最全圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、i.橢圓的定義：高中數(shù)學(xué)橢圓的知識(shí)總結(jié)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(PFiPF2 2a IF1F2 ),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距注意：若PFi PF2動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無圖形.(i)橢圓：焦點(diǎn)在X軸上時(shí)為參數(shù))，焦點(diǎn)在y軸上時(shí)2.橢圓的幾何性質(zhì)：2 X (i)橢圓(以上萬 a2 y b2兩個(gè)焦點(diǎn)(c,0);RF2I ,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段訐2；若 PFi |PF2 IEF2,則AB =Jl kXiX2 ,所在直線方程設(shè)為X ky6.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題:2y2ab ,則 AB =gk2| yi V2。2Xi ( a b

2、 b2a b 0)為例)對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸X,22b c )0)。：范圍:bcos (參數(shù)方程，其中x a, b y b ;焦點(diǎn):一個(gè)對(duì)稱中心(0,0 ),四個(gè)頂點(diǎn)(a,0),(0, b),其中長軸長為2a,短軸長為2b；離心率：e越小，橢圓越圓；e越大,橢圓越扁。(2).點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系2X:點(diǎn)P(X0, yO)在橢圓外號(hào)ay2b2點(diǎn)P(X0,y0)在橢圓上2 X。2a2N0號(hào)=i;點(diǎn)P(X0,y0)在橢圓內(nèi) b2X02 次 b23.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(i)相交:0 直線與橢圓相交；(2)相切:0 直線與橢圓相切;(3)相離:0 直線與橢圓相離;2 X 如：直線ykX i=0與橢圓一

3、y- i恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是4.焦點(diǎn)三角形(橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)5.弦長公式：若直線y kX b與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A B,且Xi, X2分別為A、B的橫坐標(biāo)，則若yi,y2分別為A b的縱坐標(biāo)，則yi遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”222xyb x0 2-2i中，以P(X0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=-“上；aba y02X如(i)如果橢圓36(2)線L:(3)求解。在橢圓2 i弦被點(diǎn)A (4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是92X已知直線y=X+i與橢圓3a2當(dāng) i(a b 0)相交于A、B兩點(diǎn)，且線段b2x2y=0上，則此橢圓的離心率為AB

4、的中點(diǎn)在直22試確定m的取值范圍，使得橢圓 匕 i上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 y 4x m對(duì)稱;43特別提醒：因?yàn)?是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)i.如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱中心,0!橢圓知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用兩條對(duì)稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a,b； 一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量 a,b,c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,b,c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是

5、由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為:222(a b 0), (a c 0) " (a b c )?？山柚覉D理解記憶:y2的分母的22方程Ax2 By2 C可化為A- 曳221,即上曳CCABB、C同號(hào),C , 一時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上;BC C當(dāng)一一時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在yA B則c相同。2 x 與橢圓, a2X2 a m2bm 1(m7.判斷曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的依據(jù):若把曲線方程中的x換成X ,方程不變,則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱;若把曲線方程中的y換成y ,方程不變,則曲線關(guān)于X軸對(duì)稱;若把曲線方程中的x、y同時(shí)

6、換成 x、y,方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。a,b,c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3 .如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看 大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4 .方程Ax2 By2 C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件C且A B時(shí)，方程表本橢圓。當(dāng)一A軸上。5 .求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法:待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再 由條件確定方程中的參數(shù) a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后

7、再根據(jù)定義確定方程。6 .共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異2v ,4 1 (a b 0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為 b22 b ),此類問題常用待定系數(shù)法求解。8 .如何求解與焦點(diǎn)三角形 PRF2 (P為橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計(jì)算問題思路分析：與焦點(diǎn)三角形 PFF2有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦1定理(或勾股定理)、三角形面積公式S PF1F2 jPF1 |PF2 sin F1PF2相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線段|PF1、PF2、FF2 ,有關(guān)角 F1PF2 (F1PF2F1BF2)結(jié)合起來，建立PF1 |PF2、|PF1 | PF2 之間的關(guān)系.9 .如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心

8、率的關(guān)系長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率e -(0 e 1),因?yàn)?ac2 a2 b2 , a c 0,用 a、b表示為 e 卜()2 (0 e 1)。顯然：當(dāng)上越小時(shí)，e(0 e 1)越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)-越大，e(0 e 1)越小， aa橢圓形狀越趨近于圓。題型1：橢圓定義的運(yùn)用22x y例1.已知F1,F為橢圓 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 F1的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)若 259EA 怩B 12,則 |AB .例2.如果方程x2 ky2 2表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，那么實(shí)數(shù) k的取值范圍是 . 22x y22例3.已知P為橢圓 1 1上的一點(diǎn)，M , N分別為圓(x 3) y 1和圓2

9、516(x 3)2 y2 4上的點(diǎn)，則PM PN的最小值為題型2:求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)經(jīng)過兩點(diǎn) A(J3, 2), B( 2j3,1);(2)經(jīng)過點(diǎn)(2, - 3)且與橢圓9x2 4y2 36具有共同的焦點(diǎn)；(3) 一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為442-4.2例2.橢圓上162y-1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為9題型3:求橢圓的離心率題型7:直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷例 1、 ABC 中，A 30o,AB 2, SVabc底,若以A, B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C ,則橢圓的離心率為例1.當(dāng)m為何值時(shí),直線y x m與橢

10、圓2x1621相交相切相離9例2、過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于 P,若 F1PF2為等腰直角三角形，則橢例2.若直線y kx圓的離心率為21(k R)與橢圓工 51恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍;題型4：橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用(范圍、對(duì)稱性等)題型8：弦長問題x2例1.已知實(shí)數(shù)x, y滿足一421,則 x22y2 x的范圍為例1.求直線y 2x 4x24被橢圓空 91所截得的弦長.2x例2.已知點(diǎn)A, B是橢圓1 m2y1 ( m nuuu0,n 0 )上兩點(diǎn)，且AOuuuBO ,則x2例2.已知橢圓一21的左右焦點(diǎn)分別為F,F2,若過點(diǎn)P (0,-2 )及Fi的直線交橢

11、圓于A,B題型5:焦點(diǎn)三角形問題兩點(diǎn)，求ABE的面積;x2例1.已知F1,F2為橢圓 92y一 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上的一點(diǎn)，已知4P,F1,F2為一個(gè)直角三題型9:中點(diǎn)弦問題例1. 求以橢圓角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且 PF1例2.已知F1,F2為橢圓例3.已知橢圓的焦點(diǎn)是圓上，且PF1題型6:三角代換的應(yīng)用PPI . IPF1I2,南的值.例2.中心在原點(diǎn),21內(nèi)的點(diǎn)A (2,-1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程。5一個(gè)焦點(diǎn)為弓(0，而)的橢圓截直線y 3x 2所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為22C: 1的兩個(gè)焦點(diǎn),84Fi(Q 1),F2(Q1),且離心率 e1,求 cos F1PF2.22x y例1.橢圓1上的

12、點(diǎn)到直線l: x y 9169在C上滿足PFi PF2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1一 求橢圓的方程；設(shè)點(diǎn)P在橢20的距離的最小值為求橢圓的方程.例3.橢圓mx22ny 1與直線x y 1相交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn).若|AB 2衣，OC的斜率為， (O為原點(diǎn))，求橢圓的方程.鞏固訓(xùn)練1.如圖，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，直線AB1與BF交于D,且 BDB1=90o,則橢圓的離心率為x22uuu uuu2 .設(shè)Fi,F2為橢圓 A y 1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng) F1PF2面積為1時(shí)，PFi PF2的值為 4223 .橢圓 二)-1的一條弦被 A 4,2平分，那么這條弦所在的直線方程是3694.若Fi,

13、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若 PF1F2： PF2F1： F1PF2 1:2:3,則此橢圓的離心率為22x y 5.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 一2 今 1(a b 0)的焦距為2c,以。為圓心，a為半徑的圓, a b2過點(diǎn)(a-,0)作圓的兩切線互相垂直，則離心率e= .c雙曲線基本知識(shí)點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在X軸) 22Y 221( a 0, b 0)a b標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在 y軸) 22-2- -21 (a 0, b 0)a b定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1, F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于F1F2雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的匪M |MF1|MF2 2a 2a

14、F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫離叫焦距。對(duì)稱軸 X軸，y軸；實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b對(duì)稱中心原點(diǎn)O(0,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)Fi( c,0) F2(c,0)Fi(0, c)F2(0,c)焦點(diǎn)在實(shí)軸上，c Ja2 b2 ；焦距：IF1F2 2c頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0) ( a,0)(0, a,) (0, a)離心率e - J1,(e 1) a V a漸近線方程by -x aay藍(lán)共漸近線的雙曲線系方程22鼻鼻 k (k 0)a2b222二' k ( k 0)a b直線和雙曲線的位置22雙曲線 S 士 1與直線y kx b的位置關(guān)系： a b221利用 a2 b21轉(zhuǎn)化為，元二次方程用判別式確定。y kx b

15、二次方程一次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦 AB的弦長 AB| Ji k2J(x1 x2)2 4x1x2補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn):等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：(1)半實(shí)軸長=半虛軸長(一般而言是 a=b,但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是 a,b這兩個(gè)字母)；(2)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y2 C ,其中C 0；（3）離心率e 、工；2 x C .422 yD. x -14（4）漸近線：兩條漸近線y=±x互相垂直;例5、與雙曲線例題分析:2y161有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)3,273的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條例1、動(dòng)點(diǎn)P 與點(diǎn) Fi(0,5)與點(diǎn) F2(0, 5)滿足 PFi| |PF26 ,則點(diǎn)P的軌跡

16、方程為（漸近線的距離是A.22上L 191622-y- 1(y > 3)1692 x162 x同步練習(xí)一：如果雙曲線的漸近線方程為A. 53例2、已知雙曲線542 yk163L5或5342y92y91(y< 3)則離心率為（D. 3A.12 k 1同步練習(xí)二：雙曲線2例3、設(shè)P是雙曲線二(A) 8(B)(C) 2(D) 11的離心率為D. 12 k2yb22 yk的范圍為（1的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x 2y 0, E, F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若 PF13,則PF2的值為同步練習(xí)三：若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（0, 2）,（0

17、 2）,且經(jīng)過點(diǎn)（2,/5）,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例4、下列各對(duì)曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（x22(A) y-y =1(B)9y2=1 和 y2- 二二133同步練習(xí)五：以例6、下列方程中，以22(« L 1164。3x為漸近線，一個(gè)焦點(diǎn)是 F （0,x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是(B)1621 (嗚 y22)的雙曲線方程為_21 (D)x同步練習(xí)六：雙曲線8kx2-ky 2=8的一個(gè)焦點(diǎn)是（0 , 3）,那么k的值是例7、經(jīng)過雙曲線x2(1)求 |AB|.(C)y 2- x-=13和 x2- - =13(D)22二-y2 = 1 和 x-392L=13同

18、步練習(xí)四：已知雙曲線的中心在原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)Fi, F2分別為（而0）和（而0）,點(diǎn)P在雙曲線上且PFi PF?,且PF1F2的面積為1,則雙曲線的方程為（2y31的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30 °的弦AB,（2） Fi是雙曲線的左焦點(diǎn)，求 FiAB的周長.22同步練習(xí)七過點(diǎn)（0, 3）的直線l與雙曲線2-1只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線 l的方程。43高考真題分析1.12012高考新課標(biāo)文的準(zhǔn)線交于A, B兩點(diǎn),(A) 22.12012高考山東文10】等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),AB 4/3 ;則C的實(shí)軸長為（(B) 2,2(C)2211】已知雙曲線C1 ：告22a b焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線(D

19、)1(a0,b 0）的離心率為2.C2：x2 2py（p 0）的焦點(diǎn)到雙曲線 G的漸近線的距離為 2,則拋物線C2的方程為y2 16x若拋物線(A)x283y (B)x2163 y(C)x28y (D)x216y333.12012高考全國文10】已知F1、52為雙曲線C:x2 y2 2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上,| PF1 | 2 | PF2 |,則 cosF1PF2隹占 八、八、頂點(diǎn)(p,0)( p，0)(0，p)焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上O(0,0)(0，p)(A) 14(B)(C)離心率e=14. （2011年高考湖南卷文科26）設(shè)雙曲線二a2y_91(a0）的漸近線方程為 3x 2y 0,則a的值

20、為（）5.12012高考江蘇8 （5分）在平面直角坐標(biāo)系2xOy中，若雙曲線 m2，一 1的離心率為45, m24準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)則m的值為線的距離拋物線焦半徑準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。A(xi, y1)焦點(diǎn)弦焦點(diǎn)弦AB的幾條性質(zhì)A(x”y1)B(x2,y2)AF x1AFx1AF y1 1AFy12(xi x2) p(Xi x2) pL xX2, Y2(y y2) p(y y2) p以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切若AB的傾斜角為，則|AB| Vpsin若AB的傾斜角為 ，則|aB 2pcos2p2x1x2，yy2P411 AF BFAB2AF BF AF?BF AF ?BF p切線方程y°y p(x x0)y°yp(x x°)x°xp(y V。)x°xp(y y°)1、直線與拋物線的位置關(guān)系A(chǔ)By2 j1 jj(y1(2).中點(diǎn) M (x。，y0),點(diǎn)差法:x0xx22，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1, %),y2)2 4y1y2、1 kv yy2y0代入拋物線方程，得y kx b . 一直線l : y kx b ,拋物線C : y2 2px , 由 2 ，洎y得： y 2px1d=0(1)當(dāng)k=0時(shí)，