【精品】人教版中考數(shù)學(xué)《相似》專題及答案詳解

1、【精品】人教版中考數(shù)學(xué)相似專題及答案 （詳解50題）、選擇題1 .如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于A.平移變換B .相似變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對(duì)稱變換【答案】B.【解析】由相似圖形的定義，得用放大鏡將圖形放大，圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬 于相似變換，故選B.【知識(shí)點(diǎn)】幾何變換2.如圖，在一斜邊長(zhǎng)30cm的直角三角形木板（即RtAACB ）中截取一個(gè)正方形 CDEF,點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在斜邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，若AF : AC = 1: 3,則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）D. 100cm2A. 200cm2B. 170cm2C. 150cm2【答案】D【解析】

2、設(shè)AF = x,則AC=3x,.四邊形CDEF為正方形，：EF = CF=2x, EF/BC,V EF II BC ,. AEFsABC ,.EF AF 1 一 ,BC AC 3：BC = 6x,在 RtAABC 中，AB 一，(3x)2 +(6x) 2 - 3V5x ,：3v5x=30,解得 x = 2v5, ：AC = 6v5 BC = 12v5,;剩余部分的面積 =1 X6v5 X12v5 - (4v5) 2=100 (cm2).故選：D.【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的應(yīng)用3.如圖，在 ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn).且AD=AB=2 , AD ±AB ,過(guò)點(diǎn)D作DEXA

3、D ,DE交AC于點(diǎn)F.若DE=1 ,則4 ABC的面積為()A, 42B, 4C.2#D, 8第10題圖【答案】B【解析】: ABAD, AD IDE, . Z BAD = Z ADE =90° , d DE II AB , ： / CED = / CAB ,. / C=/ C, .CEDsCAB, DE = 1, AB =2,即 DE ： AB=1 ： 2, /.SADEC : SAACB1= 1：4, ： S 四邊形 ABDE ： $ ACB = 3：4, S 四邊形 ABDE = SABD+S ADE 2 2X12 2 2X 1= 2+1= 3,SAACB=4,故選 B.4

4、.如圖1,長(zhǎng)、寬均為3,高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6,繞底面一棱長(zhǎng)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，則圖2中水面高度為()243212.3420 . 34A. 5 b. 5 C. 17 D. 17【答案】A【解析】如圖所示：設(shè) DM=x,則CM =8-x,根據(jù)題意得：上(8-x+8) >4=34X5,解得：x = 4, ： DM =6,./D=90°,由勾股定理得：BM =1BD2DM 2 <4232 =5,過(guò)點(diǎn) B 作 BH，AH , vZ HBA+ / ABM = / ABM+ / ABM = 90HBA+ =

5、Z ABM ,所以RtAABH s' MBD ,BH BDBH. AB BM ,即 82424,解得BH= 5 ,即水面高度為 5 .5.如圖，在 ABC中，點(diǎn)D,E分別在AB和AC邊上,B , C重合）連接AM交DE干點(diǎn)N ,則AD ANA. AN AEBDB. MNMNCEDNC.BM(NEMCDE II BC , M為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn) ）DND. MCNEBM【解析】根據(jù) DE II BC,可得 ADN sabm與 ANEs amc ,再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論. DN II BM ,NE ANDNDN.ADN ABM , ：. BMNEMC .故選C.ANAM，: NE

6、 II MC，: ANEamc ,6如圖,面積為1,A. 20在等腰三角形 ABC的面積為B . 22ABC中，AB=AC,圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形的42,則四邊形DBCE的面積是（C. 24D. 26C【答案】D【解析】二.圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面積為1, AABC的面積為42, 最小的三角形與1ABC 的相似比為 42, . ADEsabC,SVADE 168 SVABC = 42 = 21 ,SvADEDE- SVABCBCSAADE = 21 X42= 16,：四邊形 DBCE 的面積=$ ABC $ ADE =26,7如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于

7、（DE,B BC =4x故選項(xiàng)D正確.A.平移變換B .相似變換C.旋轉(zhuǎn)變換D.對(duì)稱變換【答案】B【解析】由圖可知，放大前與放大后圖形是相似的，故選： B.8 .如圖，將 ABC沿BC邊上的中線 AD平移到 A'B'C'的位置，已知 ABC的面積為16,陰影部分三角形的面積為 9,若AA = 1,則A'D等于A.2B.3C.43【答案】B【解析】由平移可得 ,ABCs a'mn,設(shè)相似比為 k, SA ABC = 16,SAA'MN =9,：k2=16:9,：k= 4:3，因?yàn)?AD和A'D分別為兩個(gè)三角形的中線 ，：AD:A'D

8、 = k= 4:3, v AD = AA'+A'D, AA':A'D = 1:3,AA' = 1,則 A'D = 3,故選 B.9 .如圖，在 ABC中，AC = 2, BC = 4, D為BC邊上的一點(diǎn)，且/ CAD = Z B.若ADC的 面積為a ,則4ABD的面積為（）57A. 2aB. 2C. 3aD. 2【答案】C._ 一一一一 一 BC 一【解析】在ABAC和4ADC中，:/C是公共角，/CAD = / B.,：ABACsADC,: 2,ACS/ABC , BC、2.=()4, 乂 ,ADC的面積為a , /. ABC的面積為4a,

9、.ABD的面積為3a.QAPSVDAC 八C10.如圖，丫 ABCD,F為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至E,使DE:AD =1:3，連接EF交DC于點(diǎn)G,則S DEG:SACFG=()B.3:2C.9:4D.4:9A.2:3【解析】因?yàn)?DE:AD =1:3,F為BC中點(diǎn)，所以DE:CF = 2:3, Y ABCD中,DE/CF,所以 DEG s CFG,相似比為11.把邊長(zhǎng)分別為2:3，所以 SA DEG:SCFG = 4:9.故選 D.1和2的兩個(gè)正方形按如圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為（1A. 61B. 31C. 51D. 4H【解析】二四邊形ABCD與四邊形CE第8題答圖CEFG都是正方形

10、，：AD=DC=1AD DH ADHsECF, ： CE CH , 16 ,故選A.DH,CE=2, AD/CE, ：111 DH ,解得DH= 3，:陰影部分面積為2x3x1 =12.如圖，在邊長(zhǎng)為，''3的菱形abcd中,B 30 ,過(guò)點(diǎn)A作AE BC于點(diǎn)E現(xiàn)將 ABE沿直線AE翻折至 AFE的位置，AF與CD交于點(diǎn)G .則CG等于（）1.3A. ”3 1 B.1C, 2 D,2【解析】AE12 3ABE C9題圖BC , AEB=90 ° ,菱形 abcd 的邊長(zhǎng)為 ,3 , B 30AE= 2 AB=BE=CF= VAB2 AE2 =1.5, BF=3, CF

11、=BF-BC=3-用,< AD II CF, ： AGD FGC,：DG AD 3 CG .3CG CF , ： CG 3后,解得CG=第1 ,故選A.13 .如圖，在 ABC中，D在AC邊上，AD ： DC = 1 ： 2, O是BD的中點(diǎn)，連接 A0并延長(zhǎng)交BC 于 E, M BE ： EC= ( )A. 1 ： 2 B. 1 ： 3 C. 1 ： 4 D. 2 ： 3【答案】BBE BO【解析】過(guò)點(diǎn)D作DF II AE ,則EF OD BE : EC=1 ： 3.故選 B.EF AD 11y軸上的點(diǎn)C反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn) B (1, 0),則點(diǎn)C,FC CD 2 , : BE ： EF

12、： FC=1 ： 1 ： 2,14.如圖，一束光線從點(diǎn) A (4, 的坐標(biāo)是C. (0, 1)D. (0, 2)B.(0,12)A. (0,45)【答案】B【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AD ±y軸于點(diǎn)D, V Z ADC= Z COB=90 °OCDAC，: OBDCADOC14 OC,/ ACD= / BCO , ： OBA44,解得：OC=5 , .點(diǎn)C (0, 5),故選 B.15 .如圖，在菱形 ABCD中已知AB=4, / ABC=60 ° , / EAF=60 °，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上， 點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，有下列結(jié)論： BE=CF,/ EAB=/

13、CEF; ABEsefc,若 /BAE=15° ,則點(diǎn)F至UBC的距離為2點(diǎn) 2 則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D, 4個(gè)【答案】B【解析】連接AC，在菱形ABCD中，AB=BC , Z ABC=60 ° , ： ABC是等邊三角形，：AB=AC , / BAC=60 ， / EAF=60 ，:/ EAB+ / BAF= / CAF+ / BAF=60 ，即/ EAB= / CAF , 二 Z ABE= Z ACF=120 ° , ： ABEA ACF , ： BE=CF ,故正確；由 ABE ACF ,可得 AE=AF ,/ EAF=60

14、° ,.AEF 是等邊三角形，：/ AEF=60 ° , . . Z AEB+ ZCEF=60° , V Z AEB+ Z EAB=60 °/ CEF=/EAB ,故正確；在 ABE 中，/AEBv60°，/ECF=60° , :錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)A作AGBC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FHEC于點(diǎn)H, < / EAB=15 ° , / ABC=60 ° , ：/ AEB=45 ° ,在 RtAAGB 中，/ ABC=60 ° , AB=4 ,1：BG= 2 AB=2 , AG=4 BG= 273 ,在 Rt

15、AAEG 中，/ AEG= / EAG=45 ° , ： AG=GE= 2頁(yè), .EB=EG-BG= 2 3-2, / BAC= / EAF=60 ° , ： / BAE= / CAF , / ABC= / ACD=60 ° , ABE= Z ACF=120 °EAB = FAC AB =AC在AEB 和AFC 中，ABE = ACF =120，: AEB AFC , ： AE=AF , EB=CF= 2而-2 ,在 Rt CHF 中，./HCF=180° -/BCD=60° , CF=2-2, . FH=CF?sin60°

16、 = （2代-2）? 2 =3- ' 3.:點(diǎn)F到BC的距離為3-43.故錯(cuò)誤.故選B.D15.下列命題是真命題的是（）A.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為B.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為C.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為D.如果兩個(gè)三角形相似，相似比為 【答案】B4:9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為4:9,那么這兩個(gè)全角形的面積比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的面積比為2:34:92:34:9面積比是相似比的平方.4:9;面積比是相似比的平【解析】如果兩個(gè)三角形相似，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比等于相似比,即如果兩個(gè)三角形相似，相似比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)

17、比為方，即16:81.故選B.17 .如圖， ABOsCDO,若 BO=6, DO = 3, CD =2,則 AB 的長(zhǎng)是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C.AB 6AB BO【解析】 ABOsCDO, ： CD DO , BO = 6, DO=3, CD = 2, ： 23 . : AB=4.故選C.二、填空題18 .在平面直角坐標(biāo)系中， ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A （ 2, 4）, B （4, 0）, O （0, 0）.以2 原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的2 ,得到 CDO,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是.【答案】（1, 2）或（1, 2）1111【解析】點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

18、C的坐標(biāo)是（一2X 2 , 4X 2）或（2X （ 2）, 4X （ 2）, 即（一1, 2）或（1, 2）.19 .如圖，？ ABCD的對(duì)角線 AC, BD交于點(diǎn)O, CE平分/ BCD交AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F, 且/ABC =60° ,AB=2BC,連接 OE.下列結(jié)論： EO，AC;S AOD = 4SA OCF; AC: Bd = V21. 7；FB2=OF?DF.其中正確的結(jié)論有 .（填寫所有正確結(jié)論的序 號(hào)）A E R【答案】【解析】在 Y ABCD 中，AB/DC, / ABC=60 ° , ： / BCD=120 ° , CE 平分/ BCD,

19、： / BCE=60 ° BCE 是等邊三角形，：BE=BC=CE , / BEC=60 ° ./AB=2BC , ： AE=BE=CE ,EAC=/ACE=30 ° , ACB=90° .在 Y ABCD 中，AO=CO , BO=DO , . OE 是 ACB1的中位線，：OE/BC, a OEXAC,故正確；v OE是 ACB的中位線，：OE= 2 BC, 二OE/BC, ： OEFs BCF, ： OF: BF=OE : BC=1 : 2, ： $ AOD=S BOC=3S OCF,故錯(cuò)誤；在RtAABCbc2 + Prc-BC +渴 BC上中，

20、AB=2BC，: AC= BC, . OC= 2 BC.在 RtABCO 中，OB=上 BC一-2, : BD= 7B bc , : AC : BD= # BC:巾 BC =衣1 : 7,故正確；OF: BF=1 : 2, ：BF=2OF, OB=3OF, OD=OB , ： DF=4OF , ： BF2= (2OF)2=4OF2,OF - DF=OF - 4OF=4OF2, ： BF2=OF - DF ,故正確.20.在口 ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn) E將AD分為2 ： 3的兩部分，連接BE、AC相交于F,則 SAAEF : SACBF 是.【答案】4: 25或9 ： 25【解析】在口

21、 ABCD 中，V AD B BC, ： AEFs CBF.如答圖 1,當(dāng) AE ： DE=2 : 3 時(shí)，AE : AD=2 : 5, v AD=BC , ： AE : BC=2 : 5,. . SA AEF : SACBF=4 : 25;如答圖 2,當(dāng) AE ： DE=3 : 2 時(shí)，AE : AD=3 : 5,v AD=BC , ： AE : BC=3 : 5,/.SAAEF : SACBF=9 : 25.故答案為 4 : 25 或 9 ： 25.（第16題圖答圖1）（第16題圖答圖2）21.如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90 AC 于點(diǎn) E, DE=.AB=10 , BC=6

22、 , CD II AB , / ABC 的平分線 BD 交第1T睡窗【答案】9石.5【解析】: BD平分/ ABC , ：/ ABD= / CBD ,. AB / CD,D=Z ABD,CBD=/ D, ：CD=BD=6.在 RtAABC 中，AC=，A曰-BC2 =，1(2- 62=8. . AB / CD,： ABEsDCE,.CE DE CD63一=-=-=-=AEBE AB 10 5.CE=3AE, DE=3BE. 55即 CE=3ac=|x 8=3. 88在 RtA BCE 中，BE=，BG+ CE2 =，62 + 32 = 3V5.DE=3BE=-X 3v5=9v5. 55522.

23、如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為2,寬為1的長(zhǎng)方形組成“7字圖形。(1)將一個(gè)"7字圖形按如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，記為“7字圖形ABCDEF,其中頂點(diǎn)AOB位于x軸上，頂點(diǎn)B, D位于y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 0A的值為.(2)在(1)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)擺放第二個(gè)"7字圖形得頂點(diǎn)F1,擺放第三個(gè)"7字圖形得頂點(diǎn)F2.依此類推，擺放第n個(gè)"7字圖形得頂點(diǎn)Fn-1則頂點(diǎn)F2019的坐標(biāo)為.1 6062;5_【答案】（1） 2（5, 405瓶）【解析】（1）因?yàn)? DBC+/BDC=90° , D DBC+/ OBA=90 °，/ DCB= / BOA=9

24、0 °，所以/1BDC=/OBA,所以 CDBsOBA,所以 OB:OA=CD:CB= 2 .52.5（2）因?yàn)?OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得 OB= 5 ,OA= 5 .因?yàn)? CDH= / ABO , / DHC二、52 5/BOA=90 ° ,CD=AB,所以 DHC/BOA,所以四邊形 OACH 為矩形，DH= 5 ,HC= 5 ,3.56 5同理MAFsoba,由 AF=3 得，AM= 5 , fm= 5 ，在直角三角形 NCF 中，CN=AM二3.5 _5_2/55 ,CF= V2 ,NF= VcF2 CN2 = 5，在直角三角形 ABC中，AC=

25、 J5,F點(diǎn)的坐標(biāo)為（53、553、56.5+ 5 ,而+ 5）；根據(jù)規(guī)律F1比F的橫坐標(biāo)增加 5單位、縱坐標(biāo)增加 5 , F, F1點(diǎn)2,5 3,5_ 立3256.一的坐標(biāo)為（5 + 5 *2,、后+5 X 2） ;F2比F1的橫坐標(biāo)增加 5單位，縱坐標(biāo)增加 52、, 5 3 5,52 5 3 5單位，F(xiàn)2點(diǎn)的坐標(biāo)為（5 + 5x3, J5+5 X3）;所以F2019的坐標(biāo)為（5 + 5_ 在6062.5_X2020, 新+ 5 X 2020）,即（5, 405 石）.=三、解答題23. （9分）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個(gè)角分別相等，四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形叫 做相似四邊形.相似四邊

26、形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.（1）某同學(xué)在探究相似四邊形的判定時(shí)，得到如下三個(gè)命題，請(qǐng)判斷它們是否正確（直接在橫線上填寫“真”或“假”）.條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似；（命題）兩個(gè)大小不同的正方形相似.（命題）（2）如圖 1,在四邊形 ABCD 和四邊形 A1B1C1D1 中，/ ABC= / A1B1C1 , / BCD= / B1C1D1 ,AB BC CDA1B1B1C1 C1D1 ,求證：四邊形 ABCD與四邊形A1B1C1D1相似.第24題圖1第24題圖2（3）如圖2,四邊形 ABCD中，AB II CD, AC與BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EF I

27、I AB分別交 AD, BC于點(diǎn)E, F.記四邊形ABFE的面積為S1 ,四邊形EFDE的面積為S2,若四S2邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求S1的值.【解題過(guò)程】（1）解：（1）四條邊成比例的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等； 三個(gè)角分別相等的兩個(gè)凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例；兩個(gè)大小不同的正方 形相似.是真命題.故答案為假，假，真.（2）如圖,分別連接 BD、B1D1 ,BC CD. / BCD=Z B1C1D1B1C1C1D1 . BCDA B1C1D1BC BDBDB1D1CBD=/C1B1D1 , / CDB=/C1D1B1 , B1C1 B1Dl ,AB BC

28、AB又ABC=/A1B1C1 , A1B1 B1C1ABD= / A1B1D1 , A1B1AB AD.AB1 AD1 , / ADB= Z A1D1B1 , / DAB= / D1A1B1 ,ABBCCDAD. AB1 B1C1 C1D1 AD1 , /aBC= Z A1B1C1 , ZBCD= ZB1C1D1 , Z ADC= ZA1D1C1 , ZDAB= ZD1A1B1 ,：四邊形ABCD與四邊形 A1B1C1D1相似.DE EF丁四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，：AE AB ,DE OE OF. EF=OE + OF, ： AEDEABOE DE OC OFAD AB AD AB

29、OF 2DE DFAB，: AD AE ,21ABV EF / AB / CD , .DE DE OE :AD AD AB. AD =DE +AE, ： DE AE AE ,皇1：2AE=DE +AE ,即 AE=DE , ： S224.如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90 , AC=BC.P 為ABC 內(nèi)部一點(diǎn)，且ZAPB= / BPC=135 .(1)求證： PABA PBC;(2)求證：PA=2PC;(3)若點(diǎn)P到三角形的邊 AB, BC, CA的距離分別為h1, h2, h3.求證：h12= h2 h3.ACB【解題過(guò)程】解：(1)證明：在 ABP 中，/APB=135

30、6;，:/ ABP+/ BAP=45 ° , 又 ABC為等腰直角三角形，/ ABC=45 ° ,即/ ABP+ZCBP=45° ,BAP=/CBP,又/ APB=/BPC=135° , /. PABA PBC; 4分PA PB AB f (2)由(1)知 PABspbC,所以 PB = PC = BC =42 ,PA PA PB于是，PC = pB PC =2,即 PA=2PC; 9 分(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)P作邊AB, BC, CA的垂線，垂足分別為 Q, R, S,則PQ=h1 ,PRCP 1 a 1PR=h2, PS=h3,在 RtA CPR 中，C

31、R =tanZ PCR= AP = 2 , h3 = 2 ,即 h3=2 h2,ABhi又由 PABsPBC,且 BC =72 ,故 h2 = V2 ,即 hi =、，2a 2ac bc c h2,于是 h12=h2 - h3. 14 分A S ®Q3P R B1. (2019 重慶B卷)在DABCD中，BE平分/ ABC交AD于點(diǎn)E.(1)如圖 1 ,若/ D=30° , AB= J6 ,求 ABE 的面積；(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AFDC,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,分別交BE , BC于點(diǎn)G, H ,且AB=AF , 求證：ED-AG=FC.解：(1)過(guò)點(diǎn)E作ENLAB,交

32、BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,垂足為N,在DABCD 中，AD/BC, AD /CB, /D=/ABC=30° , ： / ABC= Z EAN=30 BE 平分/ ABC , ABE= / CBE, v AD II BC , ： / AEB= / CBE, ： / AEB= / ABE ,AB=AE=cos30在 RtAAEN 中，EFAEEF3.22S ABE1 -AB EF 216 3.23,32 122(2)延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn) M ,設(shè)AG.在DABCD 中，AB /CD, AD / BC,且 CD= AB a,. AB=AF , AF= AB a, GF= a x,. AB /C

33、D, ：/ABM=/M, /CBE=/AEB,. BE 平分/ABC, ABM= / CBE, ： / ABM= / AEB , ： AE= AB a；./ AEB= / DEM , d / DEM= / M , ： DM= DEAG AB. AB II CD, ： FG FM ,. AF ±DC,F=90° , , _2 2_ 2:AFDFAD ,222,aa c a b ，222a2 2ac c2 2ab b2, , ，xa xAE a2aax a b c ,解得： 2a b c ； DE b, DF a c, AF a ,：AG+CF=2a b c2a b c 2a

34、b ca2 2ac bc c2a 2ac cbc 2abb2bc,“b DE2a b c2a b c2abc，: DE-AG=CF.25.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為AB的中點(diǎn)，P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接PC交AD于 F,AP=FD.AF求AP的值;如圖1,連接EC,在線段EC上取一點(diǎn) M,使EM=EB,連接MF,求證:MF=PF;(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作ENLCD于點(diǎn)N,在線段EN上取一點(diǎn)Q,使AQ=AP,連接BQ,BN,將4AQB 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn) Q落在AD上.請(qǐng)判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B是否落在 線段BN上，并說(shuō)明理由.第25題圖【分析】(1)通過(guò)相似構(gòu)造等量解得

35、對(duì)應(yīng)線段AF與FD的長(zhǎng)度，來(lái)求解它們之間的比例；(2)通過(guò)連接PD,構(gòu)造全等轉(zhuǎn)化/ 3與/ 1相等,再利用第一問(wèn)求得的 AP的長(zhǎng)度得到EP= EC,從而得到/ 1 =/4，故轉(zhuǎn)化/ 3 = /4,從而證明4 PFDW FMC;(3)構(gòu)造三角形，通過(guò)證明相似，求得對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng) 度,進(jìn)行比較，從而得到結(jié)論.解：(1)設(shè) AP = x,則 FD = x,AF =2 x,.在正方形 ABCD 中,AB / CD,.PAFsCDF,AF _ PF _ AP 2x_ x 2FD CF CD - x 2 x =4- 2x，一 ，,解得 xi = J5-1, x2 = - J5 - i ,AF =2- 班-1)

36、=好 1. x>0,. x= V5-1, . FD V5- 12(2)連接 DP, /PA=DF,Z PAD=Z ADC,AD =CD, ： PADFDC, ./ 3=Z 2,PD = FC.又 AB /CD,： / 1 = Z 2.又EC=遮，EB = EM = 1, ：MC=石-1 =FD=AP.PE = PA+AE=布-1+1 = = EC./ 1 = / 4,： / 4= / 3.又 FD= MC,PD = FC, ： PFDA FMC, ： PF= FM.(3)如圖2,在AD上取一點(diǎn) Q',使AQ'=AQ,在BN上取一點(diǎn)B',使AB' = AB,

37、連接B'Q',作B'GXAD于點(diǎn)G,交EN于點(diǎn)K,ftV tan / NBE = 2,AB = AB' = 2,= BB' =5高-2=t/5. BB'= v55 ,B'N = BN1V NB'K NBE, ： B'K = 5,kn = .B'G= 5,DG= 5 ,_213_.Q'G=3- 75 - 5 = 5 用66 - 25、5在RtA B'GQ'中，/ B'GQ' = 90° ,利用勾股定理可得 B'Q'=_266- 25 5而(5-1)?5

38、,. B'Q'WBQ, 點(diǎn) B'不在 BN 上.26.如圖，在 RHABC 中，/ C=90° , AC=6./BAC=60 , AD 平分/ BAC 交 BC 于點(diǎn) D ,過(guò)點(diǎn) D 彳DE/AC交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM并延長(zhǎng)分別交DE , AC于點(diǎn)F,G. (1)求CD的長(zhǎng)。EF(2)若點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，求DF的值。(3)請(qǐng)問(wèn)當(dāng)DM的長(zhǎng)滿是什么條件時(shí)，在線段 DE上恰好只有一點(diǎn)P,使得/ CPG=60 ?解：(1) AD平分/ BAC, Z BAC=60 ,10AC= 2 / BAC=30 。2 分在RtADC 中，DC=AC ta

39、n30 =2 ,4 分(2)易得,BC=6出，BD=4出.5分由 DE II AC ,得/ EDA= / DAC , D DFM= / AGM. . AM=DM , ： DFM AGM ,：DF=AG.由 DE II AC.得 BFEA BGA ,EF BE BDAG = AB = BC ,7分EF EF BD 4,3 2. DF =AG= BC=6V3 = 3,.8(3);/ CPG=60 ,過(guò)C,P,G作外接圓，圓心為 Q.CQG是頂角為120°的等腰三角形。當(dāng)。Q與DE相切時(shí)，如圖1,過(guò)Q點(diǎn)作QHLAC,并延長(zhǎng)HQ與DE交于點(diǎn)P,連接QC, QG。11_4 _設(shè)。Q的半徑 QP

40、=r，則 QH= 2 r, r+ 2 r=2 3，解得 r= 3 J3 ,P只有一個(gè).12分E分別在邊AB, BC上，將O,求證：BD = 2DO.4CG= 3 73 x x/3 =4,ag=2.DM DF 4 DM 4易知 DFM s agm ,可得 AM = AG = 3，則 AD = 7。16.3DM= 7 .9當(dāng)。Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，如圖2,過(guò)C點(diǎn)作CKAB ,垂足為K.設(shè)。Q的半徑 QC=QE=r,則 QK=3 ' 3 -r.143在RtEQK中，12+ (3志-r) 2= r2,解得尸 9,14%3_ 14.CG= 9 乂芯=3 .14.3易知4口尸仙64八6吊，可得口吊= 5

41、.1分當(dāng)。Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，如圖3,此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，且給好在點(diǎn)A處, 可得DM=481份16、. 314、3_:綜上所述，當(dāng)DM= 7或5 <DM<4J3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)27.如圖，在等腰 RtA ABC 中，/ ACB = 90°, AB=14。2,點(diǎn) D, 線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到EF.(1)如圖1 ,若AD =BD ,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn) (2)已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn).如圖2,若AD=BD, CE=2,求DG的長(zhǎng).若 AD = 6BD,是否存在點(diǎn) E,使得 DEG是 直角三角形？若存在，求 CE的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.AA圖

42、2A圖3（第24題圖）解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD = CF, / DCF =90°, ABC是等腰直角三角形， AD = BD ,./ADO =90°, CD = BD=AD.DCF = Z ADC .在 ADO和 FCO中AODFOC,ADOFCO,AD FC： ADO FCO.,.DO = CO.BD = CD = 2 DO.（2）如答圖1,連結(jié)BF,分別過(guò)點(diǎn) D, F作DNLBC于點(diǎn)N, FMLBC于點(diǎn)M . DNE = Z EMF=90°.又NDE = / MEF, DE = EF, DNEAEMF . ：DN=EM.答圖1又BD：7應(yīng)，/ ABC =

43、45°, ：DN = EM=7, ：BM = BC-ME-EC =5, A MF = NE = NC- EC = 5. ：BF = 5無(wú)點(diǎn)D, G分別為AB, AF的中點(diǎn).1 5 .2 . DG = 2 BF = 2.過(guò)點(diǎn)D作DH，BC于點(diǎn)H. AD =6BD , AB= 14 應(yīng)，：BD = 2 RI）當(dāng)/ DEG=90°時(shí)，有如答圖2, 3兩種情況，設(shè) CE = t. . / DEF =90°, Z= DEG ,:點(diǎn)E在線段AF上.：BH = DH=2, BE=14t, HE = BE - BH = 12-t. DHEsECA, EC = CA ,即 t =

44、14 ,解得 t = 6±2行， ：CE=6+2 無(wú)或 CE=6 2 夜.AAn)當(dāng)DG II BC時(shí)，如答圖4.過(guò)點(diǎn)F作FK，BC于點(diǎn)K,延長(zhǎng)DG交AC于點(diǎn)N ,延長(zhǎng)AC并截取MN = NA,連結(jié)FM .則 NC= DH=2, MC = 10.設(shè) GN=t,則 FM = 2t, BK=142t.,. DHEAEKF. ：KE = DH = 2, /. KF= HE=14-2t. MC = FK, ： 142t=10, t = 2. GN = EC = 2, GN II EC,：四邊形GECN是平行四邊形.而/ ACB =90°,：四邊形GECN是矩形.EGN = 90&#

45、176;.:當(dāng) EC=2 時(shí)，有/ DGE = 90°.答圖4田)當(dāng)/ EDG=90°時(shí)，如答圖5.過(guò)點(diǎn)G, F分別作AC的垂線，交射線 AC于點(diǎn)N, M,過(guò)點(diǎn)E作EKXFM于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)D作 GN的垂線，交NG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.則 PN=HC = BC-HB = 12.設(shè) GN=t,則 FM = 2t,PG=PN-GN = 12-t.由 DHEEKF 可得 FK= 2, .CE = KM =2t-2. .HE = HC-CE=12- (2t2) = 14 2t, .EK=HE=14-2t,AM =AC + CM=AC + EK=14+142t = 28 2t,.11 .MN

46、= 2 am = 14t, NC = MN -CM =t.2 .PD=t-2.PG PD 12 t t 2由 GPD-A DHE 可得 HD = HE ,即 2 = 14 2t ,解得 t1 = 10 ", t2=10+ 國(guó)(舍去)，：CE=2t-2 = 18-2田4.所以，CE的長(zhǎng)為6 + 2夜，6 2夜，2或18 2房.答圖528. (1)如圖1, E是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)，連接 BD、DE,將/ BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋 轉(zhuǎn)90° ,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線 BC交于點(diǎn)F和點(diǎn)G.線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是；寫出線段BE, BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系.(2)當(dāng)四邊形 A

47、BCD是菱形，/ ADC=60。，點(diǎn)E是菱形ABCD邊AB所在直線上一點(diǎn)，連 接BD、DE,將/ BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120° ,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線 BC交于點(diǎn)F和 點(diǎn)G.如圖2,點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段 BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出 證明；如圖3,點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE交射線BC于點(diǎn)M ,若BE=1,AB=2 ,直接寫出線 段GM的長(zhǎng)度.G解：（1）答案：DB=DG./ BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到/ GDF,Z EDF= Z GDB=90 ° , /BDE=/GDF,.四邊形ABCD是正方形， 1：/ DBC= /

48、 DBA= 2/ABC=45 .vZ BDG=90 ° ,DBG= / G=45° .：DB=DG.線段BE, BF和DB關(guān)系為：BF+BE=v2BD,理由如下: vZ EDB= / FDG , DB=DG, / DBE= / G, . EDBAFDG.：BE=GF.故答案為DB=DG.在 RtA BDG 中，vZ DBG=45 ° ,cos/DBG=BD=, BG 2 , 即 BG=v2BD,又 BG=BF+FG=BF+BE,：BF+BE= v2BD.(2)線段BE, BF和DB關(guān)系為：BF+BE=v3BD,理由如下:/ BDE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°

49、得到/ GDF,EDF=/GDB=120° , /BDE=/GDF,四邊形ABCD是菱形，：/ ABC= / ADC=60 ° , BD 平分/ ABC,1EBD=/DBG=1/ABC=30 , 2，：/G=180° - Z DBG- Z BDG=30 ° ,G=Z DBG ,：BD=GD ,vZ EDB= / FDG , DB=DG, / DBE= / G, . DBEADGF,：BE=GF, ：BG=BF+GF=BF+BE.過(guò)D作DH，BG于H ,又 DB=DG, _1：BH =1BG, 2，在 RtA BDH 中,/ DBG=30 ° ,

50、.cosZHBD= .BH=立BD, 2，又 BH =；BG,BG= v3BD.又 BG=BF+BE ,：BF+BE= v3BD.(2) GM=y,理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，/ BDF=1200,又ABC=600,四邊形 ABCD為菱形， CDB= Z CBD=1Z ABC=300 ,2：/ FDC= / BDF- / BDC=900 ,在 RtACDF 中，/ DCF=1800-Z BCD=600 ,.匚一CD2FC-COT. AB / CD,CDMA BEM_ BD 2,CM _ CD _ 2''Bm" = bE =彳，.-cm=|bc=4. 33由（2）可知， BD

51、EAFDG, .GF=BE=1.：GM=FG+FC+CM=1+4+ 4=.3 3,DB平分/ ADC ,過(guò)點(diǎn)B作BM / CD交AD于M .連接CM29.如圖,/ ABD= / BCD =90 交DB于N.（1）求證：BD2 =AD CD;CD=6, AD=8 ,求 MN的長(zhǎng).D3解：（1）DBC ,證明：V BD 平分/ADC, ： / ADB= / BDC , v Z ABD= Z BCD=90 , /. DABABD ADcd.:CD = BD，： BD2=AD（2）由（1）可知：BD2=ADBD=4 也又AD=8 ,ZBDC= ZABD=30 °AD2 BD2 . 82 4

52、3 2：AB=,又/ ABD= / BCD =90CD. V CD=6,AD=8 ,：.1A AB= 2 AD, ADB =30° ,，:/ A=/ DBC =60/ MBD =30,A ABM = / ABD- / MBD =60，: ABM是等邊三角形，故/ CD, BDC= BM=AB=4 ,AB DB ABDA BCD, ： BC CD ,AB BC=CDDB4 6-=2 . 34.3,BM II CD,CBM =180 °-/ BCD =90°MN MB :CN CD，:CM=加2 CB2422.3 22、.7V BM II CD, ：BMN sDCN

53、,：CN=1.5MN23,CN+MN=CM= 2730.在 ABC中，已知D是BC邊的中點(diǎn)，G 于點(diǎn)E、F.是 ABC的重心，過(guò)G點(diǎn)的直線分別交AB、AC(1)(2)BE如圖，當(dāng)EF II BC時(shí)，求證：AECF 1AF如圖，當(dāng)EF和BC不平行，且點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上時(shí)，（1）中的結(jié)論是 否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 (3)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或點(diǎn) 如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立,F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由 . DG 1解：(1) G 是 ABC 重心， AG 2,BE DG 1 CF DG又 EF II BC, AE AG 2, AF AG(2) (1)中結(jié)論成立，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)1 BE CF 11. 12,則 AE AF 2 2A作AN II BC交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N ,FEBECB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M ,則AEBM CF CMAN AF ANBE CF BM CM BM CMAE AF AN ANAN又 BM CM