數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾種統(tǒng)計(jì)推斷方法

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾種統(tǒng)計(jì)推斷方法導(dǎo)學(xué)文章之九數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問(wèn)題是根據(jù)樣本所提供的信息， 對(duì)總體的分布以及分布的數(shù)字特征 作出統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷的主要內(nèi)容分為兩大類：一是參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，另一類是假設(shè)檢 驗(yàn)問(wèn)題。本篇文章主要討論總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。一、點(diǎn)估計(jì)1、矩估計(jì)首先講“矩”的概念，定義：設(shè)X是隨機(jī)變量,k是一正整數(shù)，若EX k存在，則稱EX k為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，記為ak ；若存在，貝U稱它為X的k階中心矩，記為bk。顯然，數(shù)學(xué)期望EX就是1階原點(diǎn)矩，方差 DX就是2階中心矩。簡(jiǎn)單的說(shuō)就是用樣本矩去估計(jì)相應(yīng)的總體矩，用樣本矩的連續(xù)函數(shù)去估計(jì)相應(yīng)的總 體矩的連續(xù)函數(shù)。矩估計(jì)法

2、的理論基礎(chǔ)是大數(shù)定理。因?yàn)榇髷?shù)定理告訴我們樣本矩依概 率收斂丁總體的相應(yīng)矩，樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂丁相應(yīng)總體矩的連續(xù)函數(shù)。我們通常樣本的均值X去估計(jì)總體的均值EX :即總體為X時(shí)，我們從中取出n個(gè)樣本Xi,X2"，Xn,我們認(rèn)為總體的均值就是種估計(jì)，當(dāng)然會(huì)有誤差)1 nX =1£ Xi ,(當(dāng)然這只是對(duì)總體均值的一 n i注當(dāng)EX 2存在的時(shí)候，我們通常用1 n-Z Xi2作為總體X的EX 2的估計(jì)n i注般地，我們用1Z Xik作為總體X的EX k的估計(jì)，用1Z (X i -X )k作為總體的E(X -EX )k的估計(jì)。例：設(shè)總體X在a,b上服從均勻分布，參數(shù)a,b未

3、知，X1,X2，X是一個(gè)樣本,求a,b的矩估計(jì)量。解：由矩估計(jì)法知道:EXa b2由于 DX = EX 2 -(EX )22 (b - a) (a b)12,因此 EX = D X , (EX )=用矩估計(jì)法，也即用X =Y Xi作為EX的估計(jì)，用1Z Xi2作為EX 2的估計(jì),n i 蘭n i為了計(jì)算方便，我們記Ai =1乏 Xi ,記氣=1£ Xj2 ,n i -1n i A222 (b -a) (a - b)EX = = A2124a b = 2 A1解得，b a = ,12（ A2 -A2）再聯(lián)立解關(guān)于a, b的方程組得a, b的矩估計(jì)量分別為a = A1 _ , 3(A2

4、_A12) =X3 n (Xj -X) n i -1b = AiA2 _Ai2) =X+ /W (Xi X)2, n但2、極大似然估計(jì) 對(duì)丁連續(xù)型總體X,設(shè)它的密度函數(shù)為f（xq,e2,估計(jì)的未知參數(shù)。設(shè)Xi，X2，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，貝U Xi，X2，X），其中，用2,Bm是需要,的聯(lián)合密度函數(shù)為：n【f（Xi；/2,斗） =1對(duì)丁給定的一組樣本值Xi,X2，Xn，記聯(lián)合密度nL =L（Xi，X2，Xn""&"'m） I f （X ；U"&"、m） i zi則稱L為樣本的似然函數(shù) 若X為離散型總體，它的概率分布

5、為：PX =X =p（X；=，U2,m）對(duì)丁給定的一組樣本觀測(cè)值Xi，X2，Xn，記聯(lián)合密度nL =L（X“X2,Xn；U"2，m）.l P； W 'm） i z±則稱L為樣本的似然函數(shù) 具體求法對(duì)丁已經(jīng)給定的樣本觀測(cè)值X1, XXn來(lái)說(shuō)，似然函數(shù)L是關(guān)丁待估計(jì)的參數(shù)印d,Om的函數(shù)，因此我們應(yīng)該想辦法通過(guò)似然函數(shù) L求出參數(shù),也,況值。這里我們求法的思想來(lái)源丁多元函數(shù)求極大值：也即，我們把L =L（Xi, X2，Xn；Q,&,6m ）看作關(guān)丁眼日2,況的多元函數(shù)，我們要 求得適當(dāng)?shù)挠,玖的值，使得L = L（Xi,X2，Xn； &,d,摭）取最大

6、值。解釋：實(shí)際上L =L（Xi,X2，XnE，日2,摭）表示隨機(jī)變量Xi,X2，Xn取得樣本值 Xi, X2，Xn時(shí)的聯(lián)合概率，我們?cè)谝淮卧囼?yàn)中事件（Xi, X2，Xn） =（Xi,X2，Xn）已經(jīng)發(fā)生， 我們就有理由認(rèn)為，參數(shù)必須保證此時(shí)的概率最大，也即：參數(shù)（g,e2,）的值應(yīng)該是使得L =L （Xi ,X2，Xn； Q,%，0m）最大的點(diǎn)。這樣我們的方法就是多元函數(shù)求極大值的方法。極大似然估計(jì)的具體步驟為： 求出似然函數(shù)L =L（Xi，X2，XnN，%，況）； 計(jì)算關(guān)?。ㄓ“?況）的函數(shù)L =L（Xi，X2Xn；0,828m）的極大值點(diǎn),我們由微積分的知識(shí)知道，實(shí)際問(wèn)題中的極大值點(diǎn)就是函

7、數(shù)的駐點(diǎn)，也就是每 個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)，即0=0涕icL=0_ 一 一«涕2（一般稱該方程組為似然方程組）cL=0御但是在實(shí)際計(jì)算中，由丁 L =L（Xi，X2，Xni29m）都是乘積，因此以上方程組求 解不太容易，這時(shí)候我們由微積分的知識(shí)知道到函數(shù) L = LW，X2，Xn；，,H2,8m）和它的 對(duì)數(shù)函數(shù)In L =ln L（Xi，X2，乂口；,，）有相同的極大值點(diǎn)，因此我把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 In L =ln L（Xi,X2，XnR%，%）的極大值點(diǎn)，這樣把乘積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了和差問(wèn)題，在某 些復(fù)雜問(wèn)題中可以大大減輕計(jì)算！ain L=0圖i瀏n L 八=0， ， 、，一 ， 、，一<

8、;和2（一股稱該方程組為對(duì)數(shù)似然方程組）Sin L =0瀏m求解這個(gè)方程組即得到 上個(gè)步驟求出的（機(jī)敏伉）就是參數(shù)（8i¥"m ）的估計(jì)值。二、區(qū)間估計(jì)由丁總體的未知參數(shù)8的估計(jì)量/Xi，X2Xn）是隨機(jī)變量，無(wú)論這個(gè)估計(jì)量的性質(zhì)有多好，通過(guò)一個(gè)樣本值（Xi，X2，Xn）所得到的估計(jì)值，只能是未知參數(shù)8的近似值，而不是0的真值。并且樣本值不同所得到的估計(jì)值也不同。那么 0的真值在什么范圍內(nèi) 呢？能不能通過(guò)樣本，尋找一個(gè)區(qū)間，以一定的把握包含總體未知參數(shù) 8呢？這就是總 體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。區(qū)間估計(jì)嚴(yán)格的定義為：定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)F （x,e）含有一個(gè)未知參數(shù)0，

9、對(duì)丁給定值a （0<1）,若由樣本（Xi，X2，Xn）確定的兩個(gè)的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量9l（Xi, X2,Xn）和8 （Xi，X2X n ）滿足PF（Xi,X2，Xn）f （Xi,X2，Xn） =i -：則稱隨機(jī)區(qū)間（$ ,確）是參數(shù)e的置信度為i -口的置信區(qū)間,&和02分別趁稱為置信度為i -a的雙側(cè)置信區(qū)間的 置信下限和置信上限，i -a稱為置信度。單個(gè)正態(tài)總體的的數(shù)學(xué)期望和方差的區(qū)間估計(jì)是我們重點(diǎn)要求掌握的知識(shí)點(diǎn)，大家可以好好閱讀教材第i8卜i98面，實(shí)際上課本把這種區(qū)間估計(jì)分各種情形的結(jié)論總結(jié) 成了第209面的表格。大家在理解這些區(qū)間估計(jì)的實(shí)質(zhì)后，應(yīng)該把表格的結(jié)論和公式記 住，往

10、往在實(shí)際解題的時(shí)候我們只需要套用這些結(jié)論就可以了！三、假設(shè)檢驗(yàn)所謂假設(shè)檢驗(yàn)，顧名思義就是先假設(shè)再檢驗(yàn)，實(shí)際上有點(diǎn)類似丁反證法，在實(shí)際問(wèn)題中我們往往需要對(duì)未知總體提出某中假設(shè)或推斷，但是我們的假設(shè)可能是錯(cuò)的，也可 能是正確的，這時(shí)候我們就需要利用一個(gè)抽樣的樣本（Xi,X2，Xn），通過(guò)一定的方法，檢 驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否合理,從而作出接受或者拒絕這個(gè)假設(shè)的結(jié)論。假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理是一一小概率事件原理，也即：我們認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，如果我們?cè)诔槿〉臉颖居^測(cè)值（為,乂2，Xn）下，居然使得小概率事件發(fā)生了，我們就有理由否定原假設(shè)。在明確一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的性質(zhì)與基本前提（包括分布類型是否已知，如果類型已知，分布中包含哪些未知參數(shù)等等）之后，假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟如下：（1）充分考慮和利用已知的背景知識(shí)提出原假設(shè) H。以及對(duì)立假設(shè)HL 給定樣本，確定合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并在 H。為真下導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的分布（要求此分布不依賴與任何未知參數(shù)）； 確定拒絕域：即依直觀分析先確定拒絕域的形式，然后根據(jù)給定的顯著性水平a 和以上統(tǒng)計(jì)量的分布由條件概率 P（拒絕H 0 | H 0為真 =ot確定拒絕域的臨界值，從而確定拒絕域；作出判斷：由一次具體抽樣的樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，若統(tǒng)計(jì)量的值落入以上拒絕域，則拒絕H0