2020年高考新課標Ⅲ理科數學試卷及答案

1、2020年高考新課標理科數學試卷及答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共 60分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A （ x, y） | x,y N*, y x ， B （ x,y）| x y 8，則 A B中元素的個數為（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C采用列舉法列舉出A B 中元素的即可.【詳解】由題意，A B 中的元素滿足y x ，且 x, y N * ，xy8由 x y 8 2x，得 x 4，所以滿足x y 8的有 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4)故 A B 中元素的個數為4.故選： C.12.復數的虛部是（1 3i3

2、 A.10【答案】D1 B.101 C.10D.310利用復數的除法運算求出z 即可 .11 3i1 3i 13i(1 3i )(1 3i) 101013所以復數z 1 的虛部為3 .1 3i10故選： D.3.在一組樣本數據中，41， 2， 3， 4出現(xiàn)的頻率分別為p1 , p2, p3, p4，且pii11 ，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（）A. p1 p40.1, p2p30.4B. p1p40.4, p2p30.1C. p1 p40.2, p2p30.3D. p1p40.3, p2p30.2計算出四個選項中對應數據的平均數和方差，由此可得出標準差最大的一組xA1 42

3、22.50.4 3 2.5xB1 4 0.4 2222.50.13 2.5xC1 4 0.2 2222.50.3 3 2.5xD 1 4 0.3 2222.50.2 3 2.5.【詳解】對于A 選項，該組數據的平均數為方差為s2A1 2.5 2 0.12對于 B 選項，該組數據的平均數為2方差為sB21 2.50.42對于C 選項，該組數據的平均數為22方差為sC212.50.22對于D 選項，該組數據的平均數為方差為sD212.52 0.32因此，B 選項這一組標準差最大故選：B.【點睛】本題考查標準差的大小比較，考查方差公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題0.12 3 0.4 2.5，20

4、.442.50.10.65；30.12.5，20.142.50.41.85；30.32.5，20.342.50.21.05；30.22.5，0.242.5 20.31.45.4.Logistic 模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領城有學者根據公布數據建立了某地區(qū)新冠肺炎2px(p 0) 交于 D ， E 兩點，若 ODOE ，則 C 的25.設 O為坐標原點，直線x 2與拋物線C：y2焦點坐標為(A. 1 ,04B. 1 ,02C. (1,0)D. (2,0)根據題中所給的條件OD OE ，結合拋物線的對稱性，可知DOxEOx ，從而可以確定出點D4p 的值，進而求得其焦點坐標，得到結

5、果x 2 與拋物線y22 px( p 0) 交于 E, D 兩點，且ODOE ，根據拋物線的對稱性可以確定DOx EOx ，所以 D 2,2 ，41代入拋物線方程4 4p，求得 p 1 ，所以其焦點坐標為(1 ,0) ，2故選： B.點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目6.已知向量a， b 滿足 | a | 5 ， |b | 6 ， a b6 ，則 cos a,a b = ()31 A.3519 B.3517C.3519D.35b 的值，利用平面向量數量積可計算出636227 a9b a, a1935D.27 .在 ABC 中， cosC= ， AC=4， BC=3，則cosB=

6、()32332B.1 C.D.222根據已知條件結合余弦定理求得AB ，再根據cosB AB BC AC ，即可求得答案.2AB BC2【詳解】在 ABC 中， cosC 2 ， AC 4， BC 33根據余弦定理：AB2 AC2 BC2 2AC BC cosC2222AB2 42 32 2 4 33可得AB 2 9 ，即 AB 3222AB2 BC2 AC29 9 161由 cosB2AB BC 2 3 391故 cosB .9故選： A.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題8 .下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A. 6+4 2B. 4

7、+4 2C. 6+2 3D. 4+2 3【答案】C根據三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表面積【詳解】根據三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形1根據立體圖形可得：S ABC S ADC S CDB 2 2 22根據勾股定理可得：AB AD DB 2 2 ADB 是邊長為2 2 的等邊三角形根據三角形面積公式可得：S ADB 1 AB AD sin 601 (2 2)232 3222該幾何體的表面積是：3 2 2 3 6 2 3 .故選： C.【點睛】本題主要考查了根據三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關鍵是掌握根據三視圖畫出立體圖形，考查了分

8、析能力和空間想象能力，屬于基礎題.9 .已知2tan tan( +)=7，則tan =()D. 2A. 2B. 1C. 1【答案】D利用兩角和的正切公式，結合換元法，解一元二次方程，即可得出答案tan 12tan tan7， 2tan an 7，41 tan令 t tan ,t 1 ，則2t11 tt7 ，整理得t2 4t 4 0 ，解得 t 2，即 tan2.故選： D.10 .若直線 l 與曲線 y= x 和 x2+y2= 都相切，則l 的方程為()5A. y=2x+11B. y=2x+2C. y= x+1211D. y= x+根據導數的幾何意義設出直線l 的方程，再由直線與圓相切的性質，

9、即可得出答案l 在曲線 yx 上的切點為x0, x0 ，則 x00，11函數 y x 的導數為y ，則直線l 的斜率 k，2 x2 x0l 與圓 x2 y21相切，則5設直線 l 的方程為yx00，5，x01 4x0115 （舍），11.設雙曲線C：22xy22ab1 （ a>0， b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2 ，離心率為5 P 是 C 上一點，且2兩邊平方并整理得5x0 4x0 1 0 ，解得x0 1 ， x011則直線 l 的方程為x 2y 1 0，即 y 1 x 1 .22故選： D.F1P F2P若PF1F2的面積為4，則a=（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答

10、案】A根據雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結合離心率公式，即可得出答案c【詳解】5 ， c 5a ，根據雙曲線的定義可得PF1PF22a ，a1SPF1F22 | PF1|PF24，即 |PF1|PF28，222F1PF2P，|PF1 |2 PF222c2，2PF1PF22 PF1 PF24c2，即 a25a24 0，解得 a 1 ，故選：A.【點睛】本題主要考查了雙曲線的性質以及定義的應用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應用，屬于中檔題.12 .已知55<84， 134<85設a=log53， b=log85， c=log138，則（）A. a<b<cB.

11、b<a<cC. b<c<aD. c<a<ba、 b、 c0,1利用作商法以及基本不等式可得出a 、 b 的大小關系，log85， 得 8b5，結合5584可得出log138，得13c 8，結合13485 ，可得出a、 b、c 的大小關系.c 0,1log53log85lg3lg5lg8lg52 lg5lg3 lg82log85 ，得8b5，由5584，得 85blg3 lg82lg 52lg 24lg 251，b；84 ，5b 4 ，可得4 b；54 ，可得 c因為z 3x 2y ，所以y3x平移直線y 3x ，當y2log138，得13c 8，由134 8

12、5，得134 135c， 5c綜上所述，a b c .故選： A.【點睛】本題考查對數式的大小比較，涉及基本不等式、對數式與指數式的互化以及指數函數單調性的應用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4 小題，每小題5分，共 20分 .x y 0,13 .若 x， y滿足約束條件2x y 0， ，則z=3x+2y的最大值為x 1,【答案】7作出可行域，利用截距的幾何意義解決3x zz，易知截距越大，則z 越大，2223x z 經過 A 點時截距最大，此時z 最大，22A(1,2)，y 2xx1所以zmax3 1 2 27 .故答案為：7.是一道容易題22614. (x2)6的展開式中常數

13、項是(用數字作答)x【答案】2406寫出x2 2 二項式展開通項，即可求得常數項.x6【詳解】x2 2xTr 1C6rx2 6 r其二項式展開通項：C6r x12 2r(2)r xC6r(2)r12 3r xa b n 的展開通項公式Tr 1Crnan r br ，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為當 12 3r 0，解得r 46x2 2 的展開式中常數項是：C64 24 C62 16 15 16 240 .x故答案為：240 .將原問題轉化為求解圓錐內切球的問題，然后結合截面確定其半徑即可確定體積的值設內切圓的圓心為O

14、 ，其中 BC 2,AB AC 3，且點 M 為 BC 邊上的中點，由于 AM32122 2 ，故S ABC2 2 2 2 2 ，設內切圓半徑為r ，則：S ABCS AOBS BOCS AOC111AB r BC r AC r222r 2 2，13322解得： r 2 ，其體積：V 4 r 322332故答案為：2 .3【點睛】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的 位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于

15、球的直徑.116 .關于函數f（ x） =sin x 有如下四個命題：sin x f（ x）的圖像關于y軸對稱 f（ x）的圖像關于原點對稱 f（ x）的圖像關于直線x= 對稱2 f（ x）的最小值為2其中所有真命題的序號是 【答案】利用特殊值法可判斷命題的正誤；利用函數奇偶性的定義可判斷命題的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題的正誤；取x 0可判斷命題的正誤.綜合可得出結論.1515【詳解】對于命題，f 125 ， f1 25 ，則 ff62262266所以，函數f x 的圖象不關于y 軸對稱，命題錯誤；對于命題，函數f x 的定義域為x x k ,kf x sin x 1 sinx 1 si

16、n xsinxsinx1sinxf x，所以，函數f x 的圖象關于原點對稱，命題正確；對于命題，f2sin x2cosx所以，函數對于命題，當fx2sinfxsin x21 cosxcosx ，sin x2x 對稱，命題正確；2cosx ，則fx2x 0 時， sinx 0 ，則 f x sin x1sinx2，命題錯誤.故答案為：.【點睛】本題考查正弦型函數的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分 .解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、 23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必

17、考題：共60 分 .17 .設數列an 滿足a1=3， an 1 3an 4n 1 ）計算a2， a3，猜想 an的通項公式并加以證明；2）求數列2 nan 的前n 項和Snn1【答案】 ( 1) a2 5， a3 7 ， an 2n 1 ，證明見解析；( 2) Sn (2n 1) 22 .( 1 )利用遞推公式得出a2 , a3，猜想得出an 的通項公式，利用數學歸納法證明即可；( 2)由錯位相減法求解即可.【詳解】 ( 1)由題意可得a2 3a1 4 9 4 5， a3 3a2 8 15 8 7，由數列an 的前三項可猜想數列an 是以 3 為首項，2 為公差的等差數列，即an 2n 1

18、，證明如下：當 n 1 時，a1 3 成立；假設nk 時， ak 2k1 成立.那么nk1時， ak 13ak4k3(2k 1) 4k 2k 3 2(k 1) 1 也成立 .則對任意的n N * ，都有an 2n 1 成立；( 2)由(1)可知，an 2n (2n 1) 2nSn 3 2 5 22 7 23(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n，2Sn322523724(2n 1)2n(2n 1) 2n 1，由 得：Sn 6 2 22 232n(2n 1) 2n 1221 2n 1n 16 2(2n 1) 2n 1 (1 2n) 2n 1 2，12n1即 Sn (2n 1) 2n 1 2

19、.【點睛】本題主要考查了求等差數列的通項公式以及利用錯位相減法求數列的和，屬于中檔題.18.某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到下表(單位：天)：鍛煉人次 空氣質量等級0， 200(200， 400(400， 6001(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784（中度污染）7201 ）分別估計該市一天的空氣質量等級為1， 2， 3， 4的概率；2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；3）若某天的空氣質量等級為1 或 2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3 或 4，則

20、稱這天空氣質量不好”根據所給數據，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次 400人次 >400空氣質量好空氣質量不好附：K2(a b)(cn(add)(abc)c2)(b d)P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】 （ 1）該市一天的空氣質量等級分別為1、 2、 3、 4的概率分別為0.43、 0.27、 0.21、 0.09； （ 2）350； （ 3）有，理由見解析.（ 1 ）根據頻數分布表可計算出該市一天的空氣質量等級分別為1、 2 、 3 、

21、4 的概率；（ 2）利用每組的中點值乘以頻數，相加后除以100可得結果；（ 3）根據表格中的數據完善2 2列聯(lián)表，計算出K2的觀測值，再結合臨界值表可得結論.【詳解】 （ 1）由頻數分布表可知，該市一天的空氣質量等級為1 的概率為2 16 25 0.43，等級為2的100概率為 5 10 12 0.27，等級為3的概率為6 7 8 0.21 ，等級為4的概率為7 2 0 0.09；100100100（ 2）由頻數分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數為100 20 300 35 500 45 3501003）2 2 列聯(lián)表如下：人次400人次400空氣質量不好3337空氣質量好2282

22、100 33 8 37 22 2K255 45 70 305.820 3.841，因此，有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.【點睛】本題考查利用頻數分布表計算頻率和平均數，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數據處理能力，屬于基礎題.19.如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1 中，點E,F 分別在棱DD1,BB1上，且2DE ED1， BF 2FB11 ）證明：點C1在平面 AEF 內；2）若 AB 2 ， AD 1 ， AA1 3，求二面角A EF A1的正弦值（ 1）證明見解析；（ 2）42 .7（ 1 ）連接C1E 、 C1 F ，證明出四邊形AEC1F

23、 為平行四邊形，進而可證得點C1在平面AEF 內；（ 2）以點C1 為坐標原點，C1D1、 C1B1、 C1C所在直線分別為x、 y、 z軸建立空間直角坐標系C1 xyz，利用空間向量法可計算出二面角A EF A1 余弦值，進而可求得二面角A EF A1的正弦值.1（ 1）在棱CC1 上取點 G ，使得C1GCG ，連接DG 、 FG 、 C1E 、 C1F ，12在長方體ABCDA1B1C1D1 中，AD/BC且 ADBC， BB1/CC1 且 BB1 CC1，1C1GCG ， BF 2FB1，12122CG CC1BB1 BF 且 CG BF ，33所以，四邊形BCGF 為平行四邊形，則A

24、F / DG 且 AF DG ，DEC1G 為平行四邊形，C1E / DG 且 C1E DG ，C1 E/AF 且 C1 E AF ，則四邊形AEC1F 為平行四邊形，C1 在平面AEF 內；2）以點C1 為坐標原點，C1D1、 C1B1、C1C所在直線分別為x、 y、 z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系 C1 xyz ，則 A 2,1,3 、A1 2,1,0、 E 2,0,2、 F0,1,1，AE 0, 1,1 ， AF 2,0, 2 ， A1E 0, 1,2A1F2,0,1 ，設平面 AEF 的法向量為m x1,y1, z1 ，m AE 0y1 z1 0，得取 z11 ，得x1m AF 0

25、2x1 2z1 01 ，得 1y11 ，則m 1,1, 1 ，設平面A1EF 的法向量為n x2 , y2 , z2 ，nA1 E0y22z20，得，取z2 2 ，得x2nA1F02x2z201 ， y24 ，則 n 1,4,2 ，cos m,n77，設二面角AEF A1的平面角為cos7 ， sin 1 cos24277A EF A1 的正弦值為42 .7x220.已知橢圓C :25力，屬于中等題.y2152 1（0 m 5）的離心率為15 ， A， B分別為C的左、右頂點m41 ）求 C 的方程；2）若點 P在 C 上，點Q在直線 x 6上，且| BP| | BQ |， BP BQ ，求

26、APQ 的面積（ 1） 2x25 1625y2 1； （ 2） 5222xyb m ，根據離心率公式，結合已知，即可求得答案；1 ）因為 C :2 1（0 m 5），可得 a 5，25m22）點 P 在 C上，點 Q在直線 x 6上，且 | BP | BQ |， BP BQ ，過點 P 作 x軸垂線，交點為M ，設P 點坐標，求出直線AQ 直線方程，根據點到x 6與 x軸交點為N ，可得 PMB BNQ ，可求得直線距離公式和兩點距離公式，即可求得APQ 的面積 .x2( 1)C:x25y221(0 m 5)m2a 5， b m，m 21554根據離心率e c 1 b 2155解得 m 或 m

27、(舍 )，4422x y21C 的方程為：255 2，42即x2516 y2251；2）不妨設P , Q 在 x軸上方點 P在 C 上，點 Q在直線 x 6上，且 | BP| | BQ|， BP BQ ，過點 P 作 x 軸垂線，交點為M ，設 x 6 與 x 軸交點為N根據題意畫出圖形，如圖|BP| |BQ|， BP BQ， PMB QNB 90 ，又 PBM QBN 90 ，BQN QBN 90 ，PBM BQN ，根據三角形全等條件“AAS可得： PMB BNQ ，x2 16y225251，B(5,0) ，PM BN 6 5 1 ，設 P 點為( xP , yP ) ，可得P 點縱坐標為

28、yP 1 ，將其代入x2 16y2 1 ，2525可得：xP2 16 1 ，25 25解得： xP 3或 xP3，P 點為(3,1)或 ( 3,1)，當P 點為(3,1)時，故 MB 5 3 2， PMB BNQ ，|MB| |NQ| 2，2當 P 點為 ( 3,1)時，可得： Q 點為 (6, 2) ，A( 5,0) , Q(6,2) ，可求得直線AQ 的直線方程為：2x 11y 10 0，根據點到直線距離公式可得P 到直線 AQ 的距離為：d2 3 11 1 105522 1121255根據兩點間距離公式可得：AQ6 522 02 5 5，APQ 面積為：5 525故 MB 5+3 8，

29、PMB BNQ ，|MB| |NQ| 8，可得： Q 點為 (6,8) ，畫出圖象，如圖A( 5,0) , Q(6,8)，可求得直線AQ 的直線方程為：8x 11y 40 0，根據點到直線距離公式可得P 到直線 AQ 的距離為：d根據兩點間距離公式可得：AQ22658083 11 1 405582 112185185185 ，APQ 面積為：12 1851585綜上所述，APQ 面積為：【點睛】本題主要考查了求橢圓標準方程和求三角形面積問題，解題關鍵是掌握橢圓的離心率定義和數形結合求三角形面積，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.1121.設函數f(x) x bx c，曲線 y f (x)在

30、點 ( 2 ， f( 2 )處的切線與y軸垂直( 1 )求b( 2)若f (x) 有一個絕對值不大于1 的零點，證明：f(x) 所有零點的絕對值都不大于13【答案】 ( 1) b ； ( 2)證明見解析41 )利用導數的幾何意義得到231( 2)由(1)可得f'(x) 3x22(x)(x42111( ,) 上單調遞增，且f ( 1) c , f ()242矛盾即可.1111) ，易知 f (x) 在 (, ) 上單調遞減，在(,) ，22221111c , f ( ) c , f (1) c ，采用反證法，推出4244( 1)因為f '(x) 3x2 b，11f'( )

31、 0 ，即 3b 0223則b ；43( 2)由(1)可得f (x)xxc，4311f'(x)3x23(x)(x)，422'11'令 f (x) 0，得 x 2 或 x 2 ；令 f (x) 0，得1111所以 f (x) 在 (, ) 上單調遞減，在(,) ， ( ,222211111且 f( 1) c ,f() c ,f( ) c ,f(1)42424) 上單調遞增，12，若 f (x) 所有零點中存在一個絕對值大于1 零點x0 ，則f ( 1)0或 f(1) 0，即c當c11或c441時， f ( 1)41 0,f( 12)1110, f ( ) c 0, f (

32、1) c 0 ，244又 f(4c)64c33c2 4c(1 16c2)0，f (x) 在 (4c, 1) 上存在唯一一個零點即 f (x) 在 (, 1) 上存在唯一一個零點，在( 1,此時 f (x) 不存在絕對值不大于1 的零點，與題設矛盾；1c 時， f (41) c1110, f( ) c4243 又 f ( 4c) 64c33c c24c(1 16c2) 0，f (x) 在 (1, 4c) 上存在唯一一個零點0，'1f '( ) 0 ，解方程即可；2即 f （x） 在 （1,） 上存在唯一一個零點，在（,1）上不存在零點，此時 f （x） 不存在絕對值不大于1 的零點，與題設矛盾；綜上， f （x）所有零點的絕對值都不大于1.【點晴】本題主要考查利用導數研究函數的零點，涉及到導數的幾何意義，反證法，考查學生邏輯推理能力，是一道有一