2021年高考數(shù)學第一輪專題復習-課題：不等式問題的題型與方法

1、第119-122課時：課題：不等式問題的題型與方法課題：不等式問題的題型與方法一復習目標：1 .在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握其 它的一些簡單不等式的解法.通過不等式解法的復習，提高學生分析問題、解 決問題的能力以及計算能力；2 .掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式（組），會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式;3 .通過復習不等式的性質(zhì)及常用的證明方法（比較法、分析法、綜合法、數(shù) 學歸納法等），使學生較靈活的運用常規(guī)方法（即通性通法）證明不等式的有關(guān)問 題；4 .通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基

2、本數(shù)學思想 方法證明不等式的能力；5 .能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題.6 .通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復數(shù)、立 體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學知識間的融匯貫通，從而 提高分析問題解決問題的能力.在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問 題的過程中，提高學生數(shù)學素質(zhì)及創(chuàng)新意識.2 .考試要求：1 .理解不等式的性質(zhì)及其證明。2 .掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 的定理，并會簡單的應(yīng)用。3 .掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。4 .掌握簡單不等式的解法。5 .理解不等式|aHb|

3、f|a + b|w|a| + |b|。3 .教學過程：（I）基礎(chǔ)知識詳析1 .解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式 變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機地 聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化.在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一,通 過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、 數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不 等式，運用圖解法可以使得分類標準明晰.2 .整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用 不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等

4、式等化歸為整式不等式（組）是解不等式 的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法.方程的根、函數(shù) 的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互 轉(zhuǎn)化和相互變用.3 .在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形 象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰,通 過復習，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等 式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用.4 .比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一

5、般步驟 是：作差（商）T變形一判斷符號（值）.5 .證明不等式的方法靈活多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強，這對發(fā)展分析綜 合能力、正逆思維等，將會起到很好的促進作用.在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的 結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法.通過等式或不等式的運算，將待 證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可 從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導出待證的不等式，前者 是執(zhí)果索因，后者是由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使 用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的.6 .證明不等式的方法靈活多樣，但上瞰法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法 仍是

6、證明不等式的基本方法.要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法， 要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點.7 .不等式這部分知識，滲透在中學數(shù)學各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng) 用.因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學們將所 學數(shù)學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用.在解決問題時，要依據(jù) 題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式 的求解或證明.不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數(shù)學之 中.諸如集合問題，方程（組）的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確 定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析

7、幾何中的最大值、最小值問題，無一 不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。8 .不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性.這類問題大致可以分為兩類：一 類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值,利用平 均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等三個條件缺一 不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件.利用不等式解應(yīng)用題的基本 步驟：1。審題，2。建立不等式模型，3。解數(shù)學問題，4。作答。9 .注意事I頁：解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等 式（組）或一元二次不等式（組）來求解解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結(jié)合

8、思想，函數(shù)與方程思想，分類討 論思想的錄活運用。不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在 掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注 意調(diào)整放縮的度。根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。（n ） 2004年高考數(shù)學不等式綜合題選1.（ 2004年高考數(shù)學廣西卷，5 ）函數(shù)八hog.u2-1）的定義域為（）C . 2,-1) U (1,2答案：A2 . ( 2004年高考數(shù)學廣西卷,8 )不等式i<|x + i|<3的解集為()A .(0,2) B . ( 2,0)U (2,4) C . (-4,0) D . (-4-2)

9、U(0,2)答案：D3 .( 2004年高考數(shù)學廣西卷,11)設(shè)函數(shù)/“)=卜+之<1 ，則使得/(x)ni 4-1的自變量X的取值范圍為()A . (-00-2U 0,10B . (-oo,-2Uo,iC . (-oo-2Ul,10D . -2,0 u 1,10答案：A4 . ( 2004年高考數(shù)學廣西卷，19 )某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800/的矩 形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左.右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留L寬的通道,沿 前側(cè)內(nèi)墻保留寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面 積最大。最大種植面積是多少？分析：本小題主要考查把實際問題抽象為數(shù)學問題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識和 方法解決

10、問題的能力.解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為a m ,后側(cè)邊長為b m ,則ab=800.蔬菜的種植面積 S = (a-4)(0-2) = ab-4b-2a + S = 808 2(a + 2b).所以 S < 808 - 472 = 648(/n2).當 a = 2b,即a = 40(。力=20(，*寸,S最人心=648()答：當矩形溫室的左側(cè)邊長為40m ,后側(cè)邊長為20m時,蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.5 .（ 2004年高考數(shù)學江蘇卷，1）設(shè)集合 P=1,2,3,4, Q=#|w2.nk,貝U PAQ等于（）A . 1 , 2 B. 3,4 C. 1 D. -2,1,

11、0,1,2答案：A6 .（2004年高考數(shù)學江蘇卷，10 ）函數(shù)“）=-3»1在閉區(qū)間3,0上的最大值、最小值分別是（）A . 1 , -1B . 1 , -17 C . 3 , -17 D . 9 , -19答案：C7 （ 2004年高考數(shù)學江蘇卷,12股函數(shù)m一八目，區(qū)間M = a zb（a<b）, 1+H集合N=y|-”，w,則使M = N成立的實數(shù)對（a ,m有（）A.0個B.1個 C.2個D.無數(shù)多個答案：A8 .（ 2004年高考數(shù)學江蘇卷，13 ）二次函數(shù)尸ax2+bx+c（xwR）的部分對應(yīng)值如下表：X-3-2-101234y60-4-6-6-406則不等式ax

12、2+bx+c>0的解集是答案：（s,-2）U（3,+s）9 .（2004年高考數(shù)學江蘇卷,22 ）已知函數(shù)x）o滿足下列條件：對任意的實數(shù)Xi , X2都有人 “1 -4)2 4*1 -叼)/。1)-/。2)和|/(占)-/*2)|4卜1-引，其中入是大于。的常數(shù).設(shè)頭數(shù) 3Q , 3 , b ；兩足/(。0)= 0和=4-?/(4)(1)證明入41,并且不存在-a。，使得/仇)0 ；(n)證明他-詢尸“。-入2)(0-40)2 ；(HI)證明劃2 (l-X2)/(fl)2 .分析：本題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問 題的能力。證法一：(I )任取演/2 uR

13、,X W/,則由 2(x, -x2)2 <(x, -x2)/(x,)-/(x2)和) - f(x2 )1<1 %1 -X2 I 可知 A(x, -X2)2 < (x, - a-2)/(x,) - /(A-,)J <1 Xj - X, I I /(x,) - f(x2) l<l X, - a-2 I2 ,從而2<1,假設(shè)有dW劭,使得/(4)=0,則由式知。< “劭 一%)2 < (劭 一%)"(劭)一 /(d)=。矛盾. 不存在。W 4,使得/(%) = 0.(n )由 =a-歹(a)可知 (Z> a0)2 =a a0Af(a)2

14、 =(a-a0)22A(a a0)f(a') + A7f(a) (4) 由 。0)= 0和式,得(。-。0)。) = 3-。0)"3)-/(%)之4(。-。0)2由/(&)=。和式知，/2 ="(。)一/(/) W(a-g)2由、代入式，得(一。0)2 « (。一。0)2 -2之25一斯)2 +丸25一旬)2=(1 -2" )(a -a0)(ni)由式可知"s)r =/()/+/(幻2="(b) - f(a)2 + 2/(。)"® - f(a) + /(a)2< （Z? _ 2.f（b） -

15、f（a） + f（a）f （用式）A2=A2"（a）F 一 _（ _ 0/S）一/（«） + f（a）fA< 發(fā)f（a）2-A-（b-a）2+ "（a）?（用式）A=下"（42_2萬"（02+/（02證法二：題目中涉及了八個不同的字母參數(shù)。也g4，工內(nèi)多,x以及它們的抽 象函數(shù)值/（*）。參數(shù)量太多，讓考生們在短時間內(nèi)難以理清頭緒。因而解決問題 的關(guān)鍵就在于消元一把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾 個特定變量來表示，然而再進行運算證明。"消元的模式并不難唯一，這里提 供一個與標準解答不同的消元”設(shè)想，供參考。題設(shè)中兩個

16、主要條件是關(guān)于X -勺與/（為）-/（）的齊次式。而點（匹,/（%1）、 （公j（±）是函數(shù)圖象上的兩個點，/a）-/（馬 ”網(wǎng)-公是連接這兩點的弦的斜率。 若欲證的不等式關(guān)系也能轉(zhuǎn)化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進行整體 消元。設(shè)均修為不相等的兩實數(shù)，則（X -占）2 >0,1項-1>0由題設(shè)條件可得：。<一/3一/3）和|/3）一/（“小。不一/±一工2個攵_ /區(qū)）7（% ）7 項'則對任意相異實數(shù)m,X2，有Ov/Wk及Ik&l ,即Ov/VZWl。由此即得行1 ;又對任意匹5有攵>0，得函數(shù)/在R上單調(diào)增，所以函數(shù)/（x）

17、是R上的單調(diào)增函數(shù)。如果%工。，貝（Jf（%），/（），因為/（如）= 0，所以/（%）工0。即不存在°。即，使得/仇） = 0。于是，（I ）的結(jié)論成立?？紤]結(jié)論（n）：因為 =a -4，故原不等式為a-aQ Af （a）2 < （1 -A2X«-a0）2 ；當a = 4時，左右兩邊相等；當“劭時,（a-a0）2 >0 ,且/（劭）=0 ,則原不等式即為:伍一劭 - "（a） + 4f （。0）< _ /2（。-a。）？令（,則原不等式化為（J女尸力外，即為1 +?。?2攵。 a - %因為,則正,所以4 +衣2 «2k成立，即（II

18、 ）中結(jié)論成立。再看結(jié)論（in）：原不等式即/（）-"伍）2 +22/（6/）2<0 ,BDlf（b）- f（a）.lf（b） - f（a） + 2f（a） + f（a）2 < 0 ,注意到b = a-歹,則b-a = -Af'（a）,貝!原不等式即為"3）一/（4）,"（初一/（）一2（。一"）/加 + （一。）24。即/-/W + IV。,令k = f（b）-f（a）,則原不等式即化為 b-a b-a 2h-ak（k-2/A） + <0 ,即之+丸工？女 ,因為Ov九,貝!斯？<幾<攵，所以W+4 4 2k成立，

19、即（W ）的結(jié)論成立。在一般的消元方法中，本題三個小題中不等關(guān)系的證明過程差異較大。尤其是（n）與（in）,許多尖子學生證明了（ n）的結(jié)論而不能解決（m x借助斜率k 整體消元的想法把（ni （m）中的不等關(guān)系都轉(zhuǎn)化為柜同的不 等關(guān)系衣2+幾工2k ,然后由條件0<44力推證，有獨到之處。(m)范例分析例1 設(shè)集合M =(對 則w= (y + 3)|y-l|+(y+3), -|<y< 3),若(a, b)eM ,且對M中的其它元素(c , d)，總有c>a ,則a=.分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學實質(zhì)，將是解決該問題的突破口.怎樣理解 對M中的其它元素(c , d),

20、總有c>af/ ? M中的元素又有什么特點？ 解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y) = (y+3),|yl| + (y+3)在<y< 3時的最小值.5125當時，x = (y + 3)(l-y)+(y + 3) = -/ -y+ 6=-(y+ -)2 + y,所以y = J時，又血=3- 4I39(2)當 l<y<3 時 z H = (y + 3)(y .l)+(y + 3) = y2 + 3y = (y + -)2乙I所以當y=l時，xmin=4 .而4),，因此當y = J時，晴最小值即a = J. I4II說明：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認清集合

21、元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié) 合條件，揭示其數(shù)學實質(zhì).即求集合M中的元素滿足關(guān)系式 % =。+ 3) |y -1代(y + 3),-；4y43 "的所有點中橫坐標最小的a 值.例2 .解關(guān)于'的不等式：xx-a<(a>0)分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不 是對參數(shù)“進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當時，不等式可轉(zhuǎn)化、 國, 9MX- Cl) < 2a- 19亡 -9ax- 2(r < 0.一 一3+ 歷.a <x<ab當時不

22、等式可化小 <“，即,- x)« 2.廠19廠 - 9ax + 2(r >0a f 2a/. x < 一或< x <a 33故不等式的解集為(-8：。336例3 .己知三個不等式：|2'-4|<5-%J7 N12/+3_1<0 X" 3x+2(1)若同時滿足、的X值也滿足,求m的取值范圍；(2)若滿足的x值至少滿足和中的一個，求m的取值范圍。分析：本例主要綜合復習整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數(shù)形 結(jié)合思想，解本題的關(guān)鍵弄清同時滿足、的X值的滿足的充要條件是： 對應(yīng)的方程的兩根分別在(-。)和3,一)內(nèi)。不等式和

23、與之對應(yīng)的方程及函數(shù)圖 象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的 內(nèi)在關(guān)系。解：記的解集為A ,的解集為B ,的解集為Co解得 A=(-1,3)；解得 B=o)52,4.AcB = 0,1)52,3)(1)因同時滿足、的X值也滿足，AcBqC設(shè)/(刈=2/+“ + 1,由/(X)的圖象可知：方程的小根小于0 ,大根大于或等于3時,即可滿足Ac8 u. J"。) <°即已<°- /(3) < 0 3/« + 17<03(2 )因滿足的x值至少滿足和中的一個，."q4 = 8,而4 = 8 = (

24、-1,4 因此 Cc(-1,4 .方程2/+g_1 = 0小根大于或等于-1 ,大根小于或等于4 ,因而/(-l) = l-/n>031/(4) = 4/» + 31> 0,解之得一一 W m < 14,m A-1 <<44說明：同時滿足的X值滿足的充要條件是：對應(yīng)的方程2x? +mx-l=0 的兩根分別在(-8,0)和3 , +8)內(nèi),因此有f(0) <0且f(3)<0 ,否則不能對A AB中的所有x值滿足條件,不等式和與之對應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的 內(nèi)在聯(lián)系的，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系.例4.已知對于自然數(shù)

25、a ,存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：az5.分析：回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(aH0).頂點式.f(x)=a(x-xo)2+f(xo)(a#O).這里(x。，f(x。)是二次函數(shù)的頂點,Xo =-kdac ' b?丁，f(x0)=；？點式.£(X)=a(N -X)(N -叼)3滬0).這里西、町2a4akc是使f(w) = 0的值，滿足巧十町=:，裂1% = &三點式.設(shè)氏，f(x1)、(X- f(xj)、(xfd)是二次函數(shù)圖象上的不同三點，則系數(shù)a , b , c可由ffei) =+t>Z

26、 + c,< f氏)=四22+b%+c, 確定)f(x3) = ax2> + bx3 十 c.證明:設(shè)二次三項式為:f(x)=a(x-x,)(x-x2) , aeN .依題意知：0<x, <1,0<x, <1 ,且X|Hx,.于是有f(0)> 0 , f>0 .又f(x)=ax2-a(xl+x2)x+ax1x2為整系數(shù)二次三項式, 所以f(O)=axj八 £(1)=&,(19)(1*)為正整數(shù).故f(O»l , f(l)>l .從而 f(O).f(l)>l .另一方面，為。名)包士產(chǎn):J/叼 +(1一句)1

27、2 _ 1墓2(1一墓2)%2 = I'且由X HX、知等號不同時成立，所以勺(1-句)町(1-町)<1.10/ 12ajXl-Xi) * x2(l-x2)<a .由、得，a? > 16 .又a£N ,所以a5.說明:二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù)，用它構(gòu)造的不等式證明問題，往往 比較靈活.根據(jù)題設(shè)條件恰當選擇二次函數(shù)的表達形式，是解決這類問題的關(guān)例5設(shè)等差數(shù)列同的首項al>0且SmnSn(mxn) .問：它的前多少頊的和最 大？ 分析:要求前n項和的最大值,首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列.解:設(shè)等差數(shù)列a 0的公差為d ,由Sm=Sn得ma1

28、+d = .+3dO乙乙2(m-n)a1 +dm2-n2 - (m -n) = 03=d= m + n-1今d<00數(shù)列%)是遞減數(shù)列，所以存在kE N，使%>0 Jak>0 ,且 ak+1 < 0 .卜 G。，卜+(k+D m + nT>"m + n-lk/m+n-1lai+1<° a1+k* -4<0221m +n -1(keN).(1)當m,拄一奇f禺時，k =巴!?里，此時"也+ =0.所以數(shù)列%的前-i=T項和與廿曰項和相等且最大. 乙乙當m,洞奇偶時,k =色等，此時口 =!如>0,"也=也 2

29、+1+ K0.所以數(shù)列%的前二項和最大.乙說明:諸多數(shù)學問題可歸結(jié)為解某一不等式(組).正確列出不等式(組)，并分析 其解在具體問題的意義，是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵.例6.若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，且l<f(-l)<2 , 3<f(l)<4 ,求f(2) 的范圍.分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組).由于y=f(x)是 二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達形式寫出來.即可求得f(2)的表達式，然后 依題設(shè)條件列出含有f(2)的不等式(組)，即可求解.解：因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx .于是ri&

30、lt;f(-l)<2,|l<a-b<2,3<f(l)<4. O,<a+b<4.()解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組(I )變形得2< 2a-2b<4?4<2a<6.n 4a-2b< 10 =>10.其中等號分別在:二:與仁:時成立且仁:與仁：滿足(I)所以f(-2)的取值范圍是6 , 10.解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標系aob ,作出不等式組(I)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部 分.因為f(-2)=4a-2b ,所以4a2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系.如圖6 , 當直線4a2bf(-2)=0過點A(

31、2 , 1) , B(3 , 1)時,分別取得f(-2)的最小值6 ,最大值10 .即f(2)的取值范圍是：6<f(-2)<10 .解法三(利用方程的思想)所以 e(-1) = a -b,yf(-2)=4a-2b=3f(-l)+f(l),而l<f(-l)<2 , 3wf“，所以+彳導4w3f(l)+f(l)wl0 ,即 6<f(-2)<10 .說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形.要避免出現(xiàn)以下一種錯解:將不等式組(I)變形得4< 2a< 6,l<2b<3.2<a<3,而 f(-2)=4a-即 aZ? N 1 >

32、/? 1; X vZ? > 1 0 < != < 1J11/ (j:) < 1 矢1Th必要性：對任意-1 ve0,l,|/(x)| < I,/. f(x)2b , 8<4a<12 , -3<-2b<-l ,所以 5<f(-2)<ll .(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學結(jié) 構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學思想方法，從不同角度去解決同一問題.若長期這樣思考問題，數(shù)學 的素養(yǎng)一定會迅速提高.例7.(2002江蘇)己矢口 a >0,函數(shù)，(1)當

33、>耐，若對任意reR都有了(x)Kl,證明：“42班；(2 )當。>1時，證明：對任意xe0J , "")1«1的充要條件是5-1k心2、3；(3 )當OvbWl時，討論：對任意xe0,l , "(x)Kl的充要條件。證明：(1 )依題意,對任意xeR ,都有/*)«1.;/(工)=-雙工-三)：./() = < l,v a > 0力 > 0 a < 2yb. 2h 4b(2 )充分性：,./?>1,42-1,對任意工£01可推出：0¥-以22/?0-工2)_工>-x>

34、一 1,即ax-Z?/ > -1;又 b > ya < 2、區(qū)，對任意x e 0,1可知ax - bx2 < 2ybx-bx2 < (2ybx - bx1 )max = 2b - -= - b - (-U)2 = l,ax-bx2 < 1 /. -1 < f(x) < 1 yjb lb+ -2b 4b-1 < 1,/. a < 2、b 故b-T <a< 2yb綜上對任於e0J1|/(x)| < 1的充要條件勒-1 <«<2無(3 ) a > 0,0 < b < 1 口寸,對任意

35、x g Oj, f(x) = ax - bx2 > -/? > -1即 f(x) >-l;Xlll/(x) < 1 知f < 即叼< 1,即 a <b + l而當+ l時J(x) = ax 刈2 «S + l)x 刈2 =(x T尸 2b 4b>12b：.在o±,y = S + 1)X-以2是增函數(shù),故在x = 1時取得最大值1 . J(x) K 1當a >0,0<b< 1時，對任意r eo,lj|/(x)|< 1的充要條件后<b + 例 8 .若 a>0,b>0, a3 + b3=2

36、 .求證 a + b<2 , ab<l .分析：由條件a3 + b3=2及待證的結(jié)論a + b<2的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)想它們之間的內(nèi) 在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值不等式或構(gòu)造方程等等方法，架起溝通二者 的橋梁.證法一(作差比較法)因為 a > 0 , b > 0 , a3 + b3=2 ,所以(a + b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b + 3ab2-6 =3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)2<0 ,即 (a+b)3$23 .又軟+b。，所以軟+ b42.因為a+ b42,所以abl.證法二(

37、平均值不等式一綜合法)因為 a > 0 , b > 0 , a3 + b3=2 ,所以2 = / +br2ja'b,故ab<l.又a + b = a* 1*1* 1 + b* 1* 1=3 又3 1 1 人、河 1 1,/+1 + 1 b3 +1 + 1 a5 + b3 + 46 >3333所以a + b<2 , ab<l .說明:充分發(fā)揮1的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮.證法三(構(gòu)造方程)設(shè)a , b為方程x2-mx+n=0的兩根,則m = a + b, In = ab.因為 a > 0 , b > 0 ,所以 m > 0

38、 , n > 0 HA=m2-4n>0 .因止匕 2=a3 + b3 = (a + b)(a2-ab+b2) = (a + b)(a + b)2-3ab = mm2-3n z 所 以n =耍二3 Jm將代人得m2-4(二-即可型0,所以-m3+83 3m3m0,即m42,所以a + bw2.由 2>m 得4zm2 ,又 m2>4n ,所以424n ,即 n<l .所以 ab<l .說明：認真觀察不等式的結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)與已學知識的內(nèi)在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問題的切入點.證法（恰當?shù)呐錅悾┮驗?a > 0 , b > 0 , a3 + b3=2

39、,所以2=a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2-ab)>(a + b)(2ab-ab)=ab(a + b),于是有623ab(a + b),從而8>3ab(a + b)+2 = 3a2b+3ab2 + a3 + b3 = (a + b)3 ,所以a + bw2 .似下略)證法五(利用公式因為 乙乙a5 4- b5 a 4- b 2 _ (a 4-+ 4b2 - 4ab - a2 一 b? - 2ab2一( 2)8, 3(a + b)(a-b)2 >8廿 0，所以對任意非負實數(shù)a, b有上了(4)3. 乙乙因為O,bO,£ +b3 =2,所以1 =(手)

40、3,因此胃41,乙乙乙BDa+b<2 .(以下略)證法六(反證法)假設(shè)a+b>2 ,則a3 + b3 = (a + b)(a2-ab+b2) = (a + b)(a + b)2-3ab > 2(22-3ab).因為a3 + b3=2，所以2 > 2(4-3ab)，因此ab > 1.另一方面,2=a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2-ab) > (a + b)(2ab-ab) = (a + b)-ab >2ab ,所以ab<l .于是與矛盾，故a + bw2.(以下略)說明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方

41、法.例9 .設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x , y=-x ,均不相交.試證明對一切蛀R都有函+bu + c|>上.分析：因為xwR ,故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設(shè) f(x)=a(x-xo)2+f(xO).證明：由題意知，a#0 .設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(xo),則小)二匕手.一 4a又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故i=(b+l)2-4ac<0 ,2=(b-l)2-4ac < 0 .所以(b+l)2+(b-l)28ac<0 ,即 2b2+28ac<0 ,即 b2-4ac < -1 ,

42、所以|b2-4ac| > 1 .b2 -4ac lb2 -4ac|.1故瞰。汩丁修房祠.由b? -4ac< -l<0可知當蛀R時，靜)|.所以|3|上，4忸|即即,+網(wǎng)+耳卡成立.說明：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時，如 果針對題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效 的證明途徑.例10.(2002理)某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量柜同。為了保護城市環(huán)境, 要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少 輛？ 解：設(shè)2001年末的汽車

43、保有量為一以后每年末的汽車保有量依次為/s.， 每年新增汽車x萬輛。由題意得、=。.9也+ x即念=0.943,贏）%=(30 _)0.94t+-0.060.0630令凡 < 60,< （30 +；-） x 0.06x V/ 37上式右端是關(guān)玉2的減函數(shù)且當一 8時，上式趨于36 故要對一切自然數(shù)?滿足/<60,應(yīng)有XW3.6，即每年新增汽車不應(yīng)超13.6萬輛例11.已知奇函數(shù)f（x）在（-8,0）50, + 8）上有定義，在（0,+8）上是增函數(shù)，/=0,又知函數(shù) g（夕）=sin2 6 + mcosO _2m,8 e 0，»集合2M =加恒有g(shù)（6） v o,

44、N =加恒有（g（8） < 0）,求M c N分析：這是一道比較綜合的問題，考查很多函數(shù)知識，通過恰當換元，使問題 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。解奇數(shù)函麴、（幻在（0, + S）上是增函數(shù),./'（x）在（-8,0）上也是增函數(shù)。又由/=。得-1) = -/(I) = 0.滿足<瑞3人的條件叱露即g(6)一 1( 8 e (0,g) , BPsin2 0 -mcos6 -2m < -1, 也即一 cos? 6 + mcorO - 2m + 2 < 0 o令t = cos。,則/ e0,1,又設(shè)I (t) = -r + mt -2m + 2,0<r&

45、lt;lm< 0.知me。一2? + 2<0要使W） < 0,必須使6（f）在0,1吶的最大值小于零1° 當? <0即? <3寸，6(f)max = 6(0) = 27 + 2,解不等式批2°當0<< 1 即0<m < 2H4,J(/)max= 廠二即上*、20 < m < 2解不等式圖. 8m + 8<。得4 - 2忘< m < 2 .43 0當,1即"? > 2H't，Jmax = m + 1,解不等式組"> 22-m +1 < 0 得？ &

46、lt; 2名宗上：McN =卜”>4-272 例12 .如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。斗 一口 ( 1)若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬/I L-1s=rv 是多少？加位：X)(2 )若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬/ ,才能使半個橢圓形隧道的土方工程最?。?半個橢圓的面積公式為S=£?,柱體體積為：底面積乘以高，72 = 1,414 , 4V7 = 2.646本題結(jié)果均精確到0.1米)分析：本題為2003年上海高考題，考查運用幾何、不等式等解決應(yīng)用題的能力 及運

47、算能力。解：1)建立如圖所示直角坐標系，則P (11,4.5 )橢圓方程為：將b=h = 6與點P坐標代入橢圓方程得。 =竽'此時/ = 2。=竽、33.3故隧道拱寬約為33.3米2)由橢圓方程5 + / = i得，+答=1II2 4.52-7- '12x11x4.5.ab > 99,$ = £? =亞之也當最小時有1裳竺=1 422cr lr 2：.a = y2,b =入二此時/ =« 31.1,/z = Z? » 6.42故當拱高約為6.4米，拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.例13 .已知布N . n>l .求證吟吟,心白)早

48、.分析:雖然待證不等式是關(guān)于自然數(shù)的命題，但不一定選用數(shù)學歸納法，觀其形：它具有較好規(guī)律，因此不妨采用構(gòu)造數(shù)列的方法進行解.證明設(shè)% +bn = J2n + l(n>2).j jJn -1則問題科為證明：考*,又“岳=展4,所以只需證明數(shù)列件是遞增數(shù)列即可.設(shè)1 1 1f(n)(1 Rif中3 52n -1f(n 十 1) 0 ), 11 + 右Q，占.2)依EQ+泥)廠八)1 2(n + 1)J2n+3J(2n+l)Qn十習2(n +1)、28 + 1)=J -'.43 + 1)2 _萩，1)2即f(n+l)>f(n),所以f(n)>f(2).說明：因為數(shù)列是特殊的

49、函數(shù)，所以可以因問題的數(shù)學結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)的思想 解決.例14 .已知函數(shù)/(幻=上學2設(shè)0«4<1,0</區(qū)1,求證#+ . +'旬<| /(比+1)|設(shè)x是正實數(shù)，求證：/(x + l)/(x"+l)N2"T分析：本例主要復習函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識，絕對值不等式及函數(shù)不等式的 證明技巧?；舅悸废葘⒑瘮?shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，利用絕對值不 等式的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)。證明(1 )再利用二項展開式及基本不等式的證明：(1 ) fM =(An-+1 f(tx + )=tx + - x-1tx.“(江+1)卜tx+(小+百川喝=2.當且僅當悶=1

50、時，上式取等號。vO<|x|< 1,0 v 川 v 1 .,陶豐 1,+ 1)| > 2s = (|r + x| +,一年=2(r2 +/)+ 2,-x2|-(|r+ x| + |r-x|)2 =2(r +x2) + 2r -x1當,但|a|時,s = 4 < 4;當H <兇時s = 4x2 < 4|r + +1/ x| < 2 <f(tx +1)即卜 + x| + |r - x| <f(tx +1)|(2 ) = i時，結(jié)論顯然成立當 2 2 時,f(x + l)p - f(x" +1) = (x + -(An + ±

51、) = Cnl.xHl + CtXn - 3 + XXXXc "-2 21 .萬 一1 廠 I -2 . 02 一4 . 萬 一21 , 一I+ Q x + £, X.嚴=Qx +QX +.+ q + Q 產(chǎn)=1 C1(fT + -L) + C：(f i + ) + .+ C/7(X-2 + 2 k-2 70 'n-4 z人人N. (C+ C； +.+ C；-')= C；+ C： +.+ C,= 2" -2例15 . ( 2001年全國理)己知i,?,是正整數(shù)，且1 v i W m < fl(1 )證明：'A"； <

52、m'A(2 )證明)+ m)a > (1 + n)m證明：(1 )對于 1 < "也有4； = nt(m -1).(in - i +1), = - m m m m m同理工=土 - -_-匚'由于? < ，對整數(shù)k = 1,2,.，-1,有 n n nn-k m-kA；A' Hn t A(>>，號 >-即/4 > /f Ah n m n m(2 )由一項式XE理有(1 + ?)" =Zd + )"由知/ A； > A：f-0f-o(1 < z < m < )，而C； = .C

53、二=二 7rc； >< / < in < n)z! i! mm因此 Zy' >£'。，又加'第=/。:=1/。=。=加而£； >o r-2r-2nm(m < i < n)即(1+ 加)"> (1 + )"。J-02-0四、強化訓練1 .已知非負實數(shù)X ,)，滿足2x + 3y-8S0且3x + 2)，-7W0 ,貝!L + y的最大值是()A . ZB§C. 2D . 3332 .已知命題P :函數(shù)> =1叫5(/+2、+ 4)的值域為R ,命題q :函數(shù)y =

54、 _(5 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A . a<l B . a<2 C . l<a<2 D . a<l 或 a>23 .解關(guān)于的不等式¥>0x-2x-34 求a , b的值，使得關(guān)于x的不等式ax2+bx+a2-l<0的解集分別是： (DM，2 ； (2)(-oo ,-1U2 , +Q0); (3)2; (4)-1 , +00).5 .解關(guān)于的不等式“4-優(yōu)(00且awl)6 . ( 2002北京文)數(shù)列上由下列條件確定： / 、八1a2再=a> 0,%葉=xn + ,n e N21(1

55、)證明:對于 2 2,總有x” >4a,(2 )證明：對于之2,總有x“"+i.7 .設(shè)P=(log2X)2+(t-2)log2X-t+l ,若t在區(qū)間-2 , 2上變動時，恒為正值， 試求x的變化范圍.8 .已知數(shù)列®的通項為勺,前項和為s”,且勺是與與謝等差中項,數(shù)列也J中,bi=l , 點P (點P+1)在直線x-y+2=0 ±o I )求數(shù)列%他的通項公式也n )設(shè)色的前n項和為Bn,試比較 + 3 + +上與2的大小oB B2Bnm)設(shè)*=&+殳+.+4,若對一切正整數(shù)小7；<4u2)恒成立,求0的最小值 a a、 a五、參考答案1

56、.解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D2 .解：命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)M+2x + a的判別式二”加之。,從而；命題q為真時，5-加>1 = <2。若p或q為真命題，P且q為假命題，故P和q中只有一個是真命題，一 個是假命題。若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為l<a<2 ,故選C.3 .分析：本題主要復習分式不等式的解法、分類討論的思想及利用序軸標根法 解不等式的基本步驟。本題的關(guān)鍵是對分母分解因式，將原不等式等價轉(zhuǎn)化為 (工-*X-3*X +1) v 0和比較與-1及3的大小，定出分類方法。解：原不等式化為：(x-a)(x-3)(x + l)v 0(1 )當時，由圖1知不等式的解集為£x<a或T< x < 3)(2 )當-1<。<30寸，由圖2知不等式的解集其巾<-1曲<