最優(yōu)控制問題求解方法綜述5頁

1、最優(yōu)控制問題求解方法綜述最優(yōu)控制問題方法綜述 研究生管理大隊(duì)學(xué)員四隊(duì)燕玉林 115081105018最優(yōu)控制問題方法綜述姓名 單位 學(xué)號(hào) 一、最優(yōu)控制（optimal control）的一般性描述最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心，它研究的主要問題是：根據(jù)已建立的被控對(duì)象的時(shí)域數(shù)學(xué)模型或頻域數(shù)學(xué)模型，選擇一個(gè)容許的控制律，使得被控對(duì)象按預(yù)定的要求運(yùn)行，并使給定的某一性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值。使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。可概括為：對(duì)一個(gè)受控的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)或運(yùn)動(dòng)過程，從一類允許的控制方案中找出一個(gè)最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)在由某個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標(biāo)狀態(tài)的同時(shí)，其性能指標(biāo)值為最優(yōu)。

2、這類問題廣泛存在于技術(shù)領(lǐng)域或社會(huì)問題中。例如，確定一個(gè)最優(yōu)控制方式使空間飛行器由一個(gè)軌道轉(zhuǎn)換到另一軌道過程中燃料消耗最少。最優(yōu)控制理論是50年代中期在空間技術(shù)的推動(dòng)下開始形成和發(fā)展起來的。美國學(xué)者R.貝爾曼1957年動(dòng)態(tài)規(guī)劃和前蘇聯(lián)學(xué)者L.S.龐特里亞金1958年提出的極大值原理，兩者的創(chuàng)立僅相差一年左右。對(duì)最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展起了重要的作用。線性系統(tǒng)在二次型性能指標(biāo)下的最優(yōu)控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。 從數(shù)學(xué)上看，確定最優(yōu)控制問題可以表述為：在運(yùn)動(dòng)方程和允許控制范圍的約束下，對(duì)以控制函數(shù)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為變量的性能指標(biāo)函數(shù)（ 稱為泛函 ） 求取極值（ 極大值或極小值）。

3、解決最優(yōu)控制問題的主要方法有古典變分法（對(duì)泛函求極值的一種數(shù)學(xué)方法）、極大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃。最優(yōu)控制已被應(yīng)用于綜合和設(shè)計(jì)最速控制系統(tǒng)、最省燃料控制系統(tǒng)、最小能耗控制系統(tǒng)、線性調(diào)節(jié)器等。 研究最優(yōu)控制問題有力的數(shù)學(xué)工具是變分理論，而經(jīng)典變分理論只能夠解決控制無約束的問題，但是工程實(shí)踐中的問題大多是控制有約束的問題，因此出現(xiàn)了現(xiàn)代變分理論。現(xiàn)代變分理論中最常用的有兩種方法。一種是動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，另一種是極小值原理。它們都能夠很好的解決控制有閉集約束的變分問題。值得指出的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法和極小值原理實(shí)質(zhì)上都屬于解析法。此外，變分法、線性二次型控制法也屬于解決最優(yōu)控制問題的解析法。最優(yōu)控制問題的研究方法除了

4、解析法外，還包括數(shù)值計(jì)算法和梯度型法。最優(yōu)控制的求解方法包括變分法、極小值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器等等。二、變分法最優(yōu)控制問題是在一定的約束條件下，尋求使性能指標(biāo)達(dá)到極值時(shí)的控制函數(shù)。當(dāng)被控對(duì)象的運(yùn)動(dòng)特性由向量微分方程來描述，性能指標(biāo)由泛函來表示時(shí)，確定最優(yōu)控制函數(shù)（最優(yōu)控制律）的問題，就成了在微分方程約束下求泛函得極值條件問題。變分法是研究泛函極值問題的數(shù)學(xué)方法，可以確定容許控制為開集時(shí)的最優(yōu)控制函數(shù)。對(duì)無約束的最優(yōu)控制，通常用變分法求解；對(duì)有約束的最優(yōu)控制，通常用以變分法為基礎(chǔ)的極小值原理求解。古典變分法只能用在控制變量的取值范圍不受限制的情況。在許多實(shí)際控制問題中，控制函數(shù)的取

5、值常常受到封閉性的邊界限制，如方向舵只能在兩個(gè)極限值范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，電動(dòng)機(jī)的力矩只能在正負(fù)的最大值范圍內(nèi)產(chǎn)生等。因此，古典變分法對(duì)于解決許多重要的實(shí)際最優(yōu)控制問題，是無能為力的。三、極值原理極值原理，是分析力學(xué)中哈密頓方法的推廣。極值原理的突出優(yōu)點(diǎn)是可用于控制變量受限制的情況，能給出問題中最優(yōu)控制所必須滿足的條件。用古典變分法求解最優(yōu)控制問題時(shí)，只有當(dāng)控制向量u(t)不受任何約束，其容許控制集合充滿整個(gè)m維控制空間，用古典變分法來處理等式約束條件下的最優(yōu)控制問題才是行之有效的。然而。在實(shí)際物理系統(tǒng)中，控制向量總是受到一定的限制，容許控制只能在一定的控制域內(nèi)取值，用古典變分法將難以處理這類問題。例如

6、在時(shí)間最優(yōu)控制問題中，最優(yōu)控制的取值正是在控制域方體的角點(diǎn)上跳動(dòng)，這時(shí)的u(t)也不再是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，而只是分段連續(xù)函數(shù)。而在有些問題中，容許控制集合甚至只是控制空間中一些孤立的點(diǎn)，對(duì)這樣的控制問題，古典變分法難以解決。前蘇聯(lián)學(xué)者龐特里亞金等人在總結(jié)并運(yùn)用古典變分法成果的基礎(chǔ)上，提出了極小值原理，成為控制向量受約束時(shí)求解最優(yōu)控制問題的有效工具，最初應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)，以后又推廣用于離散系統(tǒng)。與經(jīng)典變分法相比，極小值原理的重要意義如下：1） 容許控制條件放寬了。2） 最優(yōu)控制使哈密頓函數(shù)取全局極小值。3） 極小值原理不要求哈密頓函數(shù)對(duì)控制的可微性。應(yīng)用條件進(jìn)一步放寬。4） 極小值原理給出了最優(yōu)控制

7、的必要而非充分條件。換而言之，滿足極小值原理的控制是否真能使性能指標(biāo)泛函取最小值還需一步判斷。四、動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一種，同樣可用于控制變量受限制的情況，是一種很適合于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算的比較有效的方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃(dynamic programming)是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解決策過程(decision process)最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。20世紀(jì)50年代初美國數(shù)學(xué)家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優(yōu)化問題時(shí)，提出了著名的最優(yōu)化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉(zhuǎn)化為一系列單階段

8、問題，利用各階段之間的關(guān)系，逐個(gè)求解，創(chuàng)立了解決這類過程優(yōu)化問題的新方法動(dòng)態(tài)規(guī)劃。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，這是該領(lǐng)域的第一本著作。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問世以來，在經(jīng)濟(jì)管理、生產(chǎn)調(diào)度、工程技術(shù)和最優(yōu)控制等方面得到了廣泛的應(yīng)用。例如最短路線、庫存管理、資源分配、設(shè)備更新、排序、裝載等問題，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法比用其它方法求解更為方便。雖然動(dòng)態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時(shí)間劃分階段的動(dòng)態(tài)過程的優(yōu)化問題，但是一些與時(shí)間無關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃(如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃)，只要人為地引進(jìn)時(shí)間因素，把它視為多階段決策過程，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃程序設(shè)計(jì)是對(duì)解最優(yōu)化問題的一種途徑、一種

9、方法，而不是一種特殊算法。不象前面所述的那些搜索或數(shù)值計(jì)算那樣，具有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確清晰的解題方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃程序設(shè)計(jì)往往是針對(duì)一種最優(yōu)化問題，由于各種問題的性質(zhì)不同，確定最優(yōu)解的條件也互不相同，因而動(dòng)態(tài)規(guī)劃的設(shè)計(jì)方法對(duì)不同的問題，有各具特色的解題方法，而不存在一種萬能的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，可以解決各類最優(yōu)化問題。因此讀者在學(xué)習(xí)時(shí)，除了要對(duì)基本概念和方法正確理解外，必須具體問題具體分析處理，以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的技巧去求解。我們也可以通過對(duì)若干有代表性的問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行分析、討論，逐漸學(xué)會(huì)并掌握這一設(shè)計(jì)方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃包括多級(jí)決策問題，離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)規(guī)

10、劃與極小值原理和變分法等。五、應(yīng)用隨著社會(huì)科技的不斷進(jìn)步,最優(yōu)控制理的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，如時(shí)間最短、能耗最小、線性二次型指標(biāo)最優(yōu)、跟蹤問題、調(diào)節(jié)問題和伺服機(jī)構(gòu)問題等。但它在理論上還有不完善的地方，其中兩個(gè)重要的問題就是優(yōu)化算法中的魯棒性問題和最優(yōu)化算法的簡化和實(shí)用性問題。大體上說，在最優(yōu)化理論研究和應(yīng)用方面應(yīng)加強(qiáng)的課題主要有：（1）適合于解決工程上普遍問題的穩(wěn)定性最優(yōu)化方法的研究；（2）智能最優(yōu)化方法、最優(yōu)模糊控制器設(shè)計(jì)的研究；（3）簡單實(shí)用的優(yōu)化集成芯片及最優(yōu)化控制器的開發(fā)和推廣利用；（4）復(fù)雜系統(tǒng)、模糊動(dòng)態(tài)模型的辯識(shí)與優(yōu)化方法的研究；相信隨著對(duì)這些問題的研究和探索的不斷深入，最優(yōu)控制技術(shù)將越來