易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計 摘要 本文對易拉罐的最優(yōu)設(shè)計主要從節(jié)省用料的角度研究。建立模型時,在滿足體積以及其它設(shè)計要求的限制下,以用料最少為目標(biāo)建立最優(yōu)化模型。求解模型的主要方法包括:乘子法、條件極值法以及數(shù)學(xué)軟件、求解等。 在對易拉罐形狀及尺寸設(shè)計進行研究時,需要選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ?運用多次測量求平均值的方法確定出必要的數(shù)據(jù)。 實際中易拉罐的設(shè)計考慮到多方面的因素,如美觀、實用、生產(chǎn)、運輸以及其自身各部分的抗壓能力等。本文主要在某些設(shè)計要求下,研究用料最省的形狀設(shè)計,將求解出的最優(yōu)形狀和尺寸與相應(yīng)實測數(shù)據(jù)作對比來衡量設(shè)計的

2、合理性。 當(dāng)假設(shè)易拉罐的形狀為正圓柱體時,主要以圓柱體高度與半徑的比例關(guān)系確定易拉罐形狀是否符合用料最省的最優(yōu)設(shè)計。分別運用條件極值法、乘子法以及數(shù)學(xué)軟件求解的方法最終確定出高度與半徑的比值為4,與實際易拉罐高度與半徑的比值基本符合,能夠說明實際的易拉罐形狀設(shè)計符合用料最省的設(shè)計原則。 當(dāng)假設(shè)易拉罐由正圓柱體和圓臺兩部分組成時,分別假設(shè)易拉罐尺寸符合不同設(shè)計要求,運用逐步改進的方法,最終求得易拉罐各項尺寸與實測數(shù)據(jù)比較吻合,說明現(xiàn)實中易拉罐的設(shè)計滿足用料最省的要求。求解時主要運用軟件和乘子法并在軟件的輔助下分別求得各項尺寸。 最后根據(jù)對易拉罐的觀察和想象,在保證易拉罐整體形狀變化不大的前提下,

3、我們提出將易拉罐上端的圓臺改為球臺。同樣以用料最省作為其最優(yōu)設(shè)計,求出新設(shè)計的易拉罐與現(xiàn)實中易拉罐相比大約能節(jié)省0.49%的用料。 在建立易拉罐用料最省模型的基礎(chǔ)上,對模型作出進一步推廣。聯(lián)系實際當(dāng)中各種形狀比較規(guī)則的容器,對其最優(yōu)設(shè)計的一般規(guī)律作出說明。 關(guān)鍵詞:乘子法 重積分 條件極值法1 問題重述 我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等 的易拉罐即易拉罐的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?這并非偶然,這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計。當(dāng)然,對于單個的易拉罐來說,這種最優(yōu)設(shè)計可以節(jié)省的錢可能是很有限的,但是如果是生產(chǎn)幾億,甚至幾十億個易拉罐的話,可以

4、節(jié)約的錢就很可觀了。 現(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計問題。具體說,請你們完成以下的任務(wù):取一個飲料量為355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可樂易拉罐,測量你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù),例如易拉罐各部分的直徑、高度,厚度等,并把數(shù)據(jù)列表加以說明;如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的,那么你們必須注明出處。設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸,例如說,半徑和高之比,等等。設(shè)易拉罐是一回轉(zhuǎn)體,上面部分是一個正圓臺,下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。利用你們

5、對所測量的易拉罐的洞察和想象力,做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計。用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗,寫一篇短文不超過1000字,你們的論文中必須包括這篇短文,闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟,以及難點。 2 問題分析 在對易拉罐的形狀進行研究時,首先需要測量出實際中易拉罐形狀的各個尺寸,然后以易拉罐用料最少作為其最優(yōu)設(shè)計,對題目給出的不同簡化形狀進行研究。 對于問題一,取一個355毫升易拉罐(可口可樂),首先分析出驗證模型可能需要的數(shù)據(jù),然后利用相應(yīng)的工具對需要的數(shù)據(jù)進行多次測量取平均值確定易拉罐各項尺寸的大小。 對于問題二,題目假設(shè)易拉罐的形狀為一正圓柱體,但并沒

6、有對各部分的壁厚做出說明,在求解的過程中可分易拉罐各面厚度相同和不同的情況進行求解。最終確定出高度與半徑的比值關(guān)系,并與實際測量數(shù)據(jù)進行分析比較,判斷易拉罐設(shè)計的合理性。 對于問題三,結(jié)合第二問得出的結(jié)論并在易拉罐形狀為一正圓臺和圓柱組成的情況下,求解過程可仍以材料最省為最優(yōu)設(shè)計,但同時要滿足上、下頂面的強度要求,還要滿足加工方面的要求,并建立一個廣泛的最優(yōu)化模型。然后假設(shè)多種情況對模型進行逐步改進,最終確定一個滿足材料最省,同時又滿足其他方面(如強度、美觀、加工等)要求的易拉罐形狀和尺寸,與實際測量值進行比較,分析其設(shè)計的合理性。 對于問題四,在易拉罐頂蓋厚和壁厚比例關(guān)系不變的前提下,以用料

7、最省作為最優(yōu)化設(shè)計,根據(jù)多面體中球體表面積與體積比值最小的基本原理,將易拉罐上部的圓臺設(shè)計為球臺。將設(shè)計出的易拉罐用料與實際的相比較,并對其優(yōu)點進行分析說明。 對于問題五,結(jié)合前面學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗,分別對數(shù)學(xué)建模的基本認識、建模過程中的關(guān)鍵步驟和難點進行討論分析。 3 模型假設(shè)所取易拉罐各面的厚度均勻易拉罐的頂蓋和下底面都是規(guī)則的平面易拉罐都是規(guī)則的多面體不考慮溫度對測量儀器的影響易拉罐用同一種材料制成 4 符號說明符號含義單位易拉罐的表面積所用材料的總體積為罐體圓柱體部分圓的半徑為圓柱體的高度易拉罐圓柱部分的壁厚易拉罐的罐內(nèi)體積為表示圓臺面的傾斜角度 5 模型的建立與求解5.1

8、問題一5.1.1解題思路 本題要求選取一個355毫升的易拉罐,并對其進行數(shù)據(jù)測量,這些數(shù)據(jù)包括易拉罐的直徑、高度,厚度等。測量時,取一個可口可樂公司生產(chǎn)的易拉罐,然后利用相應(yīng)的測量工具對其測量即可。5.1.2求解準備需要數(shù)據(jù)的確定 經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn),模型中可能用到的數(shù)據(jù)種類有罐直徑、罐高、罐壁厚、頂蓋厚、圓臺高、頂蓋直徑、圓柱體高、罐底厚、罐內(nèi)體積等。具體說明如下: 圖1罐直徑:易拉罐圓柱體部分罐體最胖部分橫截面圓的直徑2罐高:從易拉罐的頂蓋到底面的高度3罐壁厚:圓柱體回轉(zhuǎn)面部分的瓶壁厚度4頂蓋厚:易拉罐的上頂蓋厚度5罐內(nèi)體積:易拉罐內(nèi)部的體積6罐底厚:易拉罐的下底面厚度7頂蓋直徑:圓錐臺的上表面

9、圓的直徑即罐頂蓋的直徑8圓臺高:從罐的頂蓋到圓柱體部分的高度9圓柱體高:圓柱體部分的高度各數(shù)據(jù)的測量方法1直接測量 經(jīng)過分析可得,罐桶直徑、罐高、圓臺高、頂蓋直徑、圓柱直徑這幾種數(shù)據(jù)類型屬于外部屬性,可以直接進行測量。測量時可選用以下兩種方法: 用一條非常窄的薄紙條,環(huán)繞易拉罐相關(guān)部位一圈測得周長,然后再換算求得直徑、半徑、面積等。 用游標(biāo)卡尺(50分度)對相關(guān)部位進行直接測量,計算出直徑和高等。2間接測量 由現(xiàn)實情況可知,易拉罐的罐壁、頂蓋和罐底有一面是在易拉罐的內(nèi)部,不能直接進行測量,因此就需要對他們進行處理后再進行測量。對于厚度的測量都可用下面第一種方法,體積的測量可用第二種方法。首先用

10、剪刀和鉗子對易拉罐進行刨切,由于易拉罐厚度和頂蓋厚度較小,可利用螺旋測微器進行測量。取一個量筒和空的易拉罐,首先將清水倒入易拉罐中直至與罐口相平;然后將易拉罐中的水倒入量筒中進行讀數(shù),即得到了易拉罐的體積。5.1.3求解 為確保數(shù)據(jù)的精確性,需要對所有數(shù)據(jù)進行多次測量求平均值,經(jīng)多次測量求得所需的數(shù)據(jù)如下表: 表1 易拉罐可口可樂各項尺寸列表數(shù)據(jù)種類實測數(shù)據(jù)平均值單位罐高12.0612.0412.0612.0812.0612.06罐桶直徑6.626.606.586.586.666.61罐壁厚0.1120.1060.0990.1010.0950.103頂蓋厚0.2950.2980.3210.30

11、40.3110.306罐底厚0.3030.2890.3050.2940.3100.300圓臺高1.011.011.000.981.021.01頂蓋直徑6.026.006.025.986.006.01圓柱體高11.0411.0211.0611.0811.0611.05罐內(nèi)體積364.9365.2364.5364.0365.6364.8 由現(xiàn)實情況可知,每瓶飲料都未完全裝滿,另外還有一部分空間余量,根據(jù)測量數(shù)據(jù)也可以得出,對于標(biāo)注為的可口可樂易拉罐,它的實際罐體容量為,所以在以下的各個問題中凡是對于易拉罐的體積在計算時都以為標(biāo)準進行設(shè)計是與現(xiàn)實不符合的,實際所測易拉罐的容積為,所以在以下題目的求解

12、過程中對于易拉罐的容積都以為標(biāo)準進行計算。5.2問題二5.2.1模型分析 對于本題來說,假設(shè)易拉罐是一個正圓柱體見下圖2,怎樣構(gòu)思和設(shè)計才能達到用料最省的最優(yōu)設(shè)計是關(guān)鍵所在。根據(jù)推理可知,易拉罐的形狀由罐直徑和罐高的比例關(guān)系決定的。罐直徑和罐高又是罐的主要尺寸,所以在對易拉罐進行設(shè)計時就主要以罐直徑和罐高的比例來作為檢驗設(shè)計是否合理的一個標(biāo)準。前面我們已經(jīng)對正在使用的易拉罐的相關(guān)數(shù)據(jù)進行了測量,因此我們可以將這些數(shù)據(jù)與自己認同的最優(yōu)設(shè)計得出的數(shù)據(jù)相比較并說明其合理性。 由于現(xiàn)在是工業(yè)高度發(fā)達的現(xiàn)代社會,每個國家的原用料都是高度稀缺。因此省料省錢并能達到基本要求的制作方法是資本家追逐的最重要目標(biāo)

13、之一,下面我們以制作易拉罐用料最省作為它的最優(yōu)設(shè)計目標(biāo)來進行研究,并通過罐的直徑與罐高的比例關(guān)系來說明其合理性。5.2.2模型準備設(shè)計方案的確定 以所用料最省作為目標(biāo)對易拉罐進行最優(yōu)設(shè)計時,當(dāng)易拉罐各部位罐壁厚度不相同時對易拉罐尺寸的設(shè)計帶來較大影響。在各部位厚度不相同的情況下,相應(yīng)的研究出了兩種研究方案。 第一種方案:用手捏一下發(fā)現(xiàn)易拉罐非常的薄,在這種感性認識的支配下我們認為這是最理想的情況即易拉罐的壁厚均勻且無限薄可以忽略不計,見圖3。在這種情況下主要考慮易拉罐的表面積來建立數(shù)學(xué)模型求解。 第二種方案:用手往下按頂蓋能夠感覺到它的硬度要比其它部位的用料要硬,相比之下,硬度體現(xiàn)在同樣用料的

14、厚度上;根據(jù)測量的數(shù)據(jù)可知,頂蓋厚度大約是其他部分的用料厚度的3倍參考。因此可以假設(shè)除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度相同見圖4。在這種情況下制作易拉罐的用料就要通過各個部位體積來考慮,為求制作需要原用料最省,通過建立數(shù)學(xué)模型求解。各種情況的易拉罐側(cè)視圖如下: 圖2 圖3 圖4各方案模型目標(biāo)與約束條件的確定第一種方案1目標(biāo):假設(shè)易拉罐是一個正圓柱體,易拉罐各處厚度均勻且非常薄可忽略其厚度時。就不用具體考慮易拉罐用料的體積,只以易拉罐的表面積最小為目標(biāo)就可使用料最省。設(shè)易拉罐罐高為,罐體圓柱體部分圓的半徑為。即2主要約束:易拉罐的容積是一個固定的常量。在忽略罐壁厚的情況下我們可以認為易拉罐的體積與它的容

15、積等價。設(shè)易拉罐的罐內(nèi)體積為,即第二種方案1目標(biāo):本方案考慮到易拉罐的頂蓋同罐壁硬度不同,因此同種用料下易拉罐頂蓋和罐壁的厚度也各不相同。由于引入了易拉罐的厚度,需要研究易拉罐的罐殼體積而不是單方面的考慮易拉罐的表面積。所以說以易拉罐的用料體積最小為目標(biāo),可使制造易拉罐的用料最省。 通過現(xiàn)實情況和對圖形4的觀察可知,易拉罐的用料體積主要分成三個部分:頂蓋所用的用料體積、罐底所用的用料體積、側(cè)面所用的用料體積。符號的確定: 假設(shè)除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度相同,記作;頂蓋的厚度為;易拉罐的半徑為,直徑為;罐高為;罐內(nèi)體積為;所用用料的總體積為。下面是對易拉罐三部分用料體積的確定: 易拉罐側(cè)面所用的

16、用料體積為: 易拉罐頂蓋所用的用料體積為: 易拉罐底所用的用料體積為:綜上可得易拉罐用料的總體積為: 因為,為簡化模型求解,所以的項可以忽略。所以 注:由以上表達式可知罐的用料體積近似等于各部分罐面的外表面面積與相應(yīng)厚度的乘積之和。因此,對下面關(guān)于罐的用料體積進行計算時,忽略厚度對半徑及高度的影響,直接對各部分管面的外表面面積與相應(yīng)厚度的乘積進行求和。2主要約束:同第一種方案的約束條件一樣,易拉罐內(nèi)部的體積為一常量。在忽略罐壁厚的情況下我們可以認為易拉罐的體積與它的容積相等。 5.2.3模型建立 由于第一種方案是在感性認識下產(chǎn)生的方案,因此我們第一種方案建立的模型定義為感性模型;第二種方案是在

17、以具體數(shù)據(jù)作為依托的情況下建立的方案,我們將這種模型定義為理性模型。兩種模型都是以需要制作易拉罐的用料最少為目標(biāo),都屬于最優(yōu)化模型。根據(jù)兩種方案各自的特點分別建立模型如下:感性模型 以易拉罐罐內(nèi)體積和飲料容量相同為約束條件,以制作易拉罐需要的原用料最省為目標(biāo)建立最優(yōu)化模型。即符號說明:符號含義單位易拉罐的表面積易拉罐的罐內(nèi)體積罐體圓柱部分的半徑易拉罐的罐高理性模型 以易拉罐罐內(nèi)體積一定為約束條件,以制作易拉罐需要的用料最省為目標(biāo)建立最優(yōu)化模型。即 符號說明:符號含義單位所用用料的總體積罐體圓柱部分的半徑易拉罐的罐高除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度易拉罐頂蓋的厚度5.2.4 模型求解 對于以上模型都可

18、用兩種方法求解,感性模型可以通過條件極值法和利用數(shù)學(xué)軟件直接求解,理性模型可以通過乘子法、條件極值法和利用數(shù)學(xué)軟件直接求解。為了增加結(jié)果的準確性,下面分別利用這些方法對模型進行求解。感性模型求解1條件極值法模型中共有兩個變量和,體積的限制為一等式,即,通過等式變換可得 將上面的表達式代入到目標(biāo)函數(shù)中可得: 此時目標(biāo)函數(shù)中只含變量,對求導(dǎo)可得: 由可得: 對求二階導(dǎo)數(shù)可得: , 由可得: 即時,取極小值,且是唯一極值點。所以,時,取最小值。 由 ,可以確定:2借助數(shù)學(xué)軟件求解 利用數(shù)學(xué)軟件求解得出:,根據(jù)半徑與高度的大小可確定:3結(jié)果檢驗 通過兩種做法求得的易拉罐的罐高和半徑基本相同,求得的目標(biāo)

19、是282.7,罐高約為7.74罐的半徑約為3.87。因此可得易拉罐的直徑同罐高之比為1:1關(guān)系,由此發(fā)現(xiàn)通過感性模型計算出來的數(shù)據(jù)同我們實際測量的數(shù)據(jù)罐直徑和罐高之比1:2相差甚遠。理性模型求解1乘子法 將目標(biāo)中的主要限制條件設(shè)為: 要找目標(biāo)函數(shù)在條件下的極值點,可以先作函數(shù): 于是可得到如下方程組: 于是將問題化為求三元函數(shù)L的無條件極值的問題。 根據(jù)2式解得: 根據(jù)3式解得: 將上面的兩式代入1式可得: 將代入中得: 即高度與半徑的關(guān)系式為:2求條件極值法 由解出 ,代入得: 上式中只有為變量,對求導(dǎo)得: 求極值點:令其導(dǎo)數(shù)為零得 解得極值點為,因此 計算的二階導(dǎo)數(shù) 因此使達到極小值,且是

20、唯一極值點。所以,時,取最小值。 另外,求極小的方法是應(yīng)用算術(shù)幾何平均值不等式,即: 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。令,于是有 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即 所以,高度與的關(guān)系式為,此時用料體積最小。3結(jié)果檢驗 通過兩種方法求得的結(jié)果相同,說明模型的正確性。經(jīng)過以上兩種方法推導(dǎo)得到易拉罐的罐高,罐的半徑為,因此易拉罐的半徑與罐高之比。又因測量數(shù)據(jù)易拉罐的頂蓋厚大約是罐壁厚的3倍,即。代入可得罐的半徑與罐高之比為1:4,而實際測量的數(shù)據(jù)大概也是這個比例,根據(jù)半徑與高度的比值能夠說明易拉罐的形狀符合用料省的最優(yōu)設(shè)計。 本題的最優(yōu)設(shè)計仍然是用料最少,不過在求解的過程中還要考慮到,上頂蓋和底蓋的強度要求,并且在最后還

21、要兼顧到美觀的因素。在求解的時候,先建立一個最廣泛的模型,然后根據(jù)假設(shè)的不同,分別利用此模型進行求解實現(xiàn)模型的逐步改進,以達到最優(yōu)的設(shè)計尺寸。 對于易拉罐的簡化形狀,可將其分成兩部分考慮,上部分為一正圓臺,下部分為一正圓柱體,如右圖5所示。 圖5 圖6 易拉罐容積的確定1 正圓臺部分體積的確定 正圓臺是對應(yīng)圓錐的一部分,如右圖6所示。 求解圖中圓臺部分的體積時,可先求出圖中小圓錐的體積,再求出大圓錐的體積,則圓臺的體積即為大圓錐體積減去小圓錐的體積。根據(jù)圓錐的體積公式:如圖中所示,其中小圓錐的體積為:大圓錐的體積為: 則圓臺的體積為:2 正圓柱部分體積的確定 綜上可得:易拉罐結(jié)構(gòu)的總體積為:

22、根據(jù)測量數(shù)據(jù),易拉罐壁厚,;因此在確定易拉罐的容積時可近似看成體積,即: 易拉罐用料體積的確定 易拉罐用料主要包括四部分:上頂面、圓臺回轉(zhuǎn)面、圓柱回轉(zhuǎn)面、下底面。根據(jù)問題二可知,并且由于易拉罐壁厚,;為簡化計算,在求易拉罐用料體積時,可近似看成各個面的面積與其厚度乘積之和,忽略各個面由于相交產(chǎn)生的體積偏差。在求各個面的面積時,以外表面的測量值為準。設(shè)圓柱回轉(zhuǎn)面的厚度為一單位,上頂面、圓臺回轉(zhuǎn)面、下底面分別是圓柱回轉(zhuǎn)面厚度的、倍。 上頂面的用料體積為: 圓臺回轉(zhuǎn)面的用料體積為: 下底面的用料體積為: 圓柱回轉(zhuǎn)面的用料體積為:綜上可得,易拉罐用料體積為:于是,可根據(jù)易拉罐容積一定,用料體積最省的最

23、優(yōu)化設(shè)計建立以下模型: 符號說明:表示圓臺上頂面的半徑; 表示圓柱的半徑; 表示圓臺面的傾斜角; 表示圓柱體的壁厚; 表示各面厚度與圓柱體壁厚比值;5.3.3 模型求解 根據(jù)問題一中的數(shù)據(jù),取易拉罐體積,在求解過程中,會發(fā)現(xiàn)對于各種壁厚,是不能通過求用料最省來求得的,因為對于上、下頂面是有一定的強度要求的,如果厚度達不到強度要求是容易發(fā)生危險的而強度達到了就勢必會造成用料費用的上升所以兩者是矛盾的,衡量其重要性,強度要求更重,所以在求解的時候?qū)τ诟鞣N壁厚要進行定量處理。根據(jù)問題一數(shù)據(jù)和問題二的求解過程,設(shè)上頂面、圓臺回轉(zhuǎn)面、下底面分別是圓柱回轉(zhuǎn)面厚度的,倍。 該模型與問題二中的模型相比變量更多

24、,求解更加復(fù)雜。運用直接推導(dǎo)計算的方法是相當(dāng)困難的。對于此種情況,考慮運用數(shù)學(xué)軟件求解。第一種方法可根據(jù)軟件直接求解,第二種方法可根據(jù)乘子法,將模型轉(zhuǎn)化為方程組的形式,運用軟件對方程組求解。下面分別用兩種方法對模型求解:方法一:軟件求解 觀察本模型屬于最優(yōu)化模型,可利用軟件直接求解(具體編程過程請參見附錄一),得到上頂蓋半徑圓柱體半徑圓臺傾斜角圓柱體高度所用材料0方法二: 乘子法和軟件求解 首先構(gòu)造函數(shù) 分別對求偏導(dǎo),并使之為零,與聯(lián)立得到如下方程組: 把上述方程組,利用軟件中的函數(shù)求解得到(具體編程過程請參見附錄二)上頂蓋半徑圓柱體半徑圓臺傾斜角圓柱體高度乘子所用材料0 圖7結(jié)果驗證 通過觀

25、察數(shù)據(jù),兩種方法求得的結(jié)果基本一樣,各項取其算數(shù)平均值,得到上頂蓋半徑,圓柱體半徑,圓臺傾斜角,圓柱體的高度,此時所用材料,所得形狀如圖7。根據(jù)以上兩種求解方法所求數(shù)據(jù)相同,但與易拉罐的實際形狀和尺寸相差很大。需要對模型作出進一步改進。5.3.4 模型改進一 上述模型中,在處理易拉罐底面厚度時是簡化為與圓柱體壁厚相同來解決的,但通過實際測量發(fā)現(xiàn)底面厚度與圓柱體壁厚是不相等的,并且底面厚度與頂面厚度相同都為,即此時,將修改后的值代入模型,利用上述的兩種方法,求得易拉罐形狀的各項尺寸如下表所示: 上頂蓋半徑圓柱體半徑圓臺傾斜角圓柱體高度所用材料 觀察數(shù)據(jù)會發(fā)現(xiàn),所得形狀同圖7類似,只是尺寸略有不同

26、,用所得數(shù)據(jù)與問題一中實測數(shù)據(jù)進行比較,相差仍然比較大,所以還要對模型進行改進。 在模型改進一中,只對易拉罐的各種壁厚進行了分析研究,發(fā)現(xiàn)并不能滿足現(xiàn)實情況,所以要從其他分面考慮,通過對易拉罐的觀察發(fā)現(xiàn),易拉罐頂蓋實際上并不是平面的, 略有上拱, 頂蓋實際上是半徑為3+0.4+0.23.6厘米的材料沖壓而成的, 從頂蓋到圓柱體部分的斜率為0.3,這些要求也許保證了和易拉罐的薄的部分的焊接粘合很牢固、耐壓. 所有這些都是物理、力學(xué)、工程或材料方面的要求,簡單通過求材料最省是得不到滿意的結(jié)果的,所以要對其進行改進,假設(shè)易拉罐的上頂蓋半徑是已知的,通過問題一數(shù)據(jù)分析得到,將此值代入本題模型,并利用兩

27、種方法,求得易拉罐形狀的各項尺寸如下表所示:上頂蓋半徑圓柱體半徑圓臺傾斜角圓柱體高度所用材料 圖8 利用上表數(shù)據(jù),進行繪圖得到右圖8,觀察上表數(shù)據(jù)和所得圖形,再與實測數(shù)據(jù)作比較,發(fā)現(xiàn)所得數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)之間的差值已經(jīng)非常小,因此可以說明易拉罐形狀和尺寸在滿足一定的設(shè)計要求下是符合用料最省的。 5.4 問題四5.4.1 解題思路 本題仍以用料最少為最優(yōu)設(shè)計進行分析計算,首先提出自己設(shè)計的易拉罐形狀,然后對這種易拉罐用料及體積進行分析計算建立數(shù)學(xué)模型,并與問題三中簡化的易拉罐進行比較,最終用兩種方法對模型進行求解,得出自己易拉罐的尺寸標(biāo)準。5.4.2 提出自己易拉罐的最優(yōu)設(shè)計 通過對所測量易拉罐的觀

28、察分析,發(fā)現(xiàn)這種易拉罐還不是最省材料的,根據(jù)多面體中球體的表面積與其體積的比值最小的原理,提出將易拉罐中的圓臺設(shè)計成球臺,其形狀簡圖如下:易拉罐序號名稱備注頂蓋半徑為3cm,正圓柱體半徑為3cm,罐底半徑為3.24cm,5.4.3 模型的建立 通過觀察設(shè)計形狀簡圖,可以看到這種易拉罐可以分為兩部分:一部分是上邊的球臺,一部分是下邊的圓柱體,在它們的體積和滿足要求的情況下,存在一種用料最省的尺寸標(biāo)準。 球臺部分的求解 圖9 球臺可近似看成是由圖9中的陰影部分繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體。設(shè)球臺的邊緣弧線的半徑為,球臺下表面半徑為,球臺上表面半徑為,上邊緣端點與中軸線的夾角為,下邊緣端點與中軸線的夾角

29、為,球臺邊緣弧形部分壁厚等于圓柱體的壁厚為,球臺上頂蓋的厚度為。球臺的體積 根據(jù)上圖可以看出球臺體積是球中半徑為 的圓面以上部分與半徑為的圓面以上部分的體積之差。首先確定出、的大小,的大小為圖中所示的半徑繞豎直軸線的旋轉(zhuǎn)面以上部分的多面體與其下半部分的錐形體的體積之差,運用對球面坐標(biāo)積分的方 法可求出的體積為: 同理可求得體積為: 所以可求得球臺體積為: 圖10球臺上表面的面積為:球臺弧形部分表面積,根據(jù)二重積分用球面坐標(biāo)對其表面積積分可求得球臺部分表面積為: 圓柱體部分的求解設(shè)圓柱體的高為,底面半徑為,圓柱體的壁厚為,底面厚度為,如圖10 。圓柱體的體積為:側(cè)面表面積為:圓柱體的底面積為:

30、易拉罐的容積 由于,所以易拉罐的整體體積看成易拉罐的容積,所以總的易拉罐容積為: 易拉罐所用材料的體積 由于薄片的體積等于面積乘以厚度,所以易拉罐所用材料的體積為: 綜上所述,在易拉罐體積一定的條件下,以總用料最少為目標(biāo)建立最優(yōu)化模型如下:5.4.4模型求解: 模型簡化 在本模型中有不少數(shù)據(jù)是不能通過材料最省來確定的,它們的尺寸與其他方面(如焊縫長度、工時少、運輸方便等)有關(guān)系,所以通過以上模型不能對其求解,要進行簡化,如下:(1)值的確定是根據(jù)易拉罐頂蓋和底蓋所需要的強度來確定的不能因為材料省而使值變小,通過問題一的測量數(shù)據(jù)可以得到;(2)頂蓋其實不是完全的平面形,而是向上拱起的,是由薄片擠

31、壓而成,并且考慮到罐體的美觀、實用性、運輸方便等,其大小不能通過求材料最省得到,根據(jù)問題一的測量數(shù)據(jù)得到;(3)對于本題假設(shè)易拉罐所要滿足的容量 求解方法 對于本模型在求解的時候有兩種方法:1 直接利用軟件求解2乘子法:構(gòu)造函數(shù),并對所有未知參數(shù)求偏導(dǎo)得到一組方程,然后利用軟件解非線性方程組得到,所有參數(shù)的值方法一軟件求解 本模型屬于最優(yōu)化模型,所以在求解時可利用軟件編程求解(具體編程過程請參見附錄五)。所得結(jié)果,圓柱體半徑,球臺的半徑圓柱體高,與弧形部分有關(guān)的角,此時所用材料為方法二乘子法和軟件求解 構(gòu)造函數(shù) 分別對求偏導(dǎo),并使之為零,得到如下方程組: 把帶入以上方程組,利用中的函數(shù)編程的得

32、到(具體編程過程請參見附錄六),圓柱體的半徑,球臺所在球體的半徑,圓柱體的高,與弧形部分有關(guān)的兩個角度,所用材料為 對兩種方法所得結(jié)果,求算術(shù)平均值得到易拉罐各項尺寸,圓柱體半徑為,圓柱體的高度為,圓柱體上頂蓋為,球臺上頂蓋半徑為,球臺弧形部分壁厚為,圓柱體底面厚度為5.4.5 結(jié)果檢驗 通過觀察數(shù)據(jù)可以看到兩種解法求得的結(jié)果是比較接近的,但觀察兩種解法會發(fā)現(xiàn),第一種解法明顯簡單與第二種解法,這也說明了數(shù)學(xué)軟件的在處理大型數(shù)學(xué)模型中的重要性,但第二種方法也是有道理的,并且在沒有計算機輔助下,它是求解多元最值問題的最基本、最常用的方法之一。1與原來的設(shè)計相比較 此種設(shè)計易拉罐所用的總材料體積為,

33、實際所用材料總體積為(問題三已求),所以這種設(shè)計能節(jié)省的材料,雖然每個節(jié)省的材料并不是很多,但當(dāng)大量生產(chǎn)的時候,能夠節(jié)省的經(jīng)濟價值也是相當(dāng)可觀的。2 驗證該設(shè)計符合審美標(biāo)準通過本題求解發(fā)現(xiàn)這種設(shè)計,得到的圓柱體的高度為,直徑為,直徑與高度的比值為0.66,這也是基本符合“黃金分割”的。5.5問題五短文 關(guān)于數(shù)學(xué)建模問題 結(jié)合三晝夜的競賽和兩個多月辛苦培訓(xùn)所獲得的經(jīng)驗和平時學(xué)習(xí)過程中得到的知識,然后認真深入的探討和研究題目中給我們的提問,經(jīng)過反復(fù)揣摩得到了以下真諦。 所謂數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)符號對一類實際問題或?qū)嶋H系統(tǒng)發(fā)生的現(xiàn)象的做近似的描述,而數(shù)學(xué)建模則是獲得該模型、求解該模型并得到結(jié)論以及驗證

34、結(jié)論是否正確的全過程,數(shù)學(xué)建模不僅是了解系統(tǒng)基本規(guī)律的強有力工具,而且從應(yīng)用的觀點來看更重要的是預(yù)測和控制所建模系統(tǒng)的行為的強有力的工具.許多重要的物理現(xiàn)象,常常是從某個實際問題的簡化數(shù)學(xué)模型的求解中發(fā)現(xiàn),并給予明確的數(shù)學(xué)表述。 在對實際現(xiàn)象中利用數(shù)學(xué)知識建立能夠更好地了解該現(xiàn)象,并且可以應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決的數(shù)學(xué)模型是比較麻煩的,因為實際現(xiàn)象通常都是極為復(fù)雜的,所以不經(jīng)過系統(tǒng)化理想化的化簡是很難進行研究的。為此,數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)大體上可分為以下7個關(guān)鍵步驟:1對選定的實際問題進行觀察、分析2對實際問題進行必要的抽象或簡化,作出合理的假設(shè)3確定出建立的模型中需要的變量和參數(shù)4根據(jù)某種數(shù)學(xué)方法、各學(xué)

35、科中的定律、已推證的算法、相關(guān)的經(jīng)驗都是正確的等建立變量和參數(shù)間確定的數(shù)學(xué)關(guān)系數(shù)學(xué)模型。實際當(dāng)中這個關(guān)系是非常難以發(fā)現(xiàn)5解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問題,可以以復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論和方法為基礎(chǔ)然后利用計算機編程或者啟發(fā)式算法對結(jié)果進行求解。對結(jié)果進行計算,方法也是很難確定的。6得出結(jié)果后,用計算出的結(jié)果對實際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象進行對比或用某種方法 例如:已存數(shù)據(jù)、實驗數(shù)據(jù)或現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)等來驗證結(jié)果是否正確。 7如果第 6 步的結(jié)果是可行的,那么就可以試用于現(xiàn)實; 如果是否定的,那就要回頭對第1?7進行仔細分析和檢驗,如果還是無果就重復(fù)上述建模過程從新開始。 如果要對數(shù)學(xué)建模下定義,上述7個步驟的多次重復(fù)的過

36、程就是它最好的詮釋。認真研讀和通過實踐上面的7個步驟后可以發(fā)現(xiàn),其中的三個要素是數(shù)學(xué)建模過程中的主干。其它部分都是對他們的一個銜接和延伸。然而這三個要素也是數(shù)學(xué)建模過程中的重點難點,它們分別是:1 如何從實際情況著手做出合理的假設(shè),并通過各種手段例如:數(shù)學(xué)方法、物力知識、計算機知識、生物知識等設(shè)計出符合題意并且能夠進行求解的合理數(shù)學(xué)模型。2 如何求解模型中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題,它可能是非常困難的問題,因為求解用到的知識太多,算法也太廣。3 如何驗證模型是正確、可行的。這個步驟也是比較難操作的,因為得出的結(jié)果都有隨機性。檢驗的方法不可能都十分相似,所以怎樣才能選取一個合適的方法進行檢驗也較困難。 對于

37、本題來說,它的建模步驟在整個論文中已經(jīng)體現(xiàn)出來了。而它建模的難點分別從以上三個要素進行說明。1. 本題對易拉罐的形狀進行了多種假設(shè),而每種假設(shè)都可能因為形狀中某種屬性例:易拉罐的頂蓋和罐壁的厚度的變化而對數(shù)學(xué)模型的建立產(chǎn)生影響。在對模型的建立時要考慮多方面因素,比較麻煩。當(dāng)根據(jù)各種假設(shè)建立出數(shù)學(xué)模型后,同時涌現(xiàn)出了多種數(shù)學(xué)方法例:拉格朗日乘子法、求條件極值法、數(shù)學(xué)軟件等;而從中選取一個或者多個較準確的方法進行求解也是相當(dāng)困難的。通過某些算法將結(jié)果求出后,是利用其它數(shù)學(xué)方法算出來的結(jié)果進行檢驗還是利用歷史數(shù)據(jù)或者實測數(shù)據(jù)進行檢驗?對檢驗的方法也是相當(dāng)困難。6 模型推廣 對于本題中所建立的模型,對

38、于那些形狀與易拉罐相似的容器同樣適用。當(dāng)容器的各個面的材料不同時,可以根據(jù)材料價格的不同,以材料費用最少為目標(biāo)對原模型進行改進。當(dāng)容器不需要頂蓋時,同樣可在上面的模型的基礎(chǔ)上進行改進。下面分別針對不同的情況進行說明:第一種情況 將容器視為正圓柱體,當(dāng)各個面所用材料不相同時,需要考慮每種材料的價格,此時需要以容量一定,容器的材料成本最低為目標(biāo)建立最優(yōu)化模型。由實際情況可知,生產(chǎn)一個正圓柱形容器所需要的總材料費用由易拉罐的頂蓋、圓柱回轉(zhuǎn)面和下底面的材料費用組成。將各個子費用分別求出相加從而簡化了模型中目標(biāo)的難度。目標(biāo)確定 參數(shù)確定:設(shè)圓柱體回轉(zhuǎn)面單位面積材料價格為一個單位,上頂材料價格為,下底材料

39、價格為;設(shè)圓柱體底面半徑為,高度為。則上頂面的材料費用為:圓柱回轉(zhuǎn)面的材料費用:下底面的材料費用為: 生產(chǎn)一個正圓柱形容器所需要的總材料費用為: 圓柱的體積為:模型建立 根據(jù)生產(chǎn)材料費用最少可建立如下模型: 3模型求解 在求解模型時可運用求解易拉罐材料最省時的模型的方法,如變量代換求極值、軟件直接求解、乘子法。具體求解方法不再詳述。可求得與的關(guān)系式如下: 第二種情況 將容器視為無頂蓋的圓柱體,可考慮制造該容器的材料相同,各面的厚度不同,以容量一定,所用材料最少為目標(biāo)建立最優(yōu)化模型。由題意可知,正圓柱形容器所需要的總用料體積分為圓柱回轉(zhuǎn)面的用料體積和下底面的用料體積。因此目標(biāo)確定 參數(shù)確定:設(shè)圓

40、柱體回轉(zhuǎn)面的厚度為一個單位,下底厚為。圓柱回轉(zhuǎn)面的用料體積為:下底面的用料體積為: 則生產(chǎn)一個正圓柱形容器所需要的總用料體積為 圓柱的體積為:2模型建立 于是可建立模型如下: 3模型求解 對本模型求解時,也是運用上面所說的方法進行求解,具體求解過程不再贅述。求得與的關(guān)系式如下: 總結(jié) 綜合本論文中的所有模型可發(fā)現(xiàn)一普遍規(guī)律,在容器形狀及容積固定的前提下,只要以用料費用最少為目標(biāo),根據(jù)容器用料費用關(guān)系與容器形狀各尺寸的關(guān)系式及容積與容器各尺寸的關(guān)系式,即可建立相應(yīng)模型如下: 模型說明:表示容器形狀的所有尺寸變量; 表示容器用料費用; 表示容器的容積。 對于該種模型可運用軟件直接求解的方法,也可運

41、用乘子法將模型轉(zhuǎn)化為方程組的形式在求解。對于尺寸變量為2的情況可直接運用變量代換求極值的方法比較簡單,但對于變量較多時,運用軟件求解是一種很快捷的方法。 當(dāng)要求容器中的某幾個尺寸為常量時,可在模型中直接限制;當(dāng)要求容器的某幾個尺寸的比例關(guān)系一定時,可運用列方程的方法對變量之間的關(guān)系進行求解。 綜上可以看出對于此類問題具有很強的規(guī)律性,由簡單的易拉罐設(shè)計問題可以推廣到其它各種容器的優(yōu)化設(shè)計。參考文獻1 姜啟源著.數(shù)學(xué)模型.北京:高等教育出版社,2002 2 葉其孝.數(shù)學(xué)建模教育與國際數(shù)學(xué)建模競賽.中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會工科數(shù)學(xué)雜志社,1994年3 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.MATLAB7基礎(chǔ)與提高.

42、北京:電子工業(yè)出版社,2005年4 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第五版?下冊.高等教育出版社,2002年6 謝金星,薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件.清華大學(xué)出版社,2005年 附錄附錄一 問題三模型求解軟件程序3651/3*3.1415926*tane*r13-r23+3.1415926*r12*h;26*r12;!e: 代表圓臺的傾斜角r1r2; !r1:代表圓柱體的半徑e1.57;!r2:代表上頂蓋的半徑附錄二 問題三模型求解軟件程序1 在文件編輯區(qū)建立待求方程組文件并保存function yfunxy2*pi*x1/cosx3+2*pi*x5+2*pi*x1+x4*pi*tanx3*x12+2*pi*x1*x5,6*pi*x2-2*pi*x2/cosx3-x4*pi*tanx3*x22,pi*x12-x22*sinx3/cosx32+x4*pi/3*x13-x23/cosx32, 2*pi*x1+x4*pi*x12, 1/3*pi*tanx