多元函數(shù)的極值與最值1PPT學習教案

1、會計學1多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值12(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 兩個方向上一元函數(shù)的極值點，兩個方向上一元函數(shù)的極值點，可知偏導數(shù)為可知偏導數(shù)為0(如果存在的話如果存在的話)第1頁/共27頁3設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx具具有有偏偏導導數(shù)數(shù)，且且在在點點),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點點的的偏偏導導數(shù)數(shù)必必然然為為零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yx

2、fy. . 極值的求法極值的求法（稱（稱駐點駐點） 例如例如, 點點)0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點.駐點駐點極值點極值點注意注意：定理定理1（必要條件）（必要條件） 問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？第2頁/共27頁4設函數(shù)設函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)， 設設 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理定理2 2（充分條件）（充分條件）則則),(yxf在在點點),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的

3、的條條件件如如下下：令令 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， （1 1）02 BAC時具有極值， 且當時具有極值， 且當0 A時有極大值，時有極大值，當當0 A時有極小值；時有極小值； （2 2）02 BAC時時沒沒有有極極值值；（3 3）02 BAC時時可可能能有有極極值值, ,也也可可能能沒沒有有極極值值，還還需需另另作作討討論論 CBBA負定負定正定正定第3頁/共27頁5, 0),( yxfx0),( yxfy求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz=極值的一般步驟：極值的一般步驟：第一步第一步 解方程組解方程組求出實數(shù)解，得所有駐點求出實數(shù)解，得所有駐點.

4、第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點(x0, y0), 求出二階偏導數(shù)的值求出二階偏導數(shù)的值A、B 、C.第三步第三步 定出定出AC B2的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.第4頁/共27頁6求函數(shù)求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點在點(1,0) 處處為極小值為極小值; ;解方程組解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值的極值. .求二階偏導數(shù)求二階偏導數(shù),66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyx

5、fyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233第5頁/共27頁7在點在點( 3,0) 處處不是極值不是極值; ;在點在點( 3,2) 處處為極大值為極大值. .,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點在點(1,2) 處處不是極值不是極值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC第6頁/共27頁8及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(

6、0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當 yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxzOxyz第7頁/共27頁9 注注 不是駐點也可能是極值點. 因此, 在考慮函數(shù)的極值問題時, 除了考慮函數(shù)的駐點外, 如果有偏導數(shù)不存在的點, 那么對這些點也應當考慮. 但(0 0)不是函數(shù)的駐點 例如 函數(shù)22yxz在點(0 0)處有極大值 第8頁/共27頁10函數(shù)函數(shù) f 在閉域上連續(xù)在閉域上連續(xù)函數(shù)函數(shù) f 在閉域上可

7、達到最值在閉域上可達到最值 最值可疑點最值可疑點 駐點駐點偏導數(shù)不存在的點偏導數(shù)不存在的點特別特別, 當區(qū)域內(nèi)部最值存在當區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且且只有一個只有一個極值點極值點P 時時, )(Pf為極小值為極小值)(Pf為最小值為最小值( (大大) )( (大大) )依據(jù)依據(jù)邊界上的最值點邊界上的最值點第9頁/共27頁11求求解解: 第一步第一步 內(nèi)部求駐點內(nèi)部求駐點. .得駐點得駐點: (1/2, 0). 此處的函數(shù)值為此處的函數(shù)值為-1/4.第二步第二步 邊界邊界.得到邊界上的最大值為得到邊界上的最大值為9/4,9/4,最小值為最小值為0.0.解方程組解方程組),(yxfx210 x ),(

8、yxfy40y 內(nèi)的最大值和最小值內(nèi)的最大值和最小值. .邊界上的函數(shù)邊界上的函數(shù)為為22( ,1)2()f xxxx291() .42x 11.x 其其中中2222( , )2( , )|1f x yxyxDx yxy- - 在在區(qū)區(qū)域域綜上可得，綜上可得， 函數(shù)的最大值為函數(shù)的最大值為9/4， 最小值為最小值為-1/4. 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小第10頁/共27頁12求二元函數(shù)求二元函數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在由在由直線直線6 yx，x 軸和軸和 y 軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域 D 上的上的極值、最大值與最小值極值、最大值與最小值. 解解

9、xyo6 yxD例例9 9先求函數(shù)在先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點，內(nèi)的駐點， 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)惟惟一一駐駐點點)1 , 2(, 解方程組解方程組 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfAxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfBxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfCyy,02 BAC,0 A. 4)1 , 2( 是極大值是極大值所以所以 f第11頁/共27頁13xyo6 yxD再再求求),(yxf在在 D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf,

10、是是極極大大值值 4)1 ,2( f在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值, 64)2 , 4( f為最小值為最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 第12頁/共27頁14 設生產(chǎn)某種商品需原料設生產(chǎn)某種商品需原料A和和B，設設A的單價為的單價為2，數(shù)量為，數(shù)量為x；而而B 的單價為的單價為1，數(shù)量為，數(shù)量為y，而產(chǎn)量為而產(chǎn)量為 例例5 5解解，yyxxz52102022 且商品售價為

11、且商品售價為5,求最大利潤求最大利潤. 利潤函數(shù)為利潤函數(shù)為 yxyyxxyxL 2)521020(5),(22第二步第二步 判別判別 根據(jù)問題的實際意義確定最值根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步第一步 找目標函數(shù)找目標函數(shù), 確定定義域確定定義域 ( 及約束條件及約束條件)3. 函數(shù)的最值應用問題函數(shù)的最值應用問題第13頁/共27頁15yxyyxxyxL 2)521020(5),(22令令， 0242004810 xLxLyx解得解得惟一惟一駐點駐點 ，2 . 1, 8 . 4 yx惟一惟一駐點駐點為極為極大值大值點點，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( L，yyxx24104851

12、122 ,20,0,10 yyxyxxfCfBfA,02 BAC,0 A即為即為最大值最大值點點，最大利潤最大利潤為為 第14頁/共27頁16 注：應用題若已知有最值，注：應用題若已知有最值，又只一個駐點，則唯一的駐點為所求最值點。又只一個駐點，則唯一的駐點為所求最值點。根據(jù)實際問題可知最小根據(jù)實際問題可知最小(大大)值在定義域內(nèi)應存在值在定義域內(nèi)應存在,因此因此可可斷定此唯一駐點就是最小斷定此唯一駐點就是最小(大大)值點值點. 即即在應用題中，只有唯一的駐點的話，可以不用判別在應用題中，只有唯一的駐點的話，可以不用判別A，B，C，直接改為下面的一句話，直接改為下面的一句話，第15頁/共27頁

13、17極值問題極值問題無條件極值無條件極值:條條 件件 極極 值值 :條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無條件極值問題的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制還有其他條件限制例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz這種做法的缺點：這種做法的缺點： 1.變量之間的平等關系和對稱性被破壞；變量之間的平等關系和對稱性被破壞； 2.有時解出隱函數(shù)困難甚至不可能有時解出隱函數(shù)困難甚至不可能. 第16頁

14、/共27頁18 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點點，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標標.方法方法2：拉格朗日乘數(shù)法：拉格朗日乘數(shù)法其其中中 為為參參數(shù)數(shù)， 引入拉格朗日函數(shù)引入拉格朗日函數(shù)),(),();,(yxyxfyxF 令令,0),(0),(),(0),(),( yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx 若這樣的點惟一若這樣的點惟一,由實際問題由實際問題,可直接確定此即所求的點。可直接確定此即所求的點。第17頁/共27頁19拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變

15、量和多個約束條件的情形個約束條件的情形. 設設解方程組解方程組可得到條件極值的可疑點可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F第18頁/共27頁20 用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為要求容積為V,問怎么做用料最??？問怎么做用料最??？ 設設水水箱箱的的長長、寬寬、高高分分別別為為zyx, ,則則 目目標標函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條條件件：x

16、yzV , , 例例7 7解解即表面積最小即表面積最小. ，xyVz xyz目目標標函函數(shù)數(shù)化化為為：)( 2yVxVxyS , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yVxSxVySyx, , 求得唯一駐點求得唯一駐點3Vyx , ,從而從而3Vz , , 內(nèi)部唯一駐點內(nèi)部唯一駐點,且由實際問題且由實際問題S有最大值有最大值,故做成立方體表面積最小故做成立方體表面積最小. 第19頁/共27頁21 用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱用鐵皮做一個有蓋的長方形水箱,要求容積為要求容積為V,問怎么做用料最??？問怎么做用料最??？ 例例7 7目目標標函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條

17、條件件：xyzV , , 解解構構作作拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) )()( 2VxyzzxyzxyL , , 令令 VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一駐駐點點3Vzyx , , 由實際問題由實際問題,即為最小值點即為最小值點. 設設水水箱箱的的長長、寬寬、高高分分別別為為zyx, ,則則 xyz第20頁/共27頁22要設計一個容量為要設計一個容量為0V則問題為求則問題為求x , y ,令令解方程組解方程組解解: 設設 x , y , z 分別表示長、寬、高分別表示長、寬、高,下水箱表面積下水箱表面積最小最小.z 使在條件使在條件xF02

18、zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。克溟L、寬、高等于多少時所用材料最?。康拈L方體開口水箱的長方體開口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz試試問問第21頁/共27頁23得唯一駐點得唯一駐點,2230Vzyx3024V由題意可知合理的設計是存在的由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省倍時，所用材料最省.因此因此 , 當高為當高為,340Vxyz思考思考:1) 當水箱封閉時當水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知利

19、用對稱性可知,30Vzyx2) 當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價欲使造價 應如何設拉格朗日函數(shù)應如何設拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等長、寬、高尺寸相等 .最省最省,第22頁/共27頁24某產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)某產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)414380),(yxyxQ ， 其中， 其中yx,分別表示投入的勞力數(shù)和資本數(shù)，分別表示投入的勞力數(shù)和資本數(shù)，Q是產(chǎn)量。是產(chǎn)量。若每個單若每個單位勞力需位勞力需 600600 元， 每單位資本為元， 每單位資本為 20002000 元， 而勞力和資本元， 而勞力和資本投入的總預算為投入的總預算為 4040 萬元，試求最佳資金投入分配方案。萬元，試求最佳資金投入分配方案。 例例1010解解目目標標函函數(shù)數(shù) 414380),(yxyxQ ， 約約束束