四維空間文檔

1、第五講 四維空間n維空間概念，在18世紀(jì)隨著分析力學(xué) 的發(fā)展而有所前進(jìn)。在達(dá)朗貝爾 . 歐拉和拉 格朗日的著作中無關(guān)緊要的出現(xiàn)第四維的 概念，達(dá)朗貝爾在百科全書關(guān)于維數(shù)的 條目中提議把時(shí)間想象為第四維。 在19世紀(jì) 高于三維的幾何學(xué)還是被拒絕的。麥比烏斯( karl august mobius 1790-1868 )在其重心的計(jì)算中指出， 在三維空間中兩個(gè)互為鏡像的圖形是不能 重疊的，而在四維空間中卻能疊合起來。但 后來他又說：這樣的四維空間難于想象，所 以疊合是不可能的。 這種情況的出現(xiàn)是由于 人們把幾何空間與自然空間完全等同看待 的結(jié)果。以至直到 1860年，庫摩爾( ernst edua

2、rd kummer 1810-1893 )還嘲弄四維幾 何學(xué)。但是，隨著數(shù)學(xué)家逐漸引進(jìn)一些沒有 或很少有直接物理意義的概念，例如虛數(shù)， 數(shù)學(xué)家們才學(xué)會(huì)了擺脫 “數(shù)學(xué)是真實(shí)現(xiàn)象的 描述 ”的觀念， 逐漸走上純觀念的研究方式。虛數(shù)曾今是很令人費(fèi)解的， 因?yàn)樗谧匀唤缰袥]有實(shí)在性。 把虛數(shù)作為直線上的一個(gè)定 向距離，把復(fù)數(shù)當(dāng)作平面上的一個(gè)點(diǎn)或向 量，這種解釋為后來的四元素，非歐幾里得 幾何學(xué)，幾何學(xué)中的復(fù)元素，n維幾何學(xué)以及各種稀奇古怪的函數(shù)， 超限數(shù)等的引進(jìn)開 了先河， 擺脫直接為物理學(xué)服務(wù)這一觀念迎 來了 n維幾何學(xué)。1844年格拉斯曼在四元數(shù)的啟發(fā)下， 作 了更大的推廣，發(fā)表線性擴(kuò)張，1862

3、年又將其修訂為擴(kuò)張論。他第一次涉及一 般的n維幾何的概念，他在1848年的一篇文 章中說：我的擴(kuò)張的演算建立了空間理論的抽 象基礎(chǔ)，即它脫離了一切空間的直觀，成為 一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)的科學(xué)，只是在對(duì)（物理） 空間作特殊應(yīng)用時(shí)才構(gòu)成幾何學(xué)。然而擴(kuò)張演算中的定理并不單單是把 幾何結(jié)果翻譯成抽象的語言， 它們有非常一 般的重要性，因?yàn)槠胀◣缀问埽ㄎ锢恚┛臻g 的限制。格拉斯曼強(qiáng)調(diào)，幾何學(xué)可以物理應(yīng) 用發(fā)展純智力的研究。 幾何學(xué)從此開始割斷 了與物理學(xué)的聯(lián)系而獨(dú)自向前發(fā)展。經(jīng)過眾多的學(xué)者的研究， 遂于 1850年以 后，n維幾何學(xué)逐漸被數(shù)學(xué)界接受。一般認(rèn)為：四維空間是一個(gè)時(shí)空的概 念。簡(jiǎn)單來說，任何具有四維

4、的空間都可以 被稱為 “四維空間 ”。不過，日常生活所提及 的 “四維空間 ”，大多數(shù)都是指愛因斯坦在他 的廣義相對(duì)論和狹義相對(duì)論中提及 的 “四維時(shí)空 ”概念。根據(jù)愛因斯坦的概念， 我們的宇宙是由時(shí)間和空間構(gòu)成。 時(shí)空的關(guān) 系，是在空間的架構(gòu)上比普通三維空間的 長(zhǎng)、寬、高三條軸外又多了一條時(shí)間軸，而 這條時(shí)間的軸是一條虛數(shù)值的軸。根據(jù)愛因斯坦相對(duì)論所說： 我們生活中 所面對(duì)的三維空間加上時(shí)間構(gòu)成所謂四維 空間。由于我們?cè)诘厍蛏纤杏X到的時(shí)間很 慢，所以不會(huì)明顯的感覺到四維空間的存 在，但一旦登上宇宙飛船或到達(dá)宇宙之中， 使本身所在參照系的速度開始變快或開始 接近光速時(shí)，我們能對(duì)比的找到時(shí)間的

5、變 化。如果你在時(shí)速接近光速的飛船里航行， 你的生命會(huì)比在地球上的人要長(zhǎng)很多。 這里 有一種勢(shì)場(chǎng)所在， 物質(zhì)的能量會(huì)隨著速度的改變而改變。 所以時(shí)間的變化及對(duì)比是以物 質(zhì)的速度為參照系的。 這就是時(shí)間為什么是 四維空間的要素之一的原因。一、直線運(yùn)動(dòng) 假設(shè)一個(gè)物體在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其軌跡是一條直線L。從直線L無法判斷 這個(gè)物體是否勻速運(yùn)動(dòng)。但研究一個(gè)運(yùn)動(dòng)， 時(shí)間是非常重要的量， 我們希望知道物體何 時(shí)在何地。如果物體P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)， 則可以得到P點(diǎn)的坐標(biāo)隨時(shí)間T變化的函數(shù) 關(guān)系。假設(shè)當(dāng)T=0時(shí)，P的在坐標(biāo)原點(diǎn)，則P 點(diǎn)坐標(biāo)為：x=at,y=bt , 其中a,b為常數(shù)。如果物體P在

6、平面上做變速直線運(yùn)動(dòng)， 這種函數(shù)關(guān)系 x=x(t),y=y(t) 很復(fù)雜?，F(xiàn)在物體運(yùn)動(dòng)的平面外再增加一個(gè)表示時(shí)間的坐標(biāo)軸T軸，T軸也過坐標(biāo)原點(diǎn)，且 與X軸，Y軸都垂直。當(dāng)P點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可得到一條經(jīng) 過原點(diǎn)的直線 L,L 上每一點(diǎn) Q(x,y,z) 表示 P 點(diǎn)在時(shí)刻t位于原來XY平面上的(x,y)處。即 從直線L上的每一點(diǎn)向平面XY乍垂線，所有 的垂足就是L在XY面上的投影。此投影就是P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌跡。L越陡，說明運(yùn)動(dòng)速度 比較慢；L越平說明運(yùn)動(dòng)速度比較快。如果物體在平面XYh做變速直線運(yùn)動(dòng)， 可得一條空間曲線L,L在XY平面上的投影仍 是一條直線。因?yàn)镻點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡仍是直線， 但由

7、于L是曲線，說明物體的運(yùn)動(dòng)速度是隨 時(shí)間的變化而變化。上例是對(duì)平面上的運(yùn)動(dòng)來說的， 當(dāng)增加 了時(shí)間軸后，把二維空間變?yōu)槿S空間。如 果原來物體就是在三維空間運(yùn)動(dòng)， 運(yùn)動(dòng)的軌 跡是三維空間的一條曲線 l ，當(dāng)增加時(shí)間軸 以后，三維空間變?yōu)樗木S空間，于是得到四 維空間中的一條曲線L。L上一點(diǎn)Q(x,y,z,t) 就表示物體在時(shí)刻 t 位于原來空間中的點(diǎn) (x,y,z )處。四維空間中的曲線L在原來三 維空間中的投影就是運(yùn)動(dòng)軌跡 I,但L卻能反 映出物體的運(yùn)動(dòng)對(duì)時(shí)間的依賴關(guān)系。上述方法得到的四維空間是對(duì)時(shí)間和 空間綜合起來考慮，可以稱為“時(shí)空間”。 其中時(shí)間軸就是科幻小說中的時(shí)間隧道， 不過我們討論

8、的時(shí)間是單向的， 只能不停地向 前，不能停止也不能倒退。而科幻小說中的 時(shí)間隧道是可進(jìn)可退的， 這就是科學(xué)與科幻 的區(qū)別。二、四維歐氏空間及直角坐標(biāo)系 借助射影幾何的觀點(diǎn)， 在三維空間中一 條直線與一個(gè)平面至少相交于一點(diǎn)， 兩個(gè)平 面至少相交于一條直線。 但兩條直線可以相 交與一點(diǎn)，也可以沒有交點(diǎn)（異面）。列表 表示：-平面直線平面直線點(diǎn)直線點(diǎn)不定在四維空間中，除了直線、平面以外還 有許多三維空間。為了方便，將這些三維空 間稱為“三維面”，平面稱為“二維面”， 直線還叫直線。于是在四維空間有：三維面三維面 二維面 二維面 直線直線點(diǎn)八、二維面直線直線點(diǎn) 不定點(diǎn) 不定 不定由此還可得出：在四維空

9、間中，三個(gè)三 維面至少交于一條直線， 四個(gè)三維面至少交 于一點(diǎn)。四維歐氏空間中的笛卡爾坐標(biāo)系由相交于一點(diǎn)O的四條兩兩垂直的直線構(gòu)成。有四條坐標(biāo)軸0X,0Y,OZ,OT六個(gè)二維坐標(biāo)面 XOY,XOZ,XOT,YOZ,YOT,ZQT 四個(gè)三維坐標(biāo) 面OXY Z,OX YT,OXZT, OYZ。任何一個(gè)三維坐 標(biāo)面就是一個(gè)三維歐氏空間。三、歐拉公式在三維歐氏空間中， 建立笛卡爾直角坐 標(biāo)系 O-XYZ 。再設(shè) A，B，C 的坐標(biāo)為（ 1， 0，0），（0，1，0），（0，0，1），則以 OA， OB， OC 為鄰邊的立方體 I3 成為三維歐氏 空間中的標(biāo)準(zhǔn)立方。 它有 8 個(gè)頂點(diǎn)， 12 條棱 和

10、6 個(gè)面，且滿足關(guān)系：頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)+面數(shù)=2以 OA 、OB、OC 為鄰邊還決定一個(gè)四面體 C3，稱為三維歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)單形。C3有 4 個(gè)頂點(diǎn)， 6 條棱和 4 個(gè)面，也滿足頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)+面數(shù)=2可以證明， 三維歐氏空間中的任何多面 體，只要中間沒有“洞” ，都滿足以上公式。 這個(gè)公式就是著名的“歐拉公式” 。在四維空間，假設(shè)笛卡爾直角坐標(biāo)系O-XYZT 。A , B , C , D分別是坐標(biāo)為（1, 0， 0， 0），（ 0， 1 ， 0， 0），（ 0， 0， 1 ， 0） 和（ 0， 0， 0， 1 ）的點(diǎn)，則以 OA ， OB ， OC ， OD 為鄰邊可以構(gòu)成一個(gè)四維方體 I4， 它

11、的每條邊長(zhǎng)為 1 ，它的每個(gè)二維面是正方 形，面積為 1 ；它的每個(gè)三維面是立方體， 體積為 1 ；如果計(jì)算 I4 的體積也是 1。所以 I4 是四維歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)立方體。在三維坐標(biāo)面 OXYZ 上有 I4 的一個(gè) 三維面，就是以 OA ， OB， OC 為鄰邊的三 維立方體。它應(yīng)該有 8 個(gè)頂點(diǎn)， 12 條棱和 6 個(gè)二維面。 I4 有 8+8=16 個(gè)頂點(diǎn)， 32 條棱， 24 個(gè)二維面， 8 個(gè)三維面。且滿足： 頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)二維面數(shù)三維面數(shù)= 0 這就是歐拉公式在四維歐氏空間中的情形。 將以上結(jié)果列表：頂點(diǎn)棱二維面三維面歐拉數(shù)立方體 812602四面體 46402四維立方體 163224

12、80五胞體 5101050三、 鏡面反射歐氏幾何中的“合同”就是全等。兩個(gè)三角形全等可以通過：平移，旋轉(zhuǎn)或軸反射 使它們重合。這里的軸反射就是鏡面反射， 也說兩個(gè)三角形是軸對(duì)稱的。 但是這個(gè)反射 必須借助包含它們所在平面的三維空間。 （見圖）如果僅限于在平面內(nèi)，不可能使兩 個(gè)三角形重合?，F(xiàn)在把問題的維數(shù)提高一維， 考察三維 空間中兩個(gè)成鏡面反射的圖形。設(shè)四面體 ABCD 與四面體 A'B 'C'D '在同一個(gè)三維空 間中成鏡面反射，它們關(guān)于平面 a 對(duì)稱。因 此平面 a 是線段 AA ',BB ',CC ',DD '的公共的 垂直

13、平分面 要想通過移動(dòng)使兩個(gè)四面體重 合是不可能的 但是如果這個(gè)三維空間是某個(gè)四維空間中的一個(gè)三維面， 在這個(gè)四維空間中繞平面a的旋轉(zhuǎn)就可以使兩個(gè)四面體 重合四、超球面1.三維空間中的超球面在三維空間中的一個(gè)球面， 也稱為三維 空間中的超球面。取原點(diǎn)為中心，半徑為1 的單位球面，記作： S2 ，其方程是 x2 y2 z2 1 s2有以下性質(zhì)：(1) 在三維歐氏空間中要確定一個(gè)球面， 只要知道球心與半徑，即4個(gè)參數(shù)，球心(a,b,c)，半徑r。(2) 球面具有最豐富的對(duì)稱性。球心是對(duì) 稱中心；直徑是對(duì)稱軸；每個(gè)過球心的平面 是對(duì)稱平面。(3) 從s2上的每個(gè)點(diǎn)向XOY面引垂線， 則垂足構(gòu)成以O(shè)為中

14、心，1為半徑的圓盤， 如果取一般的平面，S2在它上的投影方程比 較復(fù)雜，但仍是單位圓盤。稱為s2在XOY面上的投影。即z0x2 y2 1因?yàn)槠矫嫔系膱A就是二維空間中的超球面， 所以，三維空間中的超球面，向任何一個(gè)平 面投影就得到這個(gè)平面中的一個(gè)超球面。(4) 如果用一個(gè)平面去截 s2，截痕是一個(gè) 圓，當(dāng)平面過中心，截痕是大圓。這個(gè)事實(shí) 可以敘述為：在三維空間中，用一個(gè)二維空 間去截二維球面，得到一個(gè)一維球面。(5) 球面是一個(gè)封閉曲面，將三維空間分 成互不相通的兩部分。2 .四維空間中的超球面方程四維歐氏空間中的超球面仍是到定點(diǎn) 距離相等的點(diǎn)的集合。仍以單位球面為例， 記作： S3 ，方程為 x2 y2 z2 t2 1 按照類比的思想，s3應(yīng)該與s2有一些類似的 性質(zhì)：(1) 在四維空間中要確定一個(gè)超球面，同 樣只要知道球心與半徑，即5個(gè)參數(shù)，球心(a,b,c,d)，半徑r。(2) 四維空間中的超球面是三維球面，它 仍是關(guān)于中心對(duì)稱，關(guān)于任意直徑對(duì)稱，關(guān) 于過球心的平面對(duì)稱，此外，對(duì)于過球心的 任意三維面，它都是“體對(duì)稱“圖形。(3) 當(dāng)把s3投影到三維坐標(biāo)面O XYZ上，可得：t0222x y z 1它表示三維空間O XYZ中的單位球體。于是有：在四維空間中，超球面 S3在任一個(gè)三維空間 中的投影