2021年高考全國2卷理科數(shù)學(xué)及答案

1、絕密啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共23題，共150分，共5頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2 .選擇題必須使用 2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0. 5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3 .請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4 .作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮 紙刀。一、選擇題：本題共12小題

2、，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有 項是符合題目要求的。1 .設(shè)集合 A= x|x25x+6>0, B= x|x1<0,則 An B=A. (8, 1)B. (-2, 1)C. (3, 1)D. (3, i)2 .設(shè)z= 3+2i ,則在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3 已知 AB =(2,3)，AC =(3，t)， BC = 1，則 AB BC =A. - 3B.- 2C.2D.34 . 2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)

3、鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上. 設(shè)地球質(zhì)量為 M 月球質(zhì)量為 M,地月距離為R, L2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定 律，滿足方程：Mi(R r)2M2-2"r(RMi)官r由于 的值很小，因此在近似計算中R3345323 3 ,則r的近似(1)25.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始6.7.8.9.評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分. 相比，不變的數(shù)字特征是7個有效評分與9個

4、原始評分A.若A.設(shè)A.C.中位數(shù)a>b,則ln( a- b) >0B.B.3為兩個平面，則 內(nèi)有無數(shù)條直線與平均數(shù)3a<3bC.C.a / B的充要條件3平行3平行于同一條直線旦B.D.方差D.極差若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓A. 2B. 33pC.卜列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，2A. f (x) = cos 2 xcos xD. f (x)sin10.已知 a e (02sin 2 a=cos 211 .設(shè)F為雙曲線C:與圓x212 .設(shè)函數(shù)對任意二、填空題:a3- b3>0D. a > b內(nèi)有兩條相交直線與3平行3垂直于同一平面1的一個

5、焦點，則p=單調(diào)遞增的是B.D. 8f (x) = sin 2 x C . f (x)=則 sin a05B.2 y b21(a0,bC.D.2.550)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓2qa父于P,Q兩點.若B.3f (x)的定義域為R,滿足x (,m,都有 f (x)7B- (,3本題共 4小題，每小題pq| |ofI,則c的離心率為C. 2D.f(x891)2 f (x),且當(dāng) xm的取值范圍是c. 20分。(0,1時，f(x)D.(x(x 1).若8,3花一,則 ABC的面310個車次的正13. 我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有點率為0. 97,有

6、20個車次的正點率為 0. 98,有10個車次的正點率為 0. 99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為14. 已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x 0時，f(x)eax,若f(ln 2) 815. ABC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a,b,c.若b 6,a 2GB積為16. 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖 1) .半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體

7、的棱長為 1 .則該半正多面體共有 個面，其棱長為.(本題第一空2分，第二空3分.)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明， 證明過程或演算步驟。 第1721題為必考題, 每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. (12分)如圖，長方體ABCDABCD的底面ABC虛正方形，點E在棱 AA上，BE! EC.(1)證明：BEL平面EBC;(2)若AE= AE,求二面角B- EC- C的正弦值.18. (12 分)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)

8、進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0. 5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0. 4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方 10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.(1)求 P (X= 2);(2)求事件“ X= 4且甲獲勝”的概率.19. (12 分)已知數(shù)列an和b滿足=1,b-0,4%13%bn4 ,4bn13bh為 4.(1 )證明： an+ bn是等比數(shù)列，an - bn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式.20. (12 分) x 1 已知函數(shù)f x ln x .x 1(1)討論f (x)的單調(diào)性，并證明 f (x)有且僅有兩個零點；(2)設(shè)x(o是f(x)的一個零點，證

9、明曲線y=ln x在點A(x0,lnx 0)處的切線也是曲線y ex的切線.21. (12 分)已知點A(- 2,0) , B(2,0 ),動點 Mx,y)滿足直線 AMI與BM勺斜率之積為-二.記M2的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明 C是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點的直線交 C于P, Q兩點，點P在第一象限，PE!x軸，垂足為E,連 結(jié)Q4延長交C于點G(i )證明： PQG是直角三角形；(ii )求 PQG面積的最大值.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計分。22. 選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在極坐標(biāo)系中，O為極點，點

10、M( 0, 0)( 0 0)在曲線C: 4sin上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為 P.(1)當(dāng)0 = 3時，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.23. 選彳4-5:不等式選講(10分)已知 f (x) | x a |x | x 2 | (x a).(1)當(dāng)a 1時，求不等式f (x) 0的解集;(2)若x (,1)時，f (x) 0,求a的取值范圍.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)-參考答案說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則。

11、二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時， 如果后繼部分的解答末改變該題的 內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分， 但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的 一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題1. A7. B二、填空題2.D3.9. A4.10. B6. C12. B13. 0.9814.15.16. 26;三、解答題:17.解：(1)由已知得,平面ABBABE平面 ABBA ，故 BG BE .又 BE EC1,所以BE 平面EB1cl.(2)由(1)知 B

12、EB 90 ,由題設(shè)知 RtAABE RtzXABE,所以 AEB 45故 AE AB , AA1 2AB .以D為坐標(biāo)原點，DA的方向為x軸正方向，|DA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D- xyz,則C (0, 1, 0) , B (1, 1, 0) , G (0, 1, 2) , E (1, 0, 1),Ce (1, 1,1), CC； (0,0,2).設(shè)平面EBC勺法向量為n= (x, y, x),則CB n 0, x 0,一 即 ,所以可取n= (0, 1, 1).CE n 0, x y z 0,設(shè)平面ECCi的法向量為m= (x, y, z),則CC1m 0,即2z 0,

13、CE m 0, x y z所以可取m ( 1, 1, 0)0.18.19.20.于是cos n,m n m 1 .所以，二面角B EC C)的正弦值為，3 |n|m|22解：(1) X= 2就是10: 10平后，兩人又打了 2個球該局比賽結(jié)束，則這 2個球均由甲得 分，或者均由乙得分.因此 P (X= 2) = 0. 5X0. 4+ ( 1 - 0. 5) X ( 1 - 04) = 05.(2) X= 4且甲獲勝，就是10: 10平后，兩人又打了 4個球該局比賽Z束，且這 4個球的 得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.因此所求概率為0 . 5X (1 0. 4) + (10

14、. 5) X0. 4 X0, 5X0. 4=0. 1 .解：(1)由題設(shè)得 4(an 1 bn 1) 2(ani ,1，,、bn),即 an1bn12 bn).又因為ai+ bi= l ,由題設(shè)得4(an 1即 an 1bn 1an又因為ai - bi = l ,(2)由(1)知,所以bn解:因為所以所以bn i)bn所以ananbn是首項為11,公比為3的等比數(shù)列4(an2.anbnbn) 8,是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.bn12n 1，anbn1r/an2(an1 r,.、2 ( anbn)bn)(anbn)12n(anbn)J(1) f (x)的定義域為(0,f (x)在(1, +8

15、)1 1X1f() X11)1, +8)單調(diào)遞增.0，f(e2)有唯一零點In x1XX1(x)在(0, 1)有唯一零點X1X1,2 e2 e(X1)f(X1) 0=0.1八、x，)在曲線y= e上.X0綜上，f(X)有且僅有兩個零點.1 In x0(2)因為一e ,故點 B ( - In X0,X0由題設(shè)知f(x0) 0 ,即ln Xo故直線AB的斜率k曲線v=e在點b(1 線的斜率也是一,Xoln XoXoxoln XoXoXoXoXo1Xo11Xo 1XoXo.1、ln Xo,)處切線的斜率是XoXo曲線y Inx在點A(x0,ln %)處切所以曲線y lnX在點A(Xo,ln x

16、76;)處的切線也是曲線y=ex的切線.21.解：(1)由題設(shè)得21(|x| 2),所以C為中心在 2坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點.(2) ( i )設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為kx(k o).kx2 y2_2_,1 2k2,則 P(u,uk),Q(u,uk),E(u,o)于是直線QGk(x 22(xy22u), 得22(2 k2)x22uk2x8 0 .設(shè)G(xG,yG),則 u和是方程的解，故2u(3k 2)uk-1,由此得yG 2 k22k2-Uk -r2 uk從而直線PG的斜率為u(3k2 2)2 k2所以PQPG ,即4PQG是直角三角形.(ii )由1所以 PQG

17、勺面積S -|PQll PG| 28k(1 k2)k)(1 2k2)(2 k2)1 2d k)2k一 1PG| 2uktk2_1 m 得 |PQ| 2uTTV, |2 k2,1 m，設(shè)t = k+ ,則由k>0得t>2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等 k因為S 8方在2 , +8)單調(diào)遞減，所以當(dāng) t = 2,即k=1時，S取得最大值，最 1 2t2一，16因此， PQ麗積的最大值為一922.解：(1)因為M 0,0在C上，當(dāng)0 一時,30 4sin 3由已知得|OP| | OA | cos 23設(shè)Q()為1上除用任意一點.在RtzXOPQ 中cos|OP| 2,經(jīng)檢驗,點P(2,-)在曲線cos2上.3所以，l的極坐標(biāo)方程為cos2.3(2)設(shè) P(,)，在 RtzXOA