半角模型專題專練

1、v1.0可編輯可修改半角模型例題已知，正方形ABCD,/ EAF兩邊分別交線段 BC DC于點(diǎn)E、F,且/ EAF= 45結(jié)論 1： BE+ DF= EF結(jié)論 2 : Sabe+ adf= aef結(jié)論 3: AH= AD結(jié)論4:ACEF的周長(zhǎng)=2倍的正方形邊長(zhǎng)=2AB結(jié)論5:當(dāng)BE= DF時(shí)， CEF的面積最小結(jié)論 6： bM+ dN = mN結(jié)論7:三角形相似，可由三角形相似的傳遞性得到結(jié)論8: EA卩人是厶CEF的外角平分線結(jié)論9:四點(diǎn)共圓結(jié)論10: ANEP AMF是等腰直角三角形（可通過(guò)共圓得到）結(jié)論11: MN= EF （可由相似得到） 結(jié)論12: SAAEF= 2SAAMN（可由相

2、似的性質(zhì)得至U）結(jié)論5的證明：設(shè)正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為1則 SAaef= 1 S S2 S3=1 x y (1 x)(1 y)=.-xy所以當(dāng)x = y時(shí)， AEF的面積最小結(jié)論6的證明:7 DN= BN易證 AMIA AMN AMN BANAMNDMA AMN AFED將厶ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°使AD與AB重合 MN= MN在Rt BMN中，由勾股定理可得:bM + BN2= MN2即 bM+ dn! = mN結(jié)論7的所有相似三角形： AMNpA DFN AMNpA bme結(jié)論8的證明：因?yàn)?AMN AFE/ 3=/ 2因?yàn)?AMN BANi/ 3=/ 4i/ 2=/ 4因?yàn)锳B/

3、 CDi/ 1 = / 4 i/ 1 = / 2結(jié)論9的證明：因?yàn)? EAN=Z EBN= 45° A、B、E、N四點(diǎn)共圓(輔圓定理：共邊同側(cè)等頂角)同理可證C、E、N、F四點(diǎn)共圓A M F、D四點(diǎn)共圓C、E、M F四點(diǎn)共圓圖形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD， E、F分別在邊BC、CD上，且EAF 45 , AE、AF 分別交 BD 于 H、G，連 EF .A、全等關(guān)系(1)求證：DFBE EF : D® B4 H6； AE 平分BEFAF平分 DFE .、相似關(guān)系(2)求證：CE.2DG : CF . 2BH : EF . 2HG .(3)求證：AB2BG DH

4、; AG2 BG HG ; ®BE DFCE CF三、垂直關(guān)系(4)求證：AGEG : AH FH : tanHCFABBE(5)、和差關(guān)系求證：BG DG、2BE ; ® AD DF . 2DH | BE DF |. 2 | BH DG |.AADFEC*必會(huì)結(jié)論例1、在正方形 ABCD中，已知/ MAN 45°，若 M N分別在邊 CB DC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)， 試探究線段MN BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系. .求證：AB=AH.例 2、在四邊形 ABCD中/ B+Z D= 180°, AB=AD 若 E、F 分別 在邊BC CD上，且滿足EF=BE +DF

5、.求證：Z EAF= Z BAD例 3、在厶 ABC中, AB=AC Z BAC=Z DAE=120，若 BD=5CE=8求DE的長(zhǎng)。例4、請(qǐng)閱讀下列材料： 已知：如圖1在Rt ABC中，BAC 90，AB AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若 DAE 45 .探 究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把 AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到ABE，連結(jié)ED， 使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：(1) 猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；(2) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,其它條件不

6、變，中探 究的結(jié)論是否發(fā)生改變請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明.v1.0可編輯可修改11例5、探究:(1) 如圖1,在正方形ABCD中, E、F分別是BC CD上的點(diǎn)，且/ EAM45°,試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果： ;(2) 如圖2,若把 問(wèn)中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅?ABCD中AB= AD / B+Z D= 180°, E、F分別 是邊BC CD上的點(diǎn)，且Z EAFZ BAD，則(1)問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)給出證明，2若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 在(2)問(wèn)中，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動(dòng)到BC CD延長(zhǎng)線上時(shí)， 如

7、圖3所示，其它條件不變，則(1)問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明練習(xí)鞏固1:如圖，在四邊形 ABCC中，Z B=Z D= 90 在邊BC CD上的點(diǎn)，且Z EAF=jz BAD .求證：EF=BE +DF.練習(xí)鞏固3:已知：正方形ABCD中，MAN 45，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB DC (或它們的延 長(zhǎng)線)于點(diǎn)M N.(1) 如圖1,當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，有BM DN MN .當(dāng) MAN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，如圖2,請(qǐng)問(wèn)圖1中的結(jié)論還是否成立如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2) 當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，

8、DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系請(qǐng)寫出 你的猜想，并證明.ACND練習(xí)鞏固4(1)如圖，在四邊形 ABC沖，AB= AC，/ B=Z D= 90°, E、F分別是邊BC CD上的點(diǎn)，且/ EA亡/BAD求證：EF BE FD ；(2)如圖在四邊形 ABC沖，AB= AD / B+/ D= 180°, E、F分別是邊BC CD上的點(diǎn)，且/ EAM；/BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成立不用 證明.DF(3)如圖，在四邊形 ABC中, AB= AD, / B+/ ADO 180°，E、F分別是邊BC CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/ EAF=1 -2BAD (1)中的結(jié)論是否仍然成

9、立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.FE(4)如圖，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCDS EF折疊(點(diǎn)E、F 分別在邊AB CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處, MN與 CD交于點(diǎn)P,連接EP.(1) 如圖，若M為AD邊的中點(diǎn)， 厶AEM的周長(zhǎng)二 cm 求證：EP= AE+ DP(2) 隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn) M不與A、D重合)， PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化請(qǐng)說(shuō)明理由.怪JE圖(5) .如圖17,正方形ABCD E、F分別為BC CD邊上一點(diǎn).(1) 若/ EAF= 45o .求證：EF= BE+ DF.(2) 若厶AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保

10、持/ EAF= 45o，問(wèn)/CEF的周長(zhǎng)是否隨 AEF位置的變化而變化圖17(3) 已知正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為1,如果/CEF的周長(zhǎng)為2.求/ EAF 的度數(shù).v1.0可編輯可修改練習(xí)鞏固5、如圖，已知在正方形 ABCD中, MAN= 45°,連接BD與AM AN分別交于E、F兩點(diǎn)求證：(1)MN= M申 DN(2) 點(diǎn)A到MN的距離等于正方形的邊長(zhǎng)；(3) CMN勺周長(zhǎng)等于正方形 ABCD邊長(zhǎng)的2倍;(4) SABCD 2AB ；ScmnMN '(5) 若 MAB= 20°，求 AMN(6) 若 MAB 0 <<45；，求 AMN(7) EFEE?

11、DF2;(8) _ AEh與- AFM是等腰三角形；(9) SAEFS；iAMN2u練習(xí)鞏固6、在等邊ABC的兩邊AB , AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M ,N ,D為ABC外一點(diǎn)，且 MDN 60 ,BM，BN，MN之間的數(shù)量BDC 120，BD CD，探究：當(dāng)點(diǎn)M ,N分別愛(ài)直線AB , AC上移動(dòng)時(shí),關(guān)系及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.15D圖D圖C(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)M , N在邊AB , AC 上,且DMDN時(shí)，BM ,NC ,MN之間的數(shù)量關(guān)系式(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N在邊AB ,AC上，且DM DN時(shí)，猜想 問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)M ,N分別在邊AB ,CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN x，則Q (用x ,L表示)練習(xí)鞏固7、女口圖所示， ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形， BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂 點(diǎn)作一個(gè)60°的/ MDN點(diǎn)M N分別在AB AC上，求 AMN勺周長(zhǎng)練習(xí)鞏固8女口圖，在正方形 ABC沖，BE=3 EF= 5，DF= 4,求/ BA曰/DCF為多少度鞏固練習(xí)9、如圖 1，Rt ABCRt EDF / ACB=Z F= 90°,/ A=Z E= 30°。厶 EDF 繞著邊 AB的中點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)，DE DF分別交線段.AC于點(diǎn)K.如圖 2、圖 3,當(dāng)/