極坐標系與極坐標方程

1、精品資料歡迎下載一、坐標系1、數(shù)軸它使直線上任一點P 都可以由惟一的實數(shù)x 確定2、平面直角坐標系在平面上 ，當取定兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定了度量單位和這兩條直線的方向，就建立了 平面直角坐標系 。它使平面上任一點 P 都可以由惟一的實數(shù)對（ x,y）確定。3、空間直角坐標系在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，當取定這三條直線的交點為原點，并確定了度量單位和這三條直線方向，就建立了 空間直角坐標系 。它使空間上任一點 P 都可以由惟一的實數(shù)對（ x,y,z）確定。二、平面直角坐標系的伸縮變換x'x, (0)定義：設(shè) P（ x，y）是平面直角坐標系中的任意一點，在變

2、換:的作用下，y'y(0).點 P（ x， y）對應(yīng)到點 P（ x，y），稱 為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。三例題講解例 1 在平面直角坐標系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。（1） 2x+3y=0 ；（2） x2+y 2=1三、極坐標系1、極坐標系的建立：在平面上取一個定點 O，自點 O 引一條射線 OX，同時確定一個單位長度和計算角度的正方向（通常取逆時針方向為正方向） ，這樣就建立了一個 極坐標系。（其中 O稱為極點，射線OX稱為極軸。）2、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定對于平面上任意一點M ，用表示線段OM 的長度，用表示從OX 到OM的角度，叫做

3、點M 的極徑，叫做點M 的極角，有序數(shù)對（， ）就叫做 M 的極坐標。特別強調(diào)：由極徑的意義可知 0; 當極角的取值范圍是0,2)時 ,平面上的點 ( 除去極點 )就與極坐標（ ， ）建立一一對應(yīng)的關(guān)系.們約定 ,極點的極坐標是極徑=0, 極角是任意角.3、負極徑的規(guī)定在極坐標系中，極徑允許取負值，極角也可以去任意的正角或負角當 0 時，點 M（ ， ）位于極角終邊的反向延長線上，且 OM=。M（ ， ）也可以表示為(,2k)或 (,(2k1)(kz)4、數(shù)學(xué)應(yīng)用例 1 寫出下圖中各點的極坐標A（ 4，0） B（ 2）C（） D（）E（）F（）G（）規(guī)定：極點的極坐標是=0，可以取任意角。變式

4、訓(xùn)練精品資料歡迎下載在極坐標系里描出下列各點A（3，0） B （6，2 ）C（3， ）D（5， 4）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5）2363例 2 在極坐標系中，（1）已知兩點 P（ 5， 5）， Q) ，求線段 PQ的長度；4(1,4（2）已知 M的極坐標為（，）且=，R ，說明滿足上述條件的點M 的位置。3變式訓(xùn)練1、若 ABC 的的三個頂點為 A(5, 5 ), B(8, 5), C (3, 7 ), 判斷三角形的形狀 .2662、若 A 、 B 兩點的極坐標為( 1 , 1 ), (2 , 2 ) 求 AB 的長以及AOB 的面積。（O 為極點）例 3 已知 Q（ ， ），分

5、別按下列條件求出點P 的極坐標。（ 1）P 是點 Q 關(guān)于極點 O 的對稱點；（ 2）P 是點 Q 關(guān)于直線的對稱點；2（ 3）P 是點 Q 關(guān)于極軸的對稱點。變式訓(xùn)練1.在極坐標系中 ,與點 ( 8,) 關(guān)于極點對稱的點的一個坐標是( )6A(8,), B (8,5),C( 8,5), D( 8,)66662 在極坐標系中，如果等邊ABC 的兩個頂點是 A(2,), B(2, 5), 求第三個頂點C 的坐標。44精品資料歡迎下載四、極坐標與直角坐標的互化直角坐標系的原點O 為極點， x 軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位。平面內(nèi)任意一點P 的直角坐標與極坐標分別為( x, y)

6、 和(,) ，則由三角函數(shù)的定義可以得到如下兩組公式：xcos2x2y2yysint a n( x 0)x說明 1 上述公式即為極坐標與直角坐標的互化公式2 通常情況下，將點的直角坐標化為極坐標時，取 0， 0 2。3 化公式的三個前提條件1. 極點與直角坐標系的原點重合 ;2. 極軸與直角坐標系的 x 軸的正半軸重合 ;3. 兩種坐標系的單位長度相同 .三、數(shù)學(xué)應(yīng)用例 1（1）把點 M 的極坐標 (8, 2) 化成直角坐標；（2）把點 P 的直角坐標(6,2) 化成極坐標。3變式訓(xùn)練在極坐標系中, 已知 A( 2,), B(2,), 求 A,B 兩點的距離66例 2 若以極點為原點 , 極軸

7、為 x 軸正半軸 , 建立直角坐標系 .(1)已知 A 的極坐標 (4, 5 ), 求它的直角坐標 ,3(2)已知點 B 和點 C的直角坐標為 ( 2, 2)和(0,15) 求它們的極坐標 . (0,0 2 )變式訓(xùn)練把下列個點的直角坐標化為極坐標( 限定 0,0 2) A(1,1), B(0, 2), C (3,4), D( 3, 4)精品資料歡迎下載例 3 在極坐標系中 , 已知兩點A(6,), B(6, 2) . 求 A,B 中點的極坐標 .63變式訓(xùn)練在極坐標系中, 已知三點M (2,), N ( 2,0), P(2 3,) . 判斷 M , N , P 三點是否在一條直線上.36五、

8、常用曲線的極坐標方程1、若直線 l 經(jīng)過 M (0 , 0) 且極軸到此直線的角為，求直線 l 的極坐標方程。變式訓(xùn)練：直線l 經(jīng)過 M (3,) 且該直線到極軸所成角為，求此直線 l 的極坐標方程。242、若圓心的坐標為M (0 , 0 ) ，圓的半徑為 r ，求圓的方程。運用此結(jié)果可以推出哪些特殊位置的圓的極坐標方程。3、 在圓心的極坐標為A( 4,0) ，半徑為 4 的圓中，求過極點O 的弦的中點的軌跡。三、鞏固與練習(xí)精品資料歡迎下載在極坐標系中，已知圓C 的圓心C(3,) ，半徑r3 ，6（ 1）求圓 C的極坐標方程。（ 2）若 Q 點在圓 C上運動，P 在 OQ 的延長線上，且OQ

9、: OP3 : 2 ，求動點 P 的軌跡方程。1、圓錐曲線的統(tǒng)一方程設(shè)定點的距離為分析：建系P ，求到定點到定點和定直線的距離之比為常數(shù)設(shè)點 列出等式e 的點的軌跡的極坐標方程。用極坐標、表示上述等式，并化簡得極坐標方程說明：為便于表示距離，取F為極點，垂直于定直線l的方向為極軸的正方向。 e 表示離心率，P 表示焦點到準線距離。2、例題講解例 12003 年 10 月 15 17 日，我國自主研制的神舟五號載人航天飛船成功發(fā)射并按預(yù)定方案安全、準確的返回地球，它的運行軌道先是以地球中心為一個焦點的橢圓，橢圓的近地點（離地面最近的點）和遠地點（離地面最遠的點）距離地面分別為 200km 和 3

10、50km，然后進入距地面約 343km 的圓形軌道。若地球半徑取 6378km ，試寫出神舟五號航天飛船運行的橢圓軌道的極坐標方程。例 2求證：過拋物線的焦點的弦被焦點分成的兩部分的倒數(shù)和為常數(shù)。變式訓(xùn)練設(shè) P、 Q 是雙曲線 x 2y21(0 a b) 上的兩點，若OP OQ。a 2b 2求證：11為定值；22|OP | |OQ |精品資料歡迎下載三、鞏固與練習(xí)已知拋物線 y24x 的焦點為 F 。1F為極點， x 軸正方向為極軸的正方向，寫出此拋物線的極坐標方程；（ ）以（2）過取 F 作直線 l 交拋物線于A、 B 兩點，若 |AB|16，運用拋物線的極坐標方程，求直線l 的傾斜角?；A(chǔ)訓(xùn)練1直線cos()m(kz) 的斜率是k22極坐標方程162表示的曲線是sin3曲線sin2 和4 sin(0,02 ) 的交點坐標4在極坐標系中與圓4sin相切的一條直線方程為（）A 、sin295橢圓54 cosB 、cos2C、cos4D 、cos4的長軸長二、講解新課：例 1求曲線cos10 關(guān)于直線對稱的曲線方程。4例 2求下列兩曲線的交點坐標。1cos和12(1cos