Matlab代數(shù)運(yùn)算

1、第二講 線性代數(shù)中的數(shù)值計(jì)算問題【引引 例例 】求下列三階線性代數(shù)方程組的近似解5426255452321321321xxxxxxxxxMATLAB程序?yàn)椋篈=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4；b=5;6;5；x=Ab在MATLAB命令窗口，先輸入下列命令構(gòu)造系數(shù)矩陣A和右端向量b：A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4A = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4b=5;6;5b = 5 6 5然后只需輸入命令x=Ab即可求得解x：x=Abx = 2.7674 1.1860 1.3488一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)1.零矩陣零矩陣:所有元素值為零的矩陣稱為零矩陣。零矩陣可以用zero

2、s函數(shù)實(shí)現(xiàn)。zeros是MATLAB內(nèi)部函數(shù)，使用格式如下：zeros(m)：產(chǎn)生m m階零矩陣；zeros(m,n)：產(chǎn)生m n階零矩陣， 當(dāng)m=n時(shí)等同于zeros(m)；zeros(size(A)：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)常見的特殊矩陣有零矩陣、幺矩陣、單位矩陣、三角形矩陣等，這類特殊矩陣在線性代數(shù)中具有通用性；還有一類特殊矩陣在專門學(xué)科中有用，如有名的希爾伯特(Hilbert)矩陣、范德蒙(Vandermonde) 矩陣等。2.幺矩陣幺矩陣:所有元素值為1的矩陣稱為幺矩陣。幺矩陣可以用ones函數(shù)實(shí)現(xiàn)。它的調(diào)用格式與zeros函數(shù)一樣。【例例1 1】 試用on

3、es分別建立32階幺矩陣、和與前例矩陣A同樣大小的幺矩陣。用ones(3,2) 建立一個(gè)32階幺陣：ones(3,2) % 一個(gè)32階幺陣ans =1 1 1 1 1 1一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)3.單位矩陣單位矩陣:主對(duì)角線的元素值為1、其余元素值為0的矩陣稱為單位矩陣。它可以用MATLAB內(nèi)部函數(shù)eye建立，使用格式與zeros相同。4.數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣:主對(duì)角線的元素值為一常數(shù)d、其余元素值為0的矩陣稱為數(shù)量矩陣。顯然，當(dāng)d=1時(shí)，即為單位矩陣，故數(shù)量矩陣可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)5.對(duì)角陣對(duì)角陣:對(duì)角線的元素值為常數(shù)、其余元素值為0的矩陣稱為對(duì)角陣

4、。我們可以通過MATLAB內(nèi)部函數(shù)diag，利用一個(gè)向量構(gòu)成對(duì)角陣；或從矩陣中提取某對(duì)角線構(gòu)成一個(gè)向量。使用格式為： diag(V), diag(V,k)設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)mm階對(duì)角陣，其主對(duì)角線的元素值即為向量的元素值；diag(V,k)將產(chǎn)生一個(gè)nn(n=m+|k|，k為一整數(shù))階對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素值即為向量的元素值。注意：當(dāng)k0，則該對(duì)角線位于主對(duì)角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對(duì)角線位于主對(duì)角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于diag(V)。用diag建立的對(duì)角陣必是方陣。一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)【例例2 2】已知向量v，試建立以向量v作為主對(duì)角線

5、的對(duì)角陣A；建立分別以向量v作為主對(duì)角線兩側(cè)的對(duì)角線的對(duì)角陣B和C。MATLAB程序如下：v =1;2;3; % 建立一個(gè)已知的向量AA=diag(v)A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B=diag(v,1)B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0C=diag(v,-1)C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 % 按各種對(duì)角線情況構(gòu)成相應(yīng)的對(duì)角陣A、B和C一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)6.上三角陣：使用格式為triu(A)、triu(A,k)設(shè)A為mn階矩陣，triu(A)將從矩陣A中提取主對(duì)角線之上的上三角部分構(gòu)成一個(gè)m n階上三角陣

6、；triu(A,k)將從矩陣A中提取主對(duì)角線第|k|條對(duì)角線之上的上三角部分構(gòu)成一個(gè)m n階上三角陣。注意：這里的k與diag(A,k)的用法類似，當(dāng)k0，則該對(duì)角線位于主對(duì)角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對(duì)角線位于主對(duì)角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于triu (A)一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)【例例4 4】試分別用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)從矩陣A提取相應(yīng)的上三角部分構(gòu)成上三角陣B、C和D。MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7; % 一個(gè)已知的43階矩陣A% 構(gòu)成各種情況的上三角陣B、C和DB=triu(A)B = 1 2 3

7、0 5 6 0 0 9 0 0 0C=triu(A,1)D=triu(A,-1)一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)8.下三角陣：使用格式為tril(A)、tril(A,k)tril的功能是從矩陣A中提取下三角部分構(gòu)成下三角陣。用法與triu相同。8.空矩陣空矩陣在MATLAB里，把行數(shù)、列數(shù)為零的矩陣定義為空矩陣。空矩陣在數(shù)學(xué)意義上講是空的，但在MATLAB里確是很有用的。例如A=0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6;B=find(A1.0) %返回向量A中符合條件的元素的位置B = 這里 是空矩陣的符號(hào)，B=find(A1.0)表示列出矩陣A中值大于1.0的元素的序號(hào)。當(dāng)不能滿足括號(hào)中的條件時(shí)，

8、返回空矩陣。另外，也可以將空矩陣賦給一個(gè)變量，如：B= B = 一、 特殊矩陣的實(shí)現(xiàn)二、矩陣的特征值 與特征向量對(duì)于NN階方陣A，所謂A的特征值問題是：求數(shù)和N維非零向量x（通常為復(fù)數(shù)），使之滿足下式： Ax=x則稱為矩陣A的一個(gè)特征值（特征根），而非零向量x為矩陣A的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。對(duì)一般的NN階方陣A，其特征值通常為復(fù)數(shù)，若A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值為實(shí)數(shù)。二、矩陣的特征值與特征向量MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)eig可以用來計(jì)算特征值與特征向量.eig函數(shù)的使用格式有五種,其中常見的有 E=eig(A), V,D=eig(A),二、矩陣的特征值與特征向量(1) E=eig(A)：由

9、eig(A)返回方陣A的N個(gè)特征值，構(gòu)成向量E；(2) V,D=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個(gè)特征值，構(gòu)成NN階對(duì)角陣D，其對(duì)角線上的N個(gè)元素即為相應(yīng)的特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量賦予NN階方陣V的對(duì)應(yīng)列; 【例例5 5】試用格式(1)求下列對(duì)稱矩陣A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相應(yīng)的特征向量，且驗(yàn)證之。A = 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000 ;執(zhí)行eig(A)將直接獲得對(duì)稱矩陣A的三個(gè)實(shí)特征值：二、矩陣的特征值與特征向量eig(A)ans = -0.0166 1.4801

10、2.5365而下列命令則將其三個(gè)實(shí)特征值作為向量賦予變量E：E=eig(A)E = -0.0166 1.4801 2.5365二、矩陣的特征值與特征向量三、行列式的值MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)det用來計(jì)算矩陣的行列式的值。設(shè)矩陣A為一方陣(必須是方陣)，求矩陣A的行列式值的格式為：det(A)。注意：本函數(shù)同樣能計(jì)算通過構(gòu)造出的稀疏矩陣的行列式的值。三、行列式的值【例例6 6】利用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)三階方陣A，然后計(jì)算方陣之行列式的值。A=rand(3)A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214det(A

11、)ans = 0.4289四、 矩陣求逆及其 線性代數(shù)方程組求解1.矩陣的基本性質(zhì)矩陣的基本性質(zhì) 矩陣的秩：矩陣的秩：矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。 矩陣的跡：矩陣的跡：等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。 向量的范數(shù)：向量的范數(shù)：用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。(1) norm(V)或或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2范數(shù)。 (2) norm(V,1)：計(jì)算向量V的1范數(shù)。 (3) norm(V,inf)：計(jì)算向

12、量V的范數(shù)。 矩陣的范數(shù)：矩陣的范數(shù)：MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。 矩陣的條件數(shù)：矩陣的條件數(shù)：在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：(1) cond(A,1)： 計(jì)算A的1范數(shù)下的條件數(shù)。(2) cond(A)或或cond(A,2)： 計(jì)算A的2范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。(3) cond(A,inf)： 計(jì)算A的 范數(shù)下的條件數(shù)。2 . 矩陣求逆矩陣求逆若方陣A,B滿足等式A*B = B*A = I (I為單位矩陣)則稱A為B的逆矩陣，或稱B為A的逆矩陣。這時(shí)A，B都稱為可逆矩陣(或非奇異矩陣、或滿秩矩陣)，否則稱為不可逆矩陣(或奇

13、異矩陣、或降秩矩陣)。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解【例例7 7】試用inv函數(shù)求方陣A的逆陣A-1賦值給B，且驗(yàn)證A與A-1是互逆的。A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;B=inv(A)B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000B*Aans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.

14、0000 1.0000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解3. 矩陣求逆解法矩陣求逆解法利用求系數(shù)矩陣A的逆陣A-1，我們可以得到矩陣求逆解法。對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b，等號(hào)兩側(cè)各左乘A-1，有：A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得：x=A-1b四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解【例例8 8】試用矩陣求逆解法求解例6.20中矩陣A為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Ax=b的解。A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;b=2;-3;1;x=inv(A)*bx = -3.8000 1.4000 7.2000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解4. 直接解法直接解法對(duì)于線性代數(shù)方程組Ax=b，我們可

15、以運(yùn)用左除運(yùn)算符“”象解一元一次方程那樣簡單地求解： x=Ab當(dāng)系數(shù)矩陣A為N*N的方陣時(shí)，MATLAB會(huì)自行用高斯消去法求解線性代數(shù)方程組。若右端項(xiàng)b為N*1的列向量，則x=Ab可獲得方程組的數(shù)值解x（N*1的列向量）；若右端項(xiàng)b為N*M的矩陣，則x=Ab可同時(shí)獲得同一系數(shù)矩陣A、M個(gè)方程組數(shù)值解x（為N*M的矩陣），即x(:,j)=Ab(:,j)，j=1,2,M。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解132321112345111xxx543321112345111yyy四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解解法解法1：分別解方程組 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2A=1 -1 1;5 -4 3

16、;2 1 1;b1=2;-3;1;b2=3;4;-5;x=Ab1x = -3.8000 1.4000 7.2000y=Ab2 -3.6000 -2.2000 4.4000得兩個(gè)線性代數(shù)方程組的解： (1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1= -3.8， y2= 1.4， y3= 7.2四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解解法解法2：將兩個(gè)方程組連在一起求解：Az=bb=2 3;-3 4;1 -5z=Abz = -3.8000 -3.6000 1.4000 -2.2000 7.2000 4.4000很明顯，這里的解z的兩個(gè)列向量便是前面分別求得的兩組解x和y四、

17、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解五 、多項(xiàng)式運(yùn)算 及其求根五、 多項(xiàng)式運(yùn)算及其求根 MATLAB語言把多項(xiàng)式表達(dá)成一個(gè)行向量。鑒于MATLAB無零下標(biāo)，故把多項(xiàng)式的一般形式表達(dá)為： 在MATLAB里，多項(xiàng)式由一個(gè)行向量表示，該向量中的元素是按多項(xiàng)式降冪排列的。 P=a1 a2 an an+1 注意，必須包括具有零系數(shù)的項(xiàng) 。1121nnnnaxaxaxa五、 多項(xiàng)式運(yùn)算及其求根1. 多項(xiàng)式求根多項(xiàng)式求根命令格式：x=roots(A)。這里A為多項(xiàng)式的系數(shù)A(1),A(2),A(N),A(N+1)；解得的根賦值給數(shù)組X，即X(1),X(2), ,X(N)?！纠? 9】試用ROOTS函數(shù)求多項(xiàng)式x

18、4+8x3-10的根這是一個(gè)4次多項(xiàng)式，它的五個(gè)系數(shù)依次為：1,8,0,0,-10。下面先產(chǎn)生多項(xiàng)式系數(shù)的向量A，然后求根：A=1 8 0 0 -10A = 1 8 0 0 -10 x=roots(A)x = -8.0194 -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i 1.0344 五、 多項(xiàng)式運(yùn)算及其求根2. 多項(xiàng)式的建立多項(xiàng)式的建立若已知多項(xiàng)式的全部根，則可以用POLY函數(shù)建立起該多項(xiàng)式；也可以用POLY函數(shù)求矩陣的特征多項(xiàng)式。POLY函數(shù)是一個(gè)MATLAB程序，調(diào)用它的命令格式是： A=poly(x)若x為具有N個(gè)元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多

19、項(xiàng)式，且將該多項(xiàng)式的系數(shù)賦值給向量A。例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0; p=poly(a) p1=poly2str(p,x) %顯示數(shù)學(xué)多項(xiàng)式的形式五、 多項(xiàng)式運(yùn)算及其求根3. 求多項(xiàng)式的值求多項(xiàng)式的值POLYVAL函數(shù)用來求代數(shù)多項(xiàng)式的值，調(diào)用的命令格式為： Y=polyval(A,x)本命令將POLYVAL函數(shù)返回的多項(xiàng)式的值賦值給Y。若x為一數(shù)值，則Y也為一數(shù)值；若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。五、 多項(xiàng)式運(yùn)算及其求根【例例1010】以例9的4次多項(xiàng)式、分別取x=1.2和下面的矩陣的23個(gè)元素為自變量計(jì)算該多項(xiàng)式的值。A=1 8 0 0 -10;

20、% 例9的4次多項(xiàng)式系數(shù)x=1.2; % 取自變量為一數(shù)值y1=polyval(A,x)y1 = -97.3043x=-1 1.2 -1.4;2 -1.8 1.6 % 給出一個(gè)矩陣xx = -1.0000 1.2000 -1.4000五、 多項(xiàng)式運(yùn)算及其求根4. 多項(xiàng)式的四則運(yùn)算多項(xiàng)式的四則運(yùn)算(1)多項(xiàng)式加、減多項(xiàng)式加、減對(duì)于次數(shù)相同的若干個(gè)多項(xiàng)式，可直接對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)向量進(jìn)行加、減的運(yùn)算。如果多項(xiàng)式的次數(shù)不同，則應(yīng)該把低次的多項(xiàng)式系數(shù)不足的高次項(xiàng)用零補(bǔ)足，使同式中的各多項(xiàng)式具有相同的次數(shù)。五、 多項(xiàng)式運(yùn)算及其求根(2)多項(xiàng)式乘法多項(xiàng)式乘法若A、B是由多項(xiàng)式系數(shù)組成的向量，則CONV函數(shù)將返回這兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積。調(diào)用它的命令格式為：C=conv(A,B)命令的結(jié)果C為一個(gè)向量，由它構(gòu)成一個(gè)多項(xiàng)式?！纠?111】 a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c(x) = (x2