線性規(guī)劃問題解的性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共35頁(yè)。 2.1 2.1 兩個(gè)變量的線性規(guī)劃兩個(gè)變量的線性規(guī)劃(xin (xin xn u hu)xn u hu)問題問題 的圖解法的圖解法第1頁(yè)/共35頁(yè)第二頁(yè)，共35頁(yè)。1. 二元一次不等式表示二元一次不等式表示(biosh)平面區(qū)域平面區(qū)域2.1 兩個(gè)變量的線性規(guī)劃兩個(gè)變量的線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題的圖解法問題的圖解法問題問題(wnt)1：x+y- -10以二元一次不等式以二元一次不等式 x + y- -1 0的的xy11ol：x+y-1=0 xy11ol：x+y - -1=0 x+y- -10以二元一次方程以二元一次方程x + y- -1=0 的的 01

2、 , yxyx解為坐標(biāo)點(diǎn)的集合表示什么圖形？解為坐標(biāo)點(diǎn)的集合表示什么圖形？問題問題2：解為坐標(biāo)點(diǎn)的集合表示什么圖形？解為坐標(biāo)點(diǎn)的集合表示什么圖形？第2頁(yè)/共35頁(yè)第三頁(yè)，共35頁(yè)。x+y=0A練習(xí)練習(xí)(linx)畫出不等式組畫出不等式組表示表示(biosh)的平面區(qū)域。的平面區(qū)域。解：解：畫直線x-y+5=0，確定不等式x-y+50表示(biosh)的區(qū)域；畫直線x+y=0，確定不等式x+y0表示的區(qū)域；畫直線x=3，確定不等式x3表示的區(qū)域；取公共區(qū)域部分。xyo2 4-2-424x-y+5=0 x=3BC 3005xyxyx第3頁(yè)/共35頁(yè)第四頁(yè)，共35頁(yè)?；靖拍睿夯靖拍睿?1) z=

3、 2x+y(3). 象此問題一樣，求線性目標(biāo)函數(shù)(hnsh)在線性約束條件下的最值 的問題統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。(4). 滿足約束條件的解(x，y)叫做可行解。(5). 可行解組成的集合叫做可行域。（陰影部分）(6).使目標(biāo)函數(shù)取得最值的可行解叫做最優(yōu)解最優(yōu)解。目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)，也叫線性目標(biāo)函數(shù)。 1255334xyxyx(2).線性約束條件。x-4y+3=03x+5y-25=0 x=12x+y=t1xyo可行域A（5，2）B（1，1）第4頁(yè)/共35頁(yè)第五頁(yè)，共35頁(yè)。0,8234212121xxxxxx例例 max s = 2x1+5x2 x1Ox2再作： x1 4 x2 3 x1 +2 x2

4、 8 對(duì)于僅具有兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題(wnt)，利用作圖的方法求最優(yōu)解，簡(jiǎn)單、直觀。約束條件約束條件2. 兩個(gè)變量?jī)蓚€(gè)變量(binling)的線性規(guī)劃問題的圖解法一般過程的線性規(guī)劃問題的圖解法一般過程ABCD解解(1). 確定(qudng)可行域先作: x10 x20得可行域可行域(見上圖)第5頁(yè)/共35頁(yè)第六頁(yè)，共35頁(yè)。ABCDOx12x1+5x2=192x1+5x2=0 x2(2). 作目標(biāo)作目標(biāo)(mbio)函數(shù)的等值線函數(shù)的等值線目標(biāo)函數(shù)(hnsh)s=2x1+5x2它代表是以 s 為參數(shù)的一族平行線第6頁(yè)/共35頁(yè)第七頁(yè)，共35頁(yè)。823212xxx(3). 確定確定(qudng)

5、最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn) 先確定目標(biāo)函數(shù)值增大的方向，沿著這個(gè)方向平行移動(dòng)(ydng)直線 s= 2x1+5x2，當(dāng)移動(dòng)(ydng)到 B點(diǎn)時(shí)，s值就在可行域上達(dá)到最大,從而確定B點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)，得最優(yōu)解為x1=2，x2=3。ABCDOx12x1+5x2=192x1+5x2=0 x2第7頁(yè)/共35頁(yè)第八頁(yè)，共35頁(yè)。ABCDOx1x1+2x2=8x2例例 若將例中的目標(biāo)函數(shù)若將例中的目標(biāo)函數(shù)(hnsh)改為改為S=x1+2x2BC邊上每一點(diǎn)(y din)的坐標(biāo)都是最優(yōu)解因此因此(ync)，最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)。，最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)。 0,8234 .212121xxxxxxts第8頁(yè)/共35頁(yè)第九頁(yè)，共35頁(yè)。

6、0, 0021 .212121xxxxxxts例、若目標(biāo)例、若目標(biāo)(mbio)函數(shù)為函數(shù)為 min s = 2x1+2x2解 確定(qudng)可行域約束條件為Ox2x1A0221 xx121 xxBCD第9頁(yè)/共35頁(yè)第十頁(yè)，共35頁(yè)。Ox2x12x1+2x2=102x1+2x2=22x1+2x2=6CBAD相應(yīng)(xingyng)的目標(biāo)函數(shù)最小值為 s=2。因此(ync)，最優(yōu)解為 x1=1, x2=0作目標(biāo)(mbio)函數(shù) 的等值線確定最優(yōu)點(diǎn)例例、若目標(biāo)函數(shù)為 min s = 2x1+2x2 0, 0021 .212121xxxxxxts第10頁(yè)/共35頁(yè)第十一頁(yè)，共35頁(yè)。 例、若將例改

7、為使目標(biāo)例、若將例改為使目標(biāo)(mbio)函數(shù)的值最大，函數(shù)的值最大， 即即 max s=2x1+2x2 從圖中可以看出，因?yàn)橥褂駻BCD無(wú)界，當(dāng)平行直線(zhxin)族的直線(zhxin)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，都可以與ABCD相交，所以目標(biāo)函數(shù)無(wú)上界，因此無(wú)最優(yōu)解。2x1+2x2=2Ox2x12x1+2x2=102x1+2x2=6CBAD 0, 0021 .212121xxxxxxts第11頁(yè)/共35頁(yè)第十二頁(yè)，共35頁(yè)。 0, 021 .212121xxxxxxtsOx1x2-x1+x2=1x1+x2= -2如圖，沒有沒有(mi yu)可行解，可行解，故沒有故沒有(mi yu)最優(yōu)解。最優(yōu)解。第1

8、2頁(yè)/共35頁(yè)第十三頁(yè)，共35頁(yè)。無(wú)可行解有可行解但沒有最優(yōu)解有無(wú)窮多最優(yōu)解有唯一最優(yōu)解 兩個(gè)重要結(jié)論： 線性規(guī)劃問題的任意兩個(gè)可行解連線上的點(diǎn)都是可行解； 線性規(guī)劃問題的最優(yōu)值如果(rgu)存在，必然可在某個(gè)“頂點(diǎn)”達(dá)到。以后以后(yhu)證明證明.第13頁(yè)/共35頁(yè)第十四頁(yè)，共35頁(yè)。2.2 線性規(guī)劃線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題的標(biāo)準(zhǔn)形式問題的標(biāo)準(zhǔn)形式(1) 目標(biāo)(mbio)函數(shù)，有的要求最大化，有的要求最小化；(2) 約束條件也有多種形式LP問題有許多(xdu)不同形式：這種多樣性不僅給研究帶來(lái)不便，而且使你難以尋找一種通用解法。人們發(fā)現(xiàn)：線性規(guī)劃問題的各種不同形式可以相互轉(zhuǎn)化

9、。因此，只需給出一種形式的解法。第14頁(yè)/共35頁(yè)第十五頁(yè)，共35頁(yè)。矩陣矩陣(j zhn)表示表示min s = cx 0 .xbAxts其中(qzhng) c=(c1，c2，cn) mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 mbbbb21 nxxxx21min s = c1x1+c2x2+cnxn 0, 0, 0 .2122112222212111212111nmnmnmmnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxats線性規(guī)劃線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：?jiǎn)栴}的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：價(jià)值向量資源向量約束矩陣待定決策向量 0, , nmnm一般有

10、一般有第15頁(yè)/共35頁(yè)第十六頁(yè)，共35頁(yè)。向量向量(xingling)表示表示 0 .1xbPxtsjnjj), 2 , 1(21njaaaPmjjjj ),(21nPPPA ), 2 , 1(, 21njxaaaPjmjjjj 的的系系數(shù)數(shù)是是約約束束條條件件中中. 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的向向量量也也稱稱為為jjxPmin s = cx 0 .xbAxtsLP問題(wnt)第16頁(yè)/共35頁(yè)第十七頁(yè)，共35頁(yè)。（1）目標(biāo)(mbio)函數(shù) 若問題(wnt)的目標(biāo)函數(shù)為最大化 max s = cx，（2）約束條件約束為形式的情形。如2x1-x2+3x318變量x4稱為松弛變量松弛變量。則加入一個(gè)非負(fù)變量

11、x40，改為：2x1-x2+3x3+x4=18則 可化為求 min s = cx，即可。第17頁(yè)/共35頁(yè)第十八頁(yè)，共35頁(yè)。 約束為形式(xngsh)的情形。如c) 若對(duì)某變量(binling)xj沒有非負(fù)限制，3x1+2x2-x418則減去一個(gè)非負(fù)變量(binling)x50，改為 3x1+2x2-x4-x5=18變量x5稱為剩余變量剩余變量。則引進(jìn)兩個(gè)非負(fù)變量xj 0，xj 0，令xj=xj -xj 代入約束條件和目標(biāo)函數(shù)中，化為對(duì)全部變量都有非負(fù)限制。自由變量第18頁(yè)/共35頁(yè)第十九頁(yè)，共35頁(yè)。解解 引進(jìn)引進(jìn)(ynjn)非負(fù)變量非負(fù)變量x4，x5，x6，則原問題(wnt)的標(biāo)準(zhǔn)形為：

12、 0,123263252616232153214321xxxxxxxxxxxxxxx32132minxxxs 松弛變量剩余變量 0,1232632523212321321321xxxxxxxxxxxxx第19頁(yè)/共35頁(yè)第二十頁(yè)，共35頁(yè)。0 xbAx1. 可行(kxng)解、基礎(chǔ)可行(kxng)解、最優(yōu)解、基礎(chǔ)最優(yōu)解設(shè)線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題 min s = cx2.3 線性規(guī)劃線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題解的性質(zhì)問題解的性質(zhì)（一）幾個(gè)概念（一）幾個(gè)概念我們把滿足約束條件的稱為L(zhǎng)P問題的可行解。 )0()0(2)0(1)0(nxxxx 若 x(0)=0，或 x (0)

13、的非零分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量組線性無(wú)關(guān)時(shí)，稱可行解x (0)為基礎(chǔ)可行解基礎(chǔ)可行解。使目標(biāo)函數(shù)取最小值的基礎(chǔ)可行解，稱為基礎(chǔ)最優(yōu)解。使目標(biāo)函數(shù)取最小值的可行解，稱為最優(yōu)解。第20頁(yè)/共35頁(yè)第二十一頁(yè)，共35頁(yè)。例如例如(lr)：若對(duì)于(duy)x (1) ，x (2) S，x= x (1) +(1-) x (2) S（01），則稱S為凸集。 連接 n 維點(diǎn)集合(jh)S中任意兩點(diǎn) x (1) ，x (2)的線段仍在S內(nèi)，則稱S為凸集 。即2. 凸集 點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)的連線段整個(gè)均是該點(diǎn)集的點(diǎn)，稱該點(diǎn)集為凸集。x (1)x (2)x (1)x (2)x (1)x (2)x (1)x (2)x (

14、1)x (2)第21頁(yè)/共35頁(yè)第二十二頁(yè)，共35頁(yè)。3. 極點(diǎn)(jdin) (頂點(diǎn))若凸集S中的點(diǎn)x，不能成為S中的內(nèi)點(diǎn)，則稱x為S的極點(diǎn)(jdin)（頂點(diǎn)）。即， 若對(duì)于(duy)x (1) x (2) S, 不存在 (01),使 x= x (1) +(1-) x (2)則稱x為S的極點(diǎn)（頂點(diǎn)）。第22頁(yè)/共35頁(yè)第二十三頁(yè)，共35頁(yè)。（二）線性規(guī)劃（二）線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題解的性質(zhì)問題解的性質(zhì)定理定理1 線性規(guī)劃線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題的可行解集（可行域）為凸集。問題的可行解集（可行域）為凸集。設(shè)設(shè)LP問題問題(wnt): min s = cx證 0 .x

15、bAxts對(duì)于x (1) x (2) S, 0,1S是其可行域，,)2()1(Sxx 由由于于bAxAxxx )2()1()2()1(, 0, 0考查 x= x (1) +(1-) x (2) S, 0)1 ( 1 , 0)2()1( xxx bAxAxxxAAx )2()1()2()1()1 ( )1 ( Sxxx )2()1()1 ( 第23頁(yè)/共35頁(yè)第二十四頁(yè)，共35頁(yè)。定理2 x是基礎(chǔ)可行(kxng)解 x是可行(kxng)域S中的極點(diǎn).（二）線性規(guī)劃（二）線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題解的性質(zhì)問題解的性質(zhì)設(shè)設(shè)LP問題問題(wnt): min s = cx證 0 .xbAxt

16、sS是其可行域，“”即若x是可行域S中的極點(diǎn)，則x是基礎(chǔ)可行解.,0 ).1 (時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;是是基基礎(chǔ)礎(chǔ)可可行行解解顯顯然然x,0 ).2(且且為為極極點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x),(, 21mkxxxxkiii 的的所所有有非非零零分分量量為為設(shè)設(shè)),(, 21mkPPPkiii 其所對(duì)應(yīng)的列向量為其所對(duì)應(yīng)的列向量為., 21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)問問題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為說(shuō)說(shuō)明明向向量量組組kiiiPPP反證法線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組kiiiPPP, 21,1k 一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)則則 0 2121 kikiiPPP 使使得得第24頁(yè)/共35頁(yè)第二十五頁(yè)，共35頁(yè)。定理2 x是基礎(chǔ)可行(

17、kxng)解 x是可行(kxng)域S中的極點(diǎn).反證法線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組kiiiPPP, 21,1k 一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)則則 0 2121 kikiiPPP 使使得得,R 對(duì)對(duì)) 1 ( 0)(2121 kikiiPPP )2( 2211bPxPxPxkkiiiiii ,21的所有非零分量的所有非零分量是是由于由于xxxxkiii )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii ) 1 ()2( )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii ) 1 ()2(由此取|min, 10| tiktttx 第25頁(yè)/共35頁(yè)第二十六頁(yè)，共35頁(yè)。定理(

18、dngl)2 x是基礎(chǔ)可行解 x是可行域S中的極點(diǎn).反證法線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組kiiiPPP, 21由此取|min, 10| tiktttx )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii )()()(221121bPxPxPxkkikiiiii 構(gòu)造(guzo) ),( , 0 :1)1()1(2)1(1)1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk ),( , 0 :1)2()2(2)2(1)2()2(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk , , , 0, 0,1)2(1)1()2()1()2()1(bPxbPxxxxxniiin

19、iii 充分性得證！充分性得證！第26頁(yè)/共35頁(yè)第二十七頁(yè)，共35頁(yè)。定理2 x是基礎(chǔ)可行(kxng)解 x是可行(kxng)域S中的極點(diǎn).反證法線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組kiiiPPP, 21由此取|min, 10| tiktttx , , , 0, 0,1)2(1)1()2()1()2()1(bPxbPxxxxxniiiniii .LP ,)2()1(問問題題的的可可行行解解是是原原xx)2()1( 2121xxx 由由于于 .不是可行域的極點(diǎn)不是可行域的極點(diǎn)則則x ),( , 0 :1)1()1(2)1(1)1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk ),(

20、 , 0 :1)2()2(2)2(1)2()2(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk第27頁(yè)/共35頁(yè)第二十八頁(yè)，共35頁(yè)。定理(dngl)2 x是基礎(chǔ)可行解 x是可行域S中的極點(diǎn).“”即若x是基礎(chǔ)可行(kxng)解，則x是可行(kxng)域S中的極點(diǎn).設(shè)設(shè)LP問題問題(wnt): min s = cx證 0 .xbAxtsS是其可行域，反證法若x不是可行域S中的極點(diǎn).x (1) x (2) S, (0,1),使得 x= x (1) +(1-) x (2),(, 21mkxxxxkiii 的的所所有有非非零零分分量量為為設(shè)設(shè)),(, 21mkPPPkiii 其所對(duì)應(yīng)的列向量為

21、其所對(duì)應(yīng)的列向量為 ) 1 , 0(, 0, )1 ( )2()1()2()1( iiiiixxxxxkiiiiiixx, 0 21)2()1( 即即 , ,1)2(1)1(bPxbPxntiiktiitttt 又又由由于于01)2()1( ktiiitttPxx)2()1(0, 1ttiixxkt 使使得得且且第28頁(yè)/共35頁(yè)第二十九頁(yè)，共35頁(yè)。定理2 x是基礎(chǔ)(jch)可行解 x是可行域S中的極點(diǎn).“”即若x是基礎(chǔ)(jch)可行解，則x是可行域S中的極點(diǎn).設(shè)設(shè)LP問題問題(wnt): min s = cx證 0 .xbAxtsS是其可行域，反證法若x不是可行域S中的極點(diǎn).),(, 21

22、mkxxxxkiii 的的所所有有非非零零分分量量為為設(shè)設(shè)),(, 21mkPPPkiii 其所對(duì)應(yīng)的列向量為其所對(duì)應(yīng)的列向量為, 21線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量kiiiPPP則則x不是基礎(chǔ)可行解不是基礎(chǔ)可行解矛盾！故故x是可行域是可行域S中的極點(diǎn)中的極點(diǎn).01)2()1( ktiiitttPxx)2()1(0, 1ttiixxkt 使使得得且且第29頁(yè)/共35頁(yè)第三十頁(yè)，共35頁(yè)。定理3 最優(yōu)值可以在極點(diǎn)(jdin)上達(dá)到.（二）線性規(guī)劃（二）線性規(guī)劃(xin xn u hu)問題解的性質(zhì)問題解的性質(zhì), LP )0(問問題題的的最最優(yōu)優(yōu)解解是是設(shè)設(shè) x證.) ()0()0(cxxS 最最優(yōu)優(yōu)值

23、值為為., 0 )1()0()0(為為可可行行域域的的極極點(diǎn)點(diǎn)若若xx , 0 )2()0(且且不不是是極極點(diǎn)點(diǎn)若若 x),(, )0()0()0()0(21mkxxxxkiii 的所有非零分量為的所有非零分量為其其構(gòu)構(gòu)造造取取,|min )0(, 10| tiktttx 線線性性相相關(guān)關(guān)其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的向向量量組組知知由由定定理理kiiiPPP, :221,1k 一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)即即 0 2121 kikiiPPP 使使得得仿定理(dngl)2的證明第30頁(yè)/共35頁(yè)第三十一頁(yè)，共35頁(yè)。定理3 最優(yōu)值可以(ky)在極點(diǎn)上達(dá)到.（二）線性規(guī)劃問題（二）線性規(guī)劃問題(wnt)解

24、的性質(zhì)解的性質(zhì)構(gòu)構(gòu)造造取取,|min )0(, 10| tiktttx ),( , 0 :1)1()0()1(2)0()1(1)0()1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk ),( , 0 :1)2()0()2(2)0()2(1)0()2()2(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk證,1k 一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)即即 0 2121 kikiiPPP 使使得得, , 0 ,)2()1()2()1(xxxx . ,)0()2()1(個(gè)個(gè)的的非非零零分分量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)少少一一比比量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)其其非非零零分分且且在在xxx仿定理(dngl)2的證明, ,1)2(1)1(bPxbPxniiiniii 第31頁(yè)/共35頁(yè)第三十二頁(yè)，共35頁(yè)。)1()1() (cxxS 而而且且定理(dngl)3 最優(yōu)值可以在極點(diǎn)上達(dá)到., LP )0(問問題題的的最最優(yōu)優(yōu)解解是是設(shè)設(shè) x證.) ()0()0(cxxS 最最優(yōu)優(yōu)值值為為 ),( , 0 :1)1()0()1(2)0()1(1)0()1()1(2211 kikiiiiiiiiixxxxxxxxkk)0(1tiktittxc tktiiktitttcxc 1)0(1tktitccx 1)0(tktitccxxS 1)0()