時(shí)間序列模型的分析課件

1、第五章 時(shí)間序列模型的分析 本章討論時(shí)間序列的基本概念與相關(guān)模型,介紹這些模型的特點(diǎn)、參數(shù)估計(jì)方法和檢驗(yàn)方法.第一節(jié) 時(shí)間序列模型簡介 時(shí)間系列數(shù)據(jù)(time series data)是以時(shí)間順序排列的數(shù)據(jù)序列，是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中的一種常見數(shù)據(jù)形式。圖5-1給出了一個(gè)時(shí)間序列的基本例子(不同年份的 GDP 與財(cái)政收入的時(shí)間序列數(shù)據(jù))。時(shí)間序列模型(time series model) 研究和分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)的模型稱為時(shí)間序列模型，時(shí)間序列方法已成為現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容。 時(shí)間序列模型按時(shí)間序列的特性，分為不同的種類。例如根據(jù)時(shí)間序列的平穩(wěn)性平穩(wěn)性，可分為平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列；而根據(jù)時(shí)間

2、序列中變量的相關(guān)性相關(guān)性，又可分為自回歸模型、移動(dòng)平均模型和自回歸移動(dòng)平均模型等。時(shí)間序列的基本模型 (1)模型的函數(shù)形式； (2)滯后變量的個(gè)數(shù)； (3)誤差項(xiàng)u的相關(guān)性。 一個(gè)時(shí)間序列模型的設(shè)定中，應(yīng)包括三個(gè)要素：),(121tttttuuyyfy(5-1)第二節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型)(tyE2)(tyVar),(),(tskkstyyCovyyCovty 當(dāng)時(shí)間序列 滿足： (1) ， 即均值為常數(shù)； (2) ，即方差為常數(shù) ； (3) ，即協(xié)方差與兩個(gè)時(shí)間相距的長度 有關(guān)，而與時(shí)間的具體位置無關(guān)。則 稱為平穩(wěn)時(shí)間序列，或弱平穩(wěn)序列或協(xié)方差平穩(wěn)序列。 當(dāng)時(shí)間序列的所有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會隨時(shí)間而

3、發(fā)生變化時(shí)，稱為嚴(yán)格平穩(wěn)。本章主要采用弱平穩(wěn)定義。ts ty時(shí)序圖 時(shí)序圖通常由橫軸表示時(shí)間，縱軸表示時(shí)間序列值。根據(jù)時(shí)序圖可以直觀地了解時(shí)間序列的一些基本分布特征。 圖5-1是中國GDP和財(cái)政收入的時(shí)序圖。由于GDP和財(cái)政收入有明顯的遞增趨勢, 所以都不是平穩(wěn)時(shí)間序列。平穩(wěn)時(shí)間序列的意義 傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析通常有如下的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) tymnnnmmyyyyyyyyy212221212111n21myyy21 一般, 時(shí)間序列的每個(gè) 只取得1個(gè)觀察值時(shí), 通常這樣的數(shù)據(jù)是無法進(jìn)行分析的。但由于序列的平穩(wěn)性則可以有效地解決這一問題。例 5-1 一個(gè)人的健康指標(biāo)會隨飲食、休息等因素而變化。若每隔一段時(shí)間

4、(如一個(gè)月) 檢查一次身體，則當(dāng)時(shí)間序列是平穩(wěn)時(shí)，就可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)健康指標(biāo)的均值、方差和協(xié)方差。白噪聲時(shí)間序列(White noise time series)則稱時(shí)間序列 為白噪聲序列，或純隨機(jī)序列。 根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義，白噪音序列是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。 如果時(shí)間序列 滿足如下性質(zhì)： tstCovVarEsttt,0),()3()()2(0)() 1 (2 t一一、移動(dòng)平均過程(MA )1ttty其中 和 為常數(shù)，而隨機(jī)干擾 為白噪聲。(5-3)式 稱為一階移動(dòng)平均過程，記為MA(1)。 移動(dòng)平均過程(moving average process，簡稱MA)是最基本的平穩(wěn)時(shí)間序列模型

5、，最簡單的移動(dòng)平均過程為(5-3)0( t 由于時(shí)間序列 為白噪音序列，則 的均值、方差和協(xié)方差 分別為 MA(1)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) tty1,01,0,)1 ()(),()1 ()()()()(222112211jjjEyyCovVyVEyEjtjtttjtttttttt(5-4)所以MA(1)是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列，并可得相關(guān)系數(shù)1,01,10,1)()(),(2jjjyVaryVaryyCovjttjttj(5-5)q 階移動(dòng)平均過程 q 階移動(dòng)平均過程記為MA (q)itqiitty1(5-6)其中 和 為常數(shù)。同樣可得)0(qiqiiitqiittitqiittVaryVarEyE12211)

6、1 ()()()()(q 階移動(dòng)平均過程qjqjjEyyCovjqiijijqiiqiijtijtqiititjtt,01,)(0,)1 ()(),(2121211(5-7)即MA (q)的方差和協(xié)方差只與滯后期數(shù)q有關(guān)，從而MA(q)也是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列。為了方便, 今后記0)(,),(ryVarryyCovtjjtt無窮階移動(dòng)平均過程 q 階移動(dòng)平均過程可推廣到無窮階移動(dòng)平均過程, 記為MA(), 當(dāng) 絕對收斂(絕對可加)或平方收斂(平方可加)，即則MA()仍為平穩(wěn)時(shí)間序列。002,jjjj(5-9)j二、自回歸過程二、自回歸過程(AR) 自回歸模型(autoregressive mode

7、l, 簡稱AR)是討論時(shí)間序列的現(xiàn)期與其滯后變量間相關(guān)性的模型。 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為p階自回歸模型，簡記為AR(p)titpiityy1(5-10)其中 和 為常數(shù)， 為白噪聲序列，且 ，即過去的序列值與干擾項(xiàng)無關(guān)。)0(pi t)(tityEpi,2, 1,0一階自回歸模型tttyy1221,ttttyyLyLykttkyyLttyL)1(1 最簡單的自回歸模型為一階自回歸過程，簡記為AR(1): 引進(jìn)滯后算子 L ,即 ， 一般 。根據(jù)滯后算子，(5-11)可寫為(5-11)AR模型并非都是平穩(wěn)的，AR(1)平穩(wěn)的充分條件是 。 (5-12)AR(1)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì))(tyE2)(tyVa

8、r),(styyVar 設(shè)AR(1)滿足平穩(wěn)條件，即而 為白噪聲序列。, 僅與 有關(guān) tts 0),()3()()2()() 1 (2stttyyCovyVaryE1 均值)()()(1ttttyEyEyE1)(tyE 根據(jù)假定，由于于是2 方差 根據(jù)假定，有則由此即得AR(1)的平穩(wěn)條件 。2210)()()(ttttyVaryVaryVar220113 協(xié)方差1jj22010jj 對于AR(1)，協(xié)方差有如下遞推公式于是而對于AR(1)，已知得221jj(5-14)AR(1)模型的相關(guān)圖jjjttjttjyVaryVaryyCov0)()(),(7 . 0343. 07 . 049. 07

9、 . 07 . 033221 對于AR(1)模型, 自相關(guān)系數(shù)例如，當(dāng) 時(shí)，則這表明對于平穩(wěn)時(shí)間序列，相隔越遠(yuǎn)，則過去值對現(xiàn)期值得影響越小。圖5-2給出了相應(yīng)的自相關(guān)系數(shù)序列，稱為相關(guān)圖。 平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)的衰減速度很快, 而非平穩(wěn)時(shí)間序列的衰減速度則較慢。(5-15)樣本估計(jì) 對于平穩(wěn)時(shí)間序列, 序列的均值為常數(shù)。表明這時(shí)的每個(gè)隨機(jī)變量 的均值都相等, 即 。從而 成為 的樣本觀察值, 則 的估計(jì)為tyttyE)(, 1( tyt 同樣, 可得協(xié)方差的估計(jì)為), 2nnttyny11而自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)為jntjttjyyyyjn1)(1nttjntjttjyyyyyy121)()(例

10、 1964 1999年我國紗年產(chǎn)量的數(shù)據(jù)如下, 試給出紗年產(chǎn)量的自相關(guān)圖。樣本自相關(guān)圖二階自回歸模型211 二階自回歸模型記為AR(2)假定AR(2)為平穩(wěn)序列，則即ttttyyy2211(5-16)212211)()(ttttyyEyE中心化模型)1 (21ttttyyy)()(2211ttyzttttzzz2211jtz)()()()(2211jttjttjttjttzEzzEzzEzzE0,0)(jzEjtt0,)()()(22jEyEzEttttt 由于AR(2)為平穩(wěn)序列時(shí)， 代入(5-16)記 , 則得中心化AR(2)模型兩邊同乘 后求期望，得(5-17)根據(jù)AR(p)的基本假定A

11、R(2)的方差與協(xié)方差021122221122120112221111222112221120)()()()()()()()()(tttttttttttttttzEzzEzzEzzEzEzzEzzEzzEzE)1)(1)(1()1(212122201,1,121221 對上式分別取 ，得由(5-18)整理得方差從而可得AR(2)的平穩(wěn)條件2, 1 ,0j(5-18)特征方程(characteristic equation)ttttzzz22112211)(LLLAttzLA)(01221zz 例如，對AR(2)的中心化模型記(5-17)(5-19)于是(5-17)可改寫為把(5-19)中的 L

12、 作為變量并用 z 表示，則稱為AR(2)的特征方程。特征根判別 上述用系數(shù) 判別模型的平穩(wěn)性方法稱為平穩(wěn)域判別, 另一種方法則是特征根判別。 例如，AR(2)平穩(wěn)的條件是特征方程的根都落在單位圓之外，即i1,121其中 。 對平穩(wěn)的AR模型，參數(shù)估計(jì)可直接采用OLS 法，估計(jì)量是無偏和一致的。)2 , 1(1izii例ttttyyy2118. 01 . 1118. 0,128. 11 . 118. 0192. 018. 01 . 121221018. 01 . 112zz 檢驗(yàn)AR(2)模型 的平穩(wěn)性。 (1)由于根據(jù)平穩(wěn)域判別，該模型時(shí)平穩(wěn)的 (2)由于特征方程的兩個(gè)根分別為5和10/9=

13、1.11，即兩個(gè)根都大于1，從而根據(jù)特征根判別，該模型平穩(wěn)。 在實(shí)際應(yīng)用中，模型參數(shù)是未知的,從而無法用上述方法判別模型的平穩(wěn)性，下一節(jié)將討論有關(guān)的統(tǒng)計(jì)方法。AR(p)模型階數(shù) p 的確定nknRSS2)ln(AIC(k) AR(p)模型階數(shù) p 通?？捎善韵嚓P(guān)系數(shù)來選擇，也可根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則 (Akaike information criterion ,簡記AIC )來選擇，在假設(shè)模型的階數(shù)為k時(shí)計(jì)算其中RSS為殘差平方和。AIC準(zhǔn)則選擇AIC(k)的最小值所對應(yīng)的正整數(shù) k 為AR(p)模型的階數(shù)。(5-21)AR(2)的自相關(guān)系數(shù)方程 據(jù)(5-18)021121201120110201

14、2101211212111則得自相關(guān)系數(shù)方程2這個(gè)方程組也稱為尤勒沃克方程(yule-walker equation), 通過解該方程組，可得參數(shù) 和 的解。三、ARMA 過程qjjtjpiitityy010,0,10qp 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡記為ARMA (p, q)(5-23)其中 。顯然，當(dāng) q = 0 時(shí)，ARMA (p, q)模型成為AR (p) 模型，而當(dāng) p = 0 時(shí)，ARMA (p, q) 模型就成為 MA (q)模型。所以, ARMA 模型同時(shí)包括自回歸模型和移動(dòng)平均模型，而 AR (p) 模型和 MA (q)模型實(shí)際上是ARMA (p, q) 的特

15、例。 ARMA (p, q) 模型的平穩(wěn)條件0.1221ppLLL 由于 q 階移動(dòng)平均過程是平穩(wěn)的，從而 ARMA (p, q)的平穩(wěn)性完全由自回歸部分的平穩(wěn)性所決定，于是 ARMA (p, q)模型的平穩(wěn)條件是的根都落在單位圓之外。ARMA (p, q) 模型的均值piityE1)(p211qjjtjpiitityy01)( 設(shè)ARMA (p, q)模型滿足平穩(wěn)條件，則均值即于是(5-23)可轉(zhuǎn)換為(5-24)ARMA (p, q) 模型的協(xié)方差qkykt,)()()( )()(01ktqjjtjktpiitikttyyyyyqkqjyEktjt;, 2 , 1,0)()( )()(1kt

16、piitikttyyEyyEpiikik1 (5-24)兩邊同乘 得根據(jù)AR(p)模型的基本假定于是得(5-25)過度參數(shù)化 對給定的樣本數(shù)據(jù)，可能會有多個(gè)可以選擇的模型。在實(shí)際工作中，應(yīng)盡可能采用較簡單的模型，即避免過度參數(shù)化。 例如，對于ARMA(3, 3)模型，若自回歸項(xiàng)和移動(dòng)平均項(xiàng)有相同的特征根，則刪去后就可以減少模型的參數(shù)，ARMA(3, 3)則簡化為ARMA(2, 2)，避免了模型過度參數(shù)化。例 1950-1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄所占比例的數(shù)據(jù)如下1 時(shí)序圖 時(shí)序圖表明北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄占儲蓄存款余額的比例比較穩(wěn)定, 大致在80%左右。2 自相關(guān)圖 序列的自相關(guān)系數(shù)遞減

17、速度很快, 在延遲8項(xiàng)后自相關(guān)系數(shù)在零附近擺動(dòng), 可以認(rèn)為該序列是平穩(wěn)的。3 模型識別 由于認(rèn)為該序列是平穩(wěn)的,從而可擬合 ARMA 模型。又由于自相關(guān)系數(shù)遞減過程相當(dāng)連續(xù), 可認(rèn)為不截尾(拖尾), 應(yīng)選AR 模型。先選 AR(1)、AR(2)和AR(3), 通過比較后,再確定階數(shù)。AR(1)模型AR(2)模型AR(3)模型4 選擇合適模型 由于5071. 0: )3(5099. 0: )2(4844. 0: ) 1 (222RARRARRAR從而可選擇AR(2), 但由于AR(2)中 的系數(shù)不顯著, 最后選擇AR(1)模型, 得17044. 01586.24ttyy第三節(jié) 非平穩(wěn)時(shí)間序列模型

18、 ty ty 當(dāng)時(shí)間序列 不滿足弱平穩(wěn)條件，即 不是弱平穩(wěn)序列，則稱為非平穩(wěn)時(shí)間序列。 平穩(wěn)時(shí)間序列 的均值和方差為常數(shù)，但許多常用的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不具有平穩(wěn)性，而是持續(xù)增大或減小。圖5-3給出了商品零售價(jià)格指數(shù)序列和GDP序列。商品零售價(jià)格指數(shù)序列基本保持平穩(wěn)，但GDP序列持續(xù)上升。這表明僅采用平穩(wěn)時(shí)間序列模型來研究和分析經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是不夠的，還需要研究非平穩(wěn)時(shí)間序列。 ty趨勢平穩(wěn)模型與單位根過程tttytyEt)(tttyy1t 對非平穩(wěn)序列，一般采用如下兩種方法進(jìn)行處理 1、趨勢平穩(wěn)(trend-stationary)模型 這種方法是引入一個(gè)非隨機(jī)的時(shí)間趨勢項(xiàng)，例如于是均值不再是常數(shù)

19、， 但去掉趨勢項(xiàng) ，模型則為平穩(wěn)序列。 2、單位根過程(unit root process) 這種方法是采用單位根過程由于(5-27)的特征方程根為1(稱為單位根)，從而(5-27)是非平穩(wěn)序列(5-26)(5-27)隨機(jī)游動(dòng)過程(random walk process)tttyy1 t 在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，單位根過程是一種最常見的非平穩(wěn)過程。而隨機(jī)游動(dòng)過程是一種典型的非平穩(wěn)序列模型 其中 為白噪聲序列。(5-28)是隨機(jī)游動(dòng)的基本模型，而(5-27)則是一種擴(kuò)展。(5-28)趨勢平穩(wěn)模型與單位根過程的主要區(qū)別,21ttttyttyt1tttyyytytytty (1) 在單位根過程中， 都對 存

20、在影響。而對趨勢平穩(wěn)模型， 只影響 。 (2) 對趨勢平穩(wěn)模型，去掉趨勢項(xiàng) 后模型為平穩(wěn)序列。記即差分后的模型是平穩(wěn)過程，從而單位根過程也稱為差分平穩(wěn)過程。 稱為 的一階差分。對于單位根過程(5-29)一、非平穩(wěn)時(shí)間序列簡介ty tzztttytttzzyy11,0,000zytizittiyitzy11,tttezaay1000atizitiyitttazaye1111 對于非平穩(wěn)序列，例如隨機(jī)游動(dòng)序列，經(jīng)典回歸分析方法不再適用。 假定 和 是兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)游動(dòng)序列，即為了方便，設(shè) 。則 若采用線性回歸模型 不妨設(shè) ，于是(5-30)(5-31)誤差項(xiàng)的方差22121211)()()(z

21、ytizitiyittatVaraVareVar 根據(jù)(5-31)，誤差項(xiàng)的方差即誤差項(xiàng)方差與 t 有關(guān)，會隨 t 的增加而無限增大。由于存在異方差，相應(yīng)的 t 檢驗(yàn)和 F 檢驗(yàn)不再適用。 這種具有單位根過程的非平穩(wěn)序列時(shí)的回歸分析，也稱為偽回歸(spurious regression)。例5-3 tz)14. 2()39. 9(2757. 00571. 4ttzy0,010aa tytytz 設(shè) 和 是互不相關(guān)的隨機(jī)游動(dòng)過程(圖5-4)，采用(5-30)的線性回歸模型，有T 檢驗(yàn)顯著，即認(rèn)為 。 而這與 與 不相關(guān)矛盾。圖5-5表明誤差項(xiàng)很可能是非平穩(wěn)的，而這時(shí)的 t 統(tǒng)計(jì)量不再服從 t 分

22、布。 例5-3說明 和 雖然不相關(guān)，但偽回歸卻得到了相反的結(jié)果。因此，在時(shí)間序列分析時(shí)，應(yīng)重視偽回歸問題。tytz時(shí)間序列的單積性)0( Itttyxz 如果時(shí)間序列 ，經(jīng)過 i 次差分才成為平穩(wěn)時(shí)間序列, 稱 為 i 階單積序列，記為I(i)，簡記為 。從而平穩(wěn)時(shí)間序列可稱為 0 階單積序列，記為 。 例 5-3 中的時(shí)間序列 和 都只需一次差分就可以成為平穩(wěn)時(shí)間序列，從而都是一階單積序列，記為 。 若ARMA (p, q)過程為 i 階單積序列，記為ARIMA (p, i, q)。 若時(shí)間序列 是 和 的線性組合，即ty) 1 ( Ity)(iIyitytztytztx設(shè) , , 且 則

23、。)( jIxt)(kIyt,jk )(kIzt二、單位根時(shí)間序列的檢驗(yàn) 在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，最常見的非平穩(wěn)序列就是單位根過程。因此，最常見的非平穩(wěn)序列檢驗(yàn)就是單位根檢驗(yàn)。 有一些很平穩(wěn)的序列，可以通過時(shí)間序列圖做出判斷，但對復(fù)雜的時(shí)間序列，則應(yīng)采用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法做出判斷。三種模型tttyy1tttyay1ttttyay1t 考慮如下的三種模型(5-33)是一個(gè)簡單的隨機(jī)游動(dòng)模型，(5-34)則帶有移動(dòng)量(截距)a, 而(5-35)還帶有趨勢項(xiàng) 。(5-33)(5-34)(5-35)迪基富勒(Dickey-Fuller)檢驗(yàn)(簡稱DF檢驗(yàn))0ty0:0H)(/st tt0H 對(5-33)、(5-3

24、4)和(5-35)，若 ，則 存在單位根。因而，是否存在單位根可歸結(jié)為檢驗(yàn)：對模型(5-33)、(5-34)和(5-35)，先采用OLS求得 ，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 (一般稱 統(tǒng)計(jì)量 )，查DF檢驗(yàn)的 t 分布表得臨界值 （三個(gè)模型的臨界值是不同的） 當(dāng) ，接受 ，認(rèn)為序列存在單位根； 當(dāng) ，拒絕 ，認(rèn)為序列不存在單位根。0H檢驗(yàn)000:0:0:0HaHaH21,)()(knRSSRSSRSSi非限制非限制限制3 對如下的原假設(shè)其中 為限制條件的個(gè)數(shù)，n 是樣本量，而 k 表示非限制模型中的系數(shù)個(gè)數(shù)，于是n - k 為非限制模型的自由度。查DF檢驗(yàn)的 分布表可得臨界值 (三個(gè)模型的臨界值是不同的)。檢驗(yàn)

25、統(tǒng)計(jì)量分別為 和 。且(5-36)拓展迪基富勒檢驗(yàn)(簡記ADF檢驗(yàn))tpiitityy1tpiitittyyy2110:0H)(/st DF檢驗(yàn)設(shè)定的三種模型都是一階自回歸序列，而對于多階自回歸序列，則需對模型進(jìn)行整理轉(zhuǎn)化?？紤] p 階自回歸模型(5-37)可轉(zhuǎn)化為如下拓展模型對(5-38)可采用DF檢驗(yàn) 。也可對模型增加截距項(xiàng)或趨勢項(xiàng)。ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ，并采用DF檢驗(yàn)的臨界值。(5-38)例 利用1970至1991年期間美國的GDP數(shù)據(jù)說明DF檢驗(yàn)。 1 帶有移動(dòng)量的隨機(jī)游動(dòng)模型帶有移動(dòng)量隨機(jī)游動(dòng)模型的DF檢驗(yàn)0)2192.0()1576.1 (001368.02854.28:01Hyyt

26、t58. 289. 251. 31 . 005. 001. 0)01. 0,05. 0,1 . 0(,2192. 0t查DF統(tǒng)計(jì)量分布表得由于從而接受 , 認(rèn)為GDP序列存在單位根。0H2 帶有移動(dòng)量和線性時(shí)間趨勢量的隨機(jī)游動(dòng)模型帶有移動(dòng)量和線性時(shí)間趨勢量隨機(jī)游動(dòng)模型的DF檢驗(yàn)0)6253.1()6109.1 ()8406.1 (06032.04776.19060.188:01Httytt15. 345. 304. 41 . 005. 001. 0)01. 0,05. 0,1 . 0(,6253. 1t查DF統(tǒng)計(jì)量分布表得由于從而接受 , 仍認(rèn)為GDP序列存在單位根。0H第四節(jié) 向量自回歸模型

27、tptpttteyyyy22110ty1n 把自回歸模型拓展到向量，稱為向量自回歸模型(vector autoregression model, 簡稱VAR模型)。向量自回歸模型非常適合于研究各種變量之間的關(guān)系, 基本形式為(5-42)其中 為 向量，即包含n個(gè)變量， 。(5-42)常稱為VAR模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，可認(rèn)為是結(jié)構(gòu)模型的簡約型。 本節(jié)假定(5-42)中 都是平穩(wěn)序列，分別討論VAR模型的識別、估計(jì)和檢驗(yàn)以及一些重要的應(yīng)用。te),0(Nty 例 5-4 設(shè)雙變量自回歸模型ttttttttttzyyzzyzy2122121212011121111210t 1t2 (5-43)(5-44)

28、其中 和 為白噪聲且不相關(guān)。(5-43)和(5-44)往往建立在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的基礎(chǔ)上，常稱為結(jié)構(gòu)型。通過變換，可將結(jié)構(gòu)型轉(zhuǎn)換為簡約型。記則(5-43)和(5-44)可聯(lián)合表示為從而簡約型為tttttttttzyxBBzyxA2111122211211201002112,11tttBxBAx10tttexx110(5-45)(5-46)其中 。ttAeBABA111010,一、向量自回歸模型的識別與估計(jì)021tztztzty 根據(jù)模型識別方法，例5-4的模型不可識別，從而不能由簡約型參數(shù)估計(jì)值給出結(jié)構(gòu)型參數(shù)的估計(jì)值。 若 ，則tzty(5-47) 和 (5-48) 成為遞歸模型。即 (5-48)

29、只包含一個(gè)內(nèi)生變量 ，其余都是前定變量，而(5-47)包含兩個(gè)內(nèi)生變量，其中 為前一個(gè)方程的內(nèi)生變量。這種遞歸模型的內(nèi)生變量之間并不相互影響，而只是單向影響。例如(5-47)和(5-48)表明 影響 ，而 不影響 。tttttttttzyzzyzy22221212011121111210(5-47)(5-48)遞歸模型的參數(shù)估計(jì) 根據(jù)遞歸模型(5-47)、(5-48), 得簡約型模型ttttttttezyzezyy212112120111211011(5-49)(5-50)其中即(5-50)中系數(shù)與(5-48)完全相同。 對于遞歸模型, 各方程可分別采用OLS估計(jì)。tttttttttAeeeb

30、ABA221212112121222122121221121122211211101222112111202012102010120120100101101101似乎不相關(guān)回歸模型(簡稱SUR模型)222211)(,)(tteVareVart1 對簡約型模型(5-49)和(5-50), 記由于 和 不相關(guān), 得(5-51)t2即協(xié)方差矩陣221222121212222222122121211)(),()()()()(ttttttttttaEeeCovVareVarVareVar因而, 每個(gè)方程的誤差項(xiàng)都不相關(guān), 但不同方程之間的誤差項(xiàng)相關(guān), 這種模型稱為似乎不相關(guān)回歸模型( seemingly unrelated regression model), 即SUR模型。22221222122221221aaaSUR模型的參數(shù)估計(jì) 對SUR模型, 有兩種參數(shù)估計(jì)方法。 (1) 廣義最小二乘估計(jì)(GLS估計(jì)): 當(dāng)協(xié)方差矩陣末知時(shí), 則需要先估計(jì)協(xié)方差, 即采用可行廣義最小二乘估計(jì)(FGLS估計(jì))。 (2)最大似然估計(jì)(ML估計(jì)): 由于VAR模型存在滯后變量, 在采用ML估計(jì)時(shí), 似然函數(shù)是在以前的 p 個(gè)觀察值(相當(dāng)于解釋變量觀察值)條件下, 其余觀察值(相當(dāng)于被解釋變量觀察