2015導(dǎo)數(shù)高考分類匯編

1、專題三 導(dǎo)數(shù)1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，所以結(jié)論中一定錯誤的是C，選項D無法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，選項A,B無法判斷，故選C【考點定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【名師點睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到相關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題2.【2015高考陜西，理1

2、2】對二次函數(shù)（為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是（ ）A是的零點 B1是的極值點C3是的極值 D. 點在曲線上【答案】A【解析】若選項A錯誤時，選項B、C、D準確，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D準確，故選A【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【名師點晴】本題主要考查的是函數(shù)的零點和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題解題時一定要抓住重要字眼“有且僅有一個”和“錯誤”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解推斷結(jié)論的試題時一定要萬分小心，

3、除了作理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊值實行檢驗，也可作必要的合情推理3.【2015高考新課標2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，則使得成立的的取值范圍是（ ）A BC D【答案】A【考點定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師點睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到相關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題4.【2015高考新課標1，理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存有唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1

4、）【答案】D【解析】設(shè)=，由題知存有唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.因為，所以當(dāng)時，0，當(dāng)時，0，所以當(dāng)時，=，當(dāng)時，=-1，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得1，故選D.【考點定位】本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題【名師點睛】對存有性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個函數(shù)（或參數(shù)大于某個函數(shù)），則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，?；癁橐粋€函數(shù)存有一點在另一個函數(shù)上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路2.5.【2

5、015高考陜西，理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 【答案】【解析】建立空間直角坐標系，如圖所示：原始的最大流量是，設(shè)拋物線的方程為（），因為該拋物線過點，所以，解得，所以，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是，所以答案應(yīng)填：【考點定位】1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義【名師點晴】本題主要考查的是定積分、拋物線的方程和定積分的幾何意義，屬于難題解題時一定要抓住重要字眼“原始”和“當(dāng)前”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是定積分的幾何意義，即由直

6、線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積是6.【2015高考天津，理11】曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 .【答案】【考點定位】定積分幾何意義與定積分運算.【名師點睛】本題主要考查定積分幾何意義與運算水平.定積分的幾何意義體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的典型示范，既考查微積分的基本思想又考查了學(xué)生的作圖、識圖水平以及運算水平.【2015高考湖南，理11】 .【答案】.【解析】試題分析：.【考點定位】定積分的計算.【名師點睛】本題主要考查定積分的計算，意在考查學(xué)生的運算求解能力，屬于容易題，定積分的計算通常有兩類基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解.7.【2015高考新課標2，理21

7、】（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)()證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（）若對于任意，都有，求的取值范圍【答案】()詳見解析；（）【解析】()若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）由()知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值所以對于任意，的充要條件是：即，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，故當(dāng)時，當(dāng)時，即式成立當(dāng)時，由的單調(diào)性，即；當(dāng)時，即綜上，的取值范圍是【考點定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【名師點睛】()先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在和的符號即可；（）恒成立，等價于由是兩個獨立的變量，故可求研究的值域，由()可得最小值為，最大值可能是或，

8、故只需，從而得關(guān)于的不等式，因不易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號，從而得解8.【2015高考江蘇，19】（本小題滿分16分） 已知函數(shù). （1）試討論的單調(diào)性； （2）若（實數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，a 的取值范圍恰好是，求c的值.【答案】（1）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時，時，時，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，函數(shù)的兩個極值為，則函數(shù)有三個零點等價于，從而或又，所以當(dāng)時，或當(dāng)時，設(shè)，因為函數(shù)有三個零點時，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此此時

9、，因函數(shù)有三個零點，則有兩個異于的不等實根，所以，且，解得綜上【考點定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點【名師點晴】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：確定函數(shù)yf(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；確定f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性已知函數(shù)的零點個數(shù)問題處理方法為：利用函數(shù)的單調(diào)性、極值畫出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解已知不等式解集求參數(shù)方法：利用不等式解集與對應(yīng)

10、方程根的關(guān)系找等量關(guān)系或不等關(guān)系.9.【2015高考福建，理20】已知函數(shù)，()證明：當(dāng)；()證明：當(dāng)時，存在,使得對()確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有【答案】()詳見解析；()詳見解析；() 【解析】解法一：(1)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時，即當(dāng)時，(2)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, (3)當(dāng)時，由（1）知，對于故，令，則有故當(dāng)時，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時，由（2）知存在,使得對任意的任意的恒有此時,令，則有故當(dāng)時，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時，,所以在上單調(diào)遞減，故,故

11、當(dāng)時，恒有,此時，任意實數(shù)t滿足題意.綜上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）當(dāng)時，由（1）知，對于，故，令，從而得到當(dāng)時，恒有,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時，取由（2）知存在,使得.此時,令，此時 ,記與中較小的為，則當(dāng)，【考點定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【名師點睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時,我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進行轉(zhuǎn)化，探究這類問題的根本，從本質(zhì)入手,進而求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價，只是的特例，但是也可以

12、利用它來證明，在2014年全國卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)10.【2015江蘇高考，17】（本小題滿分14分） 某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建 一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊 界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到 的距離分別為5千米和40千米，點N到的距離分別為20千米和2.5千米，以MNl2l1xyOCPl 所在的直線分別為x，y軸，

13、建立平面直角坐標系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù) （其中a，b為常數(shù)）模型. （1）求a，b的值； （2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t. 請寫出公路l長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域； 當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度.【答案】（1）（2）定義域為，千米【解析】（1）由題意知，點，的坐標分別為，將其分別代入，得，解得（2）由（1）知，（），則點的坐標為，設(shè)在點處的切線交，軸分別于，點，則的方程為，由此得，故，設(shè)，則令，解得當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)從而，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時答：當(dāng)時，公路的長度最短，最短長度為千米【考點定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，導(dǎo)

14、數(shù)幾何意義【名師點晴】解決實際應(yīng)用問題首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型，然后將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；本題已直接給出模型，只需確定其待定參數(shù)即可.求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，這一步驟在應(yīng)用題中要求不高，難度中等偏下，本題是一個簡單的利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，然后再利用導(dǎo)數(shù)求極值與最值.11.【2015高考山東，理21】設(shè)函數(shù)，其中. （）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由； （）若成立，求的取值范圍.【答案】（I）：當(dāng) 時，函數(shù)在上有唯一極值點；當(dāng)時，函數(shù)在上無極值點；

15、當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個極值點；（II）的取值范圍是.（2）當(dāng) 時， 當(dāng)時， ， 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；當(dāng) 時， 設(shè)方程的兩根為 因為 所以， 由可得：所以，當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個極值點（3）當(dāng) 時，由可得：當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；因此函數(shù)有一個極值點綜上：當(dāng) 時，函數(shù)在上有唯一極值點；當(dāng)時，函數(shù)在上無極值點；當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個極值點；（II）由（I）知，（1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為所以，時， ，符合題意； （2）當(dāng) 時，由 ，得 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，時， ，符合題意；（3）當(dāng) 時

16、，由 ，可得所以 時，函數(shù) 單調(diào)遞減；又所以，當(dāng)時， 不符合題意；（4）當(dāng)時，設(shè) 因為時， 當(dāng) 時，此時， 不合題意.綜上所述，的取值范圍是 【考點定位】1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想.【名師點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，著重考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法，意在考查學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，其中最后一問所構(gòu)造的函數(shù)體現(xiàn)了學(xué)生對不同函數(shù)增長模型的深刻理解.12.【2015高考安徽，理21】設(shè)函數(shù). （）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值； （）記，求函數(shù)在上的最大值D； （）在（）中，取，求滿足時的最大值.【答案】（）

17、極小值為；（）； （）1.【解析】（），. ，. 因為，所以. 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值. 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值. 當(dāng)，在內(nèi)存在唯一的，使得. 時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增. 因此，時，函數(shù)在處有極小值. （）時， 當(dāng)時，取，等號成立， 當(dāng)時，取，等號成立， 由此可知，函數(shù)在上的最大值為. （），即，此時，從而. 取，則，并且. 由此可知，滿足條件的最大值為1.【考點定位】1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；2.絕對值不等式的應(yīng)用.【名師點睛】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類與整合思想是必要的，由于是函數(shù)問題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的，把

18、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題等，轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.13.【2015高考天津，理20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個正實根，求證： 【答案】(I) 當(dāng)為奇數(shù)時，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)見解析； (III)見解析. (2)當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單

19、調(diào)遞減.(II)證明：設(shè)點的坐標為，則，曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意的正實數(shù)都有，即對任意的正實數(shù)，都有.(III)證明：不妨設(shè)，由(II)知，設(shè)方程的根為，可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又由(II)知可得.類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當(dāng)，即對任意，設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞增，且，因此.由此可得.因為，所以，故，所以.【考點定位】1.導(dǎo)數(shù)的運算；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式.【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及利用函數(shù)證

20、明不等式.第(I)小題求導(dǎo)后分為奇偶數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類討論的重要思想；第(II)(III)中都利用了構(gòu)造函數(shù)證明不等式這一重要思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法在解題中的重要作用，是撥高題.14.【2015高考重慶，理20】 設(shè)函數(shù) （1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程； （2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?），切線方程為；（2）.當(dāng)時，,故為減函數(shù)；當(dāng)時，,故為增函數(shù)；當(dāng)時，,故為減函數(shù)；由在上為減函數(shù)，知，解得故a的取值范圍為.【考點定位】復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，切線，單調(diào)性考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力【名師點晴】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)

21、用通常圍繞四個點進行命題第一個點是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開，設(shè)計求曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問題，這類試題在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的同時也考查導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)等知識，試題的難度不大；第二個點是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開，設(shè)計求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問題，在考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法；第三個點是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、方程展開，涉及不等式的證明、不等式的恒成立、討論方程根等問題，主要考查通過轉(zhuǎn)化使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點和第二個點一般是解答題中的

22、兩個設(shè)問，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；第四個點是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來分析不等式和方程等問題的能力，該點和第二個點一般是解答題中的兩個設(shè)問，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；本題涉及第一個點和第二個點，主要注意問題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的性質(zhì)15.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，評論的單調(diào)性； （2）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解.【答案】（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）詳見解析.【解析】（1）由已知，函數(shù)的定義域為，所以.當(dāng)時，在區(qū)間

23、上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由，解得.令.則，.故存在，使得.令，.由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以.即.【考點定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【考點定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師點睛】本題作為壓軸題，難度系數(shù)應(yīng)在0.3以下.導(dǎo)數(shù)與微積分作為大學(xué)重要內(nèi)容，在中學(xué)要求學(xué)生掌握

24、其基礎(chǔ)知識，在高考題中也必有體現(xiàn).一般地，只要掌握了課本知識，是完全可以解決第（1）題的，所以對難度最大的最后一個題，任何人都不能完全放棄，這里還有不少的分是志在必得的.解決函數(shù)題需要的一個重要數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合，聯(lián)系圖形大膽猜想. 在本題中，結(jié)合待證結(jié)論，可以想象出的大致圖象，要使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解，則這個解應(yīng)為極小值點，且極小值為0，當(dāng)時，的圖象遞減；當(dāng)時，的圖象單調(diào)遞增，順著這個思想，便可找到解決方法.16.【2015高考湖北，理22】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??；（）計算，由此推測計算的公式，并給出證明；（）令，數(shù)列，的前項

25、和分別記為, 證明：. 【答案】（）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. ；（）詳見解析；（）詳見解析.【解析】（）的定義域為，.當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，單調(diào)遞減. 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)時，即.令，得，即. （）；.由此推測： 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. （1）當(dāng)時，左邊右邊，成立. （2）假設(shè)當(dāng)時，成立，即.當(dāng)時，由歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)時，也成立. 根據(jù)（1）（2），可知對一切正整數(shù)都成立. （）由的定義，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及得 .即.【考點定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)，數(shù)列的概念，數(shù)學(xué)歸納法，基本不等式，不等式的證明.【名師點睛】使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪

26、些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的運用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意以下三點：(1)nn0時成立，要弄清楚命題的含義(2)由假設(shè)nk成立證nk1時，要推導(dǎo)詳實，并且一定要運用nk成立的結(jié)論(3)要注意nk到nk1時增加的項數(shù)17.【2015高考新課標1，理21】已知函數(shù)f（x）=.()當(dāng)a為何值時，x軸為曲線 的切線；（）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點的個數(shù).【答案】（）；（）當(dāng)或時，由一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點.若，則，,故=1不是的零點.當(dāng)時，所以只需考慮在（0,1）的零點個數(shù).()若或

27、，則在（0,1）無零點，故在（0,1）單調(diào)，而，所以當(dāng)時，在（0，1）有一個零點；當(dāng)0時，在（0，1）無零點. ()若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時，取的最小值，最小值為=.若0，即0，在（0,1）無零點.若=0，即，則在（0,1）有唯一零點；若0，即，由于，所以當(dāng)時，在（0,1）有兩個零點；當(dāng)時，在（0,1）有一個零點.10分綜上，當(dāng)或時，由一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點. 12分【考點定位】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)、利用圖像研究分段函數(shù)的零點，試

28、題新穎.對函數(shù)的切線問題，主要在某一點的切線與過某一點點的切線不同，在某點的切線該點是切點，過某點的切線該點不一定是切點，對過某點的切線問題，設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)求切線，將已知點代入切線方程，解出切點坐標，即可求出切線方程.18.【2015高考北京，理18】已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：當(dāng)時，；（）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值【答案】（），（）證明見解析，（）的最大值為2.【解析】試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，再用直線方程的點斜式寫出直線方程；第二步要證明不等式在成立，可用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，由于，在（0，1）

29、上為增函數(shù)，則，問題得證；第三步與第二步方法類似，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但需要對參數(shù)作討論，首先符合題意，其次當(dāng)時，不滿足題意舍去，得出的最大值為2.，成立；（）使成立，等價于，；，當(dāng)時，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，令，-0+極小值，顯然不成立，綜上所述可知：的最大值為2.考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式；3.含參問題討論.【名師點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)問題，本題第一步為基礎(chǔ)，第二、三步屬于中等略偏難問題，首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率和切點坐標，寫出切線方程，其次用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，最后一步對參數(shù)進行分類討論研究.19.【2015高考廣東，理19】設(shè)，函數(shù) (1) 求的單調(diào)區(qū)間 ； (2) 證明：在上僅有一個零點； (3) 若曲線在點處的切線與軸