人教版八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)知識點總結(jié)(打印版)

1、人教版八年級第二學(xué)期數(shù)學(xué)知識點二次根式1 二次根式： 一般地，式子a , (a 0) 叫做二次根式 .注意：（ 1）若 a0 這個條件不成立，則a 不是二次根式； （ 2） a 是一個重要的非負數(shù)，即；a 0.2重要公式： （ 1） (a )2a (a0) , （2）a 2aa(a0)；注意使用 a ( a) 2 (a 0) .a(a0)3積的算術(shù)平方根：abab (a 0 , b0) ，積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積；注意：本章中的公式，對字母的取值范圍一般都有要求.4二次根式的乘法法則：abab(a0 , b0) .5二次根式比較大小的方法：（ 1）利用近似值比大?。唬?2）

2、把二次根式的系數(shù)移入二次根號內(nèi)，然后比大??；（ 3）分別平方，然后比大小 .6商的算術(shù)平方根：aa ( a 0 , b 0) ，商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.bb7二次根式的除法法則：（ 1）aa (a 0 , b 0) ；bb（ 2） aba b (a0, b 0) ；（ 3）分母有理化：化去分母中的根號叫做分母有理化；具體方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化因式，使分母變?yōu)檎?.8常用分母有理化因式：a 與a ，ab 與ab ，manb 與 manb ，它們也叫互為有理化因式 .9最簡二次根式：（ 1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，被開方數(shù)

3、的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開的盡的因數(shù)或因式；（ 2）最簡二次根式中，被開方數(shù)不能含有小數(shù)、分數(shù)，字母因式次數(shù)低于2，且不含分母；（ 3）化簡二次根式時，往往需要把被開方數(shù)先分解因數(shù)或分解因式；（ 4）二次根式計算的最后結(jié)果必須化為最簡二次根式.10二次根式化簡題的幾種類型：（ 1）明顯條件題； （ 2）隱含條件題； （ 3）討論條件題.11同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式12二次根式的混合運算：被開方數(shù)中.（ 1）二次根式的混合運算包括加、減、乘、除、乘方、開方六種代數(shù)運算，以前學(xué)過的，在有理數(shù)范圍內(nèi)的一切公式和運算律在二次

4、根式的混合運算中都適用；（ 2）二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當(dāng)化簡，例如：化為同類二次根式才能合并；除法運算有時轉(zhuǎn)化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等.勾股定理勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為 c ，那么 a2b2c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)DbaC家商高就提出了 “勾三，股四，弦五 ”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的

5、平方和等于斜邊的平方 .勾股定理的證明HacbcEGFcbabca勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理AcBabAaDbccEa常見方法如下 ：BbC方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 41ab (b a)2c2 ，化簡可證 a2b2c22方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 41ab c22abc2大正方形面積為S (ab)2a 22ab b2所以 a

6、2b 2c22方法三： S梯形1 (ab )(ab) ， S梯形 2S ADES ABE21 ab1 c2 ，化簡得證： a 2b2c2222 .勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在ABC 中，C90 ，則 ca2b 2 ，bc2a2 ，a c2 b2 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運用勾股定理解決一些實際問題 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a ， b ， c

7、 滿足 a 2b2c2 ，那么這個三角形是直角三角形，其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2b2 與較長邊的平方c2 作比較，若它們相等時，以a ， b ， c為三邊的三角形是直角三角形；若a 2b2c2 ，時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2 ，時，以 a ， b ， c 為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a ， b ， c 及 a2b2c2 只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a ， b ， c 滿足a2c2b2 ，

8、那么以 a ， b ， c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a 2b2c2 中， a ， b ， c 為正整數(shù)時，稱 a ， b ， c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25 等勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直

9、角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線） ，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：CCC30°ABAD

10、BBDA10、互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。四邊形1四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（ 1）四邊形的內(nèi)角和等于 360°；（ 2）四邊形的外角和等于 360°.2多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（ 1） n 邊形的內(nèi)角和等于 (n-2)180 °；（ 2）任意多邊形的外角和等于360° .3平行四邊形的性質(zhì)：（1）兩組對邊分別平行；（2）兩組對邊分別相等；因為 ABCD是平行四邊形（3）兩組對角分別相等；（4）對角線互相平分；ADBCA4D312

11、BCDCOAB（5）鄰角互補.4. 平行四邊形的判定：（ ）兩組對邊分別平行1DC（ ）兩組對邊分別相等2O（ ）兩組對角分別相等ABCD是平行四邊形 .3（ ）一組對邊平行且相等AB4（ ）對角線互相平分55. 矩形的性質(zhì)：DC（1）具有平行四邊形的所有通性 ;O因為 ABCD是矩形（2）四個角都是直角;（3）對角線相等.ABDCAB6. 矩形的判定：（1）平行四邊形一個直角DC（2）三個角都是直角四邊形 ABCD是矩形 .O（3）對角線相等的平行四邊形ABDCAB7菱形的性質(zhì)：因為 ABCD是菱形（1）具有平行四邊形的所有通性；（2）四個邊都相等；（3）對角線垂直且平分對角 .8菱形的判定

12、：（1）平行四邊形一組鄰邊等（2）四個邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱形 .（3）對角線垂直的平行四邊形9正方形的性質(zhì)：因為 ABCD是正方形（1）具有平行四邊形的所有通性；（2）四個邊都相等，四個角都是直角；（3）對角線相等垂直且平分對角 .DCDCOAB（1）AB（2）10正方形的判定：（1）平行四邊形一組鄰邊等一個直角（2）菱形一個直角四邊形 ABCD是正方形 .（3）矩形一組鄰邊等D(3)C ABCD是矩形又 AD=AB四邊形ABCD是正方形AB11等腰梯形的性質(zhì)：（1）兩底平行，兩腰相等；因為 ABCD是等腰梯形（2）同一底上的底角相等；（3）對角線相等 .12等腰梯形的判定：A D

13、OBC（1）梯形兩腰相等（2）梯形底角相等四邊形 ABCD是等腰梯形（3）梯形對角線相等A(3)DOBC ABCD是梯形且 ADBC AC=BD ABCD四邊形是等腰梯形13三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半 .ADEBC14梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 .DCEFAB一 基本概念： 四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.二定理： 中心對稱的有關(guān)定理 1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形. 2關(guān)于中心對稱的兩個圖

14、形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分. 3如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱.三 公式：1S 菱形 = 1 ab=ch. （ a、 b 為菱形的對角線,c為菱形的邊長， h 為 c 邊上的高）22S 平行四邊形=ah. a為平行四邊形的邊，h 為 a 上的高）3S 梯形 = 1 （ a+b）h=Lh. （ a、 b 為梯形的底， h 為梯形的高 ,L 為梯形的中位線）2四 常識： 1若 n 是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是：n (n 3) .2矩正菱方形形形2規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.平行四邊形3如圖：平行四邊形、

15、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.4常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形 ；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形 ；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓 . 注意：線段有兩條對稱軸 . 5梯形中常見的輔助線：ADADADAD中點中點EBECBCBEFCBCFEADADADAFDEFE中點中點BCEBCBCBGC平移與旋轉(zhuǎn)平移與旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)的 定義 ：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)。2.旋轉(zhuǎn)的 性質(zhì) ：旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形之間有：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)角相等。中心對稱1.中心對稱

16、的 定義 ：如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180 度后能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做中心對稱。2.中心對稱圖形的定義 ：如果一個圖形繞一點旋轉(zhuǎn)180 度后能與自身重合，這個圖形叫做中心對稱圖形。3.中心對稱的 性質(zhì) ：在中心對稱的兩個圖形中，連結(jié)對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。軸對稱1.軸對稱的 定義：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2.軸對稱圖形的 性質(zhì) ：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。等腰三角形的“三線合一”。3.軸對稱的 性質(zhì)：對應(yīng)點所

17、連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段/對應(yīng)角相等。圖形變換圖形變換的 定義：圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、和軸對稱統(tǒng)稱為圖形變換。函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量 x 與 y，如果對于 x 的每一個值， y 都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說 x 是自變量， y 是 x 的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點（ 1）解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系， 有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算

18、符號的等式表示， 這種表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自變量x 的一系列值和函數(shù)y 的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。（ 3）圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟（ 1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值（ 2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點（ 3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，如果y kx b （ k， b 是常數(shù)， k 0），那么 y 叫做 x 的一次函數(shù)。特別地，當(dāng)一次函數(shù)y kx b 中的 b為 0 時

19、， ykx （ k 為常數(shù)， k 0）這時， y 叫做 x 的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線。3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：一次函數(shù) ykxb 的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)ykx 的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。（如下圖）4. 正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)ykx 有下列性質(zhì)：（ 1）當(dāng) k>0 時，圖像經(jīng)過第一、三象限，（ 2）當(dāng) k<0 時，圖像經(jīng)過第二、四象限，5、一次函數(shù)的性質(zhì)y 隨 x 的增大而增大；y 隨 x 的增大而減小。一般地，一次函數(shù)ykxb 有下列性質(zhì)：（ 1）當(dāng) k>0 時， y 隨 x 的增大

20、而增大（ 2）當(dāng) k<0 時， y 隨 x 的增大而減小6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)kx （ k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)kxb （ k0）中的常數(shù)k 和 b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。k 的符號b 的符號函數(shù)圖像圖像特征yk>0b>00圖像經(jīng)過一、二、三象限，y 隨 x 的增大而x增大。y0xy 隨 x 的增大而b<0圖像經(jīng)過一、三、四象限，增大。yb>0圖像經(jīng)過一、二、四象限，y 隨 x 的增0大而減小xK<0yb<0圖像經(jīng)過二、三、四象限，y 隨 x 的增大而減小。0x注：當(dāng) b=0 時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。方差與頻數(shù)分布知識框架圖數(shù)極差據(jù)的方差用計算器計算波動標準差比較事物的有關(guān)性質(zhì)方用樣本估計總體的有關(guān)特征差頻數(shù)與數(shù)頻率頻據(jù)數(shù)的分分頻數(shù)分布表布布頻數(shù)分布圖數(shù)據(jù)的波動一、極差1、一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差，叫做這組數(shù)據(jù)的極差；2、極差 =數(shù)據(jù)中的最大值數(shù)據(jù)中的最小值。二、方差1、在一組數(shù)據(jù) x1 , x2, , x3 , xn 中，各數(shù)據(jù)與他們的平均數(shù)x 的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方