完整word版,全等三角形輔助線系列之二--中點(diǎn)類(lèi)輔助線作法大全,推薦文檔

1、全等三角形輔助線系列之二與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法大全一、中線類(lèi)輔助線作法1、遇到三角形的中線，可以倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)全等 將分散的條件集中起來(lái)，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”2、遇到題中有中點(diǎn)，可以構(gòu)造三角形的中位線，利用中位線的性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段關(guān)系.3、遇到三角形的中線或與中點(diǎn)有關(guān)的線段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜邊的中點(diǎn)， 試圖構(gòu)造直角三角形斜邊的中線，利用斜邊中線的性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段關(guān)系.典型例題精講【例1】 如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線， E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng) BE交AC于F ,AF EF ,求證：AC BE .21 / 12【

2、解析】延長(zhǎng) AD到G ,使DG AD ,連結(jié)BG1 .BD CD, BDG CDA , AD GDADC 9 GDB , AC GB . G EAF又AF EF , EAF AEFG BED2 .BE BG , BE AC .【例2】 如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF II AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ,交EF于點(diǎn)G ,若BG CF ,求證：AD為 ABC的角平分線.【解析】延長(zhǎng)FE到點(diǎn)H ,使HE FE連結(jié)BH .【例3】【解析】【例4】在CEF和CE BECEFFE HEEFCEHBAFG又 EF IICADBEHBEHBEHEHBBGEAGFCFBHBGBGE

3、AGFAD , ,AFGAGFBADBAD，AD為ABC的角平分線.已知AD為ABC的中線,ADC的平分線分別交BE延長(zhǎng)易證CF EF .DF ,連結(jié) BN、EN .AB于E、交AC于F .求證:*NBND CFD , BN CF ,ADB , ADC的平分線分別交 AB于E、交AC于FEDF EDN 90 ，利用SAS證明在EBN中,如圖所示,求證AD2BE BNABC 中,EDF , EN EFEN , BE CFD是BC的中點(diǎn),DM垂直于DN如果BM 22CN2DM2 一 2AB2 AC2【解析】延長(zhǎng) ND至E ,使DE DN ,連接EB、EM、MN .因?yàn)?DE DN , DB DC

4、, BDE CDN ,貝U BDE 9 CDN .從而 BE CN , DBE C . 2222而 DE DN ,MDN 90 ,故 ME MN ,因此 DM DNMNME ,即 BM 2 BE2ME2 ,貝U MBE 90 ,即 MBDDBE 90.因?yàn)?DBE C ,故 MBD C 90 ,則 BAC 90 .1AD為Rt ABC斜邊BC上的中線，故 AD - BC .2由此可得 AD2 1BC2 - AB2 AC2 . 44【例5】 在Rt ABC中，F(xiàn)是斜邊AB的中點(diǎn)，D、E分別在邊CA、CB上，滿(mǎn)足 DFE 90 .若AD 3,【解析】如圖、延長(zhǎng) DF至點(diǎn)G , 由AF FB ,有

5、ADF 9 BGF BG AD 3 ADFBGFAD / GB GBE ACB 180 GBE 90GE JGB2 EB2 5 又 DF FG , EF DGDE GE 5 .【例6】如圖所示，在ABC中， CD ,求證 CD 2EC ./ DA Dk?l CEB 使得DF FG ,聯(lián)結(jié)GB、GE .圖6AB AC ,延長(zhǎng)AB至1 D ,使BD AB, E為AB的中點(diǎn)，連接CE、1FAAAAAAAKA/A/ / / 1 /D/)BE 4,則線段DE的長(zhǎng)度為.【解析】解法一：如圖所示，延長(zhǎng) CE到F ,使EF CE .容易證明 EBF色 EAC ,從而B(niǎo)F AC ,而AC AB BD ,故BF

6、BD . 注意至U CBD BAC ACB BAC ABC ,CBF ABC FBA ABC CAB ,故 CBF CBD ,而 BC 公用，故 CBF CBD , 因止匕CD CF 2CE .解法二：如圖所示，取 CD的中點(diǎn)G ,連接BG .因?yàn)镚是CD的中點(diǎn)，B是AD的中點(diǎn)，11故BG是 DAC的中位線，從而 BG -AC -AB BE , 22由 BG / AC 可得 GBC ACB ABC EBC ,故 BCE BCG , 從而 EC GC , CD 2CE .【例7】已知：ABCD是凸四邊形，且ACBD . E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于M ; EF交BD于N, AC和B

7、D交于G點(diǎn).求證： GMNGNM【解析】取AB中點(diǎn)H,連接EH、FH._-1, AEED,AH BH, EH/ BD,EH -BD,2AH BH , BF CF1 .FH/AC, FH -AC2 GMN HFEAC BD , FH EH HEF HFE , GMN GNMGNM HEF例8 在ABC中,1 一ACB 90 , AC 2 BC ,以BC為底作等腰直角BCD , E是CD的中點(diǎn)，求證：AE EB 且 AE BE .【解析】過(guò)E作EF / BC交BD于FACEACB BCE 135DFEDBC 45EFB135【例9】【解析】又EF /_1 _AC BC2.EF AC,CE FBEF

8、B0又 DBEDEB故AEBACE , CEADEB 90CEA 9090 AE EB 且 AE BE.如圖所示，在 ABC中,證:(1)(2)DBED為AB的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)CA、CB 到點(diǎn) E、F ,使 DE DFF分別作直線CA、DEM 省 FDN ;PAE PBF.CB的垂線,相交于點(diǎn)P ,設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、(1)如圖所示，根據(jù)題意可知DN / AM 且 DN = AM所以 AMD APBBN 且 DM = BN ,DM /而M、N分別是直角三角形AEP、BFP的斜邊的中點(diǎn),所以 EM AM DN , FNBN DM又已知DE DF ,從而 DEM 9 FDN .(2)由(

9、1)可知 EMD DNF ,則由AMD DNB可得AME而 AME、BNF均為等腰三角形,所以 PAE PBF .【例10已知，如圖四邊形 ABCD中，AD BC , E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)，AD、EF、BC的 延長(zhǎng)線分別交于 M、N兩點(diǎn).求證： AME BNE .【解析】連接AC ,取AC中點(diǎn)H ,連接FH、- 1. DF CF , AH CH , ，F(xiàn)H / AD2，F(xiàn)H1 一一-AD ,同理, 2EH2BCEH / BC. AD BC , EHHFEHEF. FH II AM , EH /BC AME HFE ,【例11】已知：在 ABC中,HEFBCACDC .過(guò)AB、DC的中點(diǎn)

10、E、AMEBNE,動(dòng)點(diǎn)D繞ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD BC ,連結(jié)F作直線,AD、BC分別相交于點(diǎn) M、直線EF與直線圖2(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)結(jié)HE、HF ,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì),N恰好與點(diǎn)F可得結(jié)論重合,AMF取AC的中點(diǎn)H ,連BNE (不需證明).(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí), 并任選一種情況證明.AMF與 BNE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)分別寫(xiě)出猜想,【解析】圖2: AMF ENB，圖3: AMFENB 180證明：在圖2中，取AC的中點(diǎn)H ,連結(jié)HE、 HF. F是DC的中點(diǎn),H是AC的中點(diǎn) .HF II AD , HF1-AD , 2A

11、MF HFE同理,HE / CB ,1HE CB2,ENB HEF. ADBC , HFHEF HFE , ENB AMF證明圖3的過(guò)程與證明圖 2過(guò)程相似.M【例12如圖所示，P是 ABC內(nèi)的一點(diǎn),PAC PBC，過(guò) P 作 PM AC 于 M , PL BC 于 L ,D為AB的中點(diǎn)，求證DM DL .【解析】如圖所示，取AP、PB的中點(diǎn)E、F ,連接 EM、ED、FD、FL ,11 則有 DE / BP且 DE -BP , DF II AP 1. DF - AP . 22因?yàn)?AMP和BLP都是直角三角形，-11 _ _故 ME - AP , LF BP,從而 ED FL , DF ME

12、 .22又因?yàn)?MED MEP PED , DFL DFP PFL ,DFP ,所以 MED而 MEP 2 MAP 2 LBP PFL ,且 PED從而 MED ©【例13】如右下圖，在DFL ,故 DM DL .ABC 中，若 B 2 C , ADBC , E為BC邊的中點(diǎn).求證:AB 2DE .【解析】如右下圖，則取由中位線可得,CDFDFE連結(jié)EF、 DF .AC邊中點(diǎn)F ,1 口EF AB 且2EDF , d DE EFCEF . DF為Rt ADC斜邊上的中線，DF CF .FDE CEF ,即 C DFE 2 C ,1-AB , AB 2DE .2【例14如圖，ABC中，

13、ABBAC90 , D 是 BC 中點(diǎn)，ED FD ,ED與AB交于E , FD與AC交于FBEAE CF .【解析】連結(jié)AD . AB AC ,BAC9045D是BC中點(diǎn)BAD 45 且 ADBC. ED DFEDAADFADEEDB9090BDEADF在BDE與ADF中,ADDAFBDEADFBDE©ADFBE AF . AE【例15】在DABCD中， ADBCD作DEEDF連接EF、EC,N、P分別為EC、BC的中點(diǎn)，連接 (1)如圖1,若點(diǎn)E在DP上，EF 及/ ABD與/ MNP滿(mǎn)足的等量關(guān)系，NP.與DC交于點(diǎn)M，試探究線段NP與線段NM的數(shù)量關(guān)系M在線段EF上,你在(1

14、)中得到的結(jié)論仍然成立,的位置,(2)如圖2,若點(diǎn) 寫(xiě)出你確定的點(diǎn)M并證明(請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論; 當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí), 1)中的結(jié)論.【解析】（1） NP MN , ABDMNP 180(2)點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)(或其它等價(jià)寫(xiě)法).證明：如圖，分別連接 BE、CF.四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC, AB /DC,ABDBDC .A DBC , DBCEDF ABD, EDFBDC EDC EDFDCB , DB DC BDC .EDC ,即 BDE CDF .又DE DF，. EB FC , 1 N、P分別為同理可得MN / NP/EB,. MN/FC,MNP MNEDBCABD MNP

15、由 得ZXBDEA CDF .2.EC、BC的中點(diǎn),1 FC, MN -FC 2NPC 4 ,MNE FCEENP 3DCB 180180 .NP/EB, NPNP NM .ENP NCP32311 NCP 4BDC 180NPC NCP 4ABD1.【例16】在RtAABC中，ACB 90 , tan BAC -.點(diǎn)D在邊AC上(不與A, C重合)，連結(jié)BD,2F為BD中點(diǎn).(1)若過(guò)點(diǎn)D作DELAB于巳連結(jié)CF、EF、CE,如圖1 .設(shè)CF kEF ,則k =;(2)若將圖1中的 ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2 所示.求證：BE DE 2CF ;(3)若

16、BC 6 ,點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長(zhǎng)度的最大值.圖1圖2備圖【解析】(1) k 1;(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G,設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q.1由題意，tan BAC , 2BCACDEAE. D、E、B 三點(diǎn)共線，AEXDB.BQC AQD , ACB 90 ,QBC EAQ .ECA ACG 90 , BCG ACG 90 ,ECA BCG . 、 _ BC GB 1 BCGAACE , -,. .GB DE .AC AE 2F是BD中點(diǎn)，. F是EG中點(diǎn).,1_在 RtECG 中，CFEG,. BEDEEG2CF.21(

17、3)情況1:如圖，當(dāng)AD -AC時(shí)，取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)MF和CM , 3 ACB 90 , tan BAC 1 ,且 BC 6,2.AC 12 , AB 6卮1. M 為 AB 中點(diǎn)，. . CM 3V5 . , AD - AC , /. AD 4. 31.M 為 AB 中點(diǎn)，F(xiàn) 為 BD 中點(diǎn)，F(xiàn)M -AD 2 .2當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，此時(shí)CFCM FM 2 3 5.2情況2:如圖，當(dāng) AD AC時(shí)，取AB的中點(diǎn) M,連結(jié) MF和CM ,3類(lèi)似于情況1 ,可知CF的最大值為4 3戀.綜合情況1與情況2,可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，線段 CF的長(zhǎng)度取得

18、最大值為 4 3V5.DA課后復(fù)習(xí)【作業(yè)1】如圖， ABC中，AB AC, AD是中線.求證：DAC DAB .【解析】延長(zhǎng)AD至iJ E ,使AD 在 ADC和 EDB中AD EDADC 色 EDBADC EDBDC DB2 .AC EB , CAD BEA在 ABE 中，AB<AC , .AB EBAEB< EAB, DAC< DAB .【作業(yè)2】在Rt ABC中， BAC 90，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn) E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且 ED FD .以線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、 直角三角形或鈍角三角形？【解析】延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G ,使FD GD ,連結(jié)EG、BG . 在CDF和 BDG中CD BD CDF BDG FD GDCDF 9 BDG3 .BG CF , FCD GBD4 A 905 ABCACB 906 ABC GBD 90 在 EDF和 EDG中ED EDEDF EDG 90FD GDEDF 9 EDG7 .EF EG故以線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.【作業(yè)3】AD是 ABC的中線,1F是AD的中點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交 AC于E .求證：AE -AC .3【解析】取EC的中點(diǎn)G ,連接DG易得DG / BE ,1 -F為AD的中點(diǎn)，所以 AE EG ,從而可證得： AE -AC .3AE