全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(非數(shù)學(xué)類)名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、全國(guó)大學(xué)生競(jìng)賽歷年試題名師精講（非數(shù)學(xué)類）（2009 2013）第五屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）一、 解答下列各題（每小題6 分共24 分，要求寫出重要步驟）n1. 求極限 lim1sin14n2.n解因?yàn)?sin14n2sin14n22nsin4n2（ 2 分）；12nn原式lim1sin2exp lim n ln 1sin2n14n2nn14n2n(2分)；n1exp lim n sinexplime4 (2 分)22n14n2nn12n4n2. 證明廣義積分sin x dx 不是絕對(duì)收斂的0xn1解 記 ansin xdx，只要證明a 發(fā)散即可。 （ 2 分）xn0nn1n1

2、12因?yàn)?ansin x dxsin xdx。（ 2 分）n1n1n1n0而2發(fā)散，故由比較判別法an 發(fā)散。1n 0 nn0（2 分）y x 由 x33x2 y2 y33. 設(shè)函數(shù) y2確定，求 yx的極值。解方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得3x26xy3x2 y6 y2 y0 （ 1 分）故 yxx2 y，令 y0 ，得 x x2y0x0或 x2 y （ 2 分）2 y2x2將 x2 y 代入所給方程得 x2, y1，將 x0 代入所給方程得 x0, y1，（ 2 分）又 y2x2xy2y2 y2x2xx2 y4yy2x2 y2x220022001 0 ，y x 0, y 1, y 02021 0

3、, y x 2, y 1, y 0故 y 01 為極大值， y21為極小值。（3 分）4. 過曲線 y3 xx0上的點(diǎn) A 作切線，使該切線與曲線及x 軸所圍成的平面圖形的面積為3 ，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)。41解設(shè)切點(diǎn) A的坐標(biāo)為 t , 3 t，曲線過 A 點(diǎn)的切線方程為 y3 tx t33 t2（2 分）；令 y 0 ，由切線方程得切線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x02t 。從而作圖可知，所求平面圖形的面積1 3 tt3 t 3 t3St2t3xdxt 1，2044故 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 1,1。（4 分）二、（滿分 12）計(jì)算定積分 Ix sin x arctanex1cos2dxx解0x sin

4、 x arctanexdxx sin x arctanexI1cos2 x1cos2dx0xx sin x arctane xdxx sin x arctanexdx （ 4 分）01 cos2 x01 cos2 xx sin xarctanexxdxx sin x0 12arctane2 0 12 dx （ 2 分）cos xcos x2sin xdx （4 分）20 1cos2 x23（2 分）arctancosx 028三、（滿分 12 分）設(shè) fx在 x 0處存在二階導(dǎo)數(shù) f 0 ，且fx0。證明 ：limxx 0級(jí)數(shù)f1收斂。n1n解 由于 fx在 x0處可導(dǎo)必連續(xù)，由 limf x

5、0 得x 0xf0lim fxfx0 （ 2 分）lim xxx0x0f0limfxf0fx0 （2 分）x0limxx0x 0由洛必塔法則及定義limfxfx1fxf01f0 （3 分）2lim2xlimx 02x 0xx 02 x 0f11所以 limn0 （2 分）2fn12n由于級(jí)數(shù)1 收斂，從而由比較判別法的極限形式f1收斂。（ 3 分）n1 n2n1nb2四、（滿分 12 分）設(shè) fx, fx0axb，證明sin fx dxam解 因?yàn)?fx0a xb ，所以 fx 在 a, b 上嚴(yán)格單調(diào)增， 從而有反函數(shù)（2 分）。設(shè) Afa, B fb ,是 f的反函數(shù)，則 0y11 （3

6、分）fxm又 fxABbxyBy sin ydy （ 3 分），則，所以sin fx dxaAysin ydy1 sin ydy1 cos y2（2 分）00 mm0m五、（滿分 14 分）設(shè)是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分Ix3x dydz2 y3ydzdx3z3z dxdy。試確定曲面，使積分 I 的值最小，并求該最小值。解 記圍成的立體為 V，由高斯公式I3x26y29z23 dv3x22 y23z21 dxdydz（ 3 分）VV為了使得 I的值最小，就要求 V 是使得的最大空間區(qū)域 x22 y23z21 0，即取 Vx, y, z x22 y23z21，曲面: x2

7、2 y23z21（3 分）xux, y, z1001為求最小值，作變換yv，則010，u,v, w2w216z3003從而 I3u 2v2w21 dudvdw（ 4 分）6V321使用球坐標(biāo)計(jì)算，得 Iddr 21 r 2 sindr6 0003211cos364246（4 分）653061515六、（滿分14分）設(shè) I a rydxxdya，其中 a 為常數(shù)，曲線C 為橢圓C x2y2x2xyy2r 2 ，取正向。求極限 limI a rrx2uv2解作變換（觀察發(fā)現(xiàn)或用線性代數(shù)里正交變換化二次型的方2yuv2法），曲線 C 變?yōu)?uov 平面上的橢圓: 3 u21 v2r 2 （實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)化

8、積分曲線），也是取正向 （ 2 分）22而且 x2y2u2v2 , ydx xdyvduudv （被積表達(dá)式?jīng)]變，同樣簡(jiǎn)單！ ），I a rvduudvu 2v2a（2 分）曲線參數(shù)化 u2r cos, v2r sin,: 02，則有 vduudv2r 2 d ，3322 r 2 d2 2 1 a2dI ar3（3分）2 r 2 cos2ar2 cos2a02r 2 sin 2302sin 2332d22 cos22sin 2令 Jaa，則由于2 ，從而02 cos22sin 23330Ja。因此當(dāng) a1 時(shí) limI a r0 或 a1 時(shí) limI a r（ 2 分）rr2d/2d而 a1,J14222sin2222sin200coscos33/2d tan2dt21arctant2303（3 分）2111/3 00t