專題14：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之等腰直角三角形構(gòu)建三垂直全等-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學解題方法系統(tǒng)訓練（全國通用）

1、專題14：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之等腰直角三角形構(gòu)建三垂直全等一、單選題1如圖，一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別交于、兩點，以為腰作等腰直角三角形，則直線的解析式是（ ）ABCD或2如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形對角線的交點E，若點A(2，0)、D(0，4)，則k=（ ）A6B8C9D123如圖，RtABC中，C=90°，BC=6，DE是ABC的中位線，點D在AB上，把點B繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)（0°<<180°）角得到點F，連接AF，BF下列結(jié)論：ABF是直角三角形；

2、若ABF和ABC全等，則=2BAC或2ABC；若=90°，連接EF，則SDEF=4.5；其中正確的結(jié)論是（ ）ABCD4如圖，ACB=90°，AC=BC，BECE于E，ADCE于D，給出下列結(jié)論：ABC=45°；ADBE；CAD=BCE；CEBADC；那么其中正確的有（ ）A2個B3個C4個D5個二、填空題5如圖，點在線段上，于，于，且，點以的速度沿向終點運動，同時點以的速度從開始，在線段上往返運動（即沿運動），當點到達終點時，同時停止運動.過，分別作的垂線，垂足為，.設(shè)運動時間為，當以，為頂點的三角形與全等時，的值為_6如圖，四邊形ABCD中，ABCACD90&

3、#176;，ACCD，BC4cm，則 的面積為_cm27如圖，已知點M（-1，0），點N（5m，3m+2）是直線AB：右側(cè)一點，且滿足OBM=ABN，則點N的坐標是_8如圖，AOOM，OA=7，點B為射線OM上的一個動點，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點，在OM兩側(cè)作等腰RtOBF、等腰RtABE，連接EF交OM于P點，當點B在射線OM上移動時，則PB的長度_9如圖，已知三條平行直線，兩條平行線間的距離為2，兩條平行線間的距離為4，將一等腰直角三角形如圖放置，過A，B分別向直線作垂線，垂足分別為D，E，則_三、解答題10如圖所示，且，延長交于點，且求證：11在ABC中，ACB90

4、6;，ACBC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E（1）如圖1所示位置時判斷ADC與CEB是否全等，并說明理由；（2）如圖2所示位置時判斷ADC與CEB是否全等，并說明理由12如圖，在中ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E（1）求證：；（2）若AD=2，BE=3，求的面積13在ABC中，ACB90°，ACBC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D， BEMN于E(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：ADCCEB；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、AD、BE的等量關(guān)系?并說明理由14如圖，點A（2，0）

5、，點C（1，0），點A、C關(guān)于原點O的對稱點分別為點B、D線段AB沿y軸向下平移2m（m0）個單位長度，得到線段A1B1，拋物線yax2+bx+2過點A1，B1（1）當m1時，a ；（2）求a與m之間的關(guān)系式；（3）線段CD沿y軸向下平移2n（n0）個單位長度，得到線段C1D1，拋物線yax2+bx+2過點C1，D1a ；（用含n的式子來表示）m與n之間的關(guān)系式為 點P（x，0）在x軸上，當PC1B1為等腰直角三角形時，直接寫出點P的坐標15（1）認識模型：如圖1，等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CBCA，直線ED經(jīng)過點C，過A作ADED于D，過B作BEED于E求證：BECCD

6、A；（2）應(yīng)用模型：已知直線y2x4與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段CB，求點C的坐標；如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為(5，4)，A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y2x3上的一點，點Q是平面內(nèi)任意一點若四邊形ADPQ是正方形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標參考答案1D【解析】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點的坐標，再作CEx軸于點E，由全等三角形的判定定理可得出ABOCAE，得出C點坐標，用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式【詳解】解：一次函數(shù)y=x+2中，令x=0得：y=2；令y=

7、0，解得x=5，B的坐標是（0，2），A的坐標是（5，0）若BAC=90°，如圖1，作CEx軸于點E，BAC=90°，OAB+CAE=90°，又CAE+ACE=90°，ACE=BAO在ABO與CAE中，ABOCAE（AAS），OB=AE=2，OA=CE=5，OE=OA+AE=2+5=7則C的坐標是（7，5）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：解得，直線BC的解析式是y=x+2若CBA=90°，如圖2，即BCAB，同理可得，直線BC解析式為：y=x+2；故選：D【點評】本題考查的是一次函數(shù)問題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等

8、三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵2C【解析】【分析】由A、D兩點坐標，可得到OA=2，OD=4，通過作垂線，構(gòu)造全等三角形后，可以得出點B的坐標，再根據(jù)中點坐標公式可求出點E的坐標，進而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，得出k的值【詳解】過點B作BFOA，垂足為F，A（2，0）、D（0，4），OA=2，OD=4，ABCD是正方形，AD=AB，DAB=90°，DAO+ADO=DAO+BAF=90°，ADO=BAF，又AOD=BFA=90°，AODBFA （AAS），BF=OA=2，AF=OD=4，點B（6，2），E

9、是BD的中點，點E的坐標為(，)，即(，)，把E(，)代入反比例函數(shù)的關(guān)系式得：，故選：C【點評】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識，確定E點坐標是解決問題的關(guān)鍵3C【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可判斷；分兩種情況討論：或，分別求即可 ；先根據(jù)題意畫出圖形，首先證明 ，然后得出，最后利用即可求解【詳解】DE是ABC的中位線，由旋轉(zhuǎn)可知， ， ， ，即 ，ABF是直角三角形，故正確； ， 若ABF和ABC全等，當時， ；當時，綜上所述，若ABF和

10、ABC全等，則=2BAC或2ABC，故正確；過點F作交ED的延長線于點G，DE是的中位線， ， ， ， ， ，D為AB中點， 在和中， ，故正確；所以正確的有：故選：C【點評】本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4D【解析】【分析】根據(jù)ABC是等腰直角三角形可判斷正確；根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可判斷正確；利用等腰三角形的性質(zhì)及其它條件，證明CEBADC，則其他結(jié)論易求【詳解】解：ACB=90°，AC=BC，ABC是等腰直角三角形，ABC=45

11、6;，故正確；BECE，ADCE，ADBE，故正確；BCE+ACD=90°ACD+CAD=90°BCE=CAD，故正確；又E=ADC=90°，AC=BCCEBADC，故正確CE=AD，BE=CD，故正確      因此，正確的結(jié)論有5個，故選：D【點評】本題考查了直角三角形全等的判定；要充分利用全等三角形的性質(zhì)來找到結(jié)論，利相等線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵；51或或【解析】【分析】根據(jù)題意分三種情況進行討論，并由全等三角形的判定和性質(zhì)進行分析即可求解【詳解】解：當點P在AC上，點Q在CE上時，以P，

12、C，M為頂點的三角形與QCN全等，PC=CQ，5-2t=6-3t，t=1，當點P在AC上，點Q第一次從點C返回時，以P，C，M為頂點的三角形與QCN全等，PC=CQ，5-2t=3t-6，t=，當點P在CE上，點Q第一次從E點返回時，以P，C，M為頂點的三角形與QCN全等，PC=CQ，2t-5=18-3t，t=，綜上所述：t的值為1或或故答案為：1或或【點評】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵68【解析】【分析】作DHBC，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DHBC4，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案【詳解】解：過點D作DHBC，交BC的延長線于點H，ABC9

13、0°，BAC+ACB90°，ACD90°，HCD+ACB90°，BACHCD，在ABC和CHD中， ，（AAS），DHBC4，的面積（cm2），故答案為：8【點評】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形面積的計算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵7【解析】【分析】在x軸上取一點P（1，0），連接BP，作PQPB交直線BN于Q，作QRx軸于R，構(gòu)造全等三角形OBPRPQ（AAS）；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)求得Q（5，1），易得直線BQ的解析式，所以將點N代入該解析式來求m的值即可【詳解】解：在x軸上取一點P（1，0），連

14、接BP，作PQPB交直線BN于Q，作QRx軸于R，BOP=BPQ=PRQ=90°，BPO=PQR，OA=OB=4，OBA=OAB=45°，M（-1，0），OP=OM=1，BP=BM，OBP=OBM=ABN，PBQ=OBA=45°，PB=PQ，OBPRPQ（AAS），RQ=OP=1，PR=OB=4，OR=5，Q（5，1），直線BN的解析式為yx+4，將N（5m，3m+2）代入yx+4，得3m+2=×5m+4解得 m，N故答案為：【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題，需要熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與

15、圖形性質(zhì)，兩點間的距離公式等知識點，難度較大8【解析】【分析】根據(jù)題意過點E作ENBM，垂足為點N，首先證明ABOBEN，得到BO=ME；進而證明BPFMPE并分析即可得出答案【詳解】解：如圖，過點E作ENBM，垂足為點N，AOB=ABE=BNE=90°，ABO+BAO=ABO+NBE=90°，BAO=NBE，ABE、BFO均為等腰直角三角形，AB=BE，BF=BO；在ABO與BEN中，ABOBEN（AAS），BO=NE，BN=AO；BO=BF，BF=NE，在BPF與NPE中，BPFNPE（AAS），BP=NP= BN，BN=AO，BP= AO= ×7=故答案為：

16、【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形并靈活運用有關(guān)定理進行分析910【解析】【分析】首先根據(jù)同角的余角相等得出，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和一線三等角證出，所以，即，從而求解【詳解】于點D，于點E，在和中，故答案為：10.【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等根據(jù)同角的余角相等和一線三等角證明三角形全等是解題關(guān)鍵10詳見解析【解析】【分析】延長BF至G，使，連結(jié)EG，得，BF=GF，再證，得.【詳解】證明：延長BF至G，使，連結(jié)EG，在BDF和GEF中， ， ，BF=GF，BG=2BF，BEB

17、A，C=G=90°，A=EBG，在ABC和BEG中， ，AC=BG=2BF.【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵11（1）全等，見解析；（2）全等，見解析【解析】【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角證明DACBCE，再利用AAS定理證明DACECB；（2）首先根據(jù)同角的余角證明DACBCE，進而利用HL定理證明ACDCBE【詳解】（1）如圖1，全等，理由：ACB90°，ADMN于D，BEMN于E，DAC+DCABCE+DCA，DACBCE，在DAC與ECB中，DACECB（AAS）；（2）如圖2，全等，理由：ACB90°

18、;，ADMN，DAC+ACDACD+BCE，DACBCE，在ACD與CBE中，ACDCBE（AAS）【點評】本題考查全等三角形的判定及其性質(zhì)定理的同時，還滲透了對旋轉(zhuǎn)變換的考查；解題的關(guān)鍵是靈活運用全等三角形的判定定理解題12（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直定義求出BECACBADC，根據(jù)等式性質(zhì)求出ACDCBE，根據(jù)AAS證出ADC和CEB全等即可；（2）由（1）可推出CDBE，ADCE，進而可得到AC=AB=，再計算ABC面積即可【詳解】解：（1）證明：ACB90°，ADMN，BEMN，BECACBADC90°，ACE+BCE90°，BCE+

19、CBE90°，ACDCBE，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）ADCCEBBECD，ADCE，AC=BC，又AD=2，BE=3，AC=BC=，ABC的面積為，故ABC的面積為【點評】全等三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件13（1）見解析；（2）DE=AD-BE，理由見解析【解析】【分析】（1）由已知推出ADC=BEC=90°，因為ACD+BCE=90°，DAC+ACD=90°，推出DAC=BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；（2）與（1）證法類似可證

20、出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案【詳解】解：（1）證明：如圖1，ADDE，BEDE，ADC=BEC=90°，ACB=90°，ACD+BCE=90°，DAC+ACD=90°，DAC=BCE，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）結(jié)論：DE=AD-BE理由：如圖2，BEEC，ADCE，ADC=BEC=90°，EBC+ECB=90°，ACB=90°，ECB+ACE=90°，ACD=EBC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS），AD=CE，CD=BE，DE=E

21、C-CD=AD-BE【點評】本題主要考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能根據(jù)已知證明ACDCBE是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強14（1）2；（2）am1；（3）2n2；m2n+1；點P的坐標為（，0）或（4，0）或（，0）【解析】【分析】（1）平移后A1、B1的坐標分別為（2，2m）、（2，2m），則，即可求解；（2）由（1）中的方程組即可得出（3）平移后點C1、D1的坐標分別為（1，2n）、（1，2n），則，即可求解；分B1P C1為直角、C1B1P為直角、B1 C1P為直角三種情況，利用三角形全等求解即可【詳解】解：（1）點A、C關(guān)于原點O的對稱點分別為點B、D，則

22、點B、D的坐標分別為（2，0）、（1，0），則平移后A1、B1的坐標分別為（2，2m）、（2，2m），則，4a+44m，am1，當m1時，a2，故答案為2；（2）由（1）得：am1，（3）平移后點C1、D1的坐標分別為（1，2n）、（1，2n），則，解得：a2n2，而am1，故m2n+1，故答案為：2n2；m2n+1；平移后點B1坐標為（2，2m），即（2，4n2），而點C1（1，2n），（）當B1P C1為直角時，如圖1，連接B B1、C C1，CP C1+BPB190°，CPC1+CC1P90°，BPB1CC1P，而P B1PC1，PCC1B1BP90°，PC

23、C1B1BP（AAS），CC1PB，BB1PC，即2n2x且x+14n+2，解得：x故點P的坐標為（，0）；（）當C1B1P為直角時，過C1作C1MA1 B1，過點P作PNA1B1交A1 B1的延長線于點N，同理可得：C1MB1B1NP（AAS），M C1B1N且M B1PN，即2n+2x2且4n+23，解得：x，P的坐標為（）；（）當B1 C1P為直角時，簡圖如圖3，過點C1作C1Mx軸，過點B1作x軸的平行線交M C1的延長線于點N，同理可得：PMC1C1N B1（AAS），PMC1N，C1MN B1，即x+12n+2，2n3，解得：x4，故點P（4，0）；綜上，點P的坐標為（，0）或（4，0）或（