2015年浙江省高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、絕密考試結(jié)束前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理科）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共 5 頁(yè)，選擇題部分 1 至 3 頁(yè)，非選擇 題部分 4 至 5 頁(yè)。滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘。請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。選擇題部分（共 50 分）注意事項(xiàng)：1. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫 在試卷和答題紙規(guī)定的位置上。2. 每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。參考公式如果事件A,B互斥 ，那么如果事件A,

2、B相互獨(dú)立，那么如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺(tái)體的體積公式其中Si,S2分別表示臺(tái)體的上、下面積，h表示臺(tái)體的高柱體體積公式V Sh其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高錐體的體積公式V】Sh其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高3球的表面積公式S 4 R2球的體積公式V4R3其中R表示球的半徑3一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的A.0, 1)B.(0, 2C.(1, 2)D.1,22.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),()A.8cm3B.12cm3C.32

3、cniD.33.已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是S,若a3,a4,as成等比數(shù)列，則（）A.aid0,dS0B.aid0,dS 0,Q=x|1x0,dS0D.aid04.命題“n N*, f(n) N *且f(n) nB.C.noN*,f( no)N*且f(no)n。D.noN*,f( n)N*或f(no) n。5.如圖，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)AB, C,其中點(diǎn)A B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則ABCFWAACF勺面積之比是()6.設(shè)A B是有限集，定義d(AB)=card(AB)-card(A B),其中 card(A)表示有限集A中的元素

4、個(gè)數(shù)，命題：對(duì)任意有限集A B“A B是“d(A B)0 ”的充分必要條件;命題：對(duì)任意有限集A B, C d(A CnA|BF|1|AF| 1|BF|21|AF |21C|BF| 1|AF| 1D.|BF|21|AF |21C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|8.如圖，已知ABC D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將AC折成厶A CD, 所成二面角A CDB的平面角為，則()A.ADBC.ACB二、填空題：本大題共7 小題,多空題每題 6 分,單空題每題 4 分，共 36 分29.雙曲線乞2y21的焦距是，漸近線方程是210._已知函數(shù)f(x)=X匚3,x 1,則f(f(-

5、3)=一_f(x)的最小值是_ig(x2i),x 111.函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是,單調(diào)遞減區(qū)間是_12._ 若a=log43,則2a2a=13. 如圖,三棱錐A-BCC中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,B點(diǎn)M N分別是AD BC的中點(diǎn)，則異面直線AN CM所的角的余弦值是_14. 若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2 |b(砧ye?)| =1 (Xo,yo R),貝卩Xo二，yo=1b|=_三、解答題：本大題共 5 小題，共 74 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. (本題滿分 14 分)在厶ABC中,內(nèi)角A B,C所對(duì)的邊分別為a,

6、b,c,已知A=-,4 2 212b-a二c2求 tanC的值；(II)若厶ABC的面積為 3,求b的值17. (本題滿分 15 分)如圖，在三棱柱ABCABC中，BAC90 ,AB=AC=2,AA=4,A在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn).證明：AD平面ABC(II)求二面角A-BDB的平面角的余弦值18. (本題滿分 15 分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a, bR),記Ma,b)是|f(x)|在區(qū)間-1,1上的最大值證明：當(dāng) |a| 2 時(shí)，Ma,b) 2; (II) 當(dāng)a,b滿足Ma,b) 2,求|a|+|b| 的最大值19. (本題滿分 15 分)已知橢圓牙y2=1

7、 上兩個(gè)不同的點(diǎn)A B關(guān)于直線y=m)+l 對(duì)稱.求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(II)求厶AOB面積的最大值(0為坐標(biāo)原點(diǎn))20. (本題滿分 15 分)已知數(shù)列an滿足ai=l,且ani=an-a2(nN*)證明：1玉 2 (nN*)an 1(II)設(shè)數(shù)列a：的前n項(xiàng)和為S,證明一1Sn -一(nN*)2(n 2) n 2(n 1)2015 年浙江省高考數(shù)學(xué)(理)參考答案 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B9.2 3,x2y=0 10. 0,2. 2-311.?, k?+L,k?+L ,k Z8 812.竺 13. -14. 315. 1,2,2、23816.解：(I)T

8、a2二b2+c2-2bccosA=b2+c2-、2be又b2-a2=-c2.2bc-c2=-c2即 3c=2、2b223si nC=2j2s in 13=2/2si n(C+)=2(si nC+cosC)sinC=2cosC,故 tanC=24(II)5AB(=-bcsinA=2bc=3.bc=62又c-2bb2=6.2b2=9,故b=32433法二：(I) /b2-a2=-c2,A=sin2B1=1sin2C即-cos2B=sin2C242 2/. sin2C=-cos2(十C)=sin2C=2sinCcosC即 sinC=2cosC故 tanC=2(II) 由 tanC=2, 0C , 得

9、 cosC=1丄，sin C=-2v1 tan2C J55sin2B=2(1+sin2q臀sinB=.；0 23225 232曲從而cb又SABCbcsinAFbcb2二3b2=9,故b=324317. 解：(I) 設(shè)BC的中點(diǎn)為Q則AO丄平面ABC,即AO丄平面ABC：AO丄AD又AB=AC,BADS. AD丄BG. AD丄眄BC AOB AD丄平面BC(II)建立如圖所示的坐標(biāo)系Oxyz,則A,D=(-, 0, 0),C設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),則n AD n DB=0 _ACOS 2/. | | 1,故f(x)在-1,1上為單調(diào)函數(shù) M(a,b)=max|f(-1)|,

10、|f(1)|=max|1+b-a|, |1+b+a| =|1+b|+|a| 2 (最佳 表達(dá)式，重復(fù)應(yīng)用)(II)由知|a| 2, .| | 1 Ma,b)=max|f(-1)|, |f(1)|,f(號(hào)) |b|-1+|a| |1 +b|+|a|=max|f(-1)|, |f(1)| Ma,b) 2(II)由知a+b=f(1)-1,a-b=1-f(-1)|a|+|b| =max|a+b|, |a-b| =max|f(1) -1|, |1-f(-1)|wMa,b)+1w3當(dāng)a= -2,b= -1 時(shí)，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2 -2, 2, |x|w1,此時(shí)Ma,b)=2,|a|

11、+|b|=3因此,|a|+|b|的最大值為 319. 解：設(shè)A(X1, yj,B(X2,y2),AB的中點(diǎn)Mx。，y。)，則 2x=X1+X2, 2y。二y1+y?顯然m 0,故可設(shè)直線AB的斜率k=U2二丄x1x2m由Xi22y12,x22y；2,相減得(xX2)(XI+X2)+2(yi-y2)(yi+y2)=0 即Xo-yo=0m又點(diǎn)Mxo,yo)在直線y=mX1上,y。二mx+ ,故得xo=1,yo=g2又點(diǎn)M在橢圓-y21的內(nèi)部，故得丄-?22m243因此，金乎或葉f(此題用點(diǎn)差法最佳，簡(jiǎn)明使得出錯(cuò)的幾率小)法二：設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),AB的中點(diǎn)Mx。，yo),則 2x

12、o=Xi+X221k 原點(diǎn)O到直線AB的距離d= 2顯然 m o,故可設(shè)直線AB的方程為y二丄x+bm1由ymxx22y2b得(1+$)x2迤x+2(b2-1)=0 有兩個(gè)不等實(shí)根xi,2mmX2,8(i芻)(i)o 整理得m+2-mb2o(*)m2且Xo=l(Xi+X2)=bm,yo=丄xo+b二生2m 2mm 2又T點(diǎn)Mxo,yo)在直線y=mX上,y二mx+,整理得bm=m222m代入(*)式得m+22 2(m2o 即 4總(m+2)o,4m解得m|因此,介于或n于(其中也可得xo=myo= 2)(II)由k二丄,則 ok23.由(I)可得直線ABm2vi k2y+*=k(x-k)即kx

13、-y-k2g=o21由y2得x2-2kx+-(2k2+1)2：=0 (利用 |xi-X2|=)x22y2222k 1IAB1 k2|Xl-X2|=1kJ2 2(2k2 1)2k81故 5山日人恥專的2 1)(6 4k2)甘咖$8詩(shī)，且 0k2冷因此，當(dāng)k2二丄即mF2時(shí)，AOB勺面積5AO有最大值2 220.解：(I)an-an+1=a0an+1wan anwa1=1由 an=(1 an 1)%1得an=(1 a.J(1a.2)(1從而旦 色1 1,2an 1an(1 an)1 an法二：在 0anW1基礎(chǔ)上證anW2an+1可用分析法2要使anW2an+1,只要anw2(an-a：)2a：w

14、an0anw-1,故anW2an+1成立1(II)a2=an-an+1 /.Sn=a1-a2+a2-a3 an-an+1=a1-an+1= -an+1由an+1=an(1-an) 11丄11,2, 0anW -an 1an1 anan 1an1 an2故 1w11w2,nN*,累加得nw11w2n即n+2W1w2n+2an 1anan 1a1an 1即1wan+1W1,從而WSnF1一n-an+1w2n 2n 22(n 2)22(n 1)因此，1W：w1-(nN*)(1丄1an一5(II)關(guān)聯(lián)在此)2(n2)n2(n 1)an 1an1 anan 1腫6 4k2即 1w玉 W2an 1法二：(

15、用數(shù)學(xué)歸納法)a=an-3r+i Sn=ai-a2+a2-2h+ +anran+i=ai-an+i= -an+i2要使一 爼成立，只須且必須丄 an+c丄(nN*)2(n 2) n 2(n 1)2n 2n 2當(dāng)n=1 時(shí)，a2=!,可得11,結(jié)論成立443假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即1ak+i 02k 12 )4(k 1) 2k 4也就是說，當(dāng)n=k+1 時(shí)，結(jié)論也成立因此，原命題得證再附重點(diǎn)題詳解6.設(shè)A B是有限集，定義d(A B)=card(AB)-card(AB),其中 card(A)表示有限集A中的元素個(gè)數(shù)，命題：對(duì)任意有限集A B“AMBT 是“d(A B)0 ”的充分必要條件;命

16、題：對(duì)任意有限集A B, C d(A C07.存在函數(shù)f(x)滿足，對(duì)任意x R 都有()A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|解：(排除法，利用函數(shù)的單值性)在 A 選項(xiàng)中，令x=0,-可得f(0)=0 或 1,排除 AB 選項(xiàng)中，令x=0,?可得f(0)=0 或?2+?,排除 BC 選項(xiàng)中，令x=1, -1 得f(2)=0 或 2,排除 C事實(shí)上，在 D 選項(xiàng)中，令x2+2x=t,則(x+1)2=t+1Af(t)=t 1即存在f(x)=x 1A.命題和命題都成立B.命題和命題都不成立成厶A CD,所成二面角A

17、 CD B的平面角為，則()8.如圖，已知ABC D是AB的中點(diǎn),解：過B作BHLCD交于H過A作AE CD交BH的延長(zhǎng)線于E,點(diǎn)E折后對(duì)應(yīng)點(diǎn)EA.ADBC.ACB設(shè)AD=BD=x,AE=AE=2y=2DH則xd,且x2-d2=y2,/E HB=?易知AE丄E BAB2二cosADB=2x2A B22P_空 L 三勢(shì)三 cos?,故得ADB ?13.如圖，三棱錐A-BCC中,AB=A(=B=C=3,A=BC=2,B點(diǎn)M N分別是AD BC的中點(diǎn)，則異面直線AN CM所的角的余弦值是_解：取DN的中點(diǎn)E,則ME/AN / CM思AN CM所成的角易得CM2 運(yùn)，MEV2,CE=V3,故 cos/CMEC ME2CE2 7為所求2CM ME814.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2 |b(砧ye?)| =1 (X0,y R),貝X二，yo=1b|=_解：把ei,e2平移到共起點(diǎn)0后所確定的平面？建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,可設(shè)e1=(1,0, 0),&=(*,乎,0), 設(shè)b=OB=(u,v,w),由b ee=2