學案2任意角的三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式

1、名師伴你行名師伴你行返回目錄返回目錄 名師伴你行任意角的三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式(1)理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切）的定義.(2)能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ,的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.(3)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1, =tanx.2 cossin名師伴你行 主要作為工具對三角函數(shù)進行恒等變換，考查恒主要作為工具對三角函數(shù)進行恒等變換，考查恒等變形能力等變形能力.題型主要是三角函數(shù)的求值，以及三角函題型主要是三角函數(shù)的求值，以及三角函數(shù)式的化簡數(shù)式的化簡,為研究函數(shù)作基礎(chǔ)，是本編的重點內(nèi)容為研究函數(shù)作基礎(chǔ)，是本編的重點內(nèi)容.返回目錄返回目錄 返回目錄

2、返回目錄 1.三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義設(shè)設(shè)是一個任意角是一個任意角,的終邊上任意一點的終邊上任意一點P(不和原點重合不和原點重合)的的坐標是坐標是(x,y)，它到原點的距離是，它到原點的距離是r(r= 0)，那么，那么(1) 叫做角叫做角的正弦，記作的正弦，記作sin，即，即sin= ;(2) 叫做角叫做角的余弦，記作的余弦，記作cos，即，即cos= ;(3) 叫做角叫做角的正切，記作的正切，記作tan，即，即tan= ;2 22 2y y+ +x xr ry yr ry yr rx xr rx xx xy yx xy y名師伴你行返回目錄返回目錄 (4) 叫做角叫做角的余切，記作的余切

3、，記作cot，即，即cot= ;(5) 叫做角叫做角的正割，記作的正割，記作sec，即，即sec= ;(6) 叫做角叫做角的余割，記作的余割，記作csc，即，即csc= .角角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以 為為自變量自變量,以比值為以比值為 的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)的函數(shù)，它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).2.三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sinsincoscostantany yx xy yx xx xr rx xr ry yr ry yr r角角 函數(shù)值函數(shù)值 |k+ ,kZ2 2R R 名師伴你行返回目錄返回目錄 3.

4、三角函數(shù)在各象限的符號三角函數(shù)在各象限的符號根據(jù)三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)在各象限的符號如表根據(jù)三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)在各象限的符號如表所示所示:可以采用可以采用“一全正，二正弦，三兩切，四余弦一全正，二正弦，三兩切，四余弦,余正割隨余正割隨著正余弦著正余弦”的記憶方法的記憶方法.sin,cscsin,csc+ + +- - -cos,seccos,sec+ +- - -+ +tan,cottan,cot+ +- -+ +- -名師伴你行返回目錄返回目錄 4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式基本關(guān)系式基本關(guān)系式: =1,tan= .補充補充:tan2+1= ,cot2+1= ,

5、cot= ,tancot= ,sincsc= ,cossec= .5.誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式（1）角）角與與+k2(kZ)的三角函數(shù)間的關(guān)系的三角函數(shù)間的關(guān)系cos(+k2)= ;sin(+k2)= ;tan(+k2)= .sin2+cos2 coscossinsin sec2 csc2 sinsin coscos1 1 1 cos sin tan 名師伴你行(2)角角與與-的三角函數(shù)間的關(guān)系的三角函數(shù)間的關(guān)系sin(-)= ;cos(-)= ;tan(-)= .(3)角角與與+（2k+1）(kZ)的三角函數(shù)間的關(guān)系的三角函數(shù)間的關(guān)系sin+(2k+1)= ;cos+(2k+1)= ;tan+(2k

6、+1)= .返回目錄返回目錄 -sin cos -tan -sin -cos tan 名師伴你行(4)角角與與+ 的三角函數(shù)間的關(guān)系的三角函數(shù)間的關(guān)系cos(+ )= ;sin(+ ) = ;tan(+ )= ;cot(+ )= .(5)角角與與-+2的三角函數(shù)間的關(guān)系的三角函數(shù)間的關(guān)系cos(-+ ) = ;sin(-+ )= ;tan(-+ )= ;cot(-+ )= .返回目錄返回目錄 2 22 22 22 22 22 22 22 22 2-sin cos-cot -tan sin cos cot tan 名師伴你行設(shè)設(shè)為第四象限角，其終邊上的一個點是為第四象限角，其終邊上的一個點是P(

7、x,- )，且，且cos= x，求，求sin和和tan. 【分析【分析】若能求出問題中的未知數(shù)若能求出問題中的未知數(shù)x，則由定義，則由定義sin和和tan可求，解題技巧即是設(shè)法建立關(guān)于可求，解題技巧即是設(shè)法建立關(guān)于x的一個的一個方程方程.542名師伴你行返回目錄返回目錄 是第四象限的角，是第四象限的角，x0,又又P點到坐標原點點到坐標原點O的距離的距離r ,由由cos ，得，得 .x= ,r=2 .sin ,tan .2 22 2(-5)(-5)x x 5 5x xx xr rx x2 242x5 5x xx x2 232410225 5- -r ry y31535 5- -x xy y名師伴

8、你行返回目錄返回目錄 容易出錯的地方是得到容易出錯的地方是得到x2=3后，不考慮后，不考慮P點點 所在的象所在的象限，限，x的取值分正負兩種情況去討論的取值分正負兩種情況去討論.一般地，在解此類問一般地，在解此類問題時，可以優(yōu)先注意角題時，可以優(yōu)先注意角所在的象限，對最終結(jié)果作一個合所在的象限，對最終結(jié)果作一個合理的預(yù)測理的預(yù)測.名師伴你行返回目錄返回目錄 已知角已知角的終邊在直線的終邊在直線3x+4y=0上上,求求sin,cos,tan的值的值. 角角的終邊在直線的終邊在直線3x+4y=0上，上，在角在角的終邊上任取一點的終邊上任取一點P(4t,-3t)(t0),則則x=4t,y=-3t,

9、當當t0時時,r=5t,|,|,t t| |5 5(-3t)(-3t)(4t)(4t)y yx x r r2 22 22 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 當當t0時，時，sin= ,cos= ,tan= ;當當t0,A(0, ),cosA=3sinA.又又sin2A+cos2A=1,sinA= ,cosA= .由由cosB= ,得得sinB= .cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= .故故cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=- .212121101010103535410101010返回目錄返回目錄 本題利用單位圓證明了兩角和的余弦公式，同本題利用單位圓證明

10、了兩角和的余弦公式，同時考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知時考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識及運算能力識及運算能力.名師伴你行返回目錄返回目錄 已知已知01; (2)sinOP,cos+sin1.(2)連結(jié)連結(jié)PA,則則SOPA S扇形扇形OPA SOTA,即即 OAMP OA OAAT,即即sintan.212121名師伴你行返回目錄返回目錄 已知已知 x0,sinx+cosx= .(1)求求sinx-cosx的值；的值；(2)求求 的值的值. (1)由由sinx+cosx= 及及sin2x+cos2x=1可可求出求出sinx,cosx的值的值,從而求出從而求出 sinx

11、-cosx 的值的值;另外另外 ,由由 x0,可求出可求出sinx0,從而判定從而判定sinx-cosx的的符號符號,只需求只需求(sinx-cosx)2即可即可.2 51x xsinsin- -x xcoscos2 22 21512 名師伴你行返回目錄返回目錄 (1)解法一解法一:聯(lián)立方程聯(lián)立方程: sinx+cosx= , sin2x+cos2x=1, 由由得得sinx= -cosx,將其代入將其代入,整理得整理得25cos2x-5cosx-12=0. sinx=- cosx= ,(2)由由(1)可求出可求出tanx,而而想法使分子、分母都出現(xiàn)想法使分子、分母都出現(xiàn)tanx即可即可.2 x

12、 xsinsin- -x xcoscosx xsinsinx xcoscosx xsinsin- -x xcoscos2 22 22 22 22 22 2151515354 x0,57sinx-cosx=- .名師伴你行返回目錄返回目錄 解法二解法二:sinx+cosx= ,(sinx+cosx)2= ,即即1+2sinxcosx= ,2sinxcosx=- .(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+ = . 又又 x0,sinx0,sinx-cosx0. 由由可知，可知，sinx-cosx=- .512)51(251252425242

13、5292 57名師伴你行返回目錄返回目錄 (2)由已知條件及由已知條件及(1)可知可知 sinx+cosx= sinx=- sinx-cosx=- , cosx= ,tanx=- .5157535443解得解得825)43(11)43(tan11tan12222 x xcoscosx xsinsin- -x xcoscosx xcoscosx xcoscosx xsinsinx xsinsin- -x xcoscosx xcoscosx xsinsinx xsinsin- -x xcoscos2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2又又名師伴你行返回目錄返回目錄

14、 名師伴你行 (1)方程思想在解決同角三角函數(shù)間的關(guān)系中起著重要方程思想在解決同角三角函數(shù)間的關(guān)系中起著重要的作用的作用,一定要注意其應(yīng)用一定要注意其應(yīng)用. (2)注意注意sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx三者間的相三者間的相互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化,若令若令sinx+cosx=t,則則sinxcosx= .2 21 1- -t t2 22t 返回目錄返回目錄 已知已知sin+cos= ,(0,).求值求值:(1)tan; (2)sin-cos; (3)sin3+cos3.51名師伴你行返回目錄返回目錄 解法一解法一:sin+cos= ,(0,),(sin+cos)2= =1+2si

15、ncos,sincos= 0,cos0,cos0,sin-cos= .(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)= 1+ = .251225495751251212537返回目錄返回目錄 已知已知 ，求下列各式的值：，求下列各式的值：（1） ；（2）sin2+sincos+2.由已知可以求出由已知可以求出tan，再由同角三角函，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式可以求得數(shù)關(guān)系式可以求得sin和和cos，進而求出，進而求出(1)、(2)的的值值.但實際操作中，往往借助題目條件的特殊性來整但實際操作中，往往借助題目條件的特殊性來整體考慮使用條件體考慮使用條件.-1-11

16、1- -tantantantan c co os ss si in n3 3c co os s- -s si in n名師伴你行返回目錄返回目錄 由已知得由已知得tan= .（1）21351213211tan3tan c co os ss si in n3 3c co os s- -s si in n（2）sin2+sincos+2=sin2+sincos+2(cos2+sin2)5131)21(221)21(3221 1a at ta an n2 2t ta an na aa a3 3t ta an na ac co os sa as si in na a2 2c co os ss si i

17、n na ac co os sa aa a3 3s si in n2 22 22 22 22 22 2名師伴你行形如形如asin+bcos和和sincos+ccos2的式子分別稱為關(guān)于的式子分別稱為關(guān)于sin,cos的一次齊次式和二次的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角式的變換常有如上的整齊次式，對涉及它們的三角式的變換常有如上的整體代入方法可供使用體代入方法可供使用.名師伴你行返回目錄返回目錄 已知已知tan =2,求：求：（1）tan(+ )的值；的值；（2） 的值的值.2a4 2 2c co os sa a- -3 3s si in na ac co os sa a6 6s si

18、in na a名師伴你行返回目錄返回目錄 （1）, 22tana. .3 34 4- -2 2a atantan- -1 12 2a a2tan2tantanatana 2 24122713411344t ta an na a- -1 11 1t ta an na a4 4t ta an na at ta an n- -1 14 4t ta an nt ta an na at ta an na a 名師伴你行返回目錄返回目錄 （2）由（）由（1）得）得tan= ,3 34 4- -. .2 2- -) )3 34 4 3(-3(-1 1) )3 34 4 6(-6(-2 2- -3tana3t

19、ana1 16tana6tana2cosa2cosa- -3sina3sinacosacosa6sina6sina67名師伴你行返回目錄返回目錄 化簡化簡:(1)直接利用誘導(dǎo)公式直接利用誘導(dǎo)公式.(2)對對k是偶數(shù)還是奇數(shù)分類討論是偶數(shù)還是奇數(shù)分類討論.名師伴你行Zk,)kcos()1ksin()1kcos()ksin()2()23sin()cos()23sin()2cos( 1)cos(cos)cos()1( 返回目錄返回目錄 【解析【解析】 (1)原式原式 =(2)當當k為偶數(shù)時為偶數(shù)時,記記k=2n(nZ),原式原式=名師伴你行 2sin2cos11cos11cos)cos(coscos

20、)1cos(coscos1cossin)cos(sincos)sin()cos()sin()n2cos()1n2sin()1n2cos()n2sin( 返回目錄返回目錄 名師伴你行當當k為奇數(shù)時，記為奇數(shù)時，記k=2n+1(nZ),原式原式=綜上，原式綜上，原式=-1.1)cos(sincossinsin)cos(cos)sin()1n2cos()11n2sin()11n2cos()1n2sin( 返回目錄返回目錄 (1)應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點是應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點是“函數(shù)名稱函數(shù)名稱”與與“正負正負號號”的正確判斷的正確判斷.求任意角的三角函數(shù)值的問題求任意角的三角函數(shù)值的問題,都可以都可以通過誘

21、導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題,具體步驟為具體步驟為“負角化正角負角化正角”“正角化銳角正角化銳角”求值求值. (2)使用誘導(dǎo)公式要注意三角函數(shù)值在各個象限的使用誘導(dǎo)公式要注意三角函數(shù)值在各個象限的符號符號,如果出現(xiàn)如果出現(xiàn)k的形式時的形式時,需要對需要對k的值進行分類討的值進行分類討論論,以確定三角函數(shù)值的符號以確定三角函數(shù)值的符號.返回目錄返回目錄 已知已知cos(+)=- ,且且是第四象限角是第四象限角,計算計算:(1)sin(2-);(2)21)Zn()n2cos()n2sin()1n2(sin)1n2(sin 名師伴你行【解析【解析】cos(+

22、)=- ,-cos=- ,cos= .又又是第四象限角是第四象限角,sin= .21212123cos12 返回目錄返回目錄 名師伴你行(1)sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin= .(2) 234cos2cossinsin2cossin)sin(sincossin)sin()sin()2n-cos()2nsin()-2n(sin)sin(2n)2n-cos()2nsin(1)(2n-sin1)(2nsin 返回目錄返回目錄 本題首先利用誘導(dǎo)公式把所給兩個等式本題首先利用誘導(dǎo)公式把所給兩個等式化簡化簡,然后利用然后利用sin2+cos2=1,求出求出cosA的值的值,再利用再利用A+B+C=進行求解進行求解.名師伴你行在在ABC中，若中，若sin(2-A)=- sin(-B), cosA=- cos(-B),求求ABC的三內(nèi)角的三內(nèi)角.232返回目錄返回目錄 名師伴你行 sinA=2sinB, 3cosA=2cosB. 2+2得得2cos2A=1,即即cosA= .(1)當當cosA= 時時,cosB= ,又又A,B