選修4-1極坐標與參數(shù)方程學(xué)生版

1、極坐標與參數(shù)方程知識導(dǎo)航1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換的作用下,點P(x,y)對應(yīng)到點,稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2.極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極

2、坐標設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標,記作.一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任意實數(shù).特別地,當點在極點時,它的極坐標為(0, )(R).和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標表示;同時,極坐標表示的點也是唯一確定的.3.極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是,極坐標是(),于是

3、極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式在一般情況下,由確定角時,可根據(jù)點所在的象限最小正角.4.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點,傾斜角為的直線(1)(2)過點,與極軸垂直的直線過點,與極軸平行的直線注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標滿足方程.二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲

4、線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個允許值,由方程組所確定的點都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個與參數(shù)的關(guān)系,例如,把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問

5、題，關(guān)鍵在于適當?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設(shè)，則。這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標準方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點在軸上的橢圓的標準方程是其參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角

6、和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當時，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標準議程為其參數(shù)方程為，其中焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段的數(shù)量，當點在上方時，0；當點在下方時，0；當點與重

7、合時，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點，直線向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點的坐標，其單位長度與原直角坐標系中的單位長度相同。典型例題講解及思維拓展題型一、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程例：已知圓C的圓心是直線與軸的交點，且圓C與直線相切，則圓C的方程為 【變式】：1、已知橢圓E的中心是坐標原點，一個焦點是直線與軸的交點，一個頂點在直線上，則橢圓E的方程為 2.北京9直線為參數(shù))與曲線為參數(shù))的交點個數(shù)為_。 3.在平面直角坐標系中，以坐標原點為幾點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知直線上兩點的極坐標分別為，圓的參數(shù)方程為參數(shù)）。（）設(shè)為線段的中點，求直線的平面直角坐標方程；（）判斷直線與圓的位置

8、關(guān)系。4. 在平面直角坐標系中，曲線和的參數(shù)方程分別為是參數(shù)） 和是參數(shù)），它們的交點坐標為_.5.在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 已知射線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為 .題型二、極坐標與直角坐標的互化例： 在極坐標系中，由三條直線，圍成圖形的面積是_. 【變式】：1. 在極坐標系中，直線與圓相交于A、B兩點，C為圓心，則三角形ABC的面積是_.2.（安徽13）在極坐標系中，圓的圓心到直線的距離是 3. 直線與圓相交的弦長為 4。設(shè)點的極坐標為，直線過點且與極軸所成的角為，則直線的極坐標方程為 6極坐標方程分別為和的兩

9、個圓的圓心距為 7已知直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），圓的極坐標方程為，則直線與圓的位置關(guān)系為 .8.在極坐標系中，圓上的點到直線的距離的最小值是 .題型三、參數(shù)方程與極坐標方程的應(yīng)用例： 以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位。已知直線的極坐標方程為，它與曲線（為參數(shù)）相交于兩點A和B，則|AB|=_【變式】：1. 以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位。已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則曲線的中心（圓心）到直線的距離為_2. 已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系

10、，直線的參數(shù)方程.（）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（）設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點為，求的最小值.3在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為（I）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；（II）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值拔高強化1.（2013·安徽高考理科·7）在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為 （ ）A. B.C. D.2.（2013·江西高考理科·15

11、）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為_.3.（2013·北京高考理科·9）在極坐標系中，點(2，)到直線sin=2的距離等于 4. （2013·湖南高考理科·9）在平面直角坐標系中，若右頂點，則常數(shù) .5.（2013·廣東高考理科·14）已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在點處的切線為，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則的極坐標方程為_.6.（2013·廣東高考文科·14）已知曲線的極坐標方程為以極點為原點，極軸為軸

12、的正半軸建立直角坐標系，則曲線的參數(shù)方程為 7. （2013·湖北高考理科·16）在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù),a>b>0),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為 (m為非零數(shù))與=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為.8. （2013·陜西高考理科·15）如圖, 以過原點的直線的傾斜角為參數(shù), 則圓的參數(shù)方程為 .9. （2013·湖南高考文科·11）在平面直角坐標系xOy中，若直線（s為參數(shù)

13、）和直線（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為_10. （2013·重慶高考理科·15）在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系若極坐標方程為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于、兩點，則 11.(2013·天津高考理科·T11)已知圓的極坐標方程為=4cos,圓心為C,點P的極坐標為,則CP=.12. （2013·陜西高考文科·15） 圓錐曲線 (t為參數(shù))的焦點坐標是 .課后作業(yè)(高考題初涉)1.（1）已知點c極坐標為，求出以C為圓心，半徑r=2的圓的極坐標方程（寫出解題過程）； （2）P是以原點為圓心，r=2的圓上的任意一點，M是PQ中點，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方程。2.已知曲線的極坐標方程是以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點是曲線上的動點，點是直線上的動點，求|的最小值3.（2009學(xué)年海南?。┮阎€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）曲線，是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由4.已知直線 （I）求直線l的參