空間解析幾何6

1、解析幾何 第二章 空間解析幾何第二章第二章 空間解析幾何空間解析幾何第六節(jié)第六節(jié) 二次曲面二次曲面一、橢球面一、橢球面二、雙曲面二、雙曲面三、拋物面三、拋物面四、小結(jié)四、小結(jié)解析幾何 第二章 空間解析幾何用一個二次方程表示的曲面，叫做二次曲面。用一個二次方程表示的曲面，叫做二次曲面。柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)曲面一、橢球面；一、橢球面； 二、雙曲面（單葉雙曲面和雙葉雙曲面）；二、雙曲面（單葉雙曲面和雙葉雙曲面）；三、拋物面（橢圓拋物面和雙曲拋物面）。三、拋物面（橢圓拋物面和雙曲拋物面）。給出它們的標準方程，再討論它們的簡單性給出它們的標準方程，再討論它們的簡單性質(zhì)與形狀質(zhì)與形狀。解析

2、幾何 第二章 空間解析幾何一、橢球面一、橢球面定義定義1 在直角坐標系下，在直角坐標系下，由方程由方程1222222 czbyax所表示的曲面稱為橢球面，或稱橢圓面，這個所表示的曲面稱為橢球面，或稱橢圓面，這個方程稱為橢球面的標準方程。其中方程稱為橢球面的標準方程。其中a,b,c是任意是任意正實數(shù)，（正實數(shù)，（abc。）。）zyx解析幾何 第二章 空間解析幾何（1）對稱性）對稱性當當(x,y,z)滿足方程時，滿足方程時，(-x,y,z)也滿足方程。也滿足方程。若點若點P(x,y,z)是橢球面上的點，則點是橢球面上的點，則點P的的關(guān)于關(guān)于yOz坐標平面的對稱點坐標平面的對稱點P(-x,y,z)也

3、在也在橢球面上，橢球面上，坐標平面坐標平面yOz是對稱平面，稱為主平面。是對稱平面，稱為主平面。同樣，其它兩個坐標平面都是主平面。同樣，其它兩個坐標平面都是主平面。解析幾何 第二章 空間解析幾何P(x,y,z)在橢球面上，則點在橢球面上，則點(x,-y,-z)也在橢也在橢球面上。球面上。x軸為橢球面的對稱軸，稱為主軸。軸為橢球面的對稱軸，稱為主軸。y軸和軸和z軸也是橢球面的主軸。軸也是橢球面的主軸。點點P(x,y,z)在橢球面上，則點在橢球面上，則點(-x,-y,-z)也在也在橢球面上。橢球面上。原點是橢球面的對稱中心，稱為橢球面的中心。原點是橢球面的對稱中心，稱為橢球面的中心。解析幾何 第二

4、章 空間解析幾何（2）范圍）范圍1222222 czbyax對于橢球面上任一點對于橢球面上任一點(x,y,z), 滿足方程滿足方程, , 222222xyz111aaa |, |, |xaybzc解析幾何 第二章 空間解析幾何令令y=z=0,得橢球面與得橢球面與x軸的交點軸的交點:橢球面完全被封閉在一個長方體的內(nèi)部橢球面完全被封閉在一個長方體的內(nèi)部長方體六個面：長方體六個面：x=a, y=b, z=c（3）與各坐標軸的交點和與各坐標平面的交線）與各坐標軸的交點和與各坐標平面的交線橢球面與橢球面與y軸的交點軸的交點B(0,b,0)和和B(0,-b,0)橢球面與橢球面與z軸的交點軸的交點C(0,0

5、,c)和和C(0,0,-c).A(a,0,0)和和A(-a,0,0)解析幾何 第二章 空間解析幾何橢球面與三個坐標平面的交線分別為橢球面與三個坐標平面的交線分別為22221 (1)0 xyabz22221 (2)0 xzacy22221 (3)0yzbcx解析幾何 第二章 空間解析幾何橢圓橢圓(1),(2),(3)叫做橢球面的主截線（主橢圓）。叫做橢球面的主截線（主橢圓）。主截線主截線解析幾何 第二章 空間解析幾何通過這組平面截線的形狀變化來分析曲面的通過這組平面截線的形狀變化來分析曲面的大體形狀，這種方法稱為平面截線法（截割法）。大體形狀，這種方法稱為平面截線法（截割法）。222222xyh

6、1abczh （4）用一組平行平面去截這個曲面，得到）用一組平行平面去截這個曲面，得到一組交線稱為平面截線（截口曲線、截口）一組交線稱為平面截線（截口曲線、截口）用平行于用平行于xOy坐標平面坐標平面z=h(|h|c)截橢球面，截橢球面，截口為截口為解析幾何 第二章 空間解析幾何當當|h|c時，截線為橢圓，兩半軸是時，截線為橢圓，兩半軸是 2222hha1b1cc與與解析幾何 第二章 空間解析幾何橢圓的兩端點為橢圓的兩端點為, , ,2222hha1 0 h0b1 0 hcc與與雙葉雙曲面可以看成由一個橢圓的運動軌跡，雙葉雙曲面可以看成由一個橢圓的運動軌跡，這個橢圓在運動過程中，保持所在平面平

7、行這個橢圓在運動過程中，保持所在平面平行于于xOy平面，而且兩軸的端點分別沿著雙曲平面，而且兩軸的端點分別沿著雙曲線（線（6），（），（7）滑動。）滑動。 ( ) 222222xyh18abczh 解析幾何 第二章 空間解析幾何如果如果a=b,則截線（則截線（8）是一圓，曲面是一個）是一圓，曲面是一個旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。方程旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。方程1222222 czbyax與與1222222 czbyax所表示的圖形也是雙葉雙曲面。所表示的圖形也是雙葉雙曲面。單葉雙曲面和雙葉雙曲面統(tǒng)稱雙曲面。單葉雙曲面和雙葉雙曲面統(tǒng)稱雙曲面。解析幾何 第二章 空間解析幾何例例1 用一組平行平面用一組平行平面z=h(

8、h是任意實數(shù)），截是任意實數(shù)），截割單葉雙曲面割單葉雙曲面)( 1222222baczbyax 得一族橢圓，求這些橢圓焦點的軌跡。得一族橢圓，求這些橢圓焦點的軌跡。解解：這一族橢圓的方程為：這一族橢圓的方程為 hzchbyax2222221解析幾何 第二章 空間解析幾何即即 hzchbychax11122222222由于由于ab,所以橢圓的長軸為所以橢圓的長軸為22221,1chbcha 短軸為橢圓焦點的坐標為橢圓焦點的坐標為解析幾何 第二章 空間解析幾何 hzychbax01)(2222消去參數(shù)消去參數(shù)h,得得 0122222yczbax解析幾何 第二章 空間解析幾何可見這族橢圓焦點的軌跡是

9、一條在坐標平可見這族橢圓焦點的軌跡是一條在坐標平面面xOz上的雙曲線，雙曲線的實軸是上的雙曲線，雙曲線的實軸是x軸，軸，虛軸是虛軸是y軸。軸。（三）雙曲面的漸近錐面（三）雙曲面的漸近錐面解析幾何 第二章 空間解析幾何考慮二次錐面考慮二次錐面 ( )222222xyz09abc與單葉雙曲面與單葉雙曲面 ()222222xyz110abc與雙葉雙曲面與雙葉雙曲面 ()222222xyz111abc 之間的關(guān)系，式中之間的關(guān)系，式中a,b,c為相同的常數(shù)。為相同的常數(shù)。解析幾何 第二章 空間解析幾何平面平面z=h與這三個曲面的交線依次為與這三個曲面的交線依次為 ()222222xyh12abczh

10、()222222xyh113abczh ()222222xyh114abczh 橢圓（橢圓（12）總介于橢圓（）總介于橢圓（14）及（）及（13）之間。）之間。解析幾何 第二章 空間解析幾何| | 11222222222232abahbhccabachbchccabahcbhccc當當|h|c時，這三條交線都是橢圓，它們的時，這三條交線都是橢圓，它們的兩個半軸依次為兩個半軸依次為對一切對一切h(|h|c), a3a1a2, b3b10)來截曲面，來截曲面，截線總是橢圓截線總是橢圓橢圓的兩對頂點橢圓的兩對頂點 , , , , , a 2h 0 h0b 2h h分別在拋物面的主拋物線（分別在拋物面

11、的主拋物線（1）與（）與（2）上）上解析幾何 第二章 空間解析幾何橢圓拋物面可以看成是由一個橢圓的運動橢圓拋物面可以看成是由一個橢圓的運動動（大小位置都改變）而產(chǎn)生的。這個橢動（大小位置都改變）而產(chǎn)生的。這個橢圓在變動中，保持所在平面平行于圓在變動中，保持所在平面平行于xOy平平面，且兩對頂點分別在拋物線（面，且兩對頂點分別在拋物線（1）與（）與（2）上滑動。上滑動。解析幾何 第二章 空間解析幾何橢圓拋物面橢圓拋物面（主拋物線）（主拋物線）解析幾何 第二章 空間解析幾何 ( ) ( )2222x2a zy2b z12y0 x0用平行于用平行于xOz面的平面面的平面y=t截割橢圓拋物面截割橢圓拋

12、物面 ( )2222tx2az42byt 拋物線（拋物線（4）與主拋物線（）與主拋物線（1）全等；且它）全等；且它所在的平面平行于主拋物線（所在的平面平行于主拋物線（1）所在的平）所在的平面；有相同的開口方向。面；有相同的開口方向。, ,222t0 t2b頂頂點點：在在（ ）上上解析幾何 第二章 空間解析幾何如果取兩個這樣的拋物線，它們所在的平如果取兩個這樣的拋物線，它們所在的平面互相垂直，它們的頂點和軸都重合，而面互相垂直，它們的頂點和軸都重合，而且兩拋物線有相同的開口方向，讓其中一且兩拋物線有相同的開口方向，讓其中一條拋物線平行于自己（即與拋物線所在的條拋物線平行于自己（即與拋物線所在的平

13、面平行）且使其頂點在另一個拋物線上平面平行）且使其頂點在另一個拋物線上滑走，那么這一拋物線的運動軌跡便是一滑走，那么這一拋物線的運動軌跡便是一個橢圓拋物面。個橢圓拋物面。解析幾何 第二章 空間解析幾何解析幾何 第二章 空間解析幾何2222xy2zab雙曲拋物面關(guān)于雙曲拋物面關(guān)于xOz面，面，yOz面與面與z軸對稱，軸對稱，無對稱中心。無對稱中心。zyx（二）雙曲拋物面（二）雙曲拋物面標準方程，其中標準方程，其中a,b為任意正常數(shù)為任意正常數(shù)解析幾何 第二章 空間解析幾何 ( )2222xy05abz0 這是一對相交于原點的直線這是一對相交于原點的直線 ()xyxy005ababz0z0 與與用

14、坐標平面用坐標平面z=0去截割曲面，得去截割曲面，得解析幾何 第二章 空間解析幾何用坐標平面用坐標平面y=0與與x=0來截雙曲拋物面來截雙曲拋物面 ( )22x2a z6y0 ( ) (22y2b z7x0 拋拋物物線線）解析幾何 第二章 空間解析幾何這兩條拋物線叫做雙曲拋物面的這兩條拋物線叫做雙曲拋物面的主拋物線主拋物線，它們所在的平面相互垂直，有相同的頂點它們所在的平面相互垂直，有相同的頂點與對稱軸，但兩拋物線的開口方向不同，與對稱軸，但兩拋物線的開口方向不同，拋物線（拋物線（6）沿）沿z軸方向開口，而拋物線軸方向開口，而拋物線（7）的開口方向卻與）的開口方向卻與z軸方向相反。軸方向相反。

15、解析幾何 第二章 空間解析幾何用平行于用平行于xOy面的平面面的平面z=h(h0)來截曲來截曲面，截線總是雙曲線面，截線總是雙曲線 ( )2222xy182a h2b hzh 當當h0時，雙曲線（時，雙曲線（8）的實軸與）的實軸與x軸平行，軸平行，虛軸與虛軸與y軸平行軸平行 ( ), , 8a2h0h 的的頂頂點點在在主主拋拋物物線線( (6 6) )上上 ( )22x2a z6y0 解析幾何 第二章 空間解析幾何當當h0時，雙曲線（時，雙曲線（8）的實軸與）的實軸與y軸平行，軸平行，虛軸與虛軸與x軸平行。軸平行。 , , 70b2h h頂頂點點在在主主拋拋物物線線（ ）上上 ( )2222x

16、y182a h2b hzh ( ) 22y2b z7x0 解析幾何 第二章 空間解析幾何因此，雙曲拋物面被因此，雙曲拋物面被xOy面分割成上下兩部分，面分割成上下兩部分，上半部分沿上半部分沿x軸的兩個方向上升，下半部沿軸的兩個方向上升，下半部沿y軸軸的兩個方向下降，曲面的大體形狀象只馬鞍，的兩個方向下降，曲面的大體形狀象只馬鞍，所以，雙曲拋物面也叫馬鞍面。所以，雙曲拋物面也叫馬鞍面。解析幾何 第二章 空間解析幾何用平行于用平行于xOz面的一組平行平面面的一組平行平面y=t來截雙曲拋來截雙曲拋物面所得截線為拋物線物面所得截線為拋物線)9(222222 tybtzax不論不論t取怎樣的實數(shù)，所截得

17、的拋物線（取怎樣的實數(shù)，所截得的拋物線（9）總）總與主拋物線（與主拋物線（6）是全等的，且所在平面平行）是全等的，且所在平面平行于這個主拋物線所在的平面于這個主拋物線所在的平面xOz，而它的頂點，而它的頂點 222., 0btt則在另一主拋物線（則在另一主拋物線（7）上。）上。解析幾何 第二章 空間解析幾何結(jié)論：結(jié)論：如果取兩個這樣的拋物線，它們所在平如果取兩個這樣的拋物線，它們所在平面互相垂直，有公共的頂點，而兩拋物線的開面互相垂直，有公共的頂點，而兩拋物線的開口方向相反，讓其中的一個拋物線平行于自己口方向相反，讓其中的一個拋物線平行于自己（即與拋物線所在的平面平行）且使其頂點在（即與拋物線

18、所在的平面平行）且使其頂點在另一拋物線上滑動，那么前一拋物線的運動軌另一拋物線上滑動，那么前一拋物線的運動軌跡便是一個雙曲拋物面。跡便是一個雙曲拋物面。橢圓拋物面和雙曲拋物面統(tǒng)稱為拋物面，它們橢圓拋物面和雙曲拋物面統(tǒng)稱為拋物面，它們都沒有對稱中心，所以又稱為無心二次曲面。都沒有對稱中心，所以又稱為無心二次曲面。解析幾何 第二章 空間解析幾何例例1 作出球面作出球面x2+y2+z2=8與旋轉(zhuǎn)拋物面與旋轉(zhuǎn)拋物面x2+y2=2z的交線。的交線。解解：兩曲面的交線為：兩曲面的交線為 )2(2) 1 (822222zyxzyx（2）代入（）代入（1）得）得 z2+2z-8=0即即 （z+4)(z-2）=0 z=-4或或z=2解析幾何 第二章 空間解析幾何由（由（2）知，）知，z0,所以取所以取z=2.因此，交線方程改為因此，交線方程改為 282822222zyxzzyx或這是平面這是平面z=2上的一上的一個圓。個圓。解析幾何 第二章 空間解析幾何例例2 作出曲面作出曲面z=4-x2與平面與平面2x+y=4,三坐標面所三坐標面所圍成的立體第一卦限部分的立體圖形。圍成的立體第一卦限部分的立體圖形。解解：z=4-x2 為拋物柱面，它的母線平行于為拋物柱面，它的母線平行于y軸，軸，準線為準線為xOz平面上的拋物線，拋物線的頂點平面