2021年高考數(shù)學考點《三角恒等變換》

1、考點十九三角恒等變換知識梳理1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(a+£)=sin acos£+cos asin£(S(a 1/；)sin(a-£)=sin acos£-cos asin£(S(a p)cos(a+£)=cos acos£-sin asin £cos(a-)=cos acos£+sin asin£(C(a 仍)tan a+tan£ tan(a +£)=;:7"1tan atan(T(a 仍)八tana-tan £ 一taME

2、Ftan嬴(笛。加2.二倍角公式sin 2a = 2sin acos a (Sia)cos 2a=cos2a-siira=2cos2a - 1 = 1-2sin2a (Cza)、 2tan a. 、lan g)3.公式的變形和逆用在準確熟練地記住公式的基礎上，要靈活運用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等.常見變形如下:降基公式：cos%=I 學", sin2a=乙升舟公式：1 +cos 2a=2 cos%, 1 cos 2a=2sin2a1 +cos a=2cos 號，1 - cos a=2si 畤.正切和差公式變形:tan a±tan£=tan(a切)(

3、1 不tan atan £),門.tan a+tan £ tan atan £tan atan 8= 1 一;777 1.了 tan(a+£)tan(a/?)配方變形：1 +sin a=(si玲+cos各一1 - sin a=(sin|-cos)2.4.輔助角公式asin a+bcos a =yja2-b23n(a-(p), 其中 tan 0=?.典例剖析題型一給角求值例 1 (1)計算 cos 42。cos 18。-cos 48。cos 72。的值為小、1臺 sin 110Osin 20°.計算c°s55。-siR55。的值為答案1

4、(2) 1解析 (l)cos 42° cos 180cos 48° cos 720=cos 42° cos 180sin 42° sin 18°=cos (420+18°) =cos 600=z.(2)V cos2155°sin21550=cos 310°=cos 500.cin 40。. sin U00sin 20c _sin 700sin 20。_ cos 2(Fsin 20。= 2cos21550sin2l 55°cos 310° cos 50° sin 400 2,變式訓練si

5、n 470-sin 17°cos 30°cos 170My e 4、 sin(30°+17°)sin 17°cos 300解析原式=二=17,sin 300cos 170+cos 300sin 17°-sin 17°cos 30°cos 17°亞*工a30?？?cos 1702解題要點解題時先看角，觀察是否有30。、60。、90。等特殊角，或是觀察能否通過變形湊 配出這些特殊角再看所求式結構，選用合適的三角恒等式對原式進行變形處理.在解題時還 要注意對公式進行正用、逆用，要掌握常見的變式.題型二給值求值

6、例2已知像 兀)，sina=哈 (1)求 sin(f+a)的值：求cos傳一2a)的值.-嘿解析 因為a£仁，冗)，sina=坐，所以cos a= sin%= 故 sin(；+a)=sin cos a4-cos ?ina= (2)由(1)知 sin 2a=2sin acos a=2Xcos 2a = I 2sin2a= 1 2 X所以coscos.s 2a+s喏sin 2a=(苦)X|+；X(-護-* 題型三利用角的湊配求值例 3 已知 tan(a+£)=|, tan£-/)=",那么 tan(a+j)等于3答案J：解析因為a+；+B-尸a+0，所以a+

7、A(a+為一(£一"所以tan(a+；)=tan (a+£)一tan(a+£)-tan(£一：)31+tan(a+£)tan(£一船變式訓練 已知cos a巖,cos(a+夕)=一；,且a,£e(0,。則cos(a-£)的值等于.宏案 解析.ago,斗，.2a£(0,兀).17*/ cos a=w, /. cos 2a=2cos2a - 1 = 一 §，sin 2a=yj 1 -cos22a=,而 a, £6(0,號，.a+££(0, h),/. sin(

8、a+B) =71 -cos2(a+0)=¥, J，cos(a -£)=cos2<x(a +£)=cos 2acos(a+£) + sin 2asin(a+£)T 9；X( 3)+ 9 X 3 -27-解題要點1.解決三角函數(shù)的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示.當“已 知角”有兩個時，“所求角” 一般湊配為兩個“已知角”的和或差的形式；(2)當“已知角” 有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.2.常見的湊配技巧：2a = （a+B）+（a £）, a=（

9、a+0 £=中一三，。=字+巴若 m=3+3%+£）等.題型四輔助角公式例 4 （安徽文）已知函數(shù)."）=（sinx+cosx）2+cos 2r（1）求7U）的最小正周期：求玲）在區(qū)間o,上的最大值和最小值.解析（1）因為/U）=sin2 x+cos? x+2sin xcos x+cos 2x= l+sin2¥+cos 2T=sin（2r+q）+l'所以函數(shù)於）的最小正周期為T=y=K.（2）由（1）的計算結果知，/U）=，5sin（2x+：）+L當0,1時,2r+同?用，由正弦函數(shù)y=sin x在，引上的圖象知， 當2x+A會即尸就"

10、，4）取最大值班+1：當2x+1=y,即“4時，段）取最小值0.綜上，兀r）在0,外上的最大值為建+1，最小值為0.變式訓練函數(shù)_/U）=45sin x+cos（g+x）的最大值為答案1解析/(x)=A/3sin.r+cos /(X)niax= 1.解題要點 利用輔助角公式將asinx+cosx化為AsiiMs+p）是常見的題型，轉化時一定要 嚴格對照和差公式，防止搞錯輔助角.對于計算形如產sin（5+0）,x£“，切形式的函數(shù)最 值時，則務必注意角度范闈，最好是畫出函數(shù)圖像，觀察所給函數(shù)在指定范闈內是否越過圖 像的“波峰”或“波谷”.當堂練習1 .(新課標 I 理)sinZO

11、9;cos I00cos 160°sin 10°=.套案-口乘2解析 sin 200cos 10°cos 160csin 100=sin 200cos 100+cos 20°sin 10°=sin 30°=/=3,則 tai】2a=“sina+cosa2 .(sina-cosa3-4 案 答 tana 4-1 1 解析 由不?=5，得lana=3,tana - 1 2c 2tana 3 、小岳.tan2a=;-=t, 選 B 壩.1 - taira 43.已知cos(a+勺=里 則sin(2a，)的值為o 5o答案I解析由cos(a+

12、)=坐，得 cos(2a+j) =2X (坐)2 1 = cos(2a+)=；.ITTl 7T所以 sin(2at) =sin(2a+zz)=J 44.若函數(shù)./(x)=sin2(x+$+cos2a；) 1,則函數(shù)/(x)是.周期為7T的偶函數(shù)周期為27r的偶函數(shù)周期為27r的奇函數(shù)周期為冗的奇函數(shù)答案解析 /(A)=sin2(+x)+sin2(+A) 1 =2sin2(+A) 1 = cos(1+ 2x)=sinZv ，故正確.5.(北京理)已知函數(shù)/)=#i畤cos楙一艱si吟.求/U)的最小正周期；求./U)在區(qū)間一兀，0上的最小值.解析(1)因為=sinx一乎(1cosx)=sinQ+

13、5)一孝,所以凡r)的最小正周期為2兀因為一ttWxWO,所以一苧Wx+左哥.當x+A一看即尸一竽時，.”)取得最小值.所以加)在區(qū)間一兀，0上的最小值為_/(一苧)=T 一坐課后作業(yè)一、填空題351 .已知 cosa=, cos(a+£)=一忘，a, £ 都是銳角，則 cos£=. JX J答案i57r1 2解析,:a、£ 是銳角，。弓+廬兀，又 cos(a+£)= 一谷0,兀，sin(a+0)=黃, X JJ，J3 J2 4 = 335+l3 5-65-45sina=5.乂 cos£=cos(a+0-a)=cos(a+£

14、)cosa+sin(a+£)sina=RX2 . sin750cos30。-sinl50sinl50。的值為.宏案應解析 sin750cos300 sin 150sin 150°=sin75°cos30°cos750sin300=sin(75° 30°) = sin450=巫23 .(陜西文)“sina=cosa" 是“cos 2a=0” 的 條件.答案充分不必要解析 V sin a=cos a=>cos 2a=cos2a-sin2a=0； cos 2a=O0cos a=±sin «=>/ s

15、in a=cos a, 故為選充分不必要條件.4 .若cosa = * a為第三象限角，則sin(a+：)=.答案7小1043解析為第三象限角，cosa=亍，sina=一左*)=. ( in I .兀1.兀 sii“ a + = sinacos+cosasinj=sin47°-sin 17°cos3005 cos 17°=較玄-口第2解析 sin470=sin(30° +17°)=sin30°cos 170+cos30°sin 170,e* sin30°cosl70 ,八仆 1 ,原式 h cos 17。f 巾30

16、 =2.6 .已知 tan(a+£)=, tan(£/)=；,那么 tan(a+/)等于解析 Ta+g+S-=a+£, .,.a+A(a+£)一£一就A tan(a+tan(a+£)-tan(£-q)31 +tan(a+£)tan(£-一7 .已知賦2)=:則sin2r的值為.7較宏 口第25解析 V sin2v=cos( 2a)= 1 Zsin'Qx)= 1 2X 奈=£.8 .己知 冗)，sina=|,貝ij tan2a=.寵案1=17(jc435，兀J, sina=m， ，cosa

17、=一不 tana=24tan2a=2tana 2XH)一 S-(-獷9 .(四川理)sin 150+sin75。的值是.套案逅解析 sin 150+sin 75°=sin 15°+cos 150=艱sin(150+45°)=應sin 60°=乎.10 .已知 cos(a+5=彳,g£(0, z),則 cosa= J4寵案魚du弟 6解析 V«e(0,分,cos(a+力=|>0,八 兀 ，兀 /兀 7T aS。I),儀+彳叫，5)，Asin(a+)=,1兀冗、 ,兀、兀兀、兀艱+4 cosa=cos(a+)=cos(a+)cos+

18、sin(a)-sin=-2!11.（浙江理）函數(shù)於）=sin2x+sinxcosx+l的最小正周期是,單調遞減區(qū)間是解析危)=-+1sin 2x+1答案兀 pr+E,砂+履（kGZ）2k7rW2v-孚+2Mr,Z,解得號+AjtWxW14 Loo+女兀，kGZ,.單調遞減區(qū)間是"+E,1+G kGZ.二、解答題12 .（重慶理）已知函數(shù),"）=sin（，f）sinx-a/5cos2、.（1）求./U）的最小正周期和最大值；討論於）在，用上的單調性.解析(1 貿 x)=sin(/x)sin x巾 cos2x=cos xsin x-2( * +cos 2x)=；sin 2a-因此«x）的最小正周期為熊最大值為2手.當卷，