專升本《高等數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)指導(dǎo)（下）：

1、專升本高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)（下）：夯實基礎(chǔ)、樹立信心、迎接挑戰(zhàn)在專升本高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)（上）中我們論述了極限、一元函數(shù)微分學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，在專升本高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)（下）中我們將仍然按照熟練掌握：基本知識、基本原理、及基本技巧的原則論述余下的內(nèi)容。 四、 不定積分與定積分（一）符號的含義。我們知道：如果函數(shù)是定義在某個區(qū)間上的已知函數(shù)，若有函數(shù)，使得在該區(qū)間的任一點處有，則稱為函數(shù)的一個原函數(shù)。若為常數(shù)，在區(qū)間的任一點處，那么，也就是說，如果是的一個原函數(shù)，那么就有無窮多個原函數(shù)，我們把這無窮多個原函數(shù)用符號 表示。從而符號表示的是函數(shù)的集合，稱為函數(shù)在區(qū)間上的不定積分。設(shè)都是的原函數(shù)，即，,從而，那

2、么由拉格朗日中值定理的推理知：，也就是說任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)，從而，若為函數(shù)的一個原函數(shù)，那么函數(shù)的不定積分可表示為：。求函數(shù)不定積分的運算是微積分重要運算之一，大家務(wù)必多做練習(xí)。求函數(shù)不定積分的運算所遵循的原則是：通過技巧（變形、湊微分、換元、分部積分）把未知函數(shù)的不定積分化作已知函數(shù)的不定積分。所以大家務(wù)必熟練記住下述基本積分公式：，。注意這些公式中的積分變量既可以是自變量，也可以是某個變量的函數(shù)。如它們構(gòu)成整個積分學(xué)的基礎(chǔ)。下面我們通過舉例說明如何把未知函數(shù)的不定積分化為上述基本積分。（1）直接積分法：直接積分法是指用代數(shù)或三角恒等式，并用積分的性質(zhì)和基本積分公式進行積分的積分

3、方法。例1，.該被積函數(shù)是假分式，所以先將其化為整式和真分式之和，然后利用基本積分公式給出結(jié)果。=。（通過將分子湊出分母因子的方法來化簡）。又如=。例2，.該題我們利用三角函數(shù)中的倍角公式：=。在積分的計算中，利用三角函數(shù)中的倍角公式往往可以起到化分式為整式，或降低冪次的作用。=.另外利用指數(shù)的運算法則也可用來化簡被積函數(shù)，然后用基本積分公式積分，如例3，=。 （2）湊微分法（第一類換元法）：在不定積分中，如果被積函數(shù)能夠看作是兩個函數(shù)的乘積，即，并且，這時可以考慮用第一類換元法，即令，則，從而將原積分表達式中的用替換，用替換，進而得=，（注意，在最后的表達式中要將用替換）。其中是基本積分之一

4、。熟練之后，上述過程可以不用引入變量，而直接通過湊微分的方法求解：.對下列被積函數(shù)常用湊微分法：， ， ，等等。例1,=。例2，例3，。例4，=（在這類題目中注意三角恒等式的應(yīng)用）。 （3）第二類換元法：與第一類換元法相反，這種積分的特征是原函數(shù)不易看出，若令，則，而新的被積函數(shù)容易找到原函數(shù)且有反函數(shù)，那么代回原函數(shù)即可求出積分。當(dāng)被積函數(shù)的表達式中含有因子時，通常采用第二類換元法。分別令，與。例1，求。由于被積表達式中含有根式，為去掉根號，故令，則，。從而，=（注意做回代）。例2，求。由于被積表達式中含有根式，故用代換去掉根號，即令，則，。將上述結(jié)果代入到積分中去得：=。為了將變量換回變量

5、,我們根據(jù)變換做一輔助三角形,如圖.則由輔助三角形得 （4）分部積分法：設(shè)均可導(dǎo)，則，兩邊對積分得。移項得分部積分公式： 。在用分部積分法積分時，要使等式右端的積分比左端更容易。下述題型適用于分部積分法：，其中為的多項式，為常數(shù)。對選擇，通過分部積分降冪，直到最后成為；對選擇，通過分部積分轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分。例題1，=+.例題2, =.例題3, =（二）符號的含義。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，用分點：將分成個小區(qū)間，其長度為。在每個小區(qū)間上任取一點，作乘積，并求和。如果當(dāng)，中的最大者時，上述和的極限存在，且與對的分法及的取法無關(guān)，則稱此極限值為函數(shù)在上的定積分，記作。既然表示一個具體的數(shù)，那么它只與被積

6、函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的字母無關(guān)，即。由定積分的定義，我們規(guī)定。另外，若函數(shù)曲線在上連續(xù)，且，則表示由曲線，直線與所圍成的曲邊梯形的面積。應(yīng)該說明的是，即使是很簡單的連續(xù)函數(shù)的定積分，如果按定義計算的話也是非常困難的，為此需尋找有效的方法。若函數(shù)在上連續(xù)，是上的任意一點，由定積分存在定理，則是關(guān)于變量的函數(shù)，稱為變上限積分函數(shù)，記為，即=，且（即為的一個原函數(shù)），=。這就為我們求解定積分提供了新的、快速有效的方法：牛頓-萊布尼茲公式：如果是連續(xù)函數(shù)在上的一個原函數(shù)，則=。與求解不定積分相對應(yīng)，解定積分也有換元積分法和分部積分法。定積分的換元積分法：令，當(dāng)從變到時，嚴格單調(diào)地從變到,且

7、在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),此時在上的定積分就化為在上的定積分,即.例如求積分，我們用換元法去根號，同時注意積分的上、下限一起換。設(shè),則.當(dāng)時，;而當(dāng)時，。故=.定積分的分部積分法公式為:例如求積分，其過程為=。（三）符號的含義。它們表示函數(shù)在相應(yīng)無窮區(qū)間上的反常積分，即=,=,（是任意實數(shù)）。當(dāng)極限存在時，稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散。如，由于不存在，所以發(fā)散。又如，由于。所以，。 五、 定積分的應(yīng)用在利用定積分計算平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積時，要按以下步驟進行：畫出圖形（這是關(guān)鍵一步）；由圖形選擇積分公式及積分上、下限；計算定積分。例題1，求由曲線與所圍成的平面圖形的面積。求解過程如下：畫出曲

8、線與所圍成圖形；由圖形選擇積分公式及積分上、下限；并計算定積分 例題2，求由曲線，與軸所圍成的平面圖形的面積。求解過程如下：畫出曲線曲線，與軸所圍成的平面圖形；由圖形選擇積分公式及積分上、下限；并計算定積分：例題3，求由曲線與直線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：畫出曲線與直線所圍成的平面圖形，此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積： 六、 多元函數(shù)微分學(xué)（一）符號；，的含義。設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在取得改變量，而保持不變時，得到一個改變量，如果當(dāng)時，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處對變量的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或。同理，表示函數(shù)在點處對變量的偏導(dǎo)數(shù)，即=。若函數(shù)在內(nèi)

9、的每一點處都有偏導(dǎo)數(shù)，則稱為的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù)。顯然，是偏導(dǎo)數(shù)分別在處的函數(shù)值；求時，只需將的看作常數(shù)，直接對變量求導(dǎo)數(shù)即可；求時，只需將的看作常數(shù)，直接對變量求導(dǎo)數(shù)即可。符號與符號表示函數(shù)求對變量與求偏導(dǎo)數(shù),即=；與=；符號與符號表示函數(shù)求對變量與求偏導(dǎo)數(shù)，即=與=。在此就不再一一舉例，請大家參考教輔資料。（二）符號的含義。設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點取得改變量與，得到一個全改變量。如果可表示為：=。其中與和無關(guān)，是比較高階的無窮小量（），則稱是函數(shù)在點處的全微分，記作（約定=，=），并稱函數(shù)在點處可微。如果函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則.如求函數(shù)的全微分，由

10、于，所以。（三）符號、的含義。設(shè)函數(shù)可微，而和的偏導(dǎo)數(shù)存在，那么復(fù)合函數(shù)對變量與求偏導(dǎo)數(shù)分別為與（復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t）。特別地，如果而，則得全導(dǎo)數(shù)：。例題1，設(shè)，求。這是一個復(fù)合函數(shù)的微分問題，如果我們引入中間變量，并令，則是與的復(fù)合.由復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的法則得：=，=，所以=+。由全微分公式知，若為自變量，則函數(shù)的全微分為；若為中間變量，則函數(shù)=的全微分為，我們又知，。將它們代入整理得：，即無論為自變量還是中間變量，函數(shù)的全微分始終可以表示為的形式，這稱為全微分形式的不變性。同一元函數(shù)類似，利用全微分形式的不變性我們將比較方便地求解：復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的全微分與偏導(dǎo)數(shù)。求復(fù)合函

11、數(shù)的全微分同樣是由外而內(nèi)依次進行，直至取到自變量的微分。例題1，設(shè)，求。我們利用全微分形式的不變性求解。等式兩端取微分得=，合并的同類項得：（這里）。結(jié)論與前面解法一致，并且思路簡單，運算高效。又如函數(shù)的全微分，兩端直接取微分得：。例題2，設(shè)由方程所確定，求.求解如下：兩端直接取微分得，而，那么有，解出得：。同時也得到了：。注意，對于由方程所確定的隱函數(shù)也可利用公式求偏導(dǎo)數(shù)與全微分，即：，。（四）二元函數(shù)的極值。設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對在該鄰域內(nèi)的任何不同于的點，如果都有,則稱函數(shù)在點取得極大值;如果都有,則稱函數(shù)在點取得極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，點稱為極值點。如果函數(shù)在點處可

12、微，且取得極值，則必有：，。這是函數(shù)在點處可微且取得極值的必要條件。也就是說,盡管函數(shù)在點處,但是并不一定是極值。為此有下述判別方法（極值存在的充分條件）：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且,。又設(shè),，。則：當(dāng)時，函數(shù)在點處取得極值，且當(dāng)時為極大值，當(dāng)時為極小值。當(dāng)時，函數(shù)在點處無極值。當(dāng)時，函數(shù)在點處是否有極值不確定，要用其他做法另作討論。例如求函數(shù)的極值。求解如下:求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，;解方程組求駐點，得，即點為駐點。求二階偏導(dǎo)數(shù)并計算其在駐點處的值，。由此計算出,根據(jù)定理給出結(jié)論，由于,從而，函數(shù)在點取得極小值。（五）二元函數(shù)的條件極值。求二元函數(shù)在條件下的極值，稱為條

13、件極值。條件極值問題通常轉(zhuǎn)化為無條件極值問題求解，即，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：，解方程組，解出，點就是函數(shù)在條件下可能取得極值的點的坐標(biāo)。注意：由于是條件極值，所以不能用無條件極值的充分條件來判斷是否為極值、極大值還是極小值。判斷點是否為所給條件的極值點，通?？梢罁?jù)問題的實際意義來判斷：如果所求的點是唯一的，且實際問題存在最大值（或最小值），則所求的點就是極大值點（或極小值點），也就是所給實際問題的最大值點（或最小值點），相應(yīng)的函數(shù)值就是實際問題的最大值（或最小值）。例如問題：把正數(shù)分成兩個數(shù)之和，使它們的乘積最大。求解如下: 設(shè),令，則解得。由于只有唯一解，根據(jù)實際問題，即當(dāng)時，它們的乘積最大，最

14、大值為。 七、 概率論初步若,則表示兩事件的和（事件的并）；表示兩事件的交（事件的積）。注意事件關(guān)系中的幾個關(guān)鍵詞：“恰有一個發(fā)生”有且只有一個發(fā)生；“至少有一個發(fā)生”一個發(fā)生或一個以上都發(fā)生；“或”與“且”表示（或），表示（或）。表示與互不相容；表示與為對立事件；“與相互獨立”A(或B)發(fā)生與否不影響B(tài)(或A)的發(fā)生，即與互不干擾（判定與是否相互獨立，一般不是根據(jù)定義，而是根據(jù)具體的事件用實際經(jīng)驗來判斷）；“”表示的對立事件（或逆事件）。常用公式：（1）；（2）和；（3）隨機變量的數(shù)學(xué)期望：；（4）隨機變量的方差：。（5）還應(yīng)當(dāng)注意隨機變量分布列的性質(zhì)：概率的非負性，；規(guī)范性，。例題1，甲、乙二人獨立地向同一目標(biāo)射擊，擊中目標(biāo)的概率分別為0.8與0.5。求兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)的概率。該題中，由于至少有一人擊中目標(biāo)是指甲擊中目標(biāo)或乙擊中目標(biāo)，因此設(shè)，則,利用概率的加法公式及事件的獨立性，得=0.9。例題2，有