導數在函數中的應用90239PPT學習教案

1、會計學1導數在函數中的應用導數在函數中的應用90239 1.掌握利用導數解決實際生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟，如用料最少、費用最低、消耗最省、利潤最大、效率最高等. 2.掌握導數與不等式、幾何等綜合問題的解題方法.第1頁/共32頁1.對任意實數x,若f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x0時，f (x)0,g(x)0，則x0,g(x)0 B.f (x)0,g(x)0C.f (x)0 D.f (x)0,g(x)0，f (x)0，所以f(x)在(0,+)上單調遞增，所以f(x)在(-,0)上也是單調遞增,即x0.同理，g(x)在(-,0)上單調遞減，所以x0時，g(x)0，故選B.第3

2、頁/共32頁2.已知函數y=f (x)的圖象如右圖所示(其中f (x)是函數f(x)的導函數).下面四個圖象中,y=f(x)的大致圖象是( )A第4頁/共32頁 y=f (x),由題圖知，當x-1時，y0,所以f (x)0,所以f(x)遞增;當0 x1時,y0,所以f (x)0,所以f(x)遞減;當x1時，y0,所以f (x)0,所以f(x)遞增.故選A.第5頁/共32頁3.內接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長分別是 . R和 R554 55 如圖，設矩形的一邊長為2x,則另一邊長為 (0 xR),所以矩形的周長y=2(2x+ ),所以y=2(2- ) (0 xR).令y=0,得x= R

3、,此時 = R，易得x= R是y=2(2x+ )的極大值點，即同時也是定義域上的最大值點.22Rx22Rx22xRx2 5522Rx552 5522Rx第6頁/共32頁4.設點P是曲線y=x3- x+ 上任意一點，P點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是 . 0, ) ,)23223因為y=3x2- - ,所以tan- ,所以0, ) ,).2233333第7頁/共32頁1.利用導數解決生活中的優(yōu)化問題可歸結為求函數的最值問題其解題的程序:讀題(文字語言)建模(數學語言)求解(數學應用)反饋(檢驗作答)注意事項：(1)函數建模，要設出兩個變量，根據題意分析它們的關系，把變量間的關系轉化成函數關系

4、式，并確定自變量的取值范圍；第8頁/共32頁(2)問題求解中所得出的數學結果要檢驗它是否符合問題的實際意義；(3)在函數定義域內只有一個極值，則該極值就是所求的最大(小)值.2.近幾年高考中和導數有關的綜合題主要有以下幾類(1)求參數的取值范圍.多數給出單調性,利用導數研究函數單調性的逆向思維問題,靈活運用等價轉化、分類討論、數形結合等思想方法,建立關于字母參數的不等關系.第9頁/共32頁(2)用導數方法證明不等式.其步驟一般是：構造可導函數研究單調性或最值得出不等關系整理得出結論.(3)與幾何圖形相關的最值問題.根據幾何知識建立函數關系，然后用導數方法求最值.第10頁/共32頁例1 已知函數

5、f(x)=x3-ax2-3x.（1）若f(x)在1,+)上是增函數，求實數a的取值范圍；（2）若x=3是f(x)的極值點，當x1,a時，求f(x)的最大值和最小值.第11頁/共32頁 （1）可由y=f(x)在1,+)上f(x)0恒成立來確定含參不等式，利用等價轉化求得a的取值范圍. (1)f (x)=3x2-2ax-30，在x1,+)上恒成立，所以a (x- ). 當x1時，y= (x- )是增函數，其最小值為 (1-1)=0.所以a0，又a=0也合題意，所以a0.321x321x32第12頁/共32頁(2)依題意f (3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4.所以f(x)=x3-4x2-3

6、x,則f (x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3),故f(x)有極大值點x=- ，極小值點x=3.此時，f(x)在- ,3上是減函數，在3,+)上是增函數.所以f(x)在x1,a上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6（這里f(a)=f(4)=-120.設兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點，且在該點處的切線相同. (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求證：f(x)g(x)(x0).12第15頁/共32頁 第（1）問由函數f(x)與g(x)在公共點(x0,y0)處的切線相同，建立關于b的函數關系式，然后求出b的最大值； 第（2）問求證f(x)g(x)(x0)，先構

7、造函數F(x)=f(x)-g(x)(x0)，再證明在x0時，F(x)0成立即可.第16頁/共32頁 (1)設y=f(x)與y=g(x)(x0)在公共點(x0,y0)處的切線相同.又f (x)=x+2a,g(x)= ，由題意知 f(x0)=g(x0) f (x0)=g(x0),即 x02+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= ,由x0+2a= 得x0=a,或x0=-3a(舍去)，即有b= a2+2a2-3a2lna= a2-3a2lna.23ax12203ax203ax1252第17頁/共32頁令h(t)= t2-3t2lnt(t0),則h(t)=2t(1-3lnt).由h(t)=0,得t

8、=e 或t=0(舍去）,列表如下：52于是h(t)在(0,+)上的最大值為h(e )= e ，即b的最大值為 e .13t(0,e ) e(e ,+)h(t)+0-h(t)極大值極大值1313131332233223第18頁/共32頁(2)證明：設F(x)=f(x)-g(x) = x2+2ax-3a2lnx-b(x0),則F(x)=x+2a- = (x0).故F(x)在(0,a)上為減函數,在(a,+)上為增函數,由F(x)=0，得x=a或=-3a(舍去).列表如下：23ax12()(3 )xa xaxx(0,a) a(0,+)F(x)-0+F(x)極小值極小值第19頁/共32頁 于是函數F(

9、x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故當x0時,有f(x)-g(x)0,即當x0時,f(x)g(x).第20頁/共32頁 利用導數證明不等式，就是把不等式恒成立的問題，通過構造函數，轉化為利用導數求函數最值的問題應用這種方法的難點是如何根據不等式的結構特點或者根據題目證明目標的要求，構造出相應的函數關系式破解的基本思路是從函數的角度分析和理解要證明的不等式的結構特點去構造函數式，或者從不等式證明的放縮方向上去構造函數式，使所構造出的函數是不等式證明所需要的最佳函數.第21頁/共32頁 受金融危機的影響，三峽某旅游公司經濟效益出現了一定程度的滑坡.現需要

10、對某一景點進行改造升級，提高旅游增加值.經過市場調查,旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足:y= x-ax2-ln , t,+)，其中t為大于 的常數.當x=10時,y=9.2. (1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范圍； (2)求旅游增加值y取得最大值時對應的x的值.例3515010 x212xx12第22頁/共32頁 第(1)問把x=10,y=9.2代入函數式,即可求出a的值,得到y(tǒng)=f(x);第(2)問求f(x)在區(qū)間上的最大值,需要先討論y=f(x)的單調性,確定取得最大值的區(qū)間和對應的x的值. （1）因為當x=10時，y=9.2，即 10-a102-ln1=9.2，解得a= ,

11、所以f(x)= x- -ln .因為 t且t ，所以60，且f(x)在(6,50上連續(xù)，因此，f(x)在(6,50上是增函數；當x(50,+)時，f(x)0且f(x)在50,+)上連續(xù).515050 x1x2515050 xxx(1)(50)50 xxx第24頁/共32頁因此，f(x)在50,+)上是減函數.所以x=50為極大值點.當 50，即t( , 時，投入50萬元改造時取得最大增加值；當6 50,即t( ,+)時,投入 萬元改造時取得最大增加值.1221tt 1225441221tt 25441221tt 第25頁/共32頁 本題的難點是求旅游增加值y取得最大值時對應的x的值由第(1)問

12、可知x的取值范圍是(6， ，因此需要從研究f(x)在這個區(qū)間上的單調性入手，找到變量t所在區(qū)間上y取得最大值時x的值.利用導數知識作為解題工具研究函數的最值等，體現了導數知識在求解實際問題中的應用價值，需要考生多揣摩.1221tt 第26頁/共32頁1.應用導數證明不等式，關鍵在于構造適當的函數.2.利用導數解決優(yōu)化問題，關鍵在于建立目標函數，并且還要根據實際問題，寫出函數的定義域.3.在求實際問題的最值時，如果只有一個極值點，則此點就是最值點.第27頁/共32頁學例1 (2009湖南卷)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+ )x萬元.假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素.記余下工程的費用為y萬元. (1)試寫出y關于x的函數關系式； (2)當m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小?x第28頁/共32頁 (1)設需新建n個橋墩，則(n+1)x=m,即n= -1,所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x =256( -1)+ (2+ )x = +m +2m-256. (2)由(1)知，f(x)=