初中人教版數(shù)學(xué)勾股定理經(jīng)典題型分析

1、勾股定理經(jīng)典題型分析類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中， C=90 °(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40， b=9 ，求 c； (3)已知 c=25， b=15，求 a. 思路點(diǎn)撥 : 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析： (1) 在 ABC 中， C=90 °， a=6， c=10,b=(2) 在 ABC 中， C=90°， a=40， b=9,c=(3) 在 ABC 中， C=90°， c=25， b=15,a=舉一反三【變式】 :如圖 B= ACD =90 

2、6; , AD =13,CD=12, BC=3,則 AB 的長是多少 ?【答案】 ACD =90 °AD = 13, CD=12 CD2122 AC=5ABC=90 °且 BC=3理可得2BC22=5 3 AB= 4 AB 的長是 4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中，. 求： BC 的長 .思路點(diǎn)撥 ：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于 D，則有，再由勾股定理計(jì)算出AD 、DC 的長，進(jìn)而求出BC 的長 .解析：作于 D，則因，（的兩個銳角互余）（在中，如果一個銳角等于，直角邊等于斜邊的一半）.理，在中，.理，在中，. AC2 =AD22=13=25

3、又 由勾股定AB 2=AC2 那么它所對的根據(jù)勾股定根據(jù)勾股定舉一反三 【變式 1】如圖，已知：，于 P.求證：.解析：連結(jié) BM ，根據(jù)勾股定理，在中，.而在中，則根據(jù)勾股定理有.又（已知），.在中，根據(jù)勾股定理有，.【變式 2】已知：如圖，B= D=90 °， A=60 °， AB=4 ， CD=2 。求：四邊形ABCD 的面積。分析 ：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié) AC ，或延長 AB 、DC 交于 F，或延長 AD 、BC 交于點(diǎn) E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析 ：延長 AD 、 BC 交于 E。 A= 6

4、0°， B=90 °， E=30°。 AE=2AB=8 ， CE=2CD=4 ， BE2=AE 2-AB 2=8 2-42=48 ， BE=。 DE2= CE 2-CD 2 =42-22=12， DE=。 S 四邊形 ABCD =SABE -S CDE=AB · BE-CD · DE=類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示， 在一次夏令營活動中，小明從營地A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá)B 點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C 點(diǎn)。（ 1）求A 、C 兩點(diǎn)之間的距離。

5、（ 2）確定目的地C 在營地A 的什么方向。解 析 ：（ 1）過B 點(diǎn)作BE/AD DAB= ABE=60 ° 30°+ CBA+ ABE=180 ° CBA=90 °即 ABC 為直角三角形由已知可得：BC=500m ， AB=由勾股定理可得：所以（ 2）在 Rt ABC 中， BC=500m ，AC=1000m CAB=30 ° DAB=60 ° DAC=30 °即點(diǎn) C 在點(diǎn) A 的北偏東30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5 米，寬 1.6 米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡

6、車能否通過該工廠的廠門 ?【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于離廠門中線0.8 米處，且CD ，與地面交于H一半 )，度一半）CH如圖所示，點(diǎn)D 在解：OC 1 米 (大門寬度OD 0.8 米 （卡車寬在 Rt OCD 中，由勾股定理得：CD .米，C . .（米） .（米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡車能通過廠門（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A 、B 、C、 D，且正好位于一個正方形的四個頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方

7、案，如圖實(shí)線部分請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線思路點(diǎn)撥 ：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（ 1）、圖（ 2）中的總線路長分別為AB+BC+CD 3，AB+BC+CD 3圖（ 3）中，在RtABC 中同理圖（ 3）中的路線長為圖（ 4）中，延長EF 交 BC 于 H ，則 FH BC， BH CH由 FBH 及勾股定理得：EA ED FB FC EF 1 2FH 1此圖中總線路的長為4EA+EF 3 2.828>2.732圖（ 4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線舉一反三【變式】

8、如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程解：如圖，在 Rt 中，底面周長的一半（提問：勾股定理）cm， 根據(jù)勾股定理得AC（cm）（勾股定理） 答：最短路程約為cm類型四：利用勾股定理作長為的線段5、作長為、的線段。思路點(diǎn)撥： 由勾股定理得，直角邊為1 的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和 1 的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。作法 ：如圖所示（ 1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角ACB ，使AB為斜邊；（ 2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1 的直角。斜邊為；（ 3）順次這樣做下去，最后做

9、到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是、。舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。解析： 可以把看作是直角三角形的斜邊，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，而 10 又是 9 和 1 這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3 和1。作法 ：如圖所示在數(shù)軸上找到A 點(diǎn)，使OA=3 ，作AC OA且截取AC=1 ，以O(shè)C為半徑，以 O 為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B 即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳（正確）2原命題：對頂角相等（正確）3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確）4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個角的兩邊距離相等（正確）思路點(diǎn)撥： 掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析： 1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上?（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上（正確）總結(jié)升華： 本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果ABC的三邊分別為a、b、 c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判斷ABC的形狀。思路點(diǎn)撥 ：要判斷ABC的形狀，需要找到a、 b、 c 的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c ，故只有從該條件