專題18：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之互補型旋轉(zhuǎn)-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）

1、專題18：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之互補型旋轉(zhuǎn)一、單選題1RtABC中，AB=AC，點D為BC中點MDN=90°，MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點下列結(jié)論(BE+CF)=BC，AD·EF，ADEF，AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A1個B2個C3個D4個二、填空題2如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接AQ若PA=4，PB=5，PC=3，則四邊形APBQ的面積為_3如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積

2、是_4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若BCA=90°，則BC+AC的值為_三、解答題5如圖，在中，點在上，點在上，連接，垂足為證明：6在中，于點,（1）如圖1，點，分別在，上，且，當(dāng)，時，求線段的長；（2）如圖2，點，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點在的延長線上，點在上，且，求證：;7探究問題：(1)方法感悟：如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足BAF45°，連接EF，求證DEBFEF感悟解題方法，并完成下列填空：將ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90

3、°得到ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90°， ABGABF90°90°180°，因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上 EAF45° 23BADEAF90°45°45° 12，1345°即GAF_又AGAE，AFAE GAF_ _EF，故DEBFEF(2)方法遷移：如圖，將RtABC沿斜邊翻折得到ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且EAF12DAB試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想8如圖，ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段B

4、C的中點，EDF=120°，把EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，使EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F（1）當(dāng)DFAC時，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由9如圖所示，中，把一塊含角的直角三角板的直角頂點放在的中點上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），將三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）在如圖所見中，交于，交于，證明；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖所見，延長交于，延長交于，證明.10如圖1，四邊形ABCD中，BDAD，E為BD上一點，AEBC，CEBD，CEED（1）已知AB10，AD6，求CD；（2）如圖2，F(xiàn)為AD上一點，AFDE

5、，連接BF，交BF交AE于G，過G作GHAB于H，BGH75°求證：BF2GH+EG11一位同學(xué)拿了兩塊三角尺，做了一個探究活動：將的直角頂點放在的斜邊的中點處，設(shè).（1）如圖1所示，兩三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為_，周長為_.（2）將如圖1所示中的繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示，此時重疊部分的面積為_，周長為_.（3）如果將繞旋轉(zhuǎn)到不同于如圖1所示和如圖2所示的圖形，如圖3所示，請你猜想此時重疊部分的面積為_.（4）在如圖3所示情況下，若，求出重疊部分圖形的周長.12閱讀下面材料：小炎遇到這樣一個問題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，EAF=45&

6、#176;，連結(jié)EF，則EF=BE+DF，試說明理由小炎是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對集中她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD是共點并且相等的，于是找到解決問題的方法她的方法是將ABE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ADG，再利用全等的知識解決了這個問題（如圖2）參考小炎同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=90°點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF=45°若B，D都不是直角，則當(dāng)B與D滿足_ 關(guān)系時，仍有EF=BE+DF；（2）如圖4，在ABC中，BAC=90&#

7、176;，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的長參考答案1C【解析】【分析】【詳解】解:RtABC中，AB=AC，點D為BC中點MDN=90°，AD =DC，EAD=C=45°，EDA=MDNADN =90°ADN=FDCEDAFDC（ASA）AE=CFBE+CF= BE+ AE=AB在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC(BE+CF)=BC結(jié)論正確設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE= ab結(jié)論正確如圖，過點E作EIAD于點I，過點F作FGAD于點G，過點F作FHBC于點H，ADEF相交于點O四邊

8、形GDHF是矩形，AEI和AGF是等腰直角三角形，EOEI（EFAD時取等于）=FH=GD，OFGH（EFAD時取等于）=AGEF=EOOFGDAG=AD結(jié)論錯誤EDAFDC，結(jié)論錯誤又當(dāng)EF是RtABC中位線時，根據(jù)三角形中位線定理知AD與EF互相平分結(jié)論正確綜上所述，結(jié)論正確故選C2【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BPQ是等邊三角形，由全等三角形的判定可得ABQCBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得APQ是直角三角形，求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求兩個特殊三角形的面積即可【詳解】解：連接PQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BP=BQ，又PBQ=60°，BPQ是等邊三角形，PQ=BP，在等邊三角形A

9、BC中，CBA=60°，AB=BC，ABQ=60°-ABPCBP=60°-ABPABQ=CBP在ABQ與CBP中 ，ABQCBP(SAS)，AQ=PC，又PA=4，PB=5，PC=3，PQ=BP=5，PC=AQ=3，在APQ中，因為，25=16+9，由勾股定理的逆定理可知APQ是直角三角形，故答案為：【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面積，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，轉(zhuǎn)化為特殊三角形進(jìn)行求解32【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，連接，可得，那么可得陰影部分的面積與正方形面積的關(guān)系，同理得出另兩個正方形的陰影部分面積與正方形面

10、積的關(guān)系，從而得出答案【詳解】解：連接、，如圖：，四邊形是正方形，在和中，、兩個正方形陰影部分的面積是，同理另外兩個正方形陰影部分的面積也是，故答案為：2【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的證明，把陰影部分進(jìn)行合理轉(zhuǎn)移是解決本題的難點，難度適中4【解析】【分析】可將OBC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得的圖形與OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.【詳解】解：將OBC繞O點旋轉(zhuǎn)90°，OB=OA點B落在A處，點C落在D處且有OD=OC=3，COD=90°，OAD=OBC，在四邊形OACB中BOA=BCA=90°，OBC

11、+OAC=180°，OAD+OAC=180°C、A、D三點在同一條直線上，OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD= 即BC+AC=.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.要求兩條線段的長，可利用作圖的方法將兩條線段化成一條線段，再求這條線段的長度即可，本題就是利用旋轉(zhuǎn)的方法做到的，但做本題時需注意，一定要證明C、A、D三點在同一條直線上.本題還有一種化一般為特殊的方法，因為答案一定可考慮CBy軸的情況，此時四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時，也可以起到事半功倍的效果.5見解析【解析

12、】【分析】如圖，延長到點，使，連接、，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補角互補可得，進(jìn)而可根據(jù)SAS證明，可得，進(jìn)一步即可求得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識即可證得結(jié)論【詳解】證明：如圖，延長到點，使，連接、，【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知識，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用上述知識是解題的關(guān)鍵6(1) ；(2)見解析；(3)見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到 ADBDDC ，求出 MBD30°，根據(jù)勾股定理計算即可； （2）證明BDEADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明； （3）過點 M作

13、 MEBC交 AB的延長線于 E，證明BMEAMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BEAN，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論【詳解】（1）解：，由勾股定理得，即，解得，；（2）證明：，在和中，；（3）證明：過點作交的延長線于，則，在和中，【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形 的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵7(1)EAF、EAF、GF；(2)DEBFEF.【解析】【分析】（1）利用角之間的等量代換得出GAF=FAE，再利用SAS得出GAFEAF，得出答案；（2）將ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，再證明AGFAEF，

14、即可得出答案；【詳解】解：（1）如圖所示；根據(jù)等量代換得出GAF=FAE，利用SAS得出GAFEAF，GF=EF，故答案為：FAE；EAF；GF； (2)DEBFEF，理由如下：假設(shè)BAD的度數(shù)為m，將ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，m°得到ABG，如圖，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得： ABAD，BGDE，12，ABGD90°， ABGABF90°90°180°， 因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上 EAF=12m°， 2+3=BAD-EAF=m°-12m°=12m° 12， 1312m° 即GAFEA

15、F在AGF和AEF中，AGAEGAFEAFAFAF， GAFEAF（SAS） GFEF又 GFBGBFDEBF， DEBFEF【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、以及折疊的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)等知識，證得GAFEAF是解題的關(guān)鍵8（1）證明見解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求DEA=90°，根據(jù)“AAS”可判定BDECDF，即可證BE=CF；（2）過點D作DMAB于M，作DNAC于N，如圖2，易證MBDNCD，則有BM=CN，DM=DN，進(jìn)而可證到EMDFND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+

16、CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【詳解】（1）ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，B=C=60°，BD=CD，DFAC，DFA=90°，A+EDF+AFD+AED=180°，AED=90°，DEB=DFC，且B=C=60°，BD=DC，BDECDF（AAS）（2）過點D作DMAB于M，作DNAC于N，則有AMD=BMD=AND=CND=90°A=60°，MDN=360°-60°-90°-90°=120°EDF

17、=120°，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD（AAS）BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND（ASA）EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，通過證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵9(1)見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）連接BD，證明DMBDNC根據(jù)已知，全等條件已具備兩個，再證出MDB=NDC，用ASA證明全等，四邊

18、形DMBN的面積不發(fā)生變化，因為它的面積始終等于ABC面積的一半；（2）同樣利用（1）中的證明方法可以證出DMBDNC；（3）方法同（1）【詳解】證明：（1）連接BD,AB=BC，ABC=90°，點D為AC的中點BDAC，A=C=45°BD=AD=CDABD=A=45°MBD=C=45°MDB+BDN=90°NDC+BDN=90°MDB=NDC在MDB和NDC中 MDBNDC（ASA）DM=DN（5分）（2）DM=DN仍然成立理由如下：連接BD，由（1）知BDAC，BD=CDABD=ACB=45°ABD+MBD=180

19、76;ACB+NCD=180° MBD=NCDBDACMDB+MDC=90°又NDC+MDC=90°MDB=NDC在MDB和NDC中 MDBNDC（ASA） DM=DN.【點睛】本題主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，利用ASA求三角形全等（手拉手模型），還運用了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，及等腰三角形三線合一定理等知識10（1）2；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得出BD8，由HL證得RtADERtBEC，得出BEAD，則CEEDBDBEBDAD2，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）連接CF，易證AFCE，ADCE

20、，得出四邊形AECF是平行四邊形，則AECF，AECF，得出CFDEAD，CFBAGF，由RtADERtBEC，得出CBEEAD，推出CBECFD，證得BCF是等腰直角三角形，則BFBCCFAE，F(xiàn)BCBFC45°，推出AGF45°，AGH60°，GAH30°，則AG2GH，得出BFAE（AG+EG），即可得出結(jié)論【詳解】（1）解：BDAD，BD8，CEBD，CEBEDA90°，在RtADE和RtBEC中，RtADERtBEC（HL），BEAD，CEEDBDBEBDAD862，CDCE2；（2）解：連接CF，如圖2所示：AFDE，DECE，AF

21、CE，BDAD，CEBD，ADCE，四邊形AECF是平行四邊形，AECF，AECF，CFDEAD，CFBAGF，由（1）得：RtADERtBEC，CBEEAD，CBECFD，F(xiàn)BD+BFC+CFD90°，F(xiàn)BD+BFC+CBE90°，BCF90°，AEBC，BCCF，BCF是等腰直角三角形，BFBCCFAE，F(xiàn)BCBFC45°，AGF45°，BGH75°，AGH180°45°75°60°，GHAB，GAH30°，AG2GH，BFAE（AG+EG），BF2GH+EG【點睛】本題考查了等腰

22、直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)、作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)鍵11（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【解析】【分析】根據(jù)，得出AB的值，再根據(jù)M是AB的中點，得出，求出重疊部分的面積，再根據(jù)AM，MC，AC的值即可求出周長；  易得重疊部分是正方形，邊長為，面積為，周長為  過點M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、求得，則陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積  先過點M作于點E，于點H，根據(jù)，得出，從而得出，最后根據(jù)AD和DF的值，算出，即可得出答案【詳解】解：，是AB的中點，重疊部分的面積是，周長為：；故答案為4，；重疊部分是正方形，邊長為，面積為，周長為故答案為4，8過點M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、E，是斜邊AB的中點，又，在和中，陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積，正方形CEMH的面積是；