傳染病數(shù)學建模

1、第30題傳染病傳播的數(shù)學模型由于人體的疾病難以控制和變化莫測， 醫(yī)學中的數(shù)學模型也是較為復雜的。 在研究傳染病傳播問題時， 人們發(fā)現(xiàn)傳染病傳播所涉及的因素很多， 例如，傳染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者 (或感染后痊愈者 )的多少等。在將某一地區(qū)，某種傳染病的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行處理和分析后，人們發(fā)現(xiàn)了以下的規(guī)律性：設 Sk表示在開始觀察傳染病之后第k天易受感染者的人數(shù)， Hk表示在開始觀察后第 k天傳染病人的人數(shù)， Ik表示在開始觀察后第 k天免疫者 (或感染后痊愈者 )的人數(shù)，那么Sk+1=Sk-0.01Sk(1)Hk+1=Hk-0.2Hk0.01Sk(2)I k+1=I k+0.2Hk (

2、3)其中 (1)式表示從第 k天到第 k1天有 1的易受感染者得病而離開了易受感染者的人群； (2)式表示在第 k+1天的傳精選文庫染病人的人數(shù)是第 k天的傳染病人的人數(shù)減去痊愈的人數(shù)0.2Hk(假設該病的患病期為 5(3)式表示在第 k 1天免疫者的人數(shù)是第 k天免疫者的人數(shù)加上第 k天后病人痊愈的人數(shù)。將 (1)，(2)和(3)式化簡得如果已知 S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，將這組值再代入上式，又可求得S2，H2， I2的值，這樣做下去，我們可以逐個地，遞推地求出各組Sk， Hk，Ik的值。因此，我們把 Sk+1， Hk1， Ik+1和 Sk，Hk，Ik之間的

3、關系式叫做遞推關系式?，F(xiàn)在假設開始觀察時易受感染者， 傳染病人和免疫者的人數(shù)分別為將上述數(shù)據(jù) (5)代入 (4)式右邊得利用遞推關系式 (4)反復計算得表 30-1。在建立上述數(shù)學模型的過程中， 如果還要考慮該地區(qū)人員的遷入和遷出， 人口的出生和死亡所引起的總人數(shù)的變化等因素，那么傳染病傳播的數(shù)學模型變得非常復雜。所以必須舍去次要因素， 抓住主要因素，把問題簡化，建立相應的數(shù)學模型。 如果將由該數(shù)學模型計算的結果與實際比較后，與傳染病傳播的情況大致吻合， 那么我們就可以利用該模型對得病人數(shù)進行預測和估計。 例如，可以預-2精選文庫測若干天后傳染病人的人數(shù)等等， 便于有關的醫(yī)療衛(wèi)生部門作出相應的

4、決策。在上述模型中，易受感染者每天的發(fā)病率是1，它只與易受感染者的人數(shù) Sk有關。對于有些傳染病，情形更為復雜，它不僅與易受感染者的人數(shù)有關，也與傳染病人的人數(shù) Hk有關，因為傳染病人的人數(shù)越多， 傳染病的發(fā)病率也就越高。這樣，就必須將由 (1)， (2)和 (3)式所給出的模型加以修改。這里，我們假設該地區(qū)人口總數(shù)為 N，是一個常數(shù)。于是，Sk=N-(HkIk)(7)其中 I k為在開始觀察后第 k天免疫者 (或感染后痊愈者 )的人數(shù)。設傳染病人每天的痊愈率為，則Ik+1=I k+Hk(8)最后，假設每天發(fā)病人數(shù)與易受感染者的人數(shù)Sk和傳染病人的人數(shù) Hk均成正比，且其比例因子為，那么Hk+

5、1=Hk+ SkHk-Hk(9)將 (7)，(8)和(9)組合起來，就得到關于 Sk，Hk，I k的遞-3精選文庫推關系式：如果已知 N，和，并給定 S0，H0 和I0，那么利用上式就可以計算 H1和 I1，利用 H1和 I1，由 (7)式，可以計算S1，然后計算 H2 和I2，再計算 S2，這樣， (10)式就給出了關于傳染病傳播的第2個數(shù)學模式。利用數(shù)學模型 (4)或(10)式可以對該傳染病傳播的情形作一些定性的分析。設 Sk=Sk 1-Sk表示從第 k天到第 k+1天易受感染者人數(shù)的變化，I k=Ik+1 -I k表示從第 k天到第 k1天免疫者 (或感染后痊愈者 )人數(shù)的變化。從數(shù)學模

6、型(4)式可以看到Sk=-0.01Sk 0Ik =0.2Hk0所以易受感染者人數(shù)只可能減少不會增加， 而免疫者人數(shù)只可能增加不會減少。現(xiàn)問對數(shù)學模型 (10)式來說，易受感染者的人數(shù)，免疫者的人數(shù)以及傳染病人的人數(shù)各有什么變化規(guī)律？分析： 類似于數(shù)學模式 (4)式的情形，分別計算Sk，Ik與Hk(=Hk+1-Hk)，然后加以分析。解 由(10)式得：Sk=N-(H k+1I k+1)-N -(Hk+Ik)=(Ik-I k+1)+(Hk-Hk+1 )=-Hk-SkHk +Hk-4精選文庫=-SkHk所以Sk0，k=1， 2，即易受感染者人數(shù)只可能減少不會增加。因為Ik=Ik+Hk -Ik=Hk所

7、以Ik 0， k=1，2，即免疫者人數(shù)只可能增加不會減少?，F(xiàn)在設Hk=Hk+1-Hk表示從第 k天到第 k 1天傳染病人的人數(shù)的變化，則由 (10)式得Hk= SkHk-Hk=(Sk- )Hk，所以當 (Sk-)0時，傳染病人的人數(shù)第 k1天比第 k天增加；當 ( Sk-)0時，傳染病人的人數(shù)相應地減少，也就是說，當易受感染者人數(shù)Sk“大”時，可使 ( Sk-)0，從而傳染病人的人數(shù)增加；當易受感染者的人數(shù)Sk“小”時，可使 (Sk -)0，從而傳染病人的人數(shù)減少。解一元一次不等式 Sk- 0(或 Sk- 0)得-5精選文庫如，打預防針等 )，那么可以降低發(fā)病率從而降低值。如果發(fā)明了一種好的藥

8、品可以縮短患病期， 那么就可以提高傳染病人每天的痊愈率?，F(xiàn)在有這樣的一個實際問題， 有一個藥物研究小組提出需要 100萬元的科研經(jīng)費在一年內試制某種預防針劑，可使發(fā)病率降低從而使值降低25，而另一個藥物研究小組提出需要 100萬元的科研經(jīng)費在一年內試制某種藥品，可使痊愈率提高 30%。如果僅有一筆 100萬元的科研基金可供申請，那么這筆基金應提供給哪一個小組？對于用藥物的方法， 2=(1+30%)， 2 =，所以由于 C1C2，所以這筆基金應提供給試制預防針劑的小組。注：從傳染病傳播的數(shù)學模型的研究過程中， 可以看到建立數(shù)學模型的一般過程。一般說來，建立數(shù)學模型有如下6個步驟：第一步：模型準備

9、根據(jù)提出的問題， 要深入了解該問題的實際背景，明-6精選文庫確建立模型的目的， 掌握所研究對象的各種信息， 如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征?？傊?，要做好建立模型的一切準備工作。在本題中，研究者通過對某地區(qū)某種傳染病傳播情況的觀察，積累一定的數(shù)據(jù)，例如，記錄一段時期內每天傳染病人，易受感染者以及免疫者 (或感染后痊愈者 )的人數(shù)等等，也就是說，按要求統(tǒng)計必要的數(shù)據(jù)，目的是建立傳染病傳播的數(shù)學模型，以了解傳染病人的人數(shù)變化的趨勢，使有關醫(yī)療衛(wèi)生部門能及時采取措施， 將傳播病加以有效的防治。第二步：模型假設實際問題中往往因素很多， 十分復雜。因此，必須根據(jù)實際研究對象的特征和建立模型的目的， 較確

10、切地去辨別問題的主要方面和次要方面， 抓住主要因素， 暫不考慮次要因素，將問題理想化、簡單化。不同的簡化和假設， 會得到不同的模型。 假設做得不合理或過分簡單， 會導致模型的失敗或部分失敗， 于是應該加以修正；假設做得過于詳細， 試圖把復雜的實際現(xiàn)象的各個因素都考慮進去，將難于發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建立模型。在本題中，我們只考慮上述三種人數(shù)：Sk， Hk和 Ik的變化情況，對人口的遷入和遷出， 出生和死亡等因素暫不考慮。第三步：模型建立建立數(shù)學模型， 通常要根據(jù)所做的假設， 利用適當?shù)臄?shù)學工具，建立各量之間的等式或不等式關系， 列出表格，畫出圖象等表達式， 用以描述客觀事物的特征及其內在聯(lián)系的數(shù)學結構。建

11、模時，首先要考慮合理性， 并盡量使用簡單的數(shù)學工具，簡單工具不能解決問題時， 要選用較復雜的數(shù)學工具。在本題中是設法建立一個與實際數(shù)據(jù)比較吻合的關于Sk，Hk 和Ik的遞推關系式。例如，在建立數(shù)學模型(4)式時，研究者通過對觀察數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)每天有 1%的易受感染者得病，而病人的患病期為 5天，-7精選文庫和(3)以描述易受感染者，傳染病人和免疫者 (或感染后痊愈者 )的人數(shù)之間的內在聯(lián)系。第四步：模型求解建立數(shù)學模型后，實際問題已歸結為相應的數(shù)學問題。接著，需要求解數(shù)學問題，解出結果。在本題中，利用數(shù)學模式 (4)式，通過直接計算，就能得到表 30-1所列的結果。如果借助于計算機，我們還能

12、得到更多的數(shù)據(jù)。本題的模型求解過程特別簡單。 對于有些問題， 有時需要用到許多數(shù)學方法， 甚至現(xiàn)代數(shù)學的一些方法； 有時需要借助于計算機， 利用算法語言，編出計算機程序，做出計算機軟件等幫助求解。第五步：模型檢驗把模型求解的結果，經(jīng)“翻譯”再回到實際對象中，用實際現(xiàn)象，數(shù)據(jù)等檢驗模型的合理性和適用性。 如果檢驗結果不符合或部分不符合實際情況， 并且肯定在模型建立和求解過程中沒有失誤的話， 那么應該修改假設， 重新建模。在本題中，我們可以檢驗由 (4)式計算出來的理論數(shù)值與實際統(tǒng)計的數(shù)據(jù)是否吻合。 如果比較吻合， 則模型是成功的；如果差別太大，則模型是失敗的； 如果部分吻合，則可找原因，發(fā)現(xiàn)問題

13、，修改模型。例如，當某種傳染病每天的發(fā)病人數(shù)既與易受感染者人數(shù)有關又與傳染病人的人數(shù)有關時，那么必須把原數(shù)學模型中的 (2)式加以修改，假設傳染病人的人數(shù)符合 (10)式，建立新的數(shù)學模型(10)式，然后對新的數(shù)學模型加以檢驗，直到檢驗結果令人滿意為止。第六步：模型應用應用的方式因問題的性質和建模的目的而不同。例如，利用計算結果做出某些決策進行管理與控制或預測未來的情況等，實際上，所建模型的意義大小就是由它的應用前景來決定的。在本題中，利用數(shù)學模型， 可以預測傳染病人傳播的趨勢，及時采取預防和治療措施，將病情加以控制。利用數(shù)學模型 (10)式，還可以-8精選文庫值或者降低值的重要性， 便于有關

14、醫(yī)療衛(wèi)生部門進行決策和管理。應該指出，并非所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟， 有時各個步驟之間的界限也并不那么分明。 但是，通過建模一般過程的介紹，可以對建模的意義和方法有進一步的理解。一般說來，所謂數(shù)學模型， 是指對現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定目的， 做出一些必要的簡化和假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具， 得到一個數(shù)學結構。 它或者能解釋特定現(xiàn)象和現(xiàn)實性態(tài)； 或者能預測對象的未來狀況； 或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。 對于利用數(shù)學模型經(jīng)過演繹、推理、計算，給出數(shù)學上的分析、預報、決策或控制，必須經(jīng)過實踐的檢驗。對檢驗結果正確，或基本正確的，就可以肯定下來，用來指導實際；對檢驗結果懸殊較大；

15、或基本錯誤的，必須修改模型。目前數(shù)學模型已經(jīng)形成一門創(chuàng)造性很強的新興學科，它的應用已擴展到各個領域， 有人口模型、交通模型、生態(tài)模型、生理模型、經(jīng)濟模型、社會模型等等，氣象工作者根據(jù)關于氣壓、雨量、風速、的數(shù)學模型，來預報天氣；發(fā)電廠運用發(fā)電過程的數(shù)學模型， 來實現(xiàn)計算機自動控制；在經(jīng)濟領域的兩個數(shù)學模型， 純交換經(jīng)濟的平衡價格和投入產出模型， 均獲得了諾貝爾獎金。 科學家們對數(shù)學模型的研究， 已獲得了很多成果， 對生產力的發(fā)展起了巨大的作用。練習 301科學家將某種異體單細胞注入一個白鼠體內做實驗，發(fā)現(xiàn)一天之后，白鼠體內該種細胞有 4個，二天之后，有16個，如表 30-2所示：-9精選文庫假設白鼠體內的該種細胞超過 1000000個將死亡，而注射某種藥物可殺死白鼠體內 96的該種細胞。按你的分析，試問 (1)為了維持白鼠的生命，最遲什么時候必須注射該種藥物？ (2)如果白鼠體內的該種細胞達到 1000000 個時，第 1次注射