復(fù)變函數(shù)第4講PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)第復(fù)變函數(shù)第4講講 000000( ),()() lim, ( ). ( ). zf zzf zzf zzf zzf zz 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 及其鄰域內(nèi)有定義 如果極限存在 那么就說(shuō)在點(diǎn) 可導(dǎo) 這個(gè)極限值稱(chēng)為在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)00000()() ()limzz zf zzf zdwfzdzz 記作第1頁(yè)/共26頁(yè)導(dǎo)數(shù)的幾種表達(dá)方式導(dǎo)數(shù)的幾種表達(dá)方式00000()()() lim zz zf zzf zdwfzdzz000( )()limzzf zf zzz0lim zwz0lim. zfz第2頁(yè)/共26頁(yè)3)(zzf例：3320()( )lim=3zzzzfzzz 展開(kāi)即得若上述極限不存在

2、，則稱(chēng)函數(shù)在若上述極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)在z z0 0點(diǎn)不可導(dǎo)；點(diǎn)不可導(dǎo)；若函數(shù)在區(qū)域若函數(shù)在區(qū)域D D內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)其在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)其在區(qū)域D D上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，( ).fz導(dǎo)數(shù)記為，稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù)其結(jié)果與實(shí)函數(shù)結(jié)果一樣。其結(jié)果與實(shí)函數(shù)結(jié)果一樣。注注:與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類(lèi)似與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類(lèi)似,復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義也有相應(yīng)的定義也有相應(yīng)的 語(yǔ)言描述，這里省略。語(yǔ)言描述，這里省略。- 第3頁(yè)/共26頁(yè) ( )2 if zxy例 考察的連續(xù)性與可導(dǎo)性。容易看出容易看出, ,此極限不存在此極限不存在, ,即該函數(shù)處處不可導(dǎo)。即該函數(shù)處處不可導(dǎo)。與實(shí)函數(shù)一樣，可導(dǎo)一定

3、連續(xù)，但反之不成立與實(shí)函數(shù)一樣，可導(dǎo)一定連續(xù)，但反之不成立。處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)，這樣的函數(shù)在復(fù)變函數(shù)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)，這樣的函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中極易獲得，然而在實(shí)函數(shù)中要想得到一個(gè)處處中極易獲得，然而在實(shí)函數(shù)中要想得到一個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)卻很不容易。連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)卻很不容易。z0z0()-( )()2()i-2 ilim= limf zzf zxxyyxyzz 解：z02= limxyixyi 第4頁(yè)/共26頁(yè)000 |)() ().zfzf zfz 00 由在z 可導(dǎo)的定義，對(duì)于任給的0，相應(yīng)地一個(gè)0，使得當(dāng)時(shí)，有(zz000)() ( z)=(),lim( z)=0.z

4、fzf zfz 0(z令z則有 0000 )()() z.lim)(), zfzf zfzzfzf z 00由此得(z) z+所以 (z0( )f zz即在 連續(xù).可導(dǎo)必連續(xù)的證明，在形式上與一元實(shí)函數(shù)相可導(dǎo)必連續(xù)的證明，在形式上與一元實(shí)函數(shù)相關(guān)結(jié)論的證明完全相同。關(guān)結(jié)論的證明完全相同。第5頁(yè)/共26頁(yè)由于復(fù)函數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義和極限運(yùn)算法則在由于復(fù)函數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義和極限運(yùn)算法則在形式上完全一致，因而二者具有相同的求導(dǎo)法則：形式上完全一致，因而二者具有相同的求導(dǎo)法則：).0)()( )iii(; )( )ii(; )() i (2 zgggfgfgfgfgfgfgfgf1(1)0,(2

5、)();nnccznz其其中中 為為常常復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)；都都可可導(dǎo)導(dǎo)，則則、若若)()()3(zgzf第6頁(yè)/共26頁(yè)（5）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中，其中 w=f (z) 與與z= (w)互為單值的反函數(shù)，且互為單值的反函數(shù)，且 (w) 0.)( 1)( wzf 這樣，我們知道多項(xiàng)式處處可導(dǎo)這樣，我們知道多項(xiàng)式處處可導(dǎo). .例如，例如，(4) ( )( ) ( )( )( ).、若若可可導(dǎo)導(dǎo)，則則可可導(dǎo)導(dǎo)， 且且hf zwg hwg f zdwd dhg h fzdzdh dz. 1412)623(324 zzzzz另外，有理分式在分母不為零的點(diǎn)處可導(dǎo)另外，有理分式在分母不為零的點(diǎn)處可導(dǎo).

6、 .第7頁(yè)/共26頁(yè).)(12)( 1, 0,1)(222zzzzfzzzzf 時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)?)(,;),()(,22的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)中中內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)中中zzfxxf 思考思考題題結(jié)論：結(jié)論：.0)(2處處處處連連續(xù)續(xù)處處可可導(dǎo)導(dǎo)，僅僅在在函函數(shù)數(shù) zzzf例如例如第8頁(yè)/共26頁(yè),2zzz 注注意意到到事實(shí)上事實(shí)上.0)(2處處可可導(dǎo)導(dǎo)僅僅在在 zzzfzzzzzzzzzfzzfzf000000)( )()()( .)(000000zzzzzzzzzzzz ;0)0( ,0lim000 fzfzz即即時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng).lim000不不存存在在時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)zfzz 第9頁(yè)

7、/共26頁(yè)不解析的點(diǎn)稱(chēng)為不解析的點(diǎn)稱(chēng)為奇點(diǎn)奇點(diǎn)。注：（注：（1 1）可導(dǎo)與解析是兩個(gè)完全不同的概念，不解）可導(dǎo)與解析是兩個(gè)完全不同的概念，不解析的點(diǎn)可能可導(dǎo)，即解析的條件比可導(dǎo)要強(qiáng)，但我們析的點(diǎn)可能可導(dǎo)，即解析的條件比可導(dǎo)要強(qiáng)，但我們卻有以下結(jié)論：卻有以下結(jié)論： 定理：若函數(shù)在區(qū)域定理：若函數(shù)在區(qū)域D D內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則D D內(nèi)定解析。內(nèi)定解析。即在區(qū)域上，可導(dǎo)與解析是等價(jià)的即在區(qū)域上，可導(dǎo)與解析是等價(jià)的。（為什么？）（為什么？）點(diǎn)點(diǎn)解解析析。在在鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則稱(chēng)稱(chēng)的的某某個(gè)個(gè)小小點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)，而而且且在在不不僅僅在在定定義義：若若000)()(zzfzzzf第10頁(yè)/

8、共26頁(yè)00(2)( )f zzz由以上結(jié)論，若在點(diǎn)解析，則定在 的某個(gè)小鄰域內(nèi)處處解析。即即不可能不可能存在離散的、孤立的解析點(diǎn)。存在離散的、孤立的解析點(diǎn)。例：研究下列函數(shù)的解析性例：研究下列函數(shù)的解析性2)() 1zzf2)()2zzf因因而而處處處處解解析析。函函數(shù)數(shù)處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)復(fù)復(fù)平平面面是是一一區(qū)區(qū)域域,第11頁(yè)/共26頁(yè)zzf1)()4 外外解解析析。外外可可導(dǎo)導(dǎo)，因因而而除除除除00 zz,剩剩下下部部分分為為一一區(qū)區(qū)域域復(fù)復(fù)平平面面除除去去有有限限個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)外外5 5）有理分式，定義域內(nèi)解析，原因同上。）有理分式，定義域內(nèi)解析，原因同上。注：由求導(dǎo)法則，不難看出：注：由求導(dǎo)法

9、則，不難看出： 解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)，解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)， 解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是解析函數(shù)。解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是解析函數(shù)。，同同上上，處處處處解解析析。多多項(xiàng)項(xiàng)式式)( )3zpn第12頁(yè)/共26頁(yè) 當(dāng)一個(gè)復(fù)函數(shù)用其實(shí)部和虛部表示時(shí)當(dāng)一個(gè)復(fù)函數(shù)用其實(shí)部和虛部表示時(shí), ,本節(jié)介紹本節(jié)介紹一種判別函數(shù)可導(dǎo)性、解析性的非常有效的方法；一種判別函數(shù)可導(dǎo)性、解析性的非常有效的方法；建立函數(shù)的可導(dǎo)性與其實(shí)、虛部的偏導(dǎo)之間的關(guān)系建立函數(shù)的可導(dǎo)性與其實(shí)、虛部的偏導(dǎo)之間的關(guān)系. . ( )f zuivuv通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道的連續(xù)性與 和 的連續(xù)性關(guān)系是非常密切的.( )

10、2,2( )，f zxyiux vyf z設(shè)設(shè)盡盡管管可可微微但但處處處處不不解解析析！( )f zui vuv于是，就自然提出這樣的問(wèn)題：的可導(dǎo)性與 、 的偏導(dǎo)數(shù)之間具有怎樣的關(guān)系？第13頁(yè)/共26頁(yè)舉例嘗試舉例嘗試22,2uxyvxy容易求得容易求得2 ,uxx2 ,uyy 2 ,vyx2 .vxy觀察、尋找聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)有觀察、尋找聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)有,uvuvxyyx 第14頁(yè)/共26頁(yè)究竟是偶然的現(xiàn)象還是必然的規(guī)律？究竟是偶然的現(xiàn)象還是必然的規(guī)律？ ？第15頁(yè)/共26頁(yè),.uvvuxyxy 定理定理1 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)的充要條件是可導(dǎo)的充要條件是

11、 u(x, y) 和和 v(x, y)在在 可微，且在該點(diǎn)滿足可微，且在該點(diǎn)滿足Cauchy-Riemann方程方程000zxi y00(,)xy),(i),()( 00000yxvyxuzfxx 并且在可導(dǎo)的條件下并且在可導(dǎo)的條件下第16頁(yè)/共26頁(yè)（1）定定理理1 1提提供供了了判判別別函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)的的一一種種 非非常常有有效效的的方方法法. .使用時(shí)使用時(shí): i) 判別判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性；偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性； ii) 驗(yàn)證驗(yàn)證C-R條件條件.注：注：處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)！例例如如，我我們們?nèi)萑菀滓字赖纙zf )( ) （ 2 2）xxxyyyyx

12、fzuivuiuviuviv 可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系. .當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí), ,僅由其實(shí)部或虛部就可以求出僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來(lái)導(dǎo)數(shù)來(lái). .第17頁(yè)/共26頁(yè)條條件件：域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)因因而而解解析析的的點(diǎn)點(diǎn)換換為為區(qū)區(qū)域域，則則得得到到區(qū)區(qū)將將0z定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充內(nèi)解析充要要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內(nèi)內(nèi)可微，且可微，且 滿足滿足Cauchy-Rieman方程方程.,yuxvyvxu yyxxiuvivuzf)( 并

13、且在解析的條件下并且在解析的條件下第18頁(yè)/共26頁(yè) ；)sin(cos)()1(yiyezfx 例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：，解解：yevyeuxxsin,cos)1( 在在全全平平面面可可導(dǎo)導(dǎo)，解解析析。故故)sin(cos)(cos,sinsin,cosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx ).(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 第19頁(yè)/共26頁(yè) . iyxyxzf22332)()2( 可可微微，和和，解解：vuyxvyxu22332,)2( 處處處處不不解解析析。處處可可導(dǎo)導(dǎo)，和和

14、僅僅在在條條件件知知道道故故由由)43,43()0 , 0()(,4,4,3,32222zfyxyvxyxvyyuxxuR-C 第20頁(yè)/共26頁(yè)33333),(,2),(32 )3(yyxvxyxuiyxw 解：解：0, 0,9,622xyyxvuyvxu方方程程滿滿足足上上即即在在直直線線僅僅當(dāng)當(dāng)RCvuxyyx,329622結(jié)論是：處處可微，這樣我們的注意到vu,（因直線不是區(qū)域）（因直線不是區(qū)域）上可導(dǎo)，但處處不解析上可導(dǎo)，但處處不解析因此，函數(shù)在直線因此，函數(shù)在直線xy32第21頁(yè)/共26頁(yè).)( ,),(),()( 32的的值值求求解解析析，且且設(shè)設(shè)例例zfvuyxivyxuzf

15、.0)( zf根根據(jù)據(jù)解解析析的的條條件件，得得到到提提示示：例例2 2.()(, 0, 01)( 2121常常數(shù)數(shù)）CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 證明證明.,)(,0)( DzCzfDzzf 則則若若第22頁(yè)/共26頁(yè)1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)法則的概念，復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)法則.2、解析解析的概念，的概念，解析與可導(dǎo)的關(guān)系解析與可導(dǎo)的關(guān)系.3、判別復(fù)變函數(shù)解析性的有效方法：、判別復(fù)變函數(shù)解析性的有效方法： 柯西柯西黎曼定理黎曼定理.f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析 f(z)在在z0點(diǎn)解析點(diǎn)解析 f(z)在在z0點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo) f(z)在在z0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù) 第23頁(yè)/共26頁(yè)1、判別真、假：、判別真、假：點(diǎn)點(diǎn)解解析析在在存存在在，則則若若001zzfzf)()()點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，則則為為若若002zzfzfz)()()的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)也也是是的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，則則、為為若若)()(),()()()()zgzfzgzfzzgzfz003也為常數(shù)也為常數(shù)則則為實(shí)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)，內(nèi)解析，且