函數(shù)的周期性--經(jīng)典例題.

1、函數(shù)的周期性周期函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f x ，存在非0 常數(shù) T，使得對(duì)于其定義域內(nèi)總有f xTf x ，則稱的常數(shù)T 為函數(shù)的周期。周期函數(shù)的性質(zhì)：1、 fxfxa ，則 yfx 是以 Ta 為周期的周期函數(shù)；2、若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x+a)=-f(x) (a>0),則 f(x) 為周期函數(shù)且 2a 是它的一個(gè)周期。3、若函數(shù) f xa fxa ，則 f x是以 T 2a 為周期的周期函數(shù)4、y=f(x) 滿足 f(x+a) =1(a>0),則 f(x)為周期函數(shù)且 2a 是它的一個(gè)f x周期。5、若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x+a) =1(a>0),則 f

2、(x) 為周期函數(shù)且 2a 是f x它的一個(gè)周期。、 f ( x1f ( x)，則是以為周期的周期函數(shù) .a)61f ( x)f xT2a7、 f ( xa )1f ( x) ，則 f x是以 T4a 為周期的周期函數(shù) .1f ( x)8、若函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a,x=b(b>a) 都對(duì)稱 ,則 f(x)為周期函數(shù)且 2（b-a）是它的一個(gè)周期。9、函數(shù)y f ( x) x R的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A a, y0、0a b都對(duì)稱，B b, y則函數(shù) f ( x) 是以 2 ba 為周期的周期函數(shù)；10、函數(shù) yf (x)xR 的圖象關(guān)于 A a, y0 和直線 xbab 都對(duì)稱

3、，則函數(shù) f (x)是以 4 ba 為周期的周期函數(shù)；11、若偶函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 對(duì)稱，則 f(x)為周期函數(shù)且2 a 是它的一個(gè)周期。12、若奇函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 對(duì)稱，則 f(x)為周期函數(shù)且4 a 是它的一個(gè)周期。13、若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),則 f(x)為周期函數(shù)， 6a是它的一個(gè)周期。14、若奇函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x+T)=f(x) (xR，T0), 則 f( T )=0.2【試題舉例】例 1、(2006 年山東卷）已知定義在R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+2)=

4、 f(x),則,f(6)的值為 (B)(A)1(B)0(C)1(D)2【考點(diǎn)分析 】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性，基礎(chǔ)題。解析：由 f x2f xf x4f x2f x由f x是 定義 在R上 的奇函數(shù)得f 00， f 6f 42f 2f 00，故選擇B。【窺管之見 】本題用到兩重要性質(zhì)：f xaf xf x 的周期為2a ；如f x 是定義在R 上的奇函數(shù)，則f 00 。例 2、（2005天津卷）設(shè)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù)， 且yf x 的圖象 關(guān) 于 直 線 x1對(duì) 稱 ， 則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f2(5)=_0_.【考點(diǎn)分析 】本題考查函數(shù)的周期性解析： f0f

5、 0得 f 00 ，假設(shè) f n0因?yàn)辄c(diǎn)（n ， 0） 和 點(diǎn) （ n 1,0） 關(guān) 于 x1對(duì)稱，所以2f n 1f nfn0因此，對(duì)一切正整數(shù)n 都有： fn0從而： f 1f2 f3 f 4f 50 。本題答案填寫： 0例 3、（ 2006 福建卷） 已知 f ( x) 是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f (x)lg x.設(shè) af ( 6 ), bf ( 3), cf (5 ), 則522（A） a b c（B） b a c（C） c b a（D）c ab解：已知 f ( x) 是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) 0x 1時(shí)， f ( x)lg x.設(shè) af ( 6 )f (4)f ( 4)

6、 bf ( 3)f ( 1)f (1 ) cf ( 5)f (1)<0，55，22，2252 c a b ，選 D.例 4、（2006 年安徽卷理）函數(shù) f x 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 滿足條件fx21，若 f 15, 則 ff5_。fx【考點(diǎn)分析 】本題考查函數(shù)的周期性與求函數(shù)值，中檔題。解析：由 fx 21得 fx 41f (x) ，所以fxf x2f (5) f (1)5 ，則 ff5f ( 5)f ( 1)12)1 。f ( 15【窺管之見 】函數(shù)的周期性在高考考查中除了在三角函數(shù)中較為直接考查外，一般都比較靈活。本題應(yīng)直觀理解f x 21“只要fx加 2，則變倒數(shù)，加兩次則回原位 ”則一通盡通也。例 5、（1996 全國，15）設(shè) fx 是,上的奇函數(shù)， fx2f x ，當(dāng) 0x1時(shí)， f xx ，則 f（7.5）等于（）A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5解析：由 f x 2fxf 7.5f5.5 f 3.5f 1.5f0.5，又f x 是奇函數(shù)，故 f0.5f 0.50.5 ，故選擇 B。例 6、（2005 福建卷 f ( x) 是定義在 R 上的以 3 為周期的偶函數(shù)，且 f (2) 0 ，則方程 f ( x) =0 在區(qū)間（ 0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（ B ）A5B4C3D2解析：由 f ( x) 的周期性知， f (2)f 5 f 1f 1f 4 0