高中數(shù)學(xué)必修4優(yōu)秀課件：1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用(人教A版必修4)

1、1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1.1.知識目標(biāo)：通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，初知識目標(biāo)：通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，初步學(xué)會由圖象求解析式的方法；體驗實際問題抽象為三角步學(xué)會由圖象求解析式的方法；體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象函數(shù)模型問題的過程；體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型的重要函數(shù)模型( (重點）重點）2.2.能力目標(biāo)：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際能力目標(biāo)：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)“建模建?！彼枷胨枷? ,從而培養(yǎng)學(xué)生建模、分析問題、從而培養(yǎng)學(xué)生建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象

2、概括等能力數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力( (重點、難點）重點、難點）3.3.情感目標(biāo)：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)情感目標(biāo)：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用和價值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興在解決實際問題中的作用和價值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神思考的精神. .現(xiàn)實生活中有很多現(xiàn)象在進行周而復(fù)始地變化，用現(xiàn)實生活中有很多現(xiàn)象在進行周而復(fù)始地變化，用數(shù)學(xué)語言可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所學(xué)的三數(shù)學(xué)語言可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所學(xué)的三角函數(shù)就是刻畫周期變化

3、的典型函數(shù)模型，比如下列現(xiàn)角函數(shù)就是刻畫周期變化的典型函數(shù)模型，比如下列現(xiàn)象就可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們就來探象就可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們就來探討三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用討三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用. .) 0, 0()sin(AxAy正弦型函數(shù)正弦型函數(shù)1.1.物理情景物理情景簡諧運動簡諧運動星體的環(huán)繞運動星體的環(huán)繞運動2.2.地理情景地理情景 氣溫變化規(guī)律氣溫變化規(guī)律月圓與月缺月圓與月缺3.3.心理、生理現(xiàn)象心理、生理現(xiàn)象 情緒的波動情緒的波動智力變化狀況智力變化狀況體力變化狀況體力變化狀況4.4.日常生活現(xiàn)象日常生活現(xiàn)象 漲潮與退潮漲潮與退潮股票變化股票變化128根據(jù)

4、圖象建立三角函數(shù)關(guān)系：根據(jù)圖象建立三角函數(shù)關(guān)系：例例1.1.如圖，某地一天從如圖，某地一天從6 61414時時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin( x)b. T/1020300t/h61014（1 1）求這一天）求這一天6 6時時1414時的最大溫差；時的最大溫差；（2 2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式）寫出這段曲線的函數(shù)解析式. .解解：（1 1）觀察圖象可知，這段時間的最大溫差是觀察圖象可知，這段時間的最大溫差是2020CC。 （2 2）從圖中可以看出，從）從圖中可以看出，從6 6時到時到1414時的圖象是函數(shù)時的圖象是函數(shù) y=Asin(x+y=Asin(x+)

5、)+b的半個周期的圖象，的半個周期的圖象，所以所以1A(30 10)10,21(30 10)20,2b 1 2146 .82 ，因為點（因為點（6 6，1010）是五點法作圖中的第四點，故）是五點法作圖中的第四點，故336,.248 解解得得故所求函數(shù)解析式為故所求函數(shù)解析式為3y10sin(x)20 x6,14.84， 一般地一般地, ,所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況段的溫度變化情況, ,因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍. .方法小結(jié)：方法小結(jié)： maxmin1,2Af xf x maxmin12，

6、bf xf x2利用求得，T,.利用最低點或最高點在圖象上 該點的坐標(biāo)，滿足函數(shù)解析式可求得,注意通常根據(jù)解析式模型建立圖象模型根據(jù)解析式模型建立圖象模型例例2.2.畫出函數(shù)畫出函數(shù)y y|sinx|sinx| |的圖象并觀察其周期的圖象并觀察其周期. .解：解：函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)圖象如圖所示從圖中可以看出，函數(shù)從圖中可以看出，函數(shù) 是以是以為周期的波浪形為周期的波浪形曲線曲線. .xysiny y|sinx|sinx| |x xy y-2-222O O由于由于,sinsin)sin(xxx所以，函數(shù)所以，函數(shù) 是以是以為周期的函數(shù)為周期的函數(shù). .xysin我們也可以這樣進行驗證：我們也可

7、以這樣進行驗證： 利用函數(shù)圖象的直觀性利用函數(shù)圖象的直觀性, ,通過觀察圖象而獲得對函數(shù)通過觀察圖象而獲得對函數(shù)性質(zhì)的認識性質(zhì)的認識, ,這是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法這是研究數(shù)學(xué)問題的常用方法. . 例例3.3.如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為 ， 為此時為此時太陽直射緯度，太陽直射緯度， 為該地的緯度值，那么這三個量之間的為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是關(guān)系是 9090| | |.|.當(dāng)?shù)叵陌肽戤?dāng)?shù)叵陌肽?取正值，冬半年取正值，冬半年 取負值取負值. . 太陽太陽光光將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型

8、如圖，設(shè)地球表面某地如圖，設(shè)地球表面某地緯度值為緯度值為 ，正午太陽，正午太陽高度角為高度角為，此時太陽，此時太陽直射緯度為直射緯度為 ，那么，那么這三個量之間的關(guān)系這三個量之間的關(guān)系是是 . .當(dāng)?shù)禺?dāng)?shù)叵陌肽晗陌肽耆≌担肴≌?，冬半年年取負值取負? .90| o太陽光太陽光90| 地心地心北半球北半球南半球南半球太陽高度角的定義太陽高度角的定義太陽光太陽光90 o90| o90| o地心地心太陽光直射南半球太陽光直射南半球分析：分析：根據(jù)地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為根據(jù)地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、北回歸線之間的地帶南、北回歸線之間的地帶. .畫出圖形如下，由畫圖易知畫

9、出圖形如下，由畫圖易知A B Ch0 如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯4040 ）的一幢高為）的一幢高為h h0 0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？M解：解：如圖，如圖，A A、B B、C C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時，樓頂在地面上的投影點，要使新樓一層正午的太歸線時，樓頂在地面上的投影點，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情陽全年不被前面

10、的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情況考慮，此時的太陽直射緯度為況考慮，此時的太陽直射緯度為-23-232626，依題意兩樓的間，依題意兩樓的間距應(yīng)不小于距應(yīng)不小于MC.MC.根據(jù)太陽高度角的定義，有根據(jù)太陽高度角的定義，有C=90C=90 - -|40|40- -( (- -2326)|=26342326)|=2634所以，所以，000hhMC2.000 htanCtan26 34 即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于即在蓋樓時，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距樓高兩倍的間距. .將實際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚將實際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚: :理解

11、題意理解題意建立三角建立三角函數(shù)模型函數(shù)模型求解求解還原解答還原解答例例4.4.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮潮. .一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. .在通常情況下，船在漲在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋，潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋，下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表：下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深的關(guān)系表：時刻時刻水深水深/ /米米時刻時刻水深水深/ /米米時刻時刻水深水深/ /米米0:000:005.05.09:009:002.5

12、2.518:0018:005.05.03:003:007.57.512:0012:005.05.021:0021:002.52.56:006:005.05.015:0015:007.57.524:0024:005.05.0（1 1）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，給出整點時的水深的近似數(shù)值數(shù)關(guān)系，給出整點時的水深的近似數(shù)值. .（精確到（精確到0.0010.001）（2 2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4 4米，安米，安全條例規(guī)定至少要有全條例規(guī)定至少要有1.51.5米的

13、安全間隙（船底與洋底的距米的安全間隙（船底與洋底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？（3 3）若某船的吃水深度為）若某船的吃水深度為4 4米，安全間隙為米，安全間隙為1.51.5米，該船在米，該船在2:002:00開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.30.3米的速度減少，那么米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)來刻畫水深與時間之間的對應(yīng)關(guān)系來刻畫水深與時間之間的對應(yīng)關(guān)系. .從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：從

14、數(shù)據(jù)和圖象可以得出：sin()yAxh解：解：（1 1）以時間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)）以時間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中畫出散點圖系中畫出散點圖. .A=2.5,h=5,T=12, =0;A=2.5,h=5,T=12, =0;2T12由由 , ,得得.6所以，這個港口的水深與時間的關(guān)系可以近似描述為：所以，這個港口的水深與時間的關(guān)系可以近似描述為：2.5sin5.6yx由上述關(guān)系式易得港口在整點時水深的近似值：由上述關(guān)系式易得港口在整點時水深的近似值：時時刻刻0.000.001:001:002:002:003:003:004:004:005:005:006:006:007

15、:007:008:008:009:009:0010:0010:0011:0011:00水水深深5.0005.0006.2506.2507.1657.1657.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.0003.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7503.750時時刻刻12.0012.0013:0013:0014:0014:0015:0015:0016:0016:0017:0017:0018:0018:0019:0019:0020:0020:0021:0021:0022:0022:0023:0023:00水水深深5.000

16、5.0006.2506.2507.1657.1657.5007.5007.1657.1656.2506.2505.0005.0003.7543.7542.8352.8352.5002.5002.8352.8353.7543.754（2 2）貨船需要的安全水深為）貨船需要的安全水深為 4+1.5=5.5 4+1.5=5.5 （米），所以（米），所以當(dāng)當(dāng)y y5.55.5時就可以進港時就可以進港. .令令化簡得化簡得2.5sin55.56，xsin0.26，x由計算器計算可得由計算器計算可得0.201 4,0.201 466 xx或解得解得0.384 6,5.615 4 ，ABxx因為因為 ，所以

17、有函數(shù)周期性易得，所以有函數(shù)周期性易得0,24x120.384 612.384 6,125.615 417.615 4. CDxx 因此，貨船可以在凌晨因此，貨船可以在凌晨0 0時時3030分左右進港，早晨分左右進港，早晨5 5時時3030分左右出港；或在中午分左右出港；或在中午1212時時3030分左右進港，下午分左右進港，下午1717時時3030分左右出港，每次可以在港口停留分左右出港，每次可以在港口停留5 5小時左右小時左右. .（3 3）設(shè)在時刻）設(shè)在時刻x x貨船的安全水深為貨船的安全水深為y y，那么，那么y=5.5-0.3(x-2) y=5.5-0.3(x-2) (x(x22),

18、),在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象，可以看到在到在6 67 7時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點時之間兩個函數(shù)圖象有一個交點. . 通過計算可得，在通過計算可得，在6 6時的水深約為時的水深約為5 5米，此時貨船的安米，此時貨船的安全水深約為全水深約為4.34.3米；米；6.56.5時的水深約為時的水深約為4.24.2米，此時貨船的米，此時貨船的安全水深約為安全水深約為4.14.1米；米；7 7時的水深約為時的水深約為3.83.8米，而貨船的安米，而貨船的安全水深約為全水深約為4 4米，因此為了安全，貨船最好在米，因此為了安全，貨船最好在6.56.5時之

19、前停時之前停止卸貨，將貨船駛向較深的水域止卸貨，將貨船駛向較深的水域. .1.(20121.(2012菏澤菏澤高一檢測）單擺從某點開始來回擺動，離開高一檢測）單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置平衡位置O O的距離的距離s cms cm和時間和時間t st s的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為:s=:s=6sin(2t+ ),6sin(2t+ ),那么單擺來回擺動一次所需的時間為那么單擺來回擺動一次所需的時間為( )( )A.2 s B.A.2 s B. s sC.0.5 s D.1 sC.0.5 s D.1 sD D62.2.已知某海濱浴場的海浪高度已知某海濱浴場的海浪高度y(y(米米) )是時間是時間t t（其中（其中0t 0t 2424，單位：小時）的函數(shù)，記作，單位：小時）的函數(shù)，記作y=f(ty=f(t) )，下表是某日各，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：時的浪高數(shù)據(jù)：t(t(小時小時) )0 03 36 69 912121515181821212424y(y(米米) )1.51.51.01.00.50.51.01.01.51.51.01.00.50.50.990.991.51.5 經(jīng)長期觀測經(jīng)長期觀測,y=f(t,y=f(t) )的曲線可近似地看成是函數(shù)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acost+by=Acost+b，根據(jù)以上數(shù)