彈塑性力學(xué)第08章

1、 在第五章的最后我們以圓柱形桿的扭轉(zhuǎn)在第五章的最后我們以圓柱形桿的扭轉(zhuǎn)問題為例來說明空間三維問題的求解過程。問題為例來說明空間三維問題的求解過程。（無體力）（無體力）對(duì)于圓桿扭轉(zhuǎn)：（扭矩對(duì)于圓桿扭轉(zhuǎn)：（扭矩Mz = =MT） 應(yīng)力：應(yīng)力： x= y= z= xy=0 ， IyMTzxIxMTzy位移分量：位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 , K為單位長扭轉(zhuǎn)角。為單位長扭轉(zhuǎn)角。 GIMKT 對(duì)于一般等截面桿扭轉(zhuǎn)對(duì)于一般等截面桿扭轉(zhuǎn)w 0 稱為自由稱為自由扭轉(zhuǎn)，為了求解一般等截面桿自由扭轉(zhuǎn)，參扭轉(zhuǎn)，為了求解一般等截面桿自由扭轉(zhuǎn)，參考圓桿扭轉(zhuǎn)解進(jìn)行假設(shè)考圓桿扭轉(zhuǎn)解進(jìn)行假設(shè)

2、半逆解。半逆解。 對(duì)于一般等截面桿對(duì)于一般等截面桿自由自由扭轉(zhuǎn)，可設(shè)位移分量：扭轉(zhuǎn)，可設(shè)位移分量： u= -Kyz , v= Kxz , （u、v與園桿扭轉(zhuǎn)一致）與園桿扭轉(zhuǎn)一致） w = K (x,y) w不能為零不能為零, , 為為x,y函數(shù)。而函數(shù)。而 (x,y)稱為稱為 扭曲函數(shù)。扭曲函數(shù)。 無體力等截面桿扭轉(zhuǎn)位移表達(dá)式已設(shè)定。無體力等截面桿扭轉(zhuǎn)位移表達(dá)式已設(shè)定。 未知量為：未知量為：K和和 (x,y)。（工程）應(yīng)變分量：（工程）應(yīng)變分量： u= -Kyz , v= Kxz , w= K (x,y) 0,xux0,yvy0,zwz0 xvyuxy)(yxKKyxKxwzuzx)(xyKK

3、xyKywzvzy應(yīng)力分量：應(yīng)力分量： x= y= z= xy=0， )(yxGKzx)(xyGKzy所有物理量均由所有物理量均由K和和 (x,y) 表示。表示。 按位移法求解，基本方程為平衡微分方程按位移法求解，基本方程為平衡微分方程（三個(gè)）。（三個(gè)）。0zyxzzyzx 0)(2222yxGK 或或 2 2 = 0 = 0 兩個(gè)平衡微分方程自然滿足，而第三個(gè)方程兩個(gè)平衡微分方程自然滿足，而第三個(gè)方程為：為：基本方程僅為一個(gè)，求解基本方程僅為一個(gè)，求解 (x,y)的方程。由的方程。由基本方程可見基本方程可見 (x,y)為一個(gè)調(diào)合函數(shù)。為一個(gè)調(diào)合函數(shù)。同時(shí)在基本方程中不出現(xiàn)同時(shí)在基本方程中不出

4、現(xiàn)K。K的的確定當(dāng)然也應(yīng)確定當(dāng)然也應(yīng)通過邊界條件來確定。通過邊界條件來確定。扭曲函數(shù)扭曲函數(shù) (x,y)除了滿足除了滿足 2 2 = 0, = 0,還需還需要滿足邊界條件，要滿足邊界條件，首先考察扭桿側(cè)邊的邊界條件：（主要邊界）首先考察扭桿側(cè)邊的邊界條件：（主要邊界）在側(cè)邊上方向余弦在側(cè)邊上方向余弦 ( (l,m,n)=()=(l,m,0) ) 面力：面力： 0ZYXijjinX00zxxyxnmlX00zyyxynmlY)()(0 xymGKyxlGKnmlZzzyzx滿足滿足 xyoz yxonMT-dxdy 上式也可以用上式也可以用 0)()(xymyxl邊界條件用邊界條件用 (x,y)

5、的偏微分表示。的偏微分表示。 由于由于 dsdydndxxnl),cos(dsdxdndyynm),cos(則則 ymxldndyydndxxn代入側(cè)面邊界條件代入側(cè)面邊界條件 mxlydndyydndxxn在扭桿端面（如在扭桿端面（如z = 0) ): :法線的方向余弦法線的方向余弦 ( (l,m,n)=(0,0,-1)=(0,0,-1) 桿端截面法線方向面力桿端截面法線方向面力 ，滿足；，滿足；0zZ合力為零合力為零0dAXA0dAYAzAMdAyXxY)(合力矩為合力矩為xyoz而在桿端截面面內(nèi)的面力分布不清楚，應(yīng)用圣而在桿端截面面內(nèi)的面力分布不清楚，應(yīng)用圣維南原理，維南原理，在在, ,

6、x,y方向面力分量不清楚方向面力分量不清楚, ,但要求但要求 0dAAzx0dAAzyzAzyzxMdAxy)(上式也可以表示為上式也可以表示為可以證明當(dāng)扭曲函數(shù)可以證明當(dāng)扭曲函數(shù) (x,y)在主在主要邊界上力邊界條件滿足時(shí)，要邊界上力邊界條件滿足時(shí)，則則 和和 自然滿足。見以下：自然滿足。見以下： 0dAAzx0dAAzy()zxAAdAKGy dAx2()KGyxdAx ()()KGxyxxdxdyxxyy()()sKGxy lx m dsxy 利用格利用格林公式林公式0)()(xymyxl 2 2 = 0 = 0 0 而第三個(gè)方程為：而第三個(gè)方程為： zAMdAxyyxyxKG)(22扭

7、矩扭矩MT與與K 和和 (x,y)的關(guān)系。的關(guān)系。 用位移法求解扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為求解扭曲函數(shù)用位移法求解扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為求解扭曲函數(shù) (x,y)和單位扭轉(zhuǎn)角和單位扭轉(zhuǎn)角K。 2 2 = 0 = 0 在在V V上上 在桿側(cè)邊上在桿側(cè)邊上0)()(xymyxl由由求求 (x,y) 當(dāng)當(dāng) (x,y)確定后，利用桿端面條件確定后，利用桿端面條件zAMdAxyyxyxGK)(22求求K 令令 dAxyyxyxGDA)(22扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度 當(dāng)當(dāng) (x,y) 和和K均找到后，則扭桿的位移、均找到后，則扭桿的位移、應(yīng)力均可求出。應(yīng)力均可求出。 作業(yè)：作業(yè)：證明扭曲函數(shù)證明扭曲函數(shù) 能用來求橢圓截能用來求橢圓截面

8、桿面桿 的扭轉(zhuǎn)問題，其中的扭轉(zhuǎn)問題，其中a和和 b 為為橢圓截面的半軸長度，并且扭矩為橢圓截面的半軸長度，并且扭矩為 xyabab222212222byax2233babaGKMz按位移法求解扭轉(zhuǎn)問題要求在按位移法求解扭轉(zhuǎn)問題要求在V V內(nèi)求解調(diào)和方程內(nèi)求解調(diào)和方程 2 = 0, ,其邊界條件其邊界條件 ( ( (x,y) 的微分形式）但能滿足邊界條件調(diào)的微分形式）但能滿足邊界條件調(diào)合函數(shù)合函數(shù) (x,y) 是不易找到的。下面討論按應(yīng)力是不易找到的。下面討論按應(yīng)力法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題基本方程以及應(yīng)力函法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題基本方程以及應(yīng)力函數(shù)法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題的作法。數(shù)法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)

9、問題的作法。mxlyn2.1 2.1 按應(yīng)力法求解方程按應(yīng)力法求解方程 同圓桿扭轉(zhuǎn)類似，設(shè)同圓桿扭轉(zhuǎn)類似，設(shè) x= y= z= xy=0僅存在僅存在 zx(x,y)= xz 和和 zy(x,y)= yz兩個(gè)應(yīng)力分量，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力法的兩個(gè)應(yīng)力分量，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力法的基本方程九個(gè)（三個(gè)平衡和六個(gè)相容方程）基本方程九個(gè)（三個(gè)平衡和六個(gè)相容方程）三個(gè)平衡方程三個(gè)平衡方程： 0,zxz0,zyz0yxzyzx 前兩式自然滿足，剩下一個(gè)控制方程前兩式自然滿足，剩下一個(gè)控制方程 無體力相容方程為：無體力相容方程為： 011,2ijij 由于設(shè)由于設(shè) x= y= z=0， = 0 則相容方程中有四個(gè)

10、自然滿足，僅剩下兩個(gè)則相容方程中有四個(gè)自然滿足，僅剩下兩個(gè)控制方程控制方程 2 2 zx =0 =0 和和 2 2 zy =0 =0按應(yīng)力法求解按應(yīng)力法求解基本方程為三個(gè)基本方程為三個(gè) 0),(),(yyxxyxzyzx 2zx =0 2zy =0邊界條件：邊界條件：在側(cè)邊：方向余弦在側(cè)邊：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0) 面力：面力： ；前兩個(gè)方程滿足；前兩個(gè)方程滿足； 0ZYX第三個(gè)力邊界條件：第三個(gè)力邊界條件：l zx+m zy = 0 在端面：方向余弦在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1) 面力：面力： 滿足。滿足。 0zZ在在 x,y 方向面力應(yīng)用圣維南原理方向面

11、力應(yīng)用圣維南原理0AAzxdAXdA0AAzydAYdAzAzyzxMdAxy)(2.2 2.2 按應(yīng)力函數(shù)按應(yīng)力函數(shù) (x,y)求解求解 設(shè)應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系為設(shè)應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系為 ( , ),zxx yy( , )zyx yx 則應(yīng)力法第一個(gè)基本方程（平衡微分方程）自則應(yīng)力法第一個(gè)基本方程（平衡微分方程）自然滿足。然滿足。常數(shù)常數(shù)C C是什么？是什么？C C 和位移法公式中的和位移法公式中的系數(shù)有什么關(guān)系系數(shù)有什么關(guān)系? ? 將上式代入應(yīng)力法的其它兩個(gè)基本方程，得將上式代入應(yīng)力法的其它兩個(gè)基本方程，得 0)(22yy0)()(22xx 2 = C（泊（泊松方程）松方程） 由應(yīng)

12、力函數(shù)法和位移法可知由應(yīng)力函數(shù)法和位移法可知 ( , )(),zxx yGKyyx( , )()zyx yGKxxy222(1)(1)GKGKx yx y 2GKC 將應(yīng)力函數(shù)將應(yīng)力函數(shù) 代入桿側(cè)邊的邊界條件代入桿側(cè)邊的邊界條件 l zx+m zy = 0 而而 ,dxdyldnds ,dydxmdnds ,zxyxzy代入邊界條件，得代入邊界條件，得0dsdxxdsdyy 0dsd則應(yīng)力函數(shù)在扭桿側(cè)邊應(yīng)該為常數(shù)則應(yīng)力函數(shù)在扭桿側(cè)邊應(yīng)該為常數(shù) : : s =C1 yxonMT-dxdyl zx+m zy = 0 對(duì)于單連域：可取對(duì)于單連域：可取 s = 0 x yS1S0S2對(duì)于復(fù)連域：可取一

13、條邊界線對(duì)于復(fù)連域：可取一條邊界線上上 s為零，而其它邊界為零，而其它邊界 s為非為非零常數(shù)：零常數(shù)： s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3再將再將 (x,y)代入端面上的邊界條件：代入端面上的邊界條件：方向余弦方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力：面力： 滿足。滿足。0zZ在在x,y方向面力應(yīng)用圣維南原理方向面力應(yīng)用圣維南原理0AAzxdAXdA第一、二方程恒滿足。第一、二方程恒滿足。 zxAAdAdxdyy0AAzydAYdA第一個(gè)方程第一個(gè)方程 第二個(gè)方程第二個(gè)方程 ()()0ABdy dxdxy 在在x,y方向面力應(yīng)用圣維南原理方向面力應(yīng)用圣維南原理第三個(gè)方

14、程第三個(gè)方程 ()TAYxXy dAM()()2AxydAxy2()TAsdAxlym dsM ()()zyzxAAxy dAxydAxy 左 yxoMTXY當(dāng)為單連域時(shí)：在當(dāng)為單連域時(shí)：在s上上 s = 02TAMdA當(dāng)為多連域時(shí)：當(dāng)為多連域時(shí)： 2()iTiAsdydxMdACxydsdsds s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,32()TAsdAxlym dsM 2()iTiAsdydxMdACxydsdsds 122mTiiAiMdAC A(Ai為為si圍成的面積。圍成的面積。) ) ()()iiiissCxlym dsCxdyydx (1 ( 1)2iiiCdACA 總結(jié)

15、：總結(jié)： 按應(yīng)力函數(shù)按應(yīng)力函數(shù) (x,y)求解求解, , (x,y)須滿足須滿足 2 =-2KG= C，且且 (x,y)與與MT 之間滿足之間滿足 2TAMdA122mTiiAiMdAC A（單連域）單連域） （多連域）多連域）在柱體在柱體側(cè)邊側(cè)邊 s = 0 （單連域）單連域） si =Ci （多連域）多連域） 當(dāng)當(dāng) k k 和和 (x,y) 由上述方程確定后，可求由上述方程確定后，可求出出 zx、 zy以及應(yīng)變和位移。以及應(yīng)變和位移。 對(duì)于截面形狀比較復(fù)雜的柱體，不管采用位對(duì)于截面形狀比較復(fù)雜的柱體，不管采用位移法還是應(yīng)力法求解扭轉(zhuǎn)問題解答（解析解）是移法還是應(yīng)力法求解扭轉(zhuǎn)問題解答（解析解

16、）是很困難的，而普朗特（很困難的，而普朗特（ProndtlProndtl）在）在19031903年提出年提出了薄膜比擬，它利用薄膜在均勻壓力下的垂度與了薄膜比擬，它利用薄膜在均勻壓力下的垂度與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)在數(shù)學(xué)上的相等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)在數(shù)學(xué)上的相似性，用薄膜來比擬扭桿，它可以幫助我們尋找似性，用薄膜來比擬扭桿，它可以幫助我們尋找扭轉(zhuǎn)問題的解答扭轉(zhuǎn)問題的解答, ,尤其是對(duì)截面較復(fù)雜的扭轉(zhuǎn)可尤其是對(duì)截面較復(fù)雜的扭轉(zhuǎn)可以避開數(shù)學(xué)上的困難，而采用實(shí)際薄膜比擬實(shí)驗(yàn)以避開數(shù)學(xué)上的困難，而采用實(shí)際薄膜比擬實(shí)驗(yàn)測定，形象的獲得一些有價(jià)值的解。測定，形象的獲得一些有價(jià)值的解。 xy

17、ooxzq TTTTTTdydx 一均勻薄膜形狀同扭桿一均勻薄膜形狀同扭桿截面，周邊固定，并使薄膜截面，周邊固定，并使薄膜受均勻微小壓力受均勻微小壓力q q作用，薄膜作用，薄膜將微微凸起，而形成曲面將微微凸起，而形成曲面 z=z(x,y)，薄膜僅承受張力（拉力）薄膜僅承受張力（拉力）T。 下面來尋求薄膜垂度下面來尋求薄膜垂度z=z(x,y) 所應(yīng)滿足所應(yīng)滿足的方程和邊界條件。的方程和邊界條件。xyooxzq TTTTTTdydx 尋求尋求z=z(x,y)應(yīng)滿足的應(yīng)滿足的方程，即求解方程是由薄方程，即求解方程是由薄膜微元膜微元dxdy的的z方向的方向的平衡平衡條件來確定條件來確定( ( F Fz

18、 z = 0 = 0) )。0sinsinsinsin4321qdxdyTdxTdxTdyTdyxztg11sindxxzxzdxxzzxtg2222)(sinyztg33sindyyzyztg2244sinxyooxzq TTTTTTdydx0)()(2222qdxdydyyzyzTdxyzTdxdxxzxzTdyxzTdy整理后，得整理后，得 0)(2222qyzxzT或或 Tqz2 z(x,y) 所應(yīng)滿足的方程。所應(yīng)滿足的方程。 xyooxzq TTTTTTdydx與扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力函數(shù)與扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力函數(shù) (x,y)所應(yīng)滿足方程和所應(yīng)滿足方程和邊界條件相比（邊界條件相比（ 2 =-2KG ，

19、 s = 0 ），）， 與與z之間存在比擬關(guān)系之間存在比擬關(guān)系: :薄膜垂度薄膜垂度z=z(x,y) 所應(yīng)滿所應(yīng)滿足的邊界條件：足的邊界條件：zs= 0（單連域）。單連域）。2GKzq T薄膜垂度薄膜垂度z(x,y)可由實(shí)驗(yàn)測定，再根據(jù)上再可由實(shí)驗(yàn)測定，再根據(jù)上再根據(jù)上式可確定根據(jù)上式可確定 的分布規(guī)律。的分布規(guī)律。在應(yīng)力函在應(yīng)力函數(shù)解扭轉(zhuǎn)問題時(shí)，考慮邊界條件還有數(shù)解扭轉(zhuǎn)問題時(shí)，考慮邊界條件還有2222(2 )TAAGKGKMdAzdAVq Tq T由此式確定比例系數(shù)（單連域）單連域） 扭矩扭矩MT與薄膜垂度所圍成體積的兩倍之間與薄膜垂度所圍成體積的兩倍之間也同樣存在一致的比擬關(guān)系。也同樣存在

20、一致的比擬關(guān)系。22TMGKVq T對(duì)于多連域，對(duì)于多連域， 在孔邊上應(yīng)為常數(shù)，所以在在孔邊上應(yīng)為常數(shù)，所以在薄膜比擬試驗(yàn)中，開孔區(qū)應(yīng)用平行于薄膜比擬試驗(yàn)中，開孔區(qū)應(yīng)用平行于x- y平平面的無重剛性平板來代替。面的無重剛性平板來代替。扭桿剪應(yīng)力：扭桿剪應(yīng)力： 22TzxMGKzzyq TyVy22TzyMGKzzxq TxVx 剪應(yīng)力分量的大小剪應(yīng)力分量的大小與該薄膜垂度上對(duì)與該薄膜垂度上對(duì)應(yīng)點(diǎn)沿垂直方向的應(yīng)點(diǎn)沿垂直方向的斜率成正比斜率成正比 yxsnzyzx扭轉(zhuǎn)截面上任意點(diǎn)總剪應(yīng)力扭轉(zhuǎn)截面上任意點(diǎn)總剪應(yīng)力 （應(yīng)力矢量（應(yīng)力矢量t）數(shù)值和方向確定數(shù)值和方向確定: : 任意點(diǎn)總剪應(yīng)力數(shù)值任意點(diǎn)總

21、剪應(yīng)力數(shù)值2222()()()()2TzxzyMzzVyx可利用薄膜等高線，平行于可利用薄膜等高線，平行于x- y面的平面與薄面的平面與薄膜相截可獲得一系列閉合曲線膜相截可獲得一系列閉合曲線薄膜等高線。薄膜等高線。在等高線上任意點(diǎn)應(yīng)力可沿在等高線上任意點(diǎn)應(yīng)力可沿x,y方向分解，也可沿方向分解，也可沿n,s方方向分解。根據(jù)剪應(yīng)力分量與向分解。根據(jù)剪應(yīng)力分量與薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例: :,2TnMzsVs2TSMznVn 在等高線上在等高線上 , ,所以在等高線上所以在等高線上 0sz0n yxsnzyzx任意點(diǎn)總剪力任意點(diǎn)總剪力 2TSMzVn（等高線切方向）與

22、垂度等高線的垂直方向斜（等高線切方向）與垂度等高線的垂直方向斜 率成正比。率成正比。薄膜等高線為扭桿橫截面上的剪薄膜等高線為扭桿橫截面上的剪 應(yīng)力線。應(yīng)力線。maxmax()2TMzVn發(fā)生在薄膜具有最陡斜率的點(diǎn)處，一般在桿發(fā)生在薄膜具有最陡斜率的點(diǎn)處，一般在桿邊界上。邊界上。 yxsnzyzx截面上的最大剪應(yīng)力截面上的最大剪應(yīng)力 總結(jié)薄膜比擬與桿扭轉(zhuǎn)各物理量之關(guān)系總結(jié)薄膜比擬與桿扭轉(zhuǎn)各物理量之關(guān)系 yzxzzn柱扭轉(zhuǎn)柱扭轉(zhuǎn) (x,y) 2GK Mz zx , zy （等高（等高線方向）線方向）薄膜比薄膜比擬擬z(x,y)q/T 2V, ba yx 采用應(yīng)力函數(shù)解法求扭轉(zhuǎn)問題采用應(yīng)力函數(shù)解法求

23、扭轉(zhuǎn)問題,應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) (x,y) 在域內(nèi)滿足在域內(nèi)滿足方程方程 2 =-2KG （1 1）例題例題1. 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)。橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)。 在邊界上在邊界上滿足方程滿足方程 s = 0 （2） 以及以及 （3 3）AzdAM2由于由于橢圓桿截面方程為橢圓桿截面方程為 01),(2222byaxyxf因此，可設(shè)應(yīng)力函數(shù)因此，可設(shè)應(yīng)力函數(shù) (x,y) 為為) 1(),(2222byaxmyxmf則則 (x,y)自然滿足方程自然滿足方程 s = 0。ba yx代回代回 (x,y) 2222()KGa bmab 22222222(1)()KGa bxyabab再代回（再代回（3 3）式）式 z

24、bbaaMdxdybyaxm ) 1(22222注意注意 432abdAy432badAxabdA，將將 (x,y)代入代入基本方程基本方程 2 2 = =-2KG-2KG ， 得得 再代回（再代回（3 3）式）式 zbbaaMdxdybyaxm ) 1(22222注意注意 32,4aby dA32,4a bx dAabdA得得 abMmz22222233()()zMabm abGKa ba b 2222(1)zMxyab ab 應(yīng)力分量應(yīng)力分量 32abyMyzzxbaxMxzzy32各點(diǎn)總剪應(yīng)力：各點(diǎn)總剪應(yīng)力： 4242222byaxabMzzyzx最大剪應(yīng)力在柱截面邊界上（最大剪應(yīng)力在柱

25、截面邊界上（ ）：）： 12222byax)1 (12222222abbaybaMz設(shè)設(shè)a b，當(dāng)，當(dāng) y=b 時(shí)時(shí) 為最大。為最大。 應(yīng)變應(yīng)變: x=y=z=xy=0， 32abGyMGzzxzxbaGxMGzzyzy32位移：當(dāng)不考慮剛體位移時(shí)位移：當(dāng)不考慮剛體位移時(shí) 223()zMabuKzyzyG a b 223()zMabvKzxzxG a b xybaGbaw3322)(橢圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿縱橢圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿縱向發(fā)生位移。向發(fā)生位移。 例題例題2. 等邊三角形截面（高為等邊三角形截面（高為a）受扭矩）受扭矩Mz 作用，求截面剪應(yīng)力。作用，求截面剪應(yīng)力。 x-a=0ax y03 yx03

26、yx解：對(duì)于單連域，應(yīng)力函數(shù)解：對(duì)于單連域，應(yīng)力函數(shù) s = 0，考慮此原因，設(shè)考慮此原因，設(shè) 時(shí)同橢圓桿扭轉(zhuǎn)一樣，取時(shí)同橢圓桿扭轉(zhuǎn)一樣，取 三角形截面桿的邊界方程為三角形截面桿的邊界方程為 的因子。的因子。 設(shè)設(shè) )3)(3)(yxyxaxm則則 (x,y)自然滿足方程自然滿足方程 s = 0。 2 =-2KG 得得 4ma=-2KG, aGKm2將將 (x,y)代入代入基本方程基本方程 x-a=0ax y03 yx03yx利用利用 AzdAM2或或 zaxxMdxdyyxyxaxm )3)(3)(2033得得 ，則，則 515 32zmMa 515 3()(3 )(3 )2zMxa xy

27、xya 4215 3zmaKMGGa )3)(3)(yxyxaxm應(yīng)力分量為應(yīng)力分量為 yaxMayzzx)(3455)323(2315225yaxxMaxzzy截面上最大剪應(yīng)力：截面上最大剪應(yīng)力： zMa3max2315 y=-b/2 y=b/2 x=a/2 x x=-a/2 y例題例題3. 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)。矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)。 矩形截面矩形截面 (a b) 受扭矩受扭矩Mz作用，應(yīng)力函數(shù)中要求作用，應(yīng)力函數(shù)中要求 s = 0 如果假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為如果假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為 )4)(4()2)(2)(2)(2(2222byaxmbybyaxaxm滿足滿足 s = 0，但，但 2 2 = =-2kG -

28、2kG 不能滿足。不能滿足。 所以直接采用上述所以直接采用上述 s = 0 的假設(shè)式不能作的假設(shè)式不能作為扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù)為扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù). .x yab 利用薄膜比擬，來判斷狹矩形截面的應(yīng)利用薄膜比擬，來判斷狹矩形截面的應(yīng)力函數(shù)特點(diǎn)。力函數(shù)特點(diǎn)。 對(duì)于矩形截面桿扭轉(zhuǎn)對(duì)于矩形截面桿扭轉(zhuǎn)首先考慮首先考慮 a b時(shí)的時(shí)的情況情況, ,情況情況1 1:同樣形狀薄膜周邊固定同樣形狀薄膜周邊固定受均勻壓力作用時(shí)，薄受均勻壓力作用時(shí)，薄膜垂度變化如圖，膜垂度變化如圖，0zx0zx0 xz0 xzozz yxx yab可見垂度曲面沿可見垂度曲面沿x方向很長一段為柱方向很長一段為柱面，在此段面，在此段 ，只是在

29、狹矩形截面兩端部只是在狹矩形截面兩端部 ，但區(qū)域，但區(qū)域很小，近似法忽略兩端影響很小，近似法忽略兩端影響. .0 x=(y) 這樣狹矩形界面扭轉(zhuǎn)這樣狹矩形界面扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 也認(rèn)為也認(rèn)為 應(yīng)滿足基本方程為應(yīng)滿足基本方程為 GKCdyd2222（1） 0 xz0 xzozz yx s = 0 2( )0byy（2） AzdAM2 zbbMdya222（3） x yab由式（由式（1）積兩次分，得）積兩次分，得 212)(CyCGKyy 將上式代入式（將上式代入式（2），得），得 C1= 0 , C2= GKb2/4 = -GK(y2-b2/4) 則則2( )0byy最后將最后將 代入式（代

30、入式（3），得），得 22222()4bbbaGKydy 左 = -GK(y2-b2/4) zbbMdya222332()63zbaGKbaGKM解得解得 33abMGKz則則 )4(3223byabMz應(yīng)力分量應(yīng)力分量36abyMyzzx0zy截面上最大剪應(yīng)力（截面上最大剪應(yīng)力（y= b/2）： 2max3abMzx yab原因是忽略了原因是忽略了 zy（近似的），如不忽略（近似的），如不忽略 zy（很?。Ρ鄞?，產(chǎn)生另一半（很小），但力臂大，產(chǎn)生另一半 Mz/2，按近似計(jì)算，偏于保守。實(shí)際上按近似計(jì)算，偏于保守。實(shí)際上zzxzyMdxdyyx)(x yab將應(yīng)力分量對(duì)截面形心取矩，得將

31、應(yīng)力分量對(duì)截面形心取矩，得2632zzzxMdyabyMydy情況情況2：一般矩形截面扭矩（：一般矩形截面扭矩（a b 且且a b ）: a/2 a/2b/2b/2x y按應(yīng)力函數(shù)求解，按應(yīng)力函數(shù)求解，則則 (x,y)應(yīng)滿足應(yīng)滿足 2 =-2KG b/2 = 0,， a/2 = 0zMdxdy2 (x,y) 和和 K為待定。為待定。 1.將求解將求解 (x,y)的問題轉(zhuǎn)化的問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)調(diào)和函數(shù)為求解一個(gè)調(diào)和函數(shù)F(x,y) 的問題的問題. .考慮在狹矩形截面的應(yīng)力函數(shù)為考慮在狹矩形截面的應(yīng)力函數(shù)為 1= -GK(y2-b2/4)能滿足能滿足 2 2 1 =-2KG =-2KG 和和 1

32、y= b/2 b/2 = 0 = 0 條件，選一條件，選一般矩形截面的般矩形截面的 ( (x,y) ): : = 1 +F(x,y)= -GK(y2-b2/4)+F(x,y)a/2 a/2b/2b/2x y由于由于 (x,y) 滿足滿足 2 2 =-2KG =-2KG， s = 0 , . .因此因此 F(x,y) 需要滿足需要滿足 2 2F= 0= 0 F y= b/2 = 0, F x= a/2 = = GK(y2-b2/4) 323GKabMFdxdyz = -GK(y2-b2/4)+F(x,y)zMdxdy22.根據(jù)根據(jù)F(x,y)為調(diào)合函數(shù)以及滿足對(duì)稱邊界條為調(diào)合函數(shù)以及滿足對(duì)稱邊界

33、條 件，件，F(xiàn)(x,y)亦采用級(jí)數(shù)形式的分離變量函數(shù)。亦采用級(jí)數(shù)形式的分離變量函數(shù)。 即：即：bymbmxChAygxfAyxFmmmmmcos)()(),(3 , 1 Am為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 3、利用邊界條件、利用邊界條件 F a/2 = GK(y2-b2/4) 將將GK(y2-b2/4)展開為展開為 cos(m y/b) 的級(jí)數(shù)，的級(jí)數(shù)， 可將可將 Am 用用 GK 表示。表示。 2sin821332mmGKbbamChAm4.最后利用最后利用 ， 將將GK用用Mz 表示，并可確定應(yīng)力分量表示，并可確定應(yīng)力分量 zx , zy 。 具體過程參看徐芝綸（上冊(cè)）具體過程參看徐芝綸（上冊(cè)）

34、P.330333。323GKabMFdxdyz 薄壁桿件在工程中經(jīng)常碰見，它們可分薄壁桿件在工程中經(jīng)常碰見，它們可分為開口薄壁和閉口薄壁桿件。下面分別討論為開口薄壁和閉口薄壁桿件。下面分別討論它們的計(jì)算方法。它們的計(jì)算方法。5.1開口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)開口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)開口薄壁桿為單連域，其截面可由曲邊等寬開口薄壁桿為單連域，其截面可由曲邊等寬狹長矩形截面或由幾個(gè)直邊等寬狹長矩形截狹長矩形截面或由幾個(gè)直邊等寬狹長矩形截面組成。面組成。 對(duì)于曲邊狹長形截面可近似以等寬的直邊對(duì)于曲邊狹長形截面可近似以等寬的直邊狹長截面代替進(jìn)行計(jì)算。狹長截面代替進(jìn)行計(jì)算。 從薄膜比擬看兩者圍成的體積和最大斜率從

35、薄膜比擬看兩者圍成的體積和最大斜率不會(huì)有多大差別，當(dāng)兩者受相同扭矩時(shí)，兩個(gè)不會(huì)有多大差別，當(dāng)兩者受相同扭矩時(shí)，兩個(gè)柱體的柱體的K 和剪應(yīng)力沒有多大差別。和剪應(yīng)力沒有多大差別。baMbax yM331GKabM 2max3abM36abMyzxbaMbax yM直邊狹長截面剪應(yīng)力計(jì)算式直邊狹長截面剪應(yīng)力計(jì)算式 對(duì)于由幾個(gè)（若干個(gè)）同樣材料的狹矩對(duì)于由幾個(gè)（若干個(gè)）同樣材料的狹矩形截面組成的薄壁桿形截面組成的薄壁桿,其中第其中第 i個(gè)狹矩形截面?zhèn)€狹矩形截面長長ai ，寬，寬bi ，則它應(yīng)承受扭轉(zhuǎn)為：，則它應(yīng)承受扭轉(zhuǎn)為：MM3331iiibGKaM 總的扭轉(zhuǎn)為：總的扭轉(zhuǎn)為： 331iiizbaGKM

36、MMM3M2M1M2M1則則 代回代回 Mi 表達(dá)式表達(dá)式 331iizbaMGK33iiizjjabMMa b第第 i 個(gè)狹矩形截面上的最大剪應(yīng)力為個(gè)狹矩形截面上的最大剪應(yīng)力為zjjiiiiiMbabbaM32max33331iiizbaGKMM331iiibGKaM 5.2閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn)閉口薄壁桿扭轉(zhuǎn) 閉口薄壁桿為多連域，按應(yīng)力函數(shù)求解時(shí)閉口薄壁桿為多連域，按應(yīng)力函數(shù)求解時(shí) 基本方程：基本方程： 2 2 =-2KG =-2KGs0 = 0, si =Ci 0, i=1,2 iSiizAdAACdAMi2222Ai為為si圍成的面積。圍成的面積。 對(duì)于二連域薄壁扭轉(zhuǎn)桿（一個(gè)孔洞）：對(duì)于二連域

37、薄壁扭轉(zhuǎn)桿（一個(gè)孔洞）： 2 2 =-2kG =-2kG s0 = 0, s1 =C1 11112222AdAACdAMszS0s yxS1S0sx yS1對(duì)于薄膜比擬，在外對(duì)于薄膜比擬，在外邊固定，而內(nèi)周用無邊固定，而內(nèi)周用無重剛性平板重剛性平板薄膜垂度方程薄膜垂度方程 2z=-q/T zs0 = 0, zs1 =h AhhAzdAVA22221hqTTxz使薄膜受均勻壓力使薄膜受均勻壓力q后，后，在在S0上：上：z=0,在在S1上：上：z=h.對(duì)于閉口薄壁桿已知：對(duì)于閉口薄壁桿已知： Mz, ，s （壁厚變化）（壁厚變化）. A 求任一點(diǎn)剪應(yīng)力求任一點(diǎn)剪應(yīng)力 s s和和k k : sn而而 AhV22S0s yxS1S0