卡爾曼濾波技術(shù)

1、AOO1QWUH2題目 課程 學(xué)院 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)年 月 日卡爾曼濾波技術(shù)摘要：卡爾曼濾波在信號(hào)處理與系統(tǒng)控制領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，U前，正越來越廣泛 地應(yīng)用于計(jì)算機(jī)應(yīng)用的各個(gè)領(lǐng)域。為了更好地理解卡爾曼濾波的原理與進(jìn)行濾波 算法的設(shè)計(jì)工作，主要從兩方面對(duì)卡爾曼濾波進(jìn)行闡述：基本卡爾曼濾波系統(tǒng)模 型、濾波模型的建立以及非線性卡爾曼濾波的線性化。介紹了卡爾曼濾波器設(shè)計(jì) 的一般步驟，最后對(duì)卡爾曼濾波的應(yīng)用做了簡單介紹。關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波；系統(tǒng)模型；線性化1卡爾曼濾波研究背景濾波是一類統(tǒng)計(jì)估訃向題，它的產(chǎn)生是因?yàn)閷?shí)際的需要。人們?yōu)榱肆私庀到y(tǒng) 的狀態(tài)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行觀察，得到一系列數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)一般都帶有干擾噪聲

2、。把 噪聲過濾掉，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)給出定量的估訃，這樣的工作稱為濾波。1960年，卡爾曼卡爾曼引進(jìn)狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型，對(duì)隨機(jī)序列提 出了無偏最小方差遞推濾波算法：宀，這就是我們今天稱之為卡爾曼濾波的方法。 卡爾曼濾波應(yīng)用廣泛且功能強(qiáng)大，它可以佔(zhàn)計(jì)信號(hào)的過去和當(dāng)前狀態(tài)，其至能估 計(jì)將來的狀態(tài)，即使并不知道模型的確切性質(zhì)。1961年卡爾曼和布西乂把這一結(jié)果推廣到連續(xù)隨機(jī)過程，并對(duì)系統(tǒng)的可控 性、可觀測性、穩(wěn)定性分析、誤差分析、靈敬度分析都進(jìn)行了討論，卡爾曼濾波 器本質(zhì)上是最小二乘法和維納一一柯爾莫哥洛夫?yàn)V波器的發(fā)展和推廣，隨機(jī)序列 卡爾曼濾波實(shí)際上就是高斯估訃遞推形式，而定常系統(tǒng)平穩(wěn)卡爾曼濾波就

3、是多維 維納濾波，所不同的是，卡爾曼濾波引進(jìn)了狀態(tài)空間法，得到了佔(zhàn)計(jì)遞推算法， 而且得到了估訃誤差協(xié)方差的遞推算法:7。這類遞推算法實(shí)時(shí)性強(qiáng)，存貯量小， 估訃性能好?？柭鼮V波對(duì)非常廣泛的系統(tǒng)都有適應(yīng)能力（例如多維、非平穩(wěn)等 等），六十年代后，蓬勃發(fā)展的航空空間事業(yè)，軍事技術(shù)和工業(yè)技術(shù)，正需要這 種理論解決一系列困難的問題。實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波器的先決條件之一是數(shù)字訃算機(jī)。 六十年代后，計(jì)算機(jī)技術(shù)不斷發(fā)展，提供了卡爾曼濾波的必要設(shè)備。需要的增長， 理論的出現(xiàn)，設(shè)備的保證，使卡爾曼濾波技術(shù)受到很大重視。并廣泛應(yīng)用到各個(gè) 領(lǐng)域?？柭鼮V波技術(shù)本身也有了很大發(fā)展。本質(zhì)上來講，濾波就是一個(gè)信號(hào)處理與變換（去

4、除或減弱不想要的成分，增 強(qiáng)所需成分）的過程，這個(gè)過程既可以通過硬件來實(shí)現(xiàn)，也可以通過軟件來實(shí)現(xiàn)。 卡爾曼濾波屬于一種軟件濾波方法，其基本思想是：以最小均方誤差為最佳估計(jì) 準(zhǔn)則，釆用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀 測值來更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出當(dāng)前時(shí)刻的佔(zhàn)計(jì)值，算法根據(jù)建立的系統(tǒng)方 程和觀測方程對(duì)需要處理的信號(hào)做出滿足最小均方誤差的估訃。2卡爾曼濾波器的方法和特點(diǎn)我們從一個(gè)雷達(dá)跟蹤飛機(jī)的簡單例子出發(fā)，介紹卡爾曼濾波技術(shù)的方法和特點(diǎn)“。設(shè)飛行體在空間作等加速度飛行，用x(t), f(T), X(t)分別表示飛行體 在t時(shí)刻的位置、速度和加速度?，F(xiàn)在只考慮X(t)在

5、一個(gè)序列采樣時(shí)間t0 < ti < -< tfc <上的數(shù)值，并設(shè)：4+1 ® = At (i = 0 1, -, k,令X(k) = X(tfc),于是有：X(k) = X(k -1)+ X(k - 1) + 一 l)At2X(k) = X(k -1)+ X(k 一 l)AtX(fc) = X(k - 1)用矢量符號(hào)：/X(t)x& = xm把上式寫成狀態(tài)方程為：x(t) = 0(fc, k - 1) X(k - 1)其中：At At2 1 乂 0 1/如果考慮大氣擾動(dòng)的影響，飛機(jī)運(yùn)動(dòng)實(shí)際上不是嚴(yán)格的等加速度運(yùn)動(dòng)，而是帶有 某種干擾，則狀態(tài)方程成了：

6、x(t) = 0(k, k-l)-X(k-l) + UZ(k-l)其中，W(/c - 1)是干擾噪聲序列。假如我們用雷達(dá)跟蹤飛機(jī)位置，在采樣時(shí)刻S的序列上進(jìn)行測量，得到帶有 隨機(jī)量測噪聲的量測值序列Z(S)= Z(k),而Z(k)和狀態(tài)X(/c)有如下關(guān)系：Z(/c) = H X(k) + V(k)其中，H= (100), V(k)是測量方式所確左的噪聲序列。我們要通過一串帶有噪聲的軌線量測值Z(k)來估計(jì)飛機(jī)的狀態(tài)X(k)o 這是一個(gè)很典型的濾波問題。在一般離散線性系統(tǒng)里，系統(tǒng)模型如下：X（k） = 0（匕 k - l）X（k - 1） + r（k - l）Vtz（k - 1）Z(k) =

7、H X(/c) + V(k)這里，X(k)是?i維狀態(tài)向量，Z(Q是m維觀測向量，“伙)是S維隨機(jī)輸入白 噪聲向量，均值為0,方差為Q(k),即：EVK(k) = 0EWk)WT(j)= Qk)8kj這里U(k)是m維測量口噪聲向量，均值為0,方差為R(k),即：EU(") = 0E卩伙)"(/) = Rgkj注意，5燈是克朗內(nèi)克函數(shù)，“的、*")、X(0)互不相關(guān)。0(4 * 1)、H(k)、r(k - 1)分別是nxm. mxn. nxS維矩陣?？柭鼮V波就是在上述 統(tǒng)汁假設(shè)前提下，用一整套遞推線性濾波公式，從觀測值Z(l),，Z(k)出發(fā), 對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)X(

8、k)做出最佳濾波值X(k)o f(k)是無偏最小方差估計(jì)，即：E(X -X)= 0E(X=min下面介紹這種濾波方法的思路：若以時(shí)刻- 1)的最佳的濾波值X(k - 1)已經(jīng)得到，則可以證明基于觀測信息Z(l),，Z(k - 1)對(duì)X(k)所做的無偏最小方程估計(jì)應(yīng)為：0(k) = 0(k, k - l)X(/c - 1)(1)根據(jù)0(町去預(yù)測tk時(shí)刻所獲得的觀測信息應(yīng)為：H(K)0(K.K l)£(k l)它表示了基于Z，Z(k - 1)對(duì)Z(k)的一個(gè)(最小方差意義上的)預(yù)測值。 在S時(shí)刻獲得觀測值Z(k)后，差值：Z(k) 一 H(K)0(K.K - 1) X(k - 1)反映了

9、觀測和預(yù)測的很多信息，稱為創(chuàng)新量。把它乘上相應(yīng)的濾波增益K(k), 修正預(yù)測估計(jì)值，得到g時(shí)刻狀態(tài)的最佳估計(jì)值亡伙)，即：f(/c) =0(k) + K(k)Z(/c) H(K)0(k)(2)濾波增益K(k)選取的根據(jù)是要使佔(zhàn)計(jì)達(dá)到無偏最小方差，可山下式計(jì)算得到：其中：P0)=0(b k-l)P(fc- l)0T(k, fc - 1) + T(k - l)Q(k - l)r(k - 1) (4)P(k) = I- K(k)H(k)P，(k)(5)給定初值X(0), P(0)后，根據(jù)觀測值Z,Z,，Z(町，,通過計(jì) 算公式(1) (5),就可以得到卡爾曼濾波值f，教1),，亡，和 相應(yīng)的估計(jì)協(xié)方

10、差矩陣P，P(2),，P(k),。公式(1) (5)稱為卡爾曼濾波遞推算法。圖一表明了計(jì)算機(jī)下卡爾曼濾波的計(jì)算流程：Z(k)圖1從上面分析可看出，卡爾曼濾波器方法有以下特點(diǎn)：第一，它提供了一種無 偏最小方差估計(jì)，它是一種最佳佔(zhàn)計(jì)；第二，濾波器的一套算式是遞推算法,非 常適合計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)計(jì)算。計(jì)算F(k)只用到Z(k)和X(lk-l)，而Z(k)用過之后 不必存貯，這樣可大大減少存貯量。對(duì)實(shí)際系統(tǒng)要設(shè)計(jì)一個(gè)成功的卡爾曼濾波器，一般需要做這樣一些工作比: 把實(shí)際系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型，設(shè)訃相應(yīng)的濾波器;用數(shù)字訃算機(jī)模擬實(shí)際系統(tǒng)和 濾波方程，進(jìn)行模擬試驗(yàn);進(jìn)一步簡化和修改濾波器，以適應(yīng)實(shí)際的操作條件和 實(shí)

11、時(shí)處理的各類約束，再放到數(shù)字計(jì)算機(jī)上模擬試驗(yàn)實(shí)施到實(shí)時(shí)計(jì)算機(jī)試驗(yàn);若 裝有濾波器的實(shí)時(shí)系統(tǒng)能滿足性能要求，則最后裝訂，否則返回，重復(fù)上述丄作。具體步驟分述如下：3.1確定系統(tǒng)的模型根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的充分了解，建立一個(gè)真實(shí)系統(tǒng)的完整模型，并用狀態(tài)空間描述 之。這里包括選擇狀態(tài)變量，觀察量，建立系統(tǒng)的動(dòng)力方程和觀察方程，以及建 立誤差的統(tǒng)訃模型。同時(shí)建立地面汁算機(jī)模擬試驗(yàn)用的“模擬器”。這些“模擬 器”實(shí)質(zhì)上是一套計(jì)算機(jī)程序。它模擬了噪聲發(fā)生，傳感器信息產(chǎn)生及傳遞過程 以及研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)等等。模擬器是濾波器模擬分析的工具和鑒別標(biāo)準(zhǔn)。3. 2建立完整濾波器及模擬試驗(yàn)根據(jù)系統(tǒng)的完整模型建立一個(gè)最佳的完整濾波

12、器。它包括了所有的誤差源。 其維數(shù)一般較高。完整濾波器用來反映一個(gè)精確工作的最佳濾波器性能，并作為 鑒定簡化濾波器的標(biāo)準(zhǔn)。同時(shí)建立一個(gè)地面訃算機(jī)模擬分析程序工，對(duì)完整濾波 器進(jìn)行模擬鑒定。這種程序包括了詳細(xì)的模擬器，并模擬了完整濾波器方程。模 擬LI的是鑒定一個(gè)精確工作濾波器所能達(dá)到的理論精度，當(dāng)然它應(yīng)該超過系統(tǒng)所 希望的精度，否則就沒有必要繼續(xù)進(jìn)行設(shè)計(jì)了。3. 3建立簡化濾波器及模擬試驗(yàn)這項(xiàng)工作主要是簡化系統(tǒng)。系統(tǒng)的完整模型一般比較復(fù)雜，完整濾波器的維 數(shù)較高。例如，飛機(jī)導(dǎo)航方程可達(dá)50、60個(gè)變量，因此運(yùn)算要求較高。實(shí)際應(yīng) 用中必須簡化模型。先根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)簡化模型，設(shè)計(jì)出相應(yīng)的簡化濾波器，

13、然后 作理論上的模型誤差分析，但更重要的是通過計(jì)算機(jī)模擬分析來完成設(shè)汁和鑒定。 這里同樣要借助于地面訃算機(jī)模擬分析程序。該程序既包括了多種模擬器，反映 了真實(shí)系統(tǒng)，乂能方便地模擬簡化濾波器方程。通過程序鑒定分析簡化濾波器， 并與完整濾波器結(jié)果一邊模擬分析，一邊刪去對(duì)總系統(tǒng)影響不大的狀態(tài)量，最后 完成了一個(gè)維數(shù)較少且能滿足性能要求的簡化濾波器，這階段的丄作反映了一個(gè) 不完整濾波器（在精確運(yùn)算時(shí)）的理論精度，它至少要達(dá)到系統(tǒng)所希望的精度。3. 4建立確定性濾波器及模擬試驗(yàn)這項(xiàng)工作是建立一個(gè)能在實(shí)際工作環(huán)境下實(shí)時(shí)完成系統(tǒng)任務(wù)的確定性濾波 器。建立過程中要用各種濾波技術(shù)，使得濾波器對(duì)傳感器誤差惡化不靈

14、敬，并能 符合訃算機(jī)實(shí)時(shí)要求、容量要求以及精度限制，而乂能滿足系統(tǒng)性能的要求。建 立確定性濾波器，先是根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)作理論上的設(shè)訃和分析，而更重要的是利 用了地面計(jì)算機(jī)模擬分析程序，該程序是模擬實(shí)時(shí)工作的一套程序，它能靈活地 模擬出實(shí)時(shí)訃算機(jī)可變字長，定浮點(diǎn)運(yùn)算以及傳感器誤差信息，并包括各類模擬 器。實(shí)施模擬分析時(shí)，先可使傳感器的模型信息保持正確，而著重考慮如何采取 措施來降低濾波計(jì)算量和存貯要求，并考慮濾波器對(duì)實(shí)時(shí)計(jì)算機(jī)的字長，定浮點(diǎn) 運(yùn)算的反應(yīng)，確定字長和運(yùn)算的類型。其次使傳感器模型信息惡化，以考察濾波 器對(duì)不精確統(tǒng)訃模型的靈敬度，并作出相應(yīng)的技術(shù)改進(jìn)。最后得到一個(gè)次佳的確 定性濾波器。3.

15、 5實(shí)時(shí)濾波器正式裝訂，系統(tǒng)試驗(yàn)對(duì)包括確定性濾波器的系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算機(jī)程療:設(shè)計(jì)，正式裝訂在機(jī)器里, 然后進(jìn)行系統(tǒng)試驗(yàn)和鑒定，這包括實(shí)驗(yàn)室模擬試驗(yàn)以及實(shí)時(shí)匸作鑒定。如不滿足 要求，重復(fù)上述過程。從上面可看出，卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)是一個(gè)極為細(xì)致的過程。 簡單的說來就是以系統(tǒng)性能指標(biāo)為要求，以工程鑒定和試驗(yàn)為基礎(chǔ)，產(chǎn)生能實(shí)際 應(yīng)用的濾波器。大量的工作就是設(shè)訃各利濾波器的近似算法，應(yīng)用計(jì)算機(jī)模擬分 析程序來進(jìn)行模擬鑒定、分析，最后確定濾波器的方案。4卡爾曼濾波的應(yīng)用1=1 I卡爾曼濾波器(KalmanFilter)是一個(gè)最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法(optimal recursh'e data pr

16、ocessing algorithm),它的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年，包括航空器 軌道修正、機(jī)器人系統(tǒng)控制、雷達(dá)系統(tǒng)與導(dǎo)彈追蹤等。近年來更被應(yīng)用于組合導(dǎo) 航與動(dòng)態(tài)定位，傳感器數(shù)據(jù)融合、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用研究領(lǐng)域。特別是在圖像處 理領(lǐng)域如頭臉識(shí)別、圖像分割、圖像邊緣檢測等當(dāng)前熱門研究領(lǐng)域占有重要地位?？柭鼮V波最早應(yīng)用在宇宙飛行中，NASA艾姆斯研究中心的G.史密斯等于 62年發(fā)表了卡爾曼濾波器用于繞月飛行寧宙飛船中段導(dǎo)航的論文涼遍。與此同 時(shí)，美國馬薩諸塞州工學(xué)院的R.巴廷把極大擬然濾波器用于天體導(dǎo)航。NASA戈 達(dá)德空間飛行中心發(fā)表了濾波器用于人造衛(wèi)星軌道確定問題的論文。在這以后, 卡爾曼濾波器

17、得到了更廣泛的應(yīng)用，特別是在空間技術(shù)和軍事技術(shù)領(lǐng)域里。航空 空間領(lǐng)域是卡爾曼濾波器應(yīng)用最早、最成熟、最廣泛的一個(gè)領(lǐng)域旳；如阿彼羅訃 劃中登月倉與指揮倉交接；飛機(jī)各種組合導(dǎo)航；船舶的綜合導(dǎo)航；舵機(jī)與船舶慣 性導(dǎo)航的最佳對(duì)準(zhǔn)；跟蹤雷達(dá)對(duì)活動(dòng)U標(biāo)的跟蹤；反潛機(jī)對(duì)聲納系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理進(jìn) 行反潛；導(dǎo)彈制導(dǎo)；靂達(dá)對(duì)飛行器作彈道估計(jì)和彈著點(diǎn)預(yù)測；飛機(jī)進(jìn)場著陸；飛 機(jī)的自動(dòng)駕駛飛行；對(duì)各種機(jī)載系統(tǒng)進(jìn)行飛行測試的數(shù)據(jù)分析；軍事對(duì)抗以及空 中交通管制等等，都應(yīng)用了卡爾曼濾波技術(shù)。除軍事技術(shù)外，U前很多其它領(lǐng)域也都在應(yīng)用卡爾曼濾波技術(shù)，如氧氣煉鋼; 原子反應(yīng)堆；醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)測量；地質(zhì)勘探等等。山于卡爾曼濾波器對(duì)多輸入/輸出

18、 隨機(jī)系統(tǒng)的濾波問題獲得最佳估訃，所以對(duì)很多技術(shù)帶來了新的設(shè)汁思想，有的 產(chǎn)生了變革性的設(shè)計(jì)。例如，LI前國外應(yīng)用很多的先進(jìn)導(dǎo)航方式一多傳感器組合 導(dǎo)航血，其技術(shù)關(guān)鍵就是卡爾曼濾波。這種導(dǎo)航方式比通常的單傳感器導(dǎo)航精度 可提高一個(gè)量級(jí)，同時(shí)，它可自動(dòng)編輯數(shù)據(jù)，在環(huán)境條件發(fā)生變化時(shí)自動(dòng)組織多 種工作方式。山于應(yīng)用了濾波技術(shù)，低成本的計(jì)算機(jī)軟件（濾波器運(yùn)算）可用來減 低對(duì)傳感器碩件的精度要求，也就是說,可用低精度的部件來構(gòu)成高精度的系統(tǒng)?？柭鼮V波作為一種數(shù)值估訃優(yōu)化方法，與應(yīng)用領(lǐng)域的背景結(jié)合性很強(qiáng)。因 此在應(yīng)用卡爾曼濾波解決實(shí)際問題時(shí)，重要的不僅僅是算法的實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化問題, 更重要的是利用獲取的領(lǐng)

19、域知識(shí)對(duì)被認(rèn)識(shí)系統(tǒng)進(jìn)行形式化描述，建立起精確的數(shù) 學(xué)模型，再從這個(gè)模型出發(fā)，進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)工作。濾波器實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)， 測量噪聲協(xié)方差R 一般可以觀測得到，是濾波器的已知條件。它可以通過離線 獲取一些系統(tǒng)觀測值計(jì)算出來。通常，難確定的是過程激勵(lì)噪聲協(xié)方差的Q值， 因?yàn)槲覀儫o法直接觀測到過程信號(hào)。一種方法是通過設(shè)定一個(gè)合適的Q，給過程 信號(hào)“注入”足夠的不確定性來建立一個(gè)簡單的可以產(chǎn)生可接受結(jié)果的過程模 型。為了提高濾波器的性能，通常要按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行系數(shù)的選擇與調(diào)整切?；究柭鼮V波（KF器限定在線性的條件下，在大多數(shù)的非線性情形下，我 們使用擴(kuò)展的卡爾曼濾波（EKF）器來對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行佔(zhàn)計(jì)

20、。為了更直觀理解卡 爾曼濾波，給出卡爾曼濾波應(yīng)用示意圖，如圖2所示：圖25結(jié)語本文在線性離散系統(tǒng)的假設(shè)前提下闡述了基本卡爾曼濾波的原理，主要從兩 個(gè)方面進(jìn)行闡述：系統(tǒng)過程模型及測量模型建立，主要是建立系統(tǒng)的狀態(tài)差分 方程及量測方程，以及確定系統(tǒng)噪聲、測量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，用統(tǒng)訃測量的方法 進(jìn)行噪聲相關(guān)參數(shù)的估訃，建立系統(tǒng)過程的數(shù)學(xué)模型;濾波器計(jì)算模型的建立, 以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，確定濾波器的時(shí)間更新方程及狀態(tài)更新方程，主要在濾波器 系數(shù)的確定包括狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣及相關(guān)因子矩陣，然后詳細(xì)介紹了卡爾曼濾波器設(shè) 計(jì)的一般步驟，最后對(duì)濾波器的應(yīng)用作了簡要總結(jié)。參考文獻(xiàn)1 Jie hong Huang, Don

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