火電廠仿真(課件)

1、火電廠仿真太原理工大學(xué)電氣與動(dòng)力工程學(xué)院熱能系太原理工大學(xué)電氣與動(dòng)力工程學(xué)院熱能系3.提高機(jī)組的安全性、效率和使用壽命 由于培訓(xùn)和研究開(kāi)發(fā)試驗(yàn)不在現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行，可以避免現(xiàn)場(chǎng)的人為失誤、減少停機(jī)次數(shù)、提高設(shè)備的安全性、提高機(jī)組使用效率及壽命。 按真實(shí)系統(tǒng)的物理性質(zhì)構(gòu)造系統(tǒng)的物理模型，按真實(shí)系統(tǒng)的物理性質(zhì)構(gòu)造系統(tǒng)的物理模型，再現(xiàn)系統(tǒng)的一些特性。再現(xiàn)系統(tǒng)的一些特性。例如例如:新型鍋爐生產(chǎn)前，各部件按一定比例縮小，新型鍋爐生產(chǎn)前，各部件按一定比例縮小，構(gòu)成一個(gè)幾何相似的物理模型。構(gòu)成一個(gè)幾何相似的物理模型。 對(duì)此分析研究可發(fā)現(xiàn)該鍋爐在結(jié)構(gòu)和形態(tài)上對(duì)此分析研究可發(fā)現(xiàn)該鍋爐在結(jié)構(gòu)和形態(tài)上是否合理，安裝、操作和

2、檢修是否便利。是否合理，安裝、操作和檢修是否便利。 這種模型僅反映了其結(jié)構(gòu)特性，而未能反映這種模型僅反映了其結(jié)構(gòu)特性，而未能反映鍋爐內(nèi)部傳熱學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)的特性。鍋爐內(nèi)部傳熱學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)的特性。一、計(jì)算機(jī)仿真的概念第二節(jié)計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)簡(jiǎn)介第二節(jié)計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)簡(jiǎn)介 按真實(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)造系統(tǒng)的數(shù)按真實(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)造系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即將實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用數(shù)學(xué)學(xué)模型，即將實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)，并在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行試驗(yàn)形式表達(dá)出來(lái)，并在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行試驗(yàn)，再現(xiàn)系統(tǒng)的某些特性。，再現(xiàn)系統(tǒng)的某些特性。數(shù)學(xué)模型能精確反映系統(tǒng)內(nèi)部的各種靜數(shù)學(xué)模型能精確反映系統(tǒng)內(nèi)部的各種靜態(tài)

3、和動(dòng)態(tài)特性，如鍋爐運(yùn)行中的燃料化學(xué)反態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，如鍋爐運(yùn)行中的燃料化學(xué)反應(yīng)、傳熱過(guò)程、能量?jī)?chǔ)存與釋放、工質(zhì)循環(huán)應(yīng)、傳熱過(guò)程、能量?jī)?chǔ)存與釋放、工質(zhì)循環(huán)流動(dòng)的特性。流動(dòng)的特性。數(shù)學(xué)仿真一般是利用計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)仿真一般是利用計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)算和試驗(yàn)的。因此，利用計(jì)算機(jī)模型進(jìn)行運(yùn)算和試驗(yàn)的。因此，利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)數(shù)學(xué)仿真也稱為：實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)數(shù)學(xué)仿真也稱為：計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算機(jī)仿真。 將真實(shí)系統(tǒng)的一部分用數(shù)學(xué)模型將真實(shí)系統(tǒng)的一部分用數(shù)學(xué)模型描述，并放到計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，而另一描述，并放到計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，而另一部分則構(gòu)造其物理模型或直接采用實(shí)部分則構(gòu)造其物理模型或直接采用實(shí)物，然后將它們連接成系

4、統(tǒng)，并在此物，然后將它們連接成系統(tǒng)，并在此系統(tǒng)上進(jìn)行試驗(yàn)，再現(xiàn)系統(tǒng)的某些特系統(tǒng)上進(jìn)行試驗(yàn)，再現(xiàn)系統(tǒng)的某些特性。性。這種仿真又稱：這種仿真又稱：半物理仿真。半物理仿真。4. 計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算機(jī)仿真定義：定義：將一個(gè)能近似描述實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)將一個(gè)能近似描述實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行第二次?；?，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)仿真模型，并將其放行第二次?；D(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)仿真模型，并將其放到計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)行，以再現(xiàn)系統(tǒng)某些特性的過(guò)到計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)行，以再現(xiàn)系統(tǒng)某些特性的過(guò)程。程。第一次?；貉芯繉?shí)際系統(tǒng)與數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系；第一次模化：研究實(shí)際系統(tǒng)與數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系；第二次?；貉芯繑?shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)之間的關(guān)系。第二次?；?/p>

5、研究數(shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)之間的關(guān)系。計(jì)算機(jī)仿真是本課程討論的主題。計(jì)算機(jī)仿真是本課程討論的主題。5.計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真系統(tǒng)用于系統(tǒng)仿真的一套軟、硬設(shè)備。用于系統(tǒng)仿真的一套軟、硬設(shè)備。其主體是計(jì)算機(jī)。其主體是計(jì)算機(jī)。按計(jì)算機(jī)的類型分，有以下仿真系統(tǒng)：按計(jì)算機(jī)的類型分，有以下仿真系統(tǒng)：1 1、模擬仿真系統(tǒng)、模擬仿真系統(tǒng)2 2、數(shù)字仿真系統(tǒng)、數(shù)字仿真系統(tǒng)3 3、數(shù)模混合仿真系統(tǒng)、數(shù)?；旌戏抡嫦到y(tǒng)用模擬計(jì)算機(jī)組成的仿真系統(tǒng)用模擬計(jì)算機(jī)組成的仿真系統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)算是運(yùn)算是 “ “并行并行”的、的、 “ “連續(xù)連續(xù)”的的。因此，運(yùn)算速度快，且更接近連。因此，運(yùn)算速度快，且更接近連續(xù)系統(tǒng)。續(xù)系統(tǒng)。缺點(diǎn)

6、：缺點(diǎn)：運(yùn)算精度低、線路復(fù)雜、對(duì)采樣和邏運(yùn)算精度低、線路復(fù)雜、對(duì)采樣和邏輯系統(tǒng)的仿真比較困難、仿真的自動(dòng)輯系統(tǒng)的仿真比較困難、仿真的自動(dòng)化程度低（依靠排題板接線）?；潭鹊停ㄒ揽颗蓬}板接線）。用數(shù)字計(jì)算機(jī)組成的仿真系統(tǒng)用數(shù)字計(jì)算機(jī)組成的仿真系統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：被仿真的系統(tǒng)包含在一組程序中，仿真自被仿真的系統(tǒng)包含在一組程序中，仿真自動(dòng)化程度高，使用方便；運(yùn)算精度高；易實(shí)現(xiàn)邏動(dòng)化程度高，使用方便；運(yùn)算精度高；易實(shí)現(xiàn)邏輯處理和非線性環(huán)節(jié)；程序和參數(shù)修改容易。輯處理和非線性環(huán)節(jié)；程序和參數(shù)修改容易。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：運(yùn)算過(guò)程是運(yùn)算過(guò)程是“串行串行”的，運(yùn)算速度相對(duì)較的，運(yùn)算速度相對(duì)較低、實(shí)時(shí)仿真和尋優(yōu)計(jì)算等不

7、如模擬仿真系統(tǒng)快低、實(shí)時(shí)仿真和尋優(yōu)計(jì)算等不如模擬仿真系統(tǒng)快。 用微型數(shù)字計(jì)算機(jī)陣列組成的仿真系統(tǒng)，用微型數(shù)字計(jì)算機(jī)陣列組成的仿真系統(tǒng)， 稱為稱為 用模擬計(jì)算機(jī)和數(shù)字計(jì)算機(jī)組成用模擬計(jì)算機(jī)和數(shù)字計(jì)算機(jī)組成的仿真系統(tǒng)。的仿真系統(tǒng)。由于模擬計(jì)算機(jī)和數(shù)字計(jì)由于模擬計(jì)算機(jī)和數(shù)字計(jì)算機(jī)的優(yōu)缺點(diǎn)是互補(bǔ)的。因此，該系統(tǒng)達(dá)算機(jī)的優(yōu)缺點(diǎn)是互補(bǔ)的。因此，該系統(tǒng)達(dá)到了揚(yáng)長(zhǎng)避短的目的。到了揚(yáng)長(zhǎng)避短的目的。該系統(tǒng)適用于：該系統(tǒng)適用于：（1 1）要求與實(shí)物連接，又有許多復(fù)雜函數(shù)需計(jì)算的實(shí)時(shí)）要求與實(shí)物連接，又有許多復(fù)雜函數(shù)需計(jì)算的實(shí)時(shí)仿真；仿真；（2 2）需要進(jìn)行反復(fù)迭代計(jì)算（如統(tǒng)計(jì)分析、參數(shù)尋優(yōu)）需要進(jìn)行反復(fù)迭代計(jì)算（如

8、統(tǒng)計(jì)分析、參數(shù)尋優(yōu)）的仿真；的仿真；（3 3）對(duì)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的仿真；）對(duì)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的仿真；三、火電廠仿真技術(shù)的應(yīng)用三、火電廠仿真技術(shù)的應(yīng)用 火電廠計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)是一門綜火電廠計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)是一門綜合技術(shù)。它是以數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)合技術(shù)。它是以數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、傳熱學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)、控、傳熱學(xué)、熱力學(xué)、流體力學(xué)、控制理論、計(jì)算機(jī)技術(shù)、熱能動(dòng)力、制理論、計(jì)算機(jī)技術(shù)、熱能動(dòng)力、電工學(xué)、熱工儀表及電氣儀表等多電工學(xué)、熱工儀表及電氣儀表等多學(xué)科專業(yè)的理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)學(xué)科專業(yè)的理論為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)和各種物理效應(yīng)設(shè)備（它再現(xiàn)真實(shí)和各種物理效應(yīng)設(shè)備（它再現(xiàn)真實(shí)環(huán)境）為工具，對(duì)真實(shí)火電廠發(fā)電環(huán)境）為

9、工具，對(duì)真實(shí)火電廠發(fā)電機(jī)組及其運(yùn)行進(jìn)行仿真的技術(shù)。機(jī)組及其運(yùn)行進(jìn)行仿真的技術(shù)。 火力發(fā)電機(jī)組的設(shè)備龐大，系統(tǒng)復(fù)雜?；鹆Πl(fā)電機(jī)組的設(shè)備龐大，系統(tǒng)復(fù)雜。因此：因此：對(duì)設(shè)備的研究、對(duì)系統(tǒng)的試驗(yàn)、對(duì)參對(duì)設(shè)備的研究、對(duì)系統(tǒng)的試驗(yàn)、對(duì)參數(shù)的校正、對(duì)運(yùn)行安全和經(jīng)濟(jì)的分析、對(duì)運(yùn)數(shù)的校正、對(duì)運(yùn)行安全和經(jīng)濟(jì)的分析、對(duì)運(yùn)行值班員的培訓(xùn)等，行值班員的培訓(xùn)等，在實(shí)際發(fā)電機(jī)組上直接在實(shí)際發(fā)電機(jī)組上直接進(jìn)行，或是很困難或根本不可能。利用仿真進(jìn)行，或是很困難或根本不可能。利用仿真技術(shù)的特點(diǎn)、在模型上進(jìn)行試驗(yàn)研究，在仿技術(shù)的特點(diǎn)、在模型上進(jìn)行試驗(yàn)研究，在仿真機(jī)上培訓(xùn)運(yùn)行值班員，則上述問(wèn)題可迎刃真機(jī)上培訓(xùn)運(yùn)行值班員，則上述問(wèn)題可

10、迎刃而解。而解。 等之分。等之分。數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，是系是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，是系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)，是計(jì)算機(jī)仿真的依據(jù)。統(tǒng)研究的基礎(chǔ)，是計(jì)算機(jī)仿真的依據(jù)。實(shí)物模型：實(shí)物模型：根據(jù)相似性建立的形象模型，具有實(shí)體性屬物理模擬試驗(yàn)技術(shù)范疇。（不介紹）數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：用符號(hào)和數(shù)學(xué)方程式表示的系統(tǒng)模型，具有抽象性。（本課程內(nèi)容）系系 統(tǒng)統(tǒng) 模模 型型按描述的狀態(tài)分按描述的方式分按系統(tǒng)的性質(zhì)分按求解的方法分按獲取的方法分靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型連續(xù)模型離散模型線性模型非線性模型分析求解模型數(shù)字求解模型理論模型黑箱模型反映變量間變量間的相互函數(shù)關(guān)系反映變量與時(shí)間變量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)

11、是時(shí)間的離散函數(shù)可以用線性微分方程描述不能用線性微分方程描述利于解析法求解 利于計(jì)算機(jī)求解 理論推導(dǎo)所得的模型試驗(yàn)研究所得的模型 注：（1）一般，仿真所要建立的是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，靜態(tài)模型包含在動(dòng)態(tài)模型之中。（2）電廠的系統(tǒng)仿真，往往綜合采用連續(xù)離散線性非線性理論黑箱等模型，以保證模型精度。線性特性汽機(jī)功率調(diào)節(jié)級(jí)壓力抽氣量汽機(jī)功率(凝汽式機(jī)組) 非線性特性爐膛傳熱溫度流量壓差轉(zhuǎn)速油壓 可以應(yīng)用疊加原理不能應(yīng)用疊加原理必須有效地協(xié)調(diào)線性與非線性之間的相互關(guān)系必要時(shí),非線性特性線性化 工質(zhì)狀態(tài)工質(zhì)狀態(tài) （溫度） 工況工況環(huán)境環(huán)境條件條件 （過(guò)熱器管長(zhǎng)） 時(shí)間時(shí)間建模時(shí)多采建模時(shí)多采用用分區(qū)集總分區(qū)集

12、總方法方法，即將，即將三維空間三維空間的分布參數(shù)簡(jiǎn)化的分布參數(shù)簡(jiǎn)化為一維空間。否為一維空間。否則無(wú)法求解。則無(wú)法求解。汽機(jī)甩負(fù)荷轉(zhuǎn)速煙溫主汽溫時(shí)間常數(shù)小響應(yīng)快燃料汽壓減溫水量主汽溫時(shí)間常數(shù)大響應(yīng)慢建模時(shí)應(yīng)處理好模型的簡(jiǎn)潔與精確之間的關(guān)系對(duì)響應(yīng)速度差異很大的對(duì)象，一般分別建對(duì)響應(yīng)速度差異很大的對(duì)象，一般分別建立動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，可采用不同的時(shí)間步長(zhǎng)立動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，可采用不同的時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行仿真計(jì)算。進(jìn)行仿真計(jì)算。分解集合把實(shí)際系統(tǒng)分成若干子系統(tǒng)，分別建立其模型，然后綜合。把若干子系統(tǒng)視為一個(gè)整體，統(tǒng)一建立其模型。模型精細(xì)復(fù)雜模型簡(jiǎn)潔粗糙因此，在建立復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型時(shí)，應(yīng)善于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行合理的分解，即按

13、不同的化學(xué)、物理過(guò)程（如燃燒、傳熱、流動(dòng)、做功等），把系統(tǒng)分成許多子系統(tǒng)，這些子系統(tǒng)并不都是簡(jiǎn)單地按設(shè)備的類型來(lái)劃分的，而根據(jù)系統(tǒng)的屬性來(lái)劃分更為合理。在分解系統(tǒng)時(shí)，正確處理各子系統(tǒng)間的關(guān)系是十分重要的，因此要正確地選擇系統(tǒng)中的狀態(tài)變量，充分保證信息的傳遞如實(shí)際過(guò)程那樣進(jìn)行。為滿足實(shí)時(shí)運(yùn)行要求，仿真機(jī)應(yīng)采用速度快、為滿足實(shí)時(shí)運(yùn)行要求，仿真機(jī)應(yīng)采用速度快、容量大的計(jì)算機(jī)。容量大的計(jì)算機(jī)。 （7 7）模型計(jì)算涉及的數(shù)據(jù)量大）模型計(jì)算涉及的數(shù)據(jù)量大數(shù)學(xué)模型運(yùn)算涉及的數(shù)學(xué)模型運(yùn)算涉及的I/OI/O變量、中間變量、常變量、中間變量、常數(shù)等數(shù)量巨大。例如：數(shù)等數(shù)量巨大。例如：一臺(tái)采用常規(guī)儀表盤一臺(tái)采用常規(guī)

14、儀表盤/ /臺(tái)的臺(tái)的300300MWMW燃煤發(fā)電機(jī)組燃煤發(fā)電機(jī)組的全范圍仿真機(jī)有：的全范圍仿真機(jī)有：50005000多個(gè)多個(gè)I/OI/O變量；變量； 10000 10000多多個(gè)中間變量；個(gè)中間變量； 建模是綜合知識(shí)的體現(xiàn)，它涉及的知識(shí)廣泛。建模是綜合知識(shí)的體現(xiàn)，它涉及的知識(shí)廣泛。如：如：理論知識(shí)理論知識(shí)物理學(xué)化學(xué)數(shù)學(xué)熱力學(xué)傳熱學(xué)物理學(xué)化學(xué)數(shù)學(xué)熱力學(xué)傳熱學(xué)專業(yè)知識(shí)專業(yè)知識(shí)鍋爐原理汽輪機(jī)原理電機(jī)原理機(jī)械原理、控鍋爐原理汽輪機(jī)原理電機(jī)原理機(jī)械原理、控制理論制理論實(shí)踐知識(shí)實(shí)踐知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)運(yùn)行知識(shí)試驗(yàn)技術(shù)結(jié)構(gòu)知識(shí)運(yùn)行知識(shí)試驗(yàn)技術(shù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立在每一個(gè)方框基礎(chǔ)上系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立在每一個(gè)方框基礎(chǔ)上分解分

15、解模型。模型。準(zhǔn)確的模型是取得正確仿真結(jié)果的基礎(chǔ) 系統(tǒng)簡(jiǎn)化 與 的正確與否密切相關(guān) 假設(shè)條件 物理規(guī)律依賴于對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部 化學(xué)規(guī)律 的熟悉程度和概括能力 運(yùn)作機(jī)理 是指與熱平衡相關(guān)的系統(tǒng)。例如主燃料系統(tǒng)、風(fēng)煙系統(tǒng)、爐膛、主蒸汽系統(tǒng)、汽輪機(jī)和抽汽系統(tǒng)、發(fā)電機(jī)、凝汽器、凝結(jié)水系統(tǒng)、給水系統(tǒng)、循環(huán)水系統(tǒng)、冷卻塔和和加熱器疏水系統(tǒng)等。ucdtudcdtudcyadtdyadtydadtydnnnnnnnnnnn12211101111自由項(xiàng)強(qiáng)迫項(xiàng)(2-1)式中：y=y（t）系統(tǒng)的輸出量 u=u（t）系統(tǒng)的輸入量 ai， cI系數(shù)dtdp pny+a1pn-1y+an-1py+any=c0pn-1u+c1p

16、n-2u+cn-1unjnjjjnjjnupcypa0101或：或：（其中a0=1）njjjnnjjjnpapcuy0101(2-2)()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111tuytaytaytadtdytuytaytaytadtdytuytaytaytadtdynnnnnnnnnnnaij隨時(shí)間而變時(shí)變系統(tǒng)aij不隨時(shí)間變定常系統(tǒng)Ui(t)全部恒等于零齊次線性微分方程組Ui(t)有一個(gè)不為零非齊次線性微分方程組式中：yi 局部輸出量； ui 局部輸入量； aij, 系數(shù)（2-3）)(,1122tudtyddtyddtdyytfdtydnnnn

17、令 y1 y2 y3 yn （2-4）一種表達(dá)式為則一階微分方程組的另)(,211132221tuyyytfdtdyydtdyydtdyydtdynnnnnn式中：y1，y2，yn為自變量t的n個(gè)未知函數(shù)。求解式（2-4）相當(dāng)于求解式（2-5）(2-5)()()()()()()(12110111sUcsUscsUscsYassYasYsasYsnnnnnnn（2-6）即： sn 替換 dn/dtn s為拉普拉斯算子 Y(s)替換y(t) Y(s)為輸出量y(t)的拉普拉斯變換 U(s)替換u(t) U(s)為輸入量u(t)的拉普拉斯變換 此式與式（2-2）比較可知，在初值為零的情況下，用算子P

18、表示的式子與用傳遞函數(shù)G(s)表示的式子在形式完全相同。nnnnnnnasasascscscsUsYsG11112110)()()(（2-7）將上式整理可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)G（s）的規(guī)范式為：nnnnnnnnajajajcjcjcjcjUjYjG)()()()()()()()()(111122110（2-8）上述模型只描述了系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系未描述系統(tǒng)內(nèi)部的情況稱為：外部模型仿 真在計(jì)算機(jī)上對(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行試驗(yàn)必須在計(jì)算機(jī)上復(fù)現(xiàn)（實(shí)現(xiàn)）系統(tǒng)即復(fù)現(xiàn)系統(tǒng)輸入量復(fù)現(xiàn)系統(tǒng)輸出量復(fù)現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)部變量又稱：狀態(tài)變量仿真要求將系統(tǒng)辨識(shí)或其它方法建立的外部模型轉(zhuǎn)化為：內(nèi)部模型內(nèi)部模型狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模

19、型狀態(tài)方程狀態(tài)方程控制理論中稱之為：實(shí)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)現(xiàn)問(wèn)題傳遞函數(shù)G(s)U1（s）U2（s）UL（s）Y1（s）Y2（s）Ym（s）當(dāng)引入狀態(tài)變量后，框圖變成了：狀態(tài)變量xi UYlnmU、Y、X均為時(shí)間的函數(shù)。luuuU21（2-9）myyyY21（2-10） m個(gè)輸出變量yI，輸出變量的集合可用輸出向量Y來(lái)表示；nxxxX21（2-11） n個(gè)狀態(tài)變量xI，狀態(tài)變量的集合可用狀態(tài)向量X來(lái)表示：),(),()(00ttUtXftX),(),()(00ttUtXgtY（2-12）（2-13）系統(tǒng)的狀態(tài)方程系 統(tǒng) 的 輸 出 方程式中：X（t0）初始狀態(tài)向量 U（t0,t）初始時(shí)刻t0到t的系統(tǒng)輸入

20、向量 f 表示一個(gè)單值函數(shù) g 也表示一個(gè)單值函數(shù)若用微分方程表示，則其表示式為：)(),()(tUtXFtX)(),()(tUtXGtY（2-14）（2-15）若用線性微分方程表示，則其表示式如下：)()()()()(tUtBtXtAtX)()()()()(tUtDtXtCtY（2-16）（2-17）系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)方程規(guī)范式在狀態(tài)空間中： A（t）(nn階)系統(tǒng)矩陣（系數(shù)矩陣、狀態(tài)矩陣）B（t）(nl階)控制矩陣（驅(qū)動(dòng)矩陣）C（t）(mn階)輸出矩陣D（t）(ml階)傳遞矩陣（傳輸矩陣）當(dāng)A(t)、B(t)、C(t)、D(t)隨時(shí)間而變化時(shí)，系統(tǒng)稱為變系數(shù)系統(tǒng)（時(shí)變系統(tǒng)）；當(dāng)A(t)、B

21、(t)、C(t)、D(t)不隨時(shí)間而變時(shí)，可用A、B、C、D來(lái)表示，系統(tǒng)則稱為常系數(shù)系統(tǒng)（定常系統(tǒng)）。D(t)U(t)項(xiàng)表示系統(tǒng)的輸入和輸出通過(guò)D(t)直接聯(lián)系的部分。在普通的控制系統(tǒng)中，通常D(t)=0，則式（2-17）變成：（2-18）)()()(tXtCtYa、微分方程的強(qiáng)迫項(xiàng)無(wú)無(wú)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的狀態(tài)方程（規(guī)范式）)(11111tucyadtdyadtdadtydnnnnnnn在該情況下，式（2-1）中的微分方程為：(2-19）其中：nnnnnnndtydxdtydxxdtydxxdtdyxxyx/1112223121今引進(jìn)n個(gè)狀態(tài)變量一階微分方程組nnndtydx )()(112112111

22、222111tucxaxaxaxatucyadtdyadtydadtydannnnnnnnnnnn把上述一階微分方程組寫成矩陣形式，可得：ucxxxaaaaxxxXnnnnnn1211212100101000010（2-20）XxxxYn0, 0, 0, 1 0, 0, 0, 1 21(2-21)121101000010aaaaAnnn100ncB0 , 0 , 0 , 1CCXYBuAXX（222）（223）顯然，狀態(tài)變量的初值為：)0()0()0()0()0()0(121nnyyyxxx.uydtdydtyddtyd54322233且：且：3)0(,2)0(, 1)0(yyy 試求該系統(tǒng)的

23、試求該系統(tǒng)的狀狀態(tài)方程，并將給出的初態(tài)方程，并將給出的初始條件用狀態(tài)變量的初值表示。始條件用狀態(tài)變量的初值表示。解：令22321dtydyxdtdyyxyx 則有uxxxxxxxx523432133221將上式寫成矩陣形式，uydtdydtyddtyd54322233 321001xxxy狀態(tài)變量的初值為：3)0()0(2)0()0(1)0()0(321yxyxyx 即可得狀態(tài)方程：uxxxxxx500234100010321321規(guī)范式（規(guī)范式（）b、微分方程強(qiáng)迫項(xiàng)有有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的狀態(tài)方程（規(guī)范式、）ucdtudcdtudcyadtdyadtydadtydnnnnnnnnnnn12211101

24、111dtdp pny+a1pn-1y+an-1py+any=c0pn-1u+c1pn-2u+cn-1unjnjjjnjjnupcypa0101或：（其中a0=1）njjjnnjjjnpapcuy0101njjjnxpau0引進(jìn)n個(gè)狀態(tài)變量：xpdtxdxxxpdtxdxxpxdtdxxxxxnnnnn111122223121即： pjx=xj+1 (j=0, 1, 2, , n-1)（2-24）則式（2-24）可寫為：xpaxpapxaxaxpaunnnnnjjjn022101001njnjjnxpaxau101njjjnnnuxaxxp（*）將式（2-24）代入式（2-2）可得：njnjn

25、jjjnjjnjjnxpapcypa01001（*）由式（*）和（*）可得：（2-25）BuAXX1010111njnjjjnjjnCXxcxpcy規(guī)范式（）121101000010aaaaAnnn其中：100B,0, 2, 1cccCnn)0()0()0()0()0()0(121nnxxxxxx規(guī)范式（）的應(yīng)用：是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可直接寫成狀態(tài)方程形式，且初始條件也是按各狀態(tài)變量的初值給出時(shí)，計(jì)算將十分方便。假定給出的微分方程組為：njnjjjnjjnupcypa00（2-30）ucupcupcyapyaypaypannnnnnn1101110即u和y的導(dǎo)數(shù)階次相等若令：nnnjjjnnnpx

26、ucyapucyapucyapucyap)()()()(1111100則有：ucyapxnnn若將式（2-30）兩邊同時(shí)取不定積分一次并令：122112001)()()(nnnnnpxucyapucyapucyap則有：ucyaxpxnnnn111并令：233113002)()()(nnnnnpxucyapucyapucyap則有：ucyaxpxnnnn2212同理有ucyaxpxjjjj1ucyapxxjjjj1或：則有：ucyapxxjjjj111)()()()(1122112001ucyaucyapucyapucyapxjjjjjjj即：（j=0，1，2，n）（2-31）（#）又因?yàn)樵趈

27、=0時(shí)，由式（#）有：00010ucyaxx 則在a0=1時(shí)，有：求初值用求初值用ucxy01uaccxaucucxaxucyaxxuaccxxaucucxaxucyaxxuaccxxaucucxaxucyaxxuaccxxaucucxaxucyaxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()()()()()()(0120111101111011111202312201232232101211101121121此時(shí)由式（#）可得： 由上述討論，可得式（2-30）在a0=1時(shí)的狀態(tài)方程和輸出方程如下：BuAXuaccaccaccaccxxxxaaaaxxxxXnnnnnnnnnn0101

28、202101121121121000100010001DuCXucxxxxynn01210, 0, 0, 1 （2-32）（2-33）規(guī)范式（規(guī)范式（）uBAXuccccxxxxaaaaxxxxXnnnnnnnn121121121121000100010001CXxxxxynn1210,0,0, 1 （2-32）（2-33）規(guī)范式（規(guī)范式（）jiijiijijucyax1)(1)(1)0()0()0(其中： ( j=1，2，n )udtduydtdydtyddtyd654322233式中：u為單位階躍函數(shù)，且初始條件為：0)0(u3)0(,2)0(, 1)0(yyy 試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出

29、方程，并將給出的初始條件用狀態(tài)變量的初值表示。解：根據(jù)題意，有：n=3， a0=1， a1=2， a2=3， a3=4，c0=0， c1=0， c2=5， c3=6可由規(guī)范式（），得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程：uxxxxxxX6500041030123213213210, 0, 0, 1 xxxy其中，各狀態(tài)變量由式（2-31）可求得：uydtdydtyducyaucyapucyapxydtdyucyaucyapxyucyax532)()()(2)()(222211002311002001jiijiijijucyax1)(1)(1)0()0()0(可求得：100343)0()0()0()0()0

30、()0()0()0()0()0()0(422)0()0()0()0()0()0()0(1)0()0()0()0(2212211003111002001ucyayayucyaucyaucyaxyayucyaucyaxyucyax 應(yīng)該指出：一個(gè)系統(tǒng)可以引入不同組合的狀態(tài)變量。那么，所設(shè)的狀態(tài)變量不同，獲得的狀態(tài)方程也會(huì)不同。即一個(gè)外部模型，可能有很多不同的內(nèi)部模型（狀態(tài)方程）一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程形式并非是唯一的。)()()()(1122112001ucyaucyapucyapucyapxjjjjjjj（j=0，1，2，n）（2-31）由式（由式（2-31）可知，所設(shè)的各狀態(tài)變量與可知，所設(shè)的各狀態(tài)

31、變量與u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)有關(guān)，因此而得的狀態(tài)方程的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)有關(guān)，因此而得的狀態(tài)方程:BuAXuaccaccaccaccxxxxaaaaxxxxXnnnnnnnnnn0101202101121121121000100010001DuCXucxxxxynn01210,0,0, 1（2-32）（2-33）規(guī)范式（規(guī)范式（）其解其解可能可能不是唯一的。不是唯一的。ucupcupcyapyaypaypnnnnnnn110111（2-34）如取以下如取以下n個(gè)變量作為一組狀態(tài)變量：個(gè)變量作為一組狀態(tài)變量：uxuuuuyxuxuuuyxuxuuyxuyxnnnnnnnn1112211012221031110201 （

32、3-35）且式中，且式中， 0， 1， 2， n分別為：分別為：a0=1011221103122133021122011100nnnnnnaaaacaaacaacacc（2-36）則可保證狀態(tài)方程解的唯一性。根據(jù)上面一組狀態(tài)變量，對(duì)于式（2-34）所描述的系統(tǒng)，可得出如下規(guī)范式：DuCXYBuAXX（2-37）（2-38）式中：00121121121121,0, 0, 0, 1 ,100001000010,cDCBxxxxXaaaaAxxxxXnnnnnnnnn狀態(tài)方程規(guī)規(guī)范范式式（）1對(duì)于以上各規(guī)范式：若A A，B B，C C，D D隨時(shí)間變化稱為：變系數(shù)系統(tǒng)變系數(shù)系統(tǒng)或時(shí)變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)若A

33、 A，B B，C C，D D不隨時(shí)間變稱為：常系數(shù)系統(tǒng)常系數(shù)系統(tǒng)或定常系統(tǒng)定常系統(tǒng)2一個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并非唯一的。表示一個(gè)系統(tǒng)的模型，可用不同的數(shù)學(xué)方法。最常用的方法為傳遞函數(shù)，其次是微分方程，狀態(tài)方程。3采用微分方程微分方程進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)的仿真時(shí)：微分方程一階微分方程組代數(shù)方程采用變量分離法一般把轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成 （a）應(yīng)根據(jù)初始值是否為零，選擇相應(yīng)的規(guī)范式。初始值為零時(shí)可選用規(guī)范式（）或規(guī)范式（）。 （b）若高階微分方程的初始條件是輸入u，輸出y及其導(dǎo)數(shù)的初值，應(yīng)變換成狀態(tài)方程的初值。 （c）若微分方程的強(qiáng)迫項(xiàng)含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可采用規(guī)范式（）或規(guī)范式（），但此時(shí)可能沒(méi)有唯一的解，若要獲得唯一的解，則

34、應(yīng)采用規(guī)范式（）。5、對(duì)已確定的系統(tǒng)，仿真所采用的數(shù)學(xué)方法可以不同，但研究結(jié)果應(yīng)與系統(tǒng)的實(shí)際情況一致。數(shù)值積分是數(shù)值分析的一個(gè)基本問(wèn)題。數(shù)值積分是數(shù)值分析的一個(gè)基本問(wèn)題。也是復(fù)雜計(jì)算問(wèn)題中的一個(gè)基本組成部分。也是復(fù)雜計(jì)算問(wèn)題中的一個(gè)基本組成部分。數(shù)值積分往往用極簡(jiǎn)單的方法就能較好地得數(shù)值積分往往用極簡(jiǎn)單的方法就能較好地得出對(duì)所求解的具體數(shù)值問(wèn)題的解答。出對(duì)所求解的具體數(shù)值問(wèn)題的解答。但數(shù)值積分的難點(diǎn)在于計(jì)算時(shí)間有時(shí)會(huì)過(guò)長(zhǎng)但數(shù)值積分的難點(diǎn)在于計(jì)算時(shí)間有時(shí)會(huì)過(guò)長(zhǎng)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。另外，數(shù)值積分的理論性較強(qiáng)。其理論和方另外，數(shù)值積分的理論性較強(qiáng)。其理論和方法都已

35、經(jīng)比較成熟，計(jì)算精度也比較高。法都已經(jīng)比較成熟，計(jì)算精度也比較高。3.1 仿真中研究數(shù)值積分法的意義仿真中研究數(shù)值積分法的意義數(shù)值解的一種近似方法。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)的高階微分方程，可化為若干個(gè)一階微分方程組成的方程組。數(shù)值積分法是求解微分方程：00)(),(ytyytfdtdyy 例如：下式所示的狀態(tài)方程BuAxx可以化為一個(gè)一階微分方程組ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111所以，連續(xù)系統(tǒng)的仿真就是從給定的初始條件出發(fā)，對(duì)描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的常微分方程或常微分方程組進(jìn)行求解，從而得到系統(tǒng)在一定輸入作用下的變化過(guò)程。在

36、求解這些微分方程時(shí)，最常用、也是最有效的一種方法就是數(shù)值積分法。3.2 數(shù)值積分法仿真的基本原理數(shù)值積分法仿真的基本原理對(duì)微分方程（3-1）兩端同時(shí)取積分，可得dyftytytt0),()()(0dyftytytt0),()()(0當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)?：1nttdtytftytynttn10),()()(01將積分項(xiàng)拆成兩項(xiàng) dtytfdtytftytynnnttttn10),(),()()(01)(nty故上式可寫為： dtytftytynnttnn1),()()(1此式是方程（3-1）在tn+1時(shí)刻的精確解。 在數(shù)值解法中，希望用近似解 ：nnnQyy1代替準(zhǔn)確解，其中 ： 1ny為)(1n

37、tyny為)(ntynQ為1),(nnttdtytf的近似值 httnn1令：稱為計(jì)算步長(zhǎng)或步距 是從常微分方程（是從常微分方程（3-1）出發(fā)建）出發(fā)建立的離散數(shù)學(xué)模型立的離散數(shù)學(xué)模型差分方程。差分方程。 dtytftytynnttnn1),()()(1nnnQyy11ny為)(1ntyny為)(ntynQ為1),(nnttdtytfnnnQyy11ny為)(1ntyny為)(ntynQ為1),(nnttdtytf由此可見(jiàn)，數(shù)值積分法就是在已知微分方程初值的情況下，求解該方程在一系列離散點(diǎn) 處的近似值，其特點(diǎn)是步進(jìn)式根據(jù)初始值逐步遞推地計(jì)算出以后各時(shí)刻的值。從式（3-8）可知，數(shù)值積分法的主要

38、問(wèn)題歸結(jié)為如何對(duì)f（t，y）進(jìn)行數(shù)值積分求出f（t，y）在區(qū)間tn， tn+1上定積分的近似值Qn。采用不同的方法求Qn，就出現(xiàn)了各種各樣的數(shù)值積分方法。不同的數(shù)值積分將對(duì)求解的精度、速度和數(shù)值穩(wěn)定性會(huì)產(chǎn)生不同的影響，這將在下述內(nèi)容中具體介紹。 數(shù)值積分法種類繁多，在此從實(shí)用角度介紹幾種基本的方法 3.3 歐拉歐拉(Euler)法法3.3.1 簡(jiǎn)單歐拉法簡(jiǎn)單歐拉法 歐拉法是一種最簡(jiǎn)單的數(shù)值積分法，對(duì)于方程：00)(),(ytyytfdtdyy 在區(qū)間tn， tn+1上求積分，得到： dtytftytynnttnn1),()()(1若區(qū)間tn， tn+1足夠小，則tn， tn+1上的f（t，y）

39、可近似地看成常數(shù)f（tn，yn） 。故可用矩形面積近似代替),(1ytfnntt即：tntn+1f（tn，yn）于是有：11),()(nnnnnyhytfyty將此式寫成差分方程為： , 3 , 2 , 1 , 0),(1nhytfyynnnn著名的歐拉公式著名的歐拉公式 3.3.2 改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法 如果用梯形面積而不是矩形面積來(lái)代替每一個(gè)小區(qū)間上的曲線積分，就可以提高計(jì)算精度，梯形法的計(jì)算公式為： ),(),(2111nnnnnnytfytfhyy（3-11）式中的右端含有待求量yn+1，因而它是隱函數(shù)形式。這種方法不能自行啟動(dòng)運(yùn)算，需要依賴其它算法的幫助。 每次計(jì)算都用歐拉法算出

40、y（t n+1 ）的近似值 ，以此計(jì)算近似值 ，然后利用梯形公式（3-11）求出修正后的 。即有： 幫助方法：幫助方法：Pny1),(111PnnPnytfyCny1),(1nnnpnythfyy),(),(2111PnnPnnnCnytfytfhyy預(yù)估式 校正式 （3-12）改進(jìn)的歐拉公式改進(jìn)的歐拉公式 3.3.3 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念 簡(jiǎn)單的歐拉法是用前一時(shí)刻tn的yn求出后一時(shí)刻的yn+1，這種方法稱為單步法，它是一種自行啟動(dòng)的算法。如果求yn+1時(shí)需要tn , tn-1 , tn-2 時(shí)刻yn , yn-1 , yn-2 的值，這種方法為多步法（改進(jìn)的歐拉法為兩步法），它是一種不

41、能自行啟動(dòng)的算法。1、單步法與多步法、單步法與多步法 簡(jiǎn)單的歐拉法表達(dá)式的右端，計(jì)算 所用的數(shù)據(jù)均已求出，這種公式稱為顯式公式。 改進(jìn)的歐拉法表達(dá)式的右端，有待求量 ，這種公式稱為隱式公式。 隱式公式不能自行啟動(dòng)，需要用預(yù)估-校正法。 單步法和顯式在計(jì)算上比多步法和隱式方便，但有時(shí)為了滿足精度、穩(wěn)定性等方面的要求，需要采用隱式算法。 2、顯式與隱式、顯式與隱式3、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差 這里用泰勒級(jí)數(shù)為工具來(lái)分析數(shù)值積分公式的精度假定yn是精確的，用泰勒級(jí)數(shù)表示 處的精確解，即： 1nt)(0)(!)(! 2)()()(1)()2(2)1(1rnrrnnnnhtyrhtyhthytyty顯然，簡(jiǎn)單

42、的歐拉法是從以上精確解中取前兩項(xiàng)之和來(lái)近似計(jì)算，每一步由這種方法引入的誤差稱為局部截?cái)嗾`差，簡(jiǎn)稱截?cái)嗾`差。簡(jiǎn)單的歐拉法的截?cái)嗾`差為： )(0)(211hytynn不同的數(shù)值方法有不同的截?cái)嗾`差。一般若截?cái)嗾`差為 ，則方法為r階的。所以方法的階數(shù)可以作為衡量方法精確度的一個(gè)重要標(biāo)志。)(01rh4、舍入誤差、舍入誤差 由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，數(shù)字不能表示得完全精確，在計(jì)算過(guò)程中不可避免地會(huì)產(chǎn)生舍入誤差。舍入誤差與計(jì)算步長(zhǎng)成反比。如果計(jì)算步長(zhǎng)小，計(jì)算次數(shù)多，則舍入誤差就大。舍入誤差除了與計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有關(guān)以外，還與計(jì)算機(jī)所使用的數(shù)字系統(tǒng)、數(shù)的運(yùn)算次序以及計(jì)算所用的子程序的精度等因素有關(guān)。 采用數(shù)值積分法

43、求解穩(wěn)定的常微分方程，應(yīng)該保持原系統(tǒng)的穩(wěn)定特征。但是：（1）在計(jì)算機(jī)逐步計(jì)算時(shí)，初始數(shù)據(jù)的誤差及計(jì)算過(guò)程的舍入誤差對(duì)后面的計(jì)算結(jié)果將產(chǎn)生影響。（2）如果計(jì)算步長(zhǎng)取的不合格，有可能使仿真出現(xiàn)不穩(wěn)定的結(jié)果。下面我們簡(jiǎn)單討論一下這個(gè)問(wèn)題。 差分方程的解與微分方程的解類似，可分為特解和通解兩部分。與穩(wěn)定性有關(guān)的是方程的通解，它取決于差分方程的特征根是否滿足穩(wěn)定性條件。例如，為了考查歐拉法的穩(wěn)定性，我們研究檢驗(yàn)方程（Test Equation）：yy其中， 為方程的特征根 nnnnyhhyyy)1 (111 h即：2h表明：為使數(shù)字仿真穩(wěn)定，對(duì)計(jì)算步長(zhǎng)應(yīng)有所限制表明：為使數(shù)字仿真穩(wěn)定，對(duì)計(jì)算步長(zhǎng)應(yīng)有所限

44、制。 另外，穩(wěn)定性還與系統(tǒng)的特性以及數(shù)值積分方法有關(guān)。上述分析歐拉法穩(wěn)定性的思想，同樣適用于其它數(shù)值積分方法。 （3-14）（3-15）3.4 龍格龍格-庫(kù)塔庫(kù)塔（Runge-Kutta）法法由前面的分析可知，將泰勒展開(kāi)式多取幾項(xiàng)以后截?cái)?，就能提高截?cái)嗾`差的階數(shù)和計(jì)算精度。然而，直接采用泰勒展開(kāi)方法要計(jì)算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用起來(lái)不便。龍格-庫(kù)塔方法的基本思想是：用幾個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合代替函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，然后按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)確定其中的系數(shù)，這樣既可避免計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)，又可提高積分的精度。龍格-庫(kù)塔法有多種形式，以下從實(shí)用角度直接給出公式的形式和相應(yīng)的精度。3.4 .1 龍格龍格-庫(kù)塔方法的基本

45、思想庫(kù)塔方法的基本思想3.4.2 二階龍格二階龍格-庫(kù)塔方法庫(kù)塔方法2階龍格-庫(kù)塔方法的公式為：),(),()(2/(121211hkyhtfkytfkkkhyynnnnnn（3-16）上式表示的數(shù)值解是用的泰勒級(jí)數(shù)在2階導(dǎo)數(shù)以后截?cái)嗨蟮玫模虼朔Q為2階方法。故2階龍格-庫(kù)塔法與式改進(jìn)的歐拉法相比，實(shí)質(zhì)完全相同。所以改進(jìn)的歐拉法實(shí)質(zhì)上是2階龍格-庫(kù)塔法。)(03h截?cái)嗾`差為：實(shí)時(shí)仿真實(shí)時(shí)仿真的的2階龍格階龍格-庫(kù)塔方法庫(kù)塔方法)2,2(),(12121khyhtfkytfkhkyynnnnnn（3-17）)(03h其截?cái)嗾`差為：3.4.3 四階龍格四階龍格-庫(kù)塔方法庫(kù)塔方法4階龍格-庫(kù)塔法是

46、一種最常用的方法。其經(jīng)典表達(dá)式為：),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhtfkkhyhtfkkhyhtfkytfkkkkkhyynnnnnnnnnn（3-18）其截?cái)嗾`差為：)(05h顯然， 4階龍格-庫(kù)塔法的計(jì)算量較大，但計(jì)算精度較高，在比較不同算法的計(jì)算精度時(shí)，常以它的計(jì)算結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)時(shí)仿真實(shí)時(shí)仿真的的4階龍格階龍格-庫(kù)塔方法庫(kù)塔方法)2103,54()52,53()52,52()5,5(),()105515(2441521413121543211khkhyhtfkhkkhyhtfkkhyhtfkkhyhtfkytfkkkkkkhyynnnnnnnn

47、nnnn（3-19）以上公式都是標(biāo)量形式，如果要換成向量形式，只要把式中的標(biāo)量y，f，k換成向量Y，F(xiàn)，K即可。從理論上講，可以構(gòu)造任意階數(shù)的龍格-庫(kù)塔方法，但是，精度的階數(shù)與計(jì)算函數(shù)值f 的次數(shù)之間并非等量增加的關(guān)系，見(jiàn)下表所列：表 3.1f 的計(jì)算次數(shù)與精度階數(shù)的關(guān)系每一步計(jì)算 f的次數(shù)234567N8精度階數(shù)234456n-2 由此可見(jiàn)，4階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔方法有其優(yōu)越性，而4階以上的龍格-庫(kù)塔方法計(jì)算f所需的次數(shù)比階數(shù)多，增加了計(jì)算量，從而限制了更高龍格-庫(kù)塔方法的應(yīng)用。對(duì)于大量的實(shí)際問(wèn)題，4階方法已可滿足精度要求，所以得到了廣泛的應(yīng)用。我們?nèi)圆捎脵z驗(yàn)方程 進(jìn)行討論，對(duì)它利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

48、得：3.4.4 龍格龍格-庫(kù)塔公式的穩(wěn)定區(qū)域庫(kù)塔公式的穩(wěn)定區(qū)域yy)(0!1)(11rinriinnhyrhyy對(duì)于 ，有 ，將它代入上式得：yyyyii)()(0)(!1)(! 211 121rnrnhyhrhhy（3-20）（3-21）令： 將其代入上式得到該式的穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件為：hh1!1!21121rhrhh（ 3-22 ）由此穩(wěn)定條件，下表給出了各階龍格-庫(kù)塔公式的穩(wěn)定區(qū)域。表表3.2 龍格龍格-庫(kù)塔公式的穩(wěn)定區(qū)域庫(kù)塔公式的穩(wěn)定區(qū)域r1h所在的實(shí)穩(wěn)定區(qū)域1h1（2，0）22/12hh （2，0）36/2/132hhh（2.51，0）424/6/2/1432hhhh（2.78，0）在

49、使用龍格-庫(kù)塔公式時(shí)，選取的步長(zhǎng)應(yīng)使落在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)。否則，在計(jì)算時(shí)會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，從而得不到穩(wěn)定的數(shù)值解。例如：用4階龍格-庫(kù)塔方法解：1)0(,20yyy （1）用解析法求解：本例是穩(wěn)定的；（2）用數(shù)值法求解： 當(dāng)h=0.1 時(shí)，數(shù)值解是穩(wěn)定的; 當(dāng)h=0.2時(shí)，數(shù)值解就不穩(wěn)定了，這時(shí)因?yàn)椋?)20(2 . 0hh此數(shù)值在穩(wěn)定區(qū)間以外，所以數(shù)值解不能收斂。這種對(duì)步長(zhǎng)有限制的數(shù)值積分法稱為條件 穩(wěn)定積分法穩(wěn)定積分法。從4階龍格-庫(kù)塔方法的穩(wěn)定條件：中可以看出，系統(tǒng)的特征根越大，需要的積分步長(zhǎng)就越小，這一點(diǎn)可作為選擇步長(zhǎng)的依據(jù)。步長(zhǎng)的大小，除了與數(shù)值積分方法的階數(shù)有關(guān)外，還與方程本身的性質(zhì)有關(guān)

50、。078. 2h除以上介紹的歐拉法、龍格-庫(kù)塔法外，數(shù)值積分方法還有許多種，如亞當(dāng)姆斯方法、吉爾方法等等。此處不一一介紹。3.5 計(jì)算方法的選擇計(jì)算方法的選擇數(shù)值積分方法很多，在實(shí)際使用時(shí)存在一個(gè)選擇問(wèn)題。對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題，如何選擇具有一定的難度，至今尚無(wú)一種確定的方法。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)值積分方法的選擇應(yīng)考慮的因素有：1、精度要求、精度要求數(shù)值積分法的精度受截?cái)嗾`差舍入誤差積累誤差的影響，而這些誤差與積分方法、步長(zhǎng)、計(jì)算時(shí)間、計(jì)算機(jī)精度等有關(guān)。一般：（1）積分方法的階數(shù)越高，截?cái)嗾`差越小，精度越高；（2）步長(zhǎng)越小，精度越高；（3）多步法的精度高于單步法；（4）隱式算法的精度高于顯式算法。 因此，當(dāng)

51、需要高精度時(shí)，可采用高階、多步、較小步長(zhǎng)、隱式算法。 但是，步長(zhǎng)的減小往往會(huì)增加迭代次數(shù)并增大舍入誤差和積累誤差。與此相反，在精度要求不高時(shí)，最好使用低階方法。計(jì)算速度取決于計(jì)算步數(shù)、每步積分所需的時(shí)間。而每步的計(jì)算時(shí)間又與積分方法有關(guān)，它主要取決于計(jì)算導(dǎo)數(shù)的次數(shù)（4階龍格-庫(kù)塔方法每步要計(jì)算4次導(dǎo)數(shù)），導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是最費(fèi)時(shí)的；為了加快計(jì)算速度，在積分方法已定的條件下，應(yīng)要保證精度的前提下，盡量選擇較大步長(zhǎng)，以縮短積分時(shí)間。2、計(jì)算速度、計(jì)算速度數(shù)值解的穩(wěn)定性必須保證，否則，計(jì)算結(jié)果將失去真實(shí)意義。從穩(wěn)定性來(lái)看，不同的數(shù)值積分算法有不同的穩(wěn)定性。應(yīng)用時(shí)應(yīng)控制步長(zhǎng)h，使數(shù)值積分算法在穩(wěn)定域內(nèi)。3、

52、數(shù)值穩(wěn)定性、數(shù)值穩(wěn)定性步長(zhǎng)的選擇很重要，步長(zhǎng)過(guò)大會(huì)增大截?cái)嗾`差，甚至出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，過(guò)小了又因增加了步數(shù)，而使舍入誤差增大。所以，仿真的總誤差與步長(zhǎng)的關(guān)系不是單調(diào)函數(shù)關(guān)系，而是一個(gè)具有極值的函數(shù)。如圖所示。3.6 計(jì)算步長(zhǎng)的選擇計(jì)算步長(zhǎng)的選擇誤差總誤差截?cái)嗾`差舍入誤差步長(zhǎng)由圖可知，存在一個(gè)最佳步長(zhǎng)。當(dāng)積分方法確定以后，在選取步長(zhǎng)時(shí)，需要考慮的一個(gè)重要因素就是仿真系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。如果系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，導(dǎo)數(shù)變化激烈，則應(yīng)取高階方法和小步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算。為了保證數(shù)值穩(wěn)定性，步長(zhǎng)應(yīng)限制在最小時(shí)間常數(shù)（相當(dāng)于最大特征值的倒數(shù)）的數(shù)量級(jí)上。用經(jīng)驗(yàn)方法經(jīng)驗(yàn)方法選取步長(zhǎng)的兩種方法：（1）由系統(tǒng)方程中最小時(shí)

53、間常數(shù)Tmin來(lái)決定：min)05. 02 . 0(Th （2）由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的剪切頻率來(lái)決定：1)205(ch3.7 面向微分方程的仿真程序構(gòu)成面向微分方程的仿真程序構(gòu)成一般的仿真程序的組成可用下圖表示：圖中各方塊的功能為：主程序：主程序：實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)仿真計(jì)算的邏輯控制。輸入或預(yù)置參數(shù)模塊：輸入或預(yù)置參數(shù)模塊：輸入系統(tǒng)參數(shù)初值，計(jì)算步長(zhǎng)、時(shí)間等參數(shù)。運(yùn)行管理模塊：運(yùn)行管理模塊：這是數(shù)字仿真程序的核心，對(duì)仿真計(jì)算進(jìn)行時(shí)間控制，以保證計(jì)算機(jī)按要求進(jìn)行計(jì)算及輸出。輸出及顯示模塊：輸出及顯示模塊：將仿真結(jié)果以數(shù)據(jù)或圖表的形式輸出給用戶。4階龍格-庫(kù)塔法仿真程序設(shè)計(jì) 目前，應(yīng)用于系統(tǒng)仿真的商用軟件包

54、諸多，但無(wú)論是開(kāi)發(fā)者還是應(yīng)用者，了解程序的設(shè)計(jì)思想、分析程序的結(jié)構(gòu)與功能，完善和編寫仿真程序都是必要的。因此，此處通過(guò)對(duì)經(jīng)典龍格-庫(kù)塔方法（即式（7-22）仿真程序的介紹，使讀者了解和掌握編寫仿真程序的基本技術(shù)。 為了便于說(shuō)明程序的實(shí)質(zhì)，我們用具體的例子來(lái)討論。 假設(shè)有一個(gè)2階系統(tǒng)： )( 1, 0)0(, 0)0(,44828. 222tuyyuydtdydtyddtdyyyy21,令：則：122214828. 24,yyudtdyydtdy以下是用C語(yǔ)言編寫的原理性程序：程序中變量說(shuō)明：i，n: 分別為循環(huán)控制和積分器個(gè)數(shù)變量。h，t，tmax： 分別為步長(zhǎng)、時(shí)間和仿真總時(shí)間變量。yn10

55、: 存放tn時(shí)刻y值的臨時(shí)變量數(shù)組。y10: 存放y值的變量數(shù)組。doty10: 存放 的數(shù)組。k110，k210，k310，k410:分別為存放K1，K2，K3，K4的數(shù)組。)( fy 程序清單 ：（“/*”和“* /”之間的文字是非執(zhí)行語(yǔ)句，作為注釋使用。 ）#includevoid diffeq();int i,n;float h, tmax, t, yn10,y10,doty10,k110,k210,k310,k410; main()/* 主函數(shù) */ n=2;/*設(shè)置積分器個(gè)數(shù)*/ y1=0;y2=0 /*設(shè)置積分器初值*/ h=0.01;tmax=20;t=0 /*設(shè)置步長(zhǎng)、仿真總

56、時(shí)間和初始時(shí)間*/ whilt(t=tmax) /*判斷是否仿真時(shí)間到*/ printf(“t=%f”,t)；/*打印時(shí)間*/ printf(“y1=%fy2=%frn”,y1,y2); /*打印積分器輸出*/ for (i=1,i=n,i+) yni=yi; /*保留tn時(shí)刻的初值*/ dif(); /*計(jì)算 */ for(i=1;i=n;i+) k1i=dotyi; /*計(jì)算K1*/ yi=yni+(h/2)*k1i; )( fy t=t+h/2dif();/*計(jì)算 */for(i=1;i=n;i+) k2i=dotyi;/*計(jì)算K2*/ yi=yni+(h/2)*k2i; dif();

57、/*計(jì)算 */for(i=1;i=n;i+) k3i=dotyi;/*計(jì)算K3*/ yi=yni+(h/2)*k3i; t=t+h/2 dif();/*計(jì)算 */ )( fy )( fy )( fy for(i=1;i=n;i+) k4i=dotyi;/*計(jì)算K4*/ yi=yni+(h/6.0)*(k1i+2*k2i +2*k3i+k4 i ); /*計(jì)算tn+1時(shí)刻的y值*/ void dif() /*計(jì)算變量導(dǎo)數(shù)的函數(shù)*/float u; u=1;/*計(jì)算u=1(t)*/ doty1=y2; doty2=4*u-2.828*y2-4*y1;下面是程序的主函數(shù)main()的處理流程圖 四階

58、龍格四階龍格- -庫(kù)塔方法的程序處理流圖庫(kù)塔方法的程序處理流圖4.2 狀態(tài)方程的離散化 4.1 傳遞函數(shù)的離散化 本章介紹本章介紹:4.3 典型環(huán)節(jié)的離散化模型 4.4 常用非線性環(huán)節(jié)的仿真 4.5 離散相似法仿真的特點(diǎn) )(sG保持器TTuy圖圖4-1 連續(xù)系統(tǒng)離散化結(jié)構(gòu)圖連續(xù)系統(tǒng)離散化結(jié)構(gòu)圖 smaxmax2s的條件時(shí)，可由采樣后的信號(hào)唯一地確定原始信號(hào)。 （2）把采樣后的離散信號(hào)通過(guò)一個(gè)低通濾波器，即可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)。常用的濾波器是零階保持器和一階保持器等。 因此，研究系統(tǒng)G(s) ，在一定的條件下可能等效地研究圖4-1所示的系統(tǒng)。 注意：圖4-1所示系統(tǒng)的采樣開(kāi)關(guān)和保持器實(shí)際上是不存在

59、的，而是為了將(4-1)式離散化而虛構(gòu)的。)()()()()(sGsGZzUzYzGh（4-1）表表4-1 不同保持器的不同保持器的G(z) seTs1211)(seTTsTs221TseeTsTs)(22221111TssGZzzTsTssGZzzssGZzz)()()()()(ssG)(21TsTssG)(ssG)()(sGTTs1圖圖4-24-2若在積分環(huán)節(jié)之前再加一個(gè)采樣器和保持器，如下圖: )(sGTTs1圖圖4-34-3TseTs1)()()(sGZzTsseZsGZssGZTs111 )()(sGZzTzG（4-2）（4-3） 從上述可看出，虛擬采樣器和保持器可以不止一次地使用。

60、在必要的地方加入，可為求脈沖傳遞函數(shù)帶來(lái)方便。 但須注意，由于保持器的頻譜特性并非理想矩形，所以每加一次采樣器和保持器都會(huì)帶來(lái)誤差。因此(4-3)式較之表4-1中的式子誤差要大些，所以要盡量減少虛擬采樣器和保持器的使用。 asKsG)()()()()(aTaTezaeKassKZzzzG11所以得差分方程為 :111naTnaTnueaKyey)(也可根據(jù)(4-3)式來(lái)求G(z)： aTaTezKTezKzzTsGZzTzG)()(其對(duì)應(yīng)差分方程為 :11nnaTnKTuyey（4-4）（4-5）BuAxx 若人為地在系統(tǒng)的輸入端及輸出端加上采樣開(kāi)關(guān)，同時(shí)為了使輸入信號(hào)復(fù)原為原來(lái)的信號(hào)，在輸入