2 /012SSS avTdtdtT 表示電磁場中某點處的表示電磁場中某點處的有功有功功率流密度功率流密度, ,即在該處垂直穿過單即在該處垂直穿過單位面積的平均功率流大小和方向位面積的平均功率流大小和方向無功無功功率流密度功率流密度1Im2EH均勻線性各向同性媒質(zhì)中，電磁場能量密度的平均值均勻線性各向同性媒質(zhì)中